Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Определение потерь и границы энергетического баланса
Инженерный вопрос. Какие составляющие объясняют разность входной и выходной мощности?
Свяжите требование по потоку, ЭДС, моменту, мощности, потерям или нагреву с наблюдаемой величиной и сравнимыми режимами. Такой переход позволяет выбрать необходимую сложность модели машины.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Перечислите учитываемые механизмы и области потерь; укажите проводимость, частоту и нормировку. Неучтённые торцевые и гистерезисные вклады записываются отдельно.
Вычисленный аналитический эталон. Проверьте размерность мощности и контрольный предел проводника или RL-цепи, когда он применим.
Баланс мощности с явной границей системы. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите магнитные, проводниковые и внешние принятые потери в одной границе системы.
Результат этого занятия. Баланс с остатком и перечнем механизмов, не включённых в модель.
Данные именно этого опыта. Сведите магнитные, проводниковые и внешние принятые потери в одной границе системы.
Оформление наблюдений. Потери по областям и механизмам, входная мощность, токовая нормировка и частота; отдельно — добавленные сопротивления и происхождение их значений.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Одинаковая граница и нормировка; компоненты совпадают с суммой; отсутствующие потери названы.
Независимый контроль. Сведите мощности выводов и объёмные потери в один баланс, используя физически одинаковые границы системы.
Критерий выполнения. Нет двойного учёта; температура и граница одинаковы; остаток численный, а не только словесный.
Точность и расхождения. Уточняйте сетку в проводнике относительно глубины проникновения; неопределённость проводимости и дополнительных сопротивлений отделяйте от сеточного изменения.
Основание сравнения. Используйте определения потерь и глубины проникновения из занятия. Формула однородного проводника или полупространства служит контрольным пределом; торцевые и неучтённые механизмы перечисляют отдельно.
Вывод для устройства
Определите, какие потери ограничивают режим или передаются тепловой модели; полный КПД нельзя получать без всех требуемых членов баланса.
Границы вывода. Проверенный двумерный вопрос является частью проектирования. Неучтённые торцевые, тепловые, механические и динамические эффекты перечисляются по назначению задачи.
Дополнительный расчётный метод
Задание 1. Определение параметров однофазного трансформатора
Последовательность связывает размеры и измеренные данные трансформатора с параметрами схемы замещения, а затем с токами и напряжением при нагрузке.
Получаемые величины. Lсек(I)=\Psi /I; Lкз при U_{2}=0; R_{1}, R_{2} при объявленной температуре и длине витка; U2(I2), I1, Pпот, невязки терминальных уравнений
Страницы источника. PDF 1–20; протокол 2–3; ХХ 3–10; рассеяние 11–17; внешняя схема 18–20
Поле асинхронного двигателя на холостом ходу и вращательное перемагничивание
Спектр поля и годографы индукции показывают, где преобладают вращательное перемагничивание и насыщение; эти данные определяют дальнейший расчёт потерь.
Формула относится к синусоидальному току. Если API возвращает амплитудный фазор, при переходе к средней активной мощности появляется множитель 1/2.Численный пример применения метода
Для замкнутого витка задана амплитуда синусоидального тока 100 А, Rac=0,060 Ом, Rdc=0,040 Ом при одной температуре. Это заданные данные аналитического эталона.
Действующий ток I_{\mathrm{rms}}=70.710678 А.
Потери AC=300.000 Вт; при том же действующем токе DC=200.000 Вт.
Численно усредняем i(t)²Rac по 4096 равномерным отсчётам периода и получаем те же 300 Вт.
Ответ.P_{\mathrm{ac}}=300 Вт, P_{\mathrm{dc}}=200 Вт, k_R=1{,}5. Подстановка амплитуды 100 А вформулуI²R без 1/2 дала бы 600 Вт и удвоила бы рассчитанный нагрев.
Страницы источника. PDF 1–2: постановка; 2–3: измеряемые величины, частота и варианты
При идеальной транспозиции каждый из N элементарных параллельных проводов несёт одинаковый ток. В 2D условие равенства можно задавать Series-цепью с током одного элементарного провода.Численный пример применения метода
Синусоидальный ток стержня имеет амплитуду 6000 А. По высоте 24 провода, по ширине 2; идеальная транспозиция. Для отдельной проверки DC-потерь сопротивление каждого провода задано равным 2 мОм.
Получаем N=2\cdot 24=48 проводов.
Амплитуда тока каждого провода 6000/48=125.000 А.
Действующий ток каждого провода 88.388 А; сумма равных мгновенных токов восстанавливает полный ток.
Потери отдельных проводов: P=NI_{\text{эл,д}}^2R_{\text{эл}}=750\,\text{Вт}.
Проверка по эквивалентной цепи: P=I_{\text{ст,д}}^2(R_{\text{эл}}/N)=750\,\text{Вт}.
Ответ. В FEMM-условие равных токов передаём 125 А на элемент при амплитудной нормировке. Полный ток остаётся 6000 А; вычисленные DC-потери 750 Вт служат отдельным аналитическим эталоном.
Страницы источника. PDF 1: физика; 2–3: цепь и расчётные соотношения; 4–5: измерения и варианты
Расчёт потерь в массивных сердечниках электрических машин с помощью конечно-элементных моделей
Парное сравнение токового слоя и пазовой геометрии по спектру и вихревым потерям показывает, сохраняет ли упрощение нужную характеристику массивного сердечника.
Простые конечно-элементные модели для приближённых расчётов потерь в массивных роторах
Упрощение ротора обосновывают сохранением спектра возбуждения и рабочего насыщения. Потери существенных гармоник проверяют по отдельности, затем сравнивают их сумму с полной моделью.
