Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Определение параметров и согласованных режимов трансформатора
Инженерный вопрос. Какие признаки насыщения видны и что остаётся вне гармоники?
Опыты независимого возбуждения, ХХ, КЗ и нагрузки дают параметры связи, рассеяния и изменения напряжения. Они образуют последовательность построения и проверки схемы замещения трансформатора.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Запишите независимое условие на каждой обмотке и уравнения выводов с сопротивлением. ХХ, КЗ и нагрузка задаются разными электрическими условиями.
Насыщение и ручной подбор ХХ. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Запишите подобранное возбуждение ХХ, рабочие точки железа и принятый баланс мощности.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте уравнения выводов с принятыми знаками и нагрузкой; сопоставьте полевой результат с расчётом по параметрам обмоток.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Объяснение насыщения и перечень механизмов, не подтверждённых этим режимом.
Данные именно этого опыта. Запишите подобранное возбуждение ХХ, рабочие точки железа и принятый баланс мощности.
Оформление наблюдений. Комплексные токи, потокосцепления и напряжения обеих обмоток, сопротивления и частота; схема нагрузки и её невязка.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Сравните невязку уравнения напряжения, сетку насыщенных участков и два токовых шага. Отдельно перечислите отключённые потери и отсутствие временной истории.
Независимый контроль. Проверьте определяющее условие режима и уравнения выводов; извлечённые параметры дополнительно проверьте независимым возбуждением, если оно предусмотрено занятием.
Критерий выполнения. Результат отделяет сходимость полевого решателя от согласования цепи; указаны происхождение B\text{–}H-данных, использованные механизмы потерь и предел гармонического приближения.
Точность и расхождения. Сравнивайте комплексные невязки целиком. Для КЗ нормируйте остаточное напряжение на заранее выбранный ненулевой масштаб; отделяйте согласование цепи от точности полевого решения.
Основание сравнения. Используйте уравнения связанных обмоток и нормировку комплексных величин из занятия. Токовое возбуждение, заданное напряжение и условие короткого замыкания задают разные опыты.
Вывод для устройства
Объясните, какой параметр схемы замещения или изменение вторичного напряжения определяется этим опытом и какие потери и торцевые эффекты в него не входят.
Границы вывода. Геометрия активной части и принятые свойства не описывают автоматически лобовые сопротивления, все потери и нелинейную форму тока. Электрические условия каждого опыта проверяются отдельно.
Дополнительный расчётный метод
Задание 1. Определение параметров однофазного трансформатора
Последовательность связывает размеры и измеренные данные трансформатора с параметрами схемы замещения, а затем с токами и напряжением при нагрузке.
Получаемые величины. Lсек(I)=\Psi /I; Lкз при U_{2}=0; R_{1}, R_{2} при объявленной температуре и длине витка; U2(I2), I1, Pпот, невязки терминальных уравнений
Страницы источника. PDF 1–20; протокол 2–3; ХХ 3–10; рассеяние 11–17; внешняя схема 18–20
Контрольный лист помогает проверить размерности, токовые условия и различие методов определения параметров. Его числа сопоставляют только с указанной версией модели.
Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020)
Расчёт сопротивлений и индуктивностей по геометрии, уравнения электрических машин в фазных и d/qкоординатах, энергетический метод силы и момента, полевые опыты трансформатора, АД, синхронных и реактивных преобразователей. Параметры поля связываются с напряжением, мощностью и динамикой при явных допущениях модели.
При насыщении параметры трансформатора зависят от режима, поэтому постоянной матрицы индуктивностей недостаточно. Гармоническая постановка описывает установившуюся основную гармонику и принятые потери; бросок тока и история намагничивания требуют другого описания.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
В нелинейной модели магнитная проницаемость определяется рабочим состоянием материала. По мере насыщения увеличение тока сопровождается более медленным ростом потока, а отношение потокосцепления к току изменяется. Поэтому матрица, полученная при малой амплитуде возбуждения, имеет ограниченную область применения. При питании от источника напряжения искомый ток следует определять по нелинейной характеристике с проверкой согласования напряжений.
В графическом интерфейсе удобно сначала изучить три токовых уровня при разомкнутой вторичной обмотке, а затем подобрать ток для одного заданного напряжения. Частотная нелинейная постановка использует эффективное представление основной гармоники. Из одного её решения нельзя восстановить истинную петлю гистерезиса, остаточную индукцию, момент включения и форму броска намагничивающего тока.
Невязка внешней цепи проверяется отдельно от внутреннего критерия сходимости конечно-элементного решения.
Потери и граница системы
Медные потери можно получить для принятой модели провода либо добавить по объявленным сопротивлениям; делать это дважды нельзя. Потери сердечника требуют материала и корректной модели шихтованного сердечника, проводимости и фазового сдвига. Однозначная статическая B\text{–}H-кривая без отдельного закона потерь сама по себе не создаёт реальной петли гистерезиса.