Получаемые величины. состав и амплитуды токового слоя; частота гармоники относительно ротора; P\nu и ошибка суммы потерь; масштаб потерь и глубины проникновения
Получить поле основной гармоники и насыщение базового режима.
Сформировать отдельные гармонические токовые слои с достаточной дискретизацией.
Назначить каждой гармонике частоту в системе ротора.
Сравнить сумму потерь с многогармонической/полной моделью.
При масштабировании проверить подобие поля, глубины проникновения и пересчёт мощности.
Страницы источника. PDF 1–17 полностью: 1–5 гармонические модели; 6–7 сравнение потерь; 8–10 физическое масштабирование; 11–15 реальные роторы и разностное поле; 16–17 литература и автор.
Аналитические коэффициенты вытеснения проверяют сопротивление прямоугольного стержня. По результатам выбирают дробление, транспозицию и форму проводника с учётом ограничений конструкции.
Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив
Глубина проникновения, фаза и вихревые потери позволяют оценить проводящий массив и шихтовку. Сравнение выполняют при одном физическом условии: поверхностном поле, средней индукции или полном потоке.
Получаемые величины.\Delta=√(2/(\omega \mu \sigma )); комплексные B(z), J(z) и фаза; Вт/м³ и Вт вихревых потерь; отношение потерь сплошной и шихтованной области
Объявить постоянные \mu,\sigma и амплитудную нормировку.
Проверить экспоненциальное затухание и фазу в полупространстве.
Для пластины задать одинаковые условия на обеих сторонах и сравнить профиль.
Вычислить потери с множителем 1/2 для амплитуд и сопоставить при одном фиксированном поле/потоке.
Сравнить сплошной и шихтованный варианты, сохраняя фактическую среднюю индукцию и геометрию.
Страницы источника. PDF 1–42 полностью: 1–8 уравнения и энергия; 9–18 полупространство; 19–23 интегральные величины; 24–33 пластина; 34–42 потери и шихтовка.
Интегральные величины при резко выраженном поверхностном эффекте
Поверхностное приближение даёт быстрый независимый контроль тока, комплексного сопротивления и потерь массивной детали. Разные способы возбуждения сравнивают при одинаковом физическом условии.
Получаемые величины. комплексные I, \Phi, Zэл и магнитное сопротивление; поверхностная глубина и потери; ошибка поверхностного предела относительно объёмной модели
Проверить, что глубина проникновения мала относительно толщины и радиуса кривизны.
Определить периметры и длины, соответствующие току и потоку.
Вычислить интегралы с комплексной нормировкой.
Сравнить объёмную модель, поверхностное условие и аналитический предел при одном возбуждении.
Изменить толщину или частоту и показать область выхода из поверхностного приближения.
Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–7 сильный поверхностный эффект и интегралы; 8–9 замкнутый виток; 10–15 стальной тороид и способы FEMM.
Баланс мощности составляется для явно выбранной границы системы. В нём разграничиваются потери, рассчитанные по полю, учтённые параметрами электрической цепи и оставшиеся за пределами принятой модели.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Закон сохранения энергии в установившемся режиме связывает входную электрическую мощность с выходной мощностью и включёнными потерями. Для двигателя P_{\text{вх}} = P_{\text{мех}} + P_{\text{медь}} + P_{\text{сталь}} + P_{\text{добав}} + P_{\text{мех},\text{пот}}, если все эти механизмы присутствуют в принятой границе. Здесь P_{\text{мех}} — полезная механическая мощность на валу, а P_{\text{мех},\text{пот}} — механические потери. Магнитная модель FEMM не вычисляет автоматически трение, вентиляцию и потери преобразователя. Поэтому её полный интеграл потерь означает сумму механизмов конкретной полевой модели, а не полные потери реальной установки.
В гармоническом FEMM интегралы 3 и 4 относятся к магнитным потерям (гистерезисным и вихретоковым в шихтованном магнитопроводе) и потерям в проводниках выбранных областей; интеграл 6 — их суммарный результат. Суммирование 3 + 4 + 6 удваивает учтённые потери. Для внешнего сопротивления потери рассчитывают отдельно как R|I_{\text{амп}}|^{2}/2. Статическая \Psi-карта сама не содержит гармонических вихревых потерь; если применяется материальная аппроксимация по B(t), её результат обозначают оценкой и не складывают с уже включённым тем же механизмом. Граница баланса и условия температуры должны быть одинаковыми для всех сравниваемых мощностей.
P_{\text{мех}} — полезная мощность на валу; P_{\text{мех},\text{пот}} — механические потери, Вт. КПД физически интерпретируется только при полном и согласованном списке потерь в выбранной системе.
Порядок проверки результата
Численный пример ниже является аналитическим учебным эталоном. Его значения вычислены по указанным формулам; они не обозначают результат решения новой модели методом конечных элементов. Практикум связывает эталон с полевой задачей: сначала воспроизведите уже проверенный результат базового раздела, затем измените только один исследуемый параметр. Именно такое сравнение позволяет отделить ошибку программы от влияния геометрии, сетки и физического приближения. Сохраните исходную модель, рабочую копию и таблицу с заголовками величин. В подписи каждой величины укажите единицу, положительное направление и способ получения; для гармонических величин дополнительно укажите амплитудную нормировку. Если условие задачи не выполнено, остановите серию и сохраните причину отказа вместе с последним корректным состоянием.
Пояснение программы
До интегрирования явно выбираются области группы 0. Три команды читают магнитные потери, потери в проводниках и суммарные потери. Последний вывод проверяет равенство суммы компонентов общему результату; суммарное значение повторно не прибавляется. В учебном трансформаторе механизмы потерь отключены, поэтому нулевой результат ожидаем. Для физической оценки необходимы подтверждённые проводимости и параметры материалов.
Замыкание баланса без двойного счёта потерь
До суммирования определите границу устройства: входят ли преобразователь, возбуждение, подшипники и охлаждение.
Для каждой статьи запишите источник: полевой интеграл, сопротивление схемы или эмпирическая оценка. Одни и те же медные потери нельзя включать из двух источников.
Согласуйте средние мощности и нормировку токов. Суммируйте фазные потери по фактическим токам, особенно при несимметрии.
Проверьте остаток мощности и диапазон коэффициента полезного действия в потребительском режиме. При генерации переопределите вход и полезный выход по физическому потоку энергии.
Коэффициент полезного действия в заданной границе системы
1
Границы применимости. Малая алгебраическая невязка не означает, что все механизмы потерь учтены. Неизмеренные добавочные потери нельзя объявлять нулевыми по умолчанию.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Пакет листов как анизотропная среда: продольное и поперечное поле
Пакет электротехнической стали состоит из железа и межлистовой изоляции. В модели приложения A.2 отдельные листы не обязательно строить геометрически: их заменяют сплошной средой с эффективными свойствами. Коэффициент заполнения c означает долю железа по толщине пакета, а не коэффициент заполнения паза медью. Исходная проницаемость железа в выводе считается изотропной; основная трудность поперечного потока объясняется пересечением слабопроницаемой изоляции.
Для потока вдоль листов железо и изоляция работают как параллельные магнитные пути: напряжённость H вдоль пути общая, а потоки складываются по площадям. Поэтому эффективная проницаемость равна среднему с весами c и 1 - c. Для потока поперёк листов участки железа и изоляции соединены последовательно: нормальная B общая, а магнитные падения напряжения складываются. Здесь усредняется обратная проницаемость. Простое умножение \mu на c в обоих направлениях неверно.
При потоке вдоль листов железо занимает долю c полной площади поперечного сечения. Длина пути остаётся L, поэтому сопротивление железной ветви обратно пропорционально cS. Железная и изоляционная ветви находятся под одной магнитодвижущей силой и затем объединяются параллельно.
Обозначения и единицы
L — длина магнитного пути, м; S=W d_z — полная площадь поперечного сечения, м².
c — доля железа, \mu_r — его относительная проницаемость; \mathcal R — А/Вб=1/Гн.
Условия применения. Однородная изотропная проницаемость железа в локальной рабочей точке, плоские слои, 0<c<1. Нормаль к S направлена вдоль рассматриваемого магнитного пути.
В оригинале знаменатель содержит ширину W плоской схемы без явной глубины. Здесь использована площадь S=W\cdot d_z: d_z — физическая глубина пакета. Так магнитное сопротивление имеет единицу 1/Гн; исходная нормировка соответствует принятой единичной глубине.
Оставшаяся доля сечения 1-c проводит поток параллельно железу, но имеет проницаемость примерно \mu _{0}. Обычно эта ветвь пропускает малую часть потока, однако именно она сохраняет правильный предел при уменьшении доли железа. Исключать её допустимо только после оценки отношения вкладов.
Условия применения. Изоляция принята магнитно эквивалентной воздуху, \mu _{r}\approx 1. При c\to 1 эта ветвь исчезает: её сопротивление стремится к бесконечности, а не к нулю.
Параллельное соединение даёт 1/\mathcal R_{\parallel}=1/\mathcal R_{\parallel,\mathrm{Fe}}+1/\mathcal R_{\parallel,\mathrm{air}}. Потоки складываются при общей МДС, поэтому складываются магнитные проводимости, а не сопротивления. Полученный знаменатель непосредственно задаёт эффективную продольную проницаемость пакета.
Обозначения и единицы
\mathcal R_{\parallel} — 1/Гн; L — м; S — м².
c и \mu_r — безразмерные параметры заполнения и железа.
Условия применения. Модель параллельных плоских слоёв без краевых полей. Площадь S относится ко всему пакету, включая изоляцию.
Общая напряжённость вдоль слоёв и сумма потоков по площадям приводят к среднему арифметическому проницаемостей с весами c и 1-c. При полностью железном сечении получается \mu _{0}\mu _{r}, при отсутствии железа — \mu _{0}. Эта проверка пределов помогает обнаружить ошибку заполнения.
c — доля железа; \mu_r — относительная проницаемость железа.
Условия применения. Плоские слои, изотропное железо и немагнитная изоляция. При нелинейном железе коэффициент соответствует выбранной рабочей точке, а не постоянной для всех возбуждений.
Поперёк пакета один и тот же поток последовательно проходит железо и изоляцию. Железо теперь занимает долю длины cL, а не долю площади. Это геометрическое различие меняет место коэффициента c и объясняет, почему поперечную проницаемость нельзя получить простым умножением \mu на заполнение.
Обозначения и единицы
cL — суммарная длина железных участков пути, м.
S — общая площадь, нормальная поперечному потоку, м²; \mathcal R_{\perp,\mathrm{Fe}} — 1/Гн.
Условия применения. Последовательная модель плоских слоёв, общая нормальная индукция и изотропная проницаемость железа. Краевое выпучивание потока в этой локальной модели отсутствует.
Даже короткий суммарный путь по изоляции может определять основную часть поперечного магнитного сопротивления, потому что её проницаемость намного меньше проницаемости стали. Поэтому тонкие промежутки существенно ограничивают поток поперёк листов.
Обозначения и единицы
(1-c)L — суммарная длина немагнитных промежутков, м.
\mu_0 — Гн/м; S — м²; \mathcal R_{\perp,\mathrm{air}} — 1/Гн.
Условия применения. Промежутки считаются немагнитными; контактные неровности и локальные замыкания не моделируются отдельно. Это магнитное сопротивление, не тепловое контактное сопротивление.
Сопротивления последовательных участков складываются: \mathcal R_{\perp}=\mathcal R_{\perp,\mathrm{Fe}}+\mathcal R_{\perp,\mathrm{air}}. При общей площади и потоке суммируются падения МДС. Переписывание результата как L/(\mu_{\perp}S) определяет эффективную поперечную проницаемость.
Обозначения и единицы
\mathcal R_{\perp} — 1/Гн; L — длина всего составного пути, м; S — м².
c и 1-c — доли длины железа и изоляции.
Условия применения. Одна последовательная цепь потока через слои; не включает боковой обход промежутков. Для однородного железа при c=1 получается L/(\mu _{0}\mu _{r}S).
Поперёк слоёв усредняется обратная проницаемость, то есть используется взвешенное гармоническое среднее. При c=0{,}9 и \mu _{r}=1000 относительная поперечная проницаемость составляет около 9,9108, тогда как продольная — 900,1. Большая анизотропия возникает из геометрии слоёв даже при изотропном железе.
Обозначения и единицы
\mu_{\perp} — абсолютная проницаемость, Гн/м; для относительной делят на \mu_0.
c — доля железа; \mu_r — его относительная проницаемость.
Условия применения. Та же последовательная модель, что в сопротивлениях выше. При c\to 0 получается \mu _{0}, при c\to 1 — \mu _{0}\mu _{r}; ориентацию этого коэффициента согласуют с реальной нормалью к листам.
Для нелинейной процедуры FEMM использует упрощение продольной проницаемости \mu _{\parallel} \approx c\mu _{r}\mu _{0} при (1 - c) \ll c\mu _{r}. В учебном примере c = 0{,}9 и \mu _{r} = 1000 точная продольная относительная проницаемость равна 900,1, приближённая — 900, а поперечная — около 9,9108. Небольшой объём изоляции способен уменьшить поперечную проницаемость на два порядка относительно продольной. Само приближение не следует бездумно продолжать к почти пустому пакету или к состоянию, где \mu _{r} близка к единице.
Вклад изоляции в продольную магнитную проводимость отброшен. При c=0{,}9 и \mu _{r}=1000 точная относительная проницаемость 900,1 заменяется на 900: ошибка около 0,0111 %. При \mu _{r}, близкой к единице, либо очень малом заполнении такая замена уже не гарантирует малой ошибки.
Условия применения. Применять только при выполнении критерия. При c\to 0 приближение даёт нуль вместо \mu _{0} и теряет правильный предел; насыщение уменьшает \mu _{r} и может ухудшить точность.
Если листы лежат в плоскости модели, весь двумерный поток идёт по лёгкому направлению и используется соответствующая эффективная характеристика. Если листы ориентированы параллельно x или y, двум направлениям назначаются разные проницаемости. Направление пакета необходимо согласовать с физической конструкцией и типом задачи. Проверка только названия материала без ориентации, толщины листа и коэффициента заполнения недостаточна.
Это магнитная эквивалентная модель. Тепловая анизотропия того же пакета имеет похожую геометрическую логику последовательных и параллельных слоёв, но требует собственных теплопроводностей и контактных сопротивлений. Магнитные \mu _{\parallel} и \mu _{\perp} нельзя переносить в тепловой модуль как численные коэффициенты k.
Комплексная проницаемость листа и встроенный учёт вихревых токов
В тонком листе переменное магнитное поле неоднородно по толщине из-за вихревых токов. Если толщина мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, этот одномерный внутренний процесс можно включить в частотно-зависимую эффективную проницаемость. Геометрическая сетка тогда описывает пакет как сплошную среду. Это не означает исчезновения потерь: они представлены комплексным материальным законом.
Для линейного железа формула (A.11) включает относительную проницаемость \mu _{r}, проводимость \sigma, толщину металлического листа d, угловую частоту \omega и гистерезисный угол отставания \varphi _{h}. В приведённой ниже компактной записи p безразмерно; d нужно выражать в метрах, \sigma в См/м и \omega в радианах в секунду. Угол в экспоненте задаётся в радианах, хотя поле интерфейса может ожидать градусы. Указание единиц геометрии в миллиметрах не отменяет перевод величин в СИ при ручной проверке формулы.
Частотная проницаемость проводящего листа с гистерезисным запаздыванием
Формула сворачивает распределение поля по толщине тонкого металлического листа в одну комплексную относительную проницаемость. Безразмерный параметр p=(d/2)\sqrt{j\omega\sigma\mu_r\mu_0} сравнивает толщину с масштабом проникновения. Один множитель \exp (-j\varphi _{h}/2) стоит перед \tanh, второй — внутри; при p\to 0 вместе они дают \mu _{r} \exp (-j\varphi _{h}). При \varphi _{h}=0 остаётся \mu _{r} \tanh (p)/p.
d — толщина именно металла, м; \sigma — См/м; \omega — рад/с; \mu_0 — Гн/м.
\varphi_h — угол отставания B от H, рад; j^2=-1.
Условия применения. Линейное железо, тонкий лист относительно его прочих размеров, одномерное распределение по толщине, \exp (j\omega t). При нулевом p используют предел, а не прямое деление 0/0. Затем \mu _{\mathrm{fd}} заменяет \mu _{r} в формулах пакетирования; долю железа учитывают отдельно.
Две фазовые экспоненты и знаменатель сверены визуально. \mu _{\mathrm{fd}} в оригинале относительная: добавление лишнего \mu _{0} к результату нарушило бы последующую подстановку в (A.6) и (A.10).
Полученная \mu _{\mathrm{fd}} является относительной комплексной проницаемостью. В формулах пакетирования она заменяет \mu _{r}; затем учитывается доля железа и направление слоёв. При малой толщине либо малой частоте влияние вихревых токов убывает. Если одновременно отсутствует гистерезисное отставание, предел равен исходной \mu _{r}. Если вихревые токи исчезают, но \varphi _{h} остаётся, сохраняется комплексный множитель \exp (-j\varphi _{h}).
Множитель гистерезисного запаздывания остаётся и без вихревого вытеснения. При нулевом запаздывании сохраняется только диффузионное действие проводящего листа.
p — безразмерный параметр диффузии; \varphi_h — угол запаздывания, рад в экспоненте; \mu_{\mathrm{fd}} — эффективная относительная проницаемость.
Условия применения. Пределы выводятся из модели (A.11) при соглашении e^{j\omega t}; параметры должны быть согласованы с предположениями о листе и гармоническом режиме. Угол \varphi_h подставляется в экспоненту в радианах.
p_{179} прямо указывает множитель \exp (-j\varphi _{h}) для нештихтованного материала. Два предельных выражения раскрывают проверку номерной формулы (A.11), сама формула здесь не дублируется целиком.
При принятой временной зависимости \exp (j\omega t) положительное отставание B от H соответствует отрицательной мнимой части проницаемости. Оно даёт положительную среднюю магнитную потерю. Для массивного материала приближённый гистерезисный эффект также можно представить множителем \exp (-j\varphi _{h}), но проводимость и сетка массивного тела должны описывать его вихревые токи отдельно. Нельзя автоматически считать, что слой и массивный брусок с одинаковой сталью имеют одинаковые потери.
Для нелинейных листов постоянная \mu _{r} в этой формуле не заменяет процедуру приложения A.4: FEMM строит эффективную характеристику с решением внутренней одномерной нелинейной задачи. Потери, уже включённые выбранной моделью материала, нельзя повторно прибавлять к тому же объёму по внешней формуле. Дополнительная эмпирическая модель потерь должна явно представлять отсутствующий механизм либо служить независимым сравнением.
Средняя плотность потерь, представленная комплексной магнитной связью, при амплитудных фазорах и \exp (j\omega t). Для B = \mu H и \operatorname{Im} \mu < 0 результат неотрицателен; при действующих фазорах множителя 1/2 нет.
Проверьте на своей модели
В ручной оценке последовательно уменьшайте d и f: при \varphi _{h} = 0 должна восстанавливаться вещественная \mu _{r}.
Проверьте знак мнимой части и положительность потерь при принятой временной конвенции.
В балансе отдельно перечислите, какие потери уже входят в комплексную проницаемость и какие добавлены внешней моделью.
Как строится эффективная \(B\)–\(H\)-кривая основной гармоники
Нелинейная система при синусоидальном возбуждении обычно отвечает несинусоидально. Поэтому выражение «нелинейный гармонический расчёт» в FEMM обозначает приближение: учитывается изменение амплитуды и фазы основной гармоники из-за насыщения и принятых потерь, а высшие гармоники не восстанавливаются. Даже идеально сошедшееся решение не даёт форму броска тока включения, остаточное состояние, спектр искажённой волны или временную историю размагничивания.
Приложение A.4 уточняет, какая величина принимается синусоидальной при построении эффективной характеристики: это H. Для каждого уровня амплитуды H по исходной статической кривой определяют B(t), затем выделяют первую гармонику B. В ходе этой процедуры между пользовательскими точками B(H) применяется линейная интерполяция. Новые точки имеют те же значения H, что исходный набор, но скорректированные значения амплитуды B. Это не простая подстановка DC-проницаемости B/H в комплексное уравнение.
В описании FEMM синусоидальной принимается H, а эффективная амплитуда B берётся как первая гармоника нелинейного отклика. Это объясняет расширение эффективной B–H-кривой и отбрасывание высших гармоник.
Обозначения и единицы
H_m — амплитуда напряжённости, А/м; B(H) — исходная характеристика с B в Тл; B_1 — амплитуда первой гармоники, Тл; \omega — рад/с; t — с; \theta — рад.
Условия применения. Запись раскрывает основную идею без отдельного гистерезисного фазового сдвига; для полного FEMM-материала он учитывается дополнительной моделью.
В PDF первая гармоника описана словами. Интегральная запись дана для обучения и не утверждает, что FEMM выполняет именно такое численное квадратурное вычисление.
Для симметричной однозначной кривой и косинусоидального H амплитуда основной гармоники B получается интегралом Фурье. На насыщенной кривой сама форма B(t) может быть близка к ограниченной волне; амплитуда её первой гармоники способна превышать максимальное мгновенное значение исходной волны. Поэтому эффективную амплитуду нельзя без проверки читать как физический пик истинного несинусоидального B(t). Выбор синусоидальной B вместо H дал бы другую эффективную характеристику; именно поэтому важно знать соглашение FEMM.
Далее применяется модель нелинейного гистерезисного отставания. Руководство описывает связь угла отставания с проницаемостью, обеспечивающую принятую зависимость потерь от квадрата амплитуды B. Это параметризованная модель, а не восстановление реальной петли по одной статической кривой. Произвольный закон Штейнмеца с фиксированным показателем, особенно в пределе малой индукции, не следует считать автоматически встроенным в эту процедуру.
Две разные зависимости потерь от амплитуды индукции
Модель нелинейного гистерезисного запаздывания FEMM выбрана так, что потери пропорциональны квадрату B. Приведённая в обсуждении степень 1,6 относится к сравнению со степенной моделью Штейнмеца, а не к универсальному показателю для любой стали.
Обозначения и единицы
p_h — плотность гистерезисных потерь, Вт/м³; B — амплитуда индукции, Тл. Знак пропорциональности подразумевает коэффициенты с соответствующими единицами.
Условия применения. Сравнение зависимостей при фиксированных остальных условиях. При B\to0 попытка получить закон |B|^{1.6} только настройкой фазового запаздывания становится проблемной.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Для нелинейного пакета с листами в плоскости выполняется ещё один этап: при каждом выбранном H решается одномерная нелинейная гармоническая задача по толщине листа. Вычисляется полный поток, затем он делится на толщину листа и учитывается коэффициент заполнения пакета. Так получается эффективная B(H)-характеристика, объединяющая насыщение, гистерезисную модель и вихревые токи листа. Общая двумерная сетка пакета не обязана геометрически разрешать каждый лист, но исходные толщина, проводимость, заполнение и данные B(H) остаются обязательными.
В учебном отчёте следует разделять три уровня: исходную статическую кривую производителя или учебного примера; эффективную характеристику, используемую одночастотной моделью; физическую временную волну, которую эта модель полностью не вычисляет. Сравнение с экспериментом либо переходным решателем должно использовать одинаково определённую основную гармонику и одинаковую нормировку амплитуд. Сравнение RMS всей искажённой волны только с RMS первой гармоники систематически теряет вклад высших гармоник.
Для действительной периодической скалярной компоненты поля B_{0} — постоянная составляющая, а комплексные \widehat{B}_{n} — амплитуды гармоник. Одночастотный расчёт не вычисляет весь ряд.
Проверьте на своей модели
Проверьте процедуру выделения гармоники на линейной B(H): результат должен совпасть с \mu H_{m}.
В сравнении с измерением укажите, сопоставляется ли амплитуда первой гармоники, полный пик или полное действующее значение.
Не называйте одну нелинейную AC-точку расчётом переходного пуска или полной петли гистерезиса.
\eta = 946/1000 = 0{,}946 = 94{,}6 \,\%. Если механические потери P_{\text{мех},\text{пот}} неизвестны, этот КПД нельзя назвать полным реальным КПД.
Ответ: Учебный баланс замкнут при P_{\text{полез}} = 946 \,\text{Вт}; КПД заданной полной учебной границы 94{,}6 \,\%.
Проверка: Замена I_{\text{д}} на I_{\text{амп}} = 4\sqrt{2} \,\text{А} даёт тот же P_{\text{медь}} при обязательном множителе 1/2.
Углублённый разбор
Проводник в поле: явные жилы, MagnetWire и Litz
Три разных описания одной обмоточной области
Обмотка переносит ток и создаёт магнитодвижущую силу. При переменном токе распределение плотности J внутри меди определяется не только общей площадью, но и собственным полем, полем соседних проводов и электрическим соединением жил. Скин-эффект вытесняет ток от центра отдельной жилы; эффект близости перераспределяет его из-за внешнего поперечного поля.
В явной модели каждый изолированный провод изображается собственной проводящей областью, и вихревое перераспределение решается внутри неё. В MagnetWire несколько витков заменяются однородной обмоточной областью с аналитически учтённым мелкомасштабным поведением провода. В Litz задаются число и диаметр изолированных транспонированных жил одного витка. Эти варианты различаются не только скоростью расчёта: модель Litz предполагает электрическую структуру, которой нет у сплошного провода.
В FEMM 5 коды LamType=0,3,5 обозначают соответственно объёмный проводник, MagnetWire и Litz. Число витков задаётся в метке блока, число жил и их диаметр — в материале. Четыре витка по четыре жилы не следует заменять шестнадцатью витками: это изменит ампер-витки, напряжение и потокосцепление.
Что сохраняют при сопоставлении вариантов
Зафиксируем длину активной части, суммарный ток каждого витка, число витков, площадь меди и область размещения. Для N витков одинаковой длины сопротивление последовательной обмотки Rdc=Nl/(σAw). Для Litz площадь одного витка равна Nsπds²/4; она должна совпасть с площадью заменяемого провода.
Коэффициент заполнения — отношение суммарной площади меди к площади обмоточного окна. Он должен быть физически меньше единицы с учётом изоляции и зазоров. В гомогенизированном описании геометрическое окно и реальные жилы не обязаны иметь одинаковую форму, поэтому остаточная разница индуктивности включает геометрическое усреднение.
Для теста используются четыре круглые жилы диаметра 1 мм на квадратной решётке. MagnetWire содержит четыре витка того же диаметра в квадратном окне 2,5×2,5 мм; Litz заменяет каждый виток четырьмя жилами диаметра 0,5 мм. Площадь меди и ампер-витки одинаковы, но Litz физически имеет более тонкую отдельную жилу.
Для теста kf≈0,5027; ток в цепи относится к одному последовательному витку, а не к сумме токов всех сечений.
Мощность, импеданс и смысл интегралов
При амплитудных фазорах активная входная мощность равна Re(VI*)/2. Для явной меди с действительной \sigma и \mu =\mu _{0} она совпадает с интегралом|J|^{2}/(2\sigma ). В гомогенизированной обмотке часть мелкомасштабных потерь описывается через эффективные комплексные свойства. Поэтому только интеграл 4 не обязательно собирает всю физическую мощность.
В новом опыте значение blockintegral(6), то есть полные потери, совпадает с активной мощностью на выводах во всех трёх вариантах. У MagnetWire на 10 кГц интеграл 4 заметно меньше интеграла 6. Разность нельзя произвольно объявлять гистерезисом меди: это способ представления потерь эффективной моделью.
Уменьшение потерь Litz не делает его универсально лучшим при любой частоте. В реальном проводе учитывают изоляцию, ухудшение заполнения, длину скрутки, неполную транспозицию, концевые соединения и теплоотвод. Нативная модель предполагает идеализированную структуру жил.
На 100 Гц явная модель даёт 4,39139 мВт; MagnetWire 4,39050 мВт; Litz 4,39049 мВт. Все близки к I²Rdc/2=4{,}39048 мВт.
На 10 кГц полные мощности соответственно 4,59171; 4,59692; 4,46879 мВт.
У MagnetWire интеграл 4 равен 4,27092 мВт, а интеграл 6 и мощность на выводах 4,59692 мВт. Пропуск эффективной части дал бы неверный баланс.
Ответ. MagnetWire отличается от явной меди по мощности около 0,113%; Litz снижает потери в этой модели примерно на 2,68% относительно явной одножильной обмотки.
Проверка. Это одна геометрия и две частоты. Сходство одной полной мощности не проверяет локальное распределение тока или все частотные режимы.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 05-winding-models.py; составьте таблицу Rac/Rdc для всех вариантов.
Проверьте равенство площадей меди и ампер-витков до сравнения потерь.
Сравните интегралы 4 и 6 с Re(VI*)/2; объясните, почему у эквивалентного провода они различаются.
Уменьшите диаметр жил Litz, увеличивая их число с сохранением площади; отдельно измените окно, чтобы увидеть влияние заполнения.
Ожидаемый результат. Шесть гармонических решений и баланс мощности для каждого.
Проверка.
Одинаковая площадь меди.
Одинаковые ампер-витки.
Потери, вычисленные по полю, совпадают с активной мощностью на выводах.
Явные провода, MagnetWire и Litz
Новые геометрии, две частоты; контроль мощности, не универсальная валидация гомогенизации.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Четыре витка: явная медь, MagnetWire и идеальный Litz при равной площади меди.FEMM5/MicroPython; глубина 100 мм, I_peak=1 А в каждом витке.Явные провода d=1 мм; MagnetWire: четыре таких витка в окне 2.5x2.5 мм;Litz: четыре витка по 4 транспонированные жилы d=0.5 мм.Разница Litz/явный одножильный — физическая замена провода, не ошибка FEMM."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-winding-models")rows=[]forfrequencyin[100,10000]:formodelin["Explicit","MagnetWire","Litz"]:newdocument(0)mi_probdef(frequency,"millimeters","planar",1e-9,100,30)material("Air")mi_addcircprop("Winding",1,1)ifmodel=="Explicit":material("Cu",sigma=58)forxin[-0.75,0.75]:foryin[-0.75,0.75]:circle(x,y,0.5)label(x,y,"Cu",0.04,"Winding",1,1)else:code=3ifmodel=="MagnetWire"else5strands=1ifmodel=="MagnetWire"else4diameter=1ifmodel=="MagnetWire"else0.5material("Cu",sigma=58,wire_type=code,strands=strands,diameter=diameter)mi_drawrectangle(-1.25,-1.25,1.25,1.25)label(0,0,"Cu",0.15,"Winding",4,1)label(3,0,"Air",1)mi_makeABC(7,20,0,0,0)solve(folder,"%s-%dHz"%(model,frequency))current,voltage,linkage=mo_getcircuitproperties("Winding")mo_groupselectblock(1)p4=mo_blockintegral(4).realp6=mo_blockintegral(6).realpin=(voltage*current.conjugate()).real/2rows.append({"model":model,"frequency_Hz":frequency,"P_ohmic_W":p4,"P_total_W":p6,"P_terminal_W":pin,"Z_ohm":pair(voltage/current),"Rdc_ohm":4*0.1/(58e6*math.pi*0.0005**2),})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertall(row["P_total_W"]>0forrowinrows)print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Оригинальное объяснение и собственный расчётный опыт. Тонкие изолированные транспонированные жилы и сплошной провод представляют разные физические конструкции.
Нарисуйте границу мощности и перечислите все учитываемые и отсутствующие механизмы.
Откройте модель «Трансформатор-нагрузка-09-Готовая-модель.fem» из пошагового примера. Командой mi_loadsolution() загрузите соответствующее сохранённое гармоническое решение. Выберите нужные группы областей и получите mo_blockintegral(3), (4) и (6) для проверки.
Сверьте суммарный интеграл с суммой компонентов, не складывая все три как независимые потери.
Добавьте внешние сопротивления лобовых частей и кольца только один раз.
Рассчитайте P_{\text{вх}} и полезную мощность по фактическому согласованному режиму, затем остаток баланса.
Сравните амплитудную и действующую нормировки и оцените чувствительность к заданной температуре.
Ожидаемый результат. Баланс прослеживается по механизмам; оценочные и прямые полевые потери различены.
Как проверить. Одинаковая граница и нормировка; компоненты совпадают с суммой; отсутствующие потери названы.
Обработка и анализ результатов
Какие составляющие объясняют разность входной и выходной мощности?
Сведите магнитные, проводниковые и внешние принятые потери в одной границе системы.
Сведите потери по областям и механизмам в общий баланс; сохраняйте одинаковую нормировку тока и границу системы.
С чем сравнить. Используйте определения потерь и глубины проникновения из занятия. Формула однородного проводника или полупространства служит контрольным пределом; торцевые и неучтённые механизмы перечисляют отдельно.
Итог работы. Баланс с остатком и перечнем механизмов, не включённых в модель.
Для учебного линейного трансформатора с нулевой проводимостью и без магнитных потерь ожидаются нули. Реальная модель должна содержать подтверждённые параметры механизмов, прежде чем этот интеграл получит ненулевой физический смысл.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Компоненты потерь выбранных областей.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Требуется подготовленный документ или решение из практикума; условия запуска и имена объектов указаны в комментариях.Параметры, единицы величин и порядок вывода пояснены по стадиям."""# Сохраните итоговые .fem и .ans трансформатора в одной папке.# Откройте Трансформатор-нагрузка-09-Готовая-модель.fem.# Команда Analysis → View Results загрузит сохранённое гармоническое решение.# В учебной модели все области имеют группу 0.# Материалы этого линейного эталона не содержат механизмов потерь:# нулевой результат ожидаем и не означает нулевых потерь реальной машины.# Перед интегрированием снимаем прежний выбор областей.# В окне решения должно быть открыто Трансформатор-нагрузка-09-Готовая-модель.ans из комплекта курса.mo_clearblock()# Выбираем все области группы 0; в данном учебном образце это вся расчётная область.mo_groupselectblock(0)# Интеграл 3: магнитные потери, Вт; интеграл 4: потери в проводниках, Вт;# интеграл 6: суммарные потери выбранных областей, Вт.magnetic_loss_w=mo_blockintegral(3)resistive_loss_w=mo_blockintegral(4)total_loss_w=mo_blockintegral(6)# Порядок вывода: магнитные потери; потери в проводниках; суммарные потери, Вт.# Материалы образца не содержат учитываемых механизмов потерь, поэтому ожидаются нули.print(magnetic_loss_w,resistive_loss_w,total_loss_w)# Суммарные потери используются только для проверки; повторно прибавлять их к компонентам нельзя.print("Проверка суммы:",total_loss_w-magnetic_loss_w-resistive_loss_w)# Снимаем выделение выбранных областей после проверки потерь.mo_clearblock()
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
В машине с поверхностными постоянными магнитами поле возбуждения вращается вместе с ротором. Статорная точка видит переменное поле, а точка магнита — почти постоянную основную составляющую и пульсации от пазов. Для оценки потерь нужно различать эти системы отсчёта.
Фрагмент таблицы Р3.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Трансформатор передаёт энергию между неподвижными обмотками через общий магнитный поток. Реальная связь неидеальна: часть потока рассеивается, обмотки нагреваются, а намагничивающий ток зависит от нелинейного сердечника.
Фрагмент таблицы Р7.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Сетка
Элементы
I₁, действующее, А
Iнаг, действующее, А
Uнаг, действующее, В
Потери, Вт
Остаток, амплитуда, В
Базовая
9633
1,449
4,106
41,06
4,898
450,9 × 10⁻⁶
Средняя
10530
1,449
4,106
41,06
4,896
430,7 × 10⁻⁶
Уточнённая
53762
1,449
4,106
41,06
4,889
380,6 × 10⁻⁶
Баланс мощности исходного решения: 53,29 × 10⁻⁶; критерий: 0.001
Оба цепных остатка: 450,9 × 10⁻⁶; критерий: 0.001
Сначала изучите постановку и таблицу результатов. Программу серии расчётов разбирайте после введения во встроенный Python.
Потери в электротехнической стали включают несколько физических механизмов и зависят от частоты, формы изменения индукции, её амплитуды, состояния материала и технологии изготовления. Статический FEMM не создаёт эти потери автоматически: для оценки используются результаты полевых положений и отдельно обоснованный закон материала.
Фрагмент таблицы Р11.2. Сохранённые результаты FEMM 5
В сплошном проводнике переменное магнитное поле перераспределяет плотность тока: скин-эффект вытесняет ток к поверхности, а поле соседнего проводника меняет распределение по сторонам сечения. Поэтому сопротивление переменному току зависит от частоты и взаимного расположения проводников.
Фрагмент таблицы Р1.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Проводники
δ/шаг
Шаг сетки, мм
Элементы
Потери, Вт
Один
2
0,4673
9375
25,31
Один
4
0,2336
9707
25,34
Один
8
0,1168
11019
25,35
Глубина проникновения из параметров: 0,9346; критерий: 0,9346
Рисунок 34.1. Визуализация численных данных FEMM 5: Однофазный трансформатор: нагрузка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сходимость силы и момента требует отдельной проверки. Комплексные токи и потокосцепления заданы амплитудными значениями; они отличаются от действующих значений источника.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 34.2. Однофазный трансформатор: две обмотки, их стороны, сердечник и воздушная область. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 34.3. Однофазный трансформатор: нагрузка, согласованные токи отдельного режима. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 34.4. Нагрузка: цепь Secondary; полевое напряжение и потокосцепление. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 34.5. Встроенная консоль FEMM: Магнитные потери, потери в проводниках и граница баланса мощности. Интегралы потерь сохранённого поля. Показана консоль исходной редакции программы, зафиксированной при съёмке. Текущая программа с русскими пояснениями проверена отдельно во встроенном Python FEMM; этот снимок не является новым запуском текущей редакции. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Составьте баланс двух нагрузочных точек одной машины, отдельно показывая изменение медных и магнитных потерь.
Критерий выполнения: Нет двойного учёта; температура и граница одинаковы; остаток численный, а не только словесный.