Активная мощность на ХХ чувствительна к малой составляющей тока в фазе с напряжением. Относительная ошибка к почти нулевой мощности неудобна: следует выбрать абсолютный масштаб или сравнивать с номинальной мощностью. Конструкционные зазоры, пакетирование, лобовые части и температура добавляют отдельную неопределённость. Оценка КПД допустима только после объявления всей границы учитываемых потерь.
Приложенный нагрузочный файл использует линейную сталь. Он проверяет согласование линейного режима, но не является выполненным нелинейным расчётом при заданном напряжении. Нелинейные расчёты при заданных токах и ручной подбор, описанные в практикуме, требуют самостоятельных копий с указанной учебной B\text{–}H-кривой.
Равенство относится к установившемуся режиму и одной общей границе системы. Непосчитанный механизм нельзя молча приравнивать к нулю.
Нелинейная рабочая точка и предел одночастотной модели
При насыщении напряжения являются нелинейной функцией токов. Физическая рабочая точка должна одновременно удовлетворять полевым и внешним электрическим уравнениям.
Для очередных токов получите полевые напряжения. Прибавьте только неучтённые сопротивления и напряжение нагрузки; вычтите заданное напряжение источника.
Обновляйте токи до уменьшения электрической невязки. После сходимости проверьте независимый баланс активной мощности и изменение решения при уточнении сетки.
Гармонический нелинейный решатель описывает принятую модель основной гармоники. Он не восстанавливает автоматически искажённую временную кривую, бросок включения или остаточную намагниченность.
Границы применимости. Даже нулевая невязка подтверждает только согласование выбранной модели. Точность прогноза потерь зависит от материальных данных и от того, какие гармоники и механизмы потерь действительно включены.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Пакет листов как анизотропная среда: продольное и поперечное поле
Пакет электротехнической стали состоит из железа и межлистовой изоляции. В модели приложения A.2 отдельные листы не обязательно строить геометрически: их заменяют сплошной средой с эффективными свойствами. Коэффициент заполнения c означает долю железа по толщине пакета, а не коэффициент заполнения паза медью. Исходная проницаемость железа в выводе считается изотропной; основная трудность поперечного потока объясняется пересечением слабопроницаемой изоляции.
Для потока вдоль листов железо и изоляция работают как параллельные магнитные пути: напряжённость H вдоль пути общая, а потоки складываются по площадям. Поэтому эффективная проницаемость равна среднему с весами c и 1 - c. Для потока поперёк листов участки железа и изоляции соединены последовательно: нормальная B общая, а магнитные падения напряжения складываются. Здесь усредняется обратная проницаемость. Простое умножение \mu на c в обоих направлениях неверно.
При потоке вдоль листов железо занимает долю c полной площади поперечного сечения. Длина пути остаётся L, поэтому сопротивление железной ветви обратно пропорционально cS. Железная и изоляционная ветви находятся под одной магнитодвижущей силой и затем объединяются параллельно.
Обозначения и единицы
L — длина магнитного пути, м; S=W d_z — полная площадь поперечного сечения, м².
c — доля железа, \mu_r — его относительная проницаемость; \mathcal R — А/Вб=1/Гн.
Условия применения. Однородная изотропная проницаемость железа в локальной рабочей точке, плоские слои, 0<c<1. Нормаль к S направлена вдоль рассматриваемого магнитного пути.
В оригинале знаменатель содержит ширину W плоской схемы без явной глубины. Здесь использована площадь S=W\cdot d_z: d_z — физическая глубина пакета. Так магнитное сопротивление имеет единицу 1/Гн; исходная нормировка соответствует принятой единичной глубине.
Оставшаяся доля сечения 1-c проводит поток параллельно железу, но имеет проницаемость примерно \mu _{0}. Обычно эта ветвь пропускает малую часть потока, однако именно она сохраняет правильный предел при уменьшении доли железа. Исключать её допустимо только после оценки отношения вкладов.
Условия применения. Изоляция принята магнитно эквивалентной воздуху, \mu _{r}\approx 1. При c\to 1 эта ветвь исчезает: её сопротивление стремится к бесконечности, а не к нулю.
Параллельное соединение даёт 1/\mathcal R_{\parallel}=1/\mathcal R_{\parallel,\mathrm{Fe}}+1/\mathcal R_{\parallel,\mathrm{air}}. Потоки складываются при общей МДС, поэтому складываются магнитные проводимости, а не сопротивления. Полученный знаменатель непосредственно задаёт эффективную продольную проницаемость пакета.
Обозначения и единицы
\mathcal R_{\parallel} — 1/Гн; L — м; S — м².
c и \mu_r — безразмерные параметры заполнения и железа.
Условия применения. Модель параллельных плоских слоёв без краевых полей. Площадь S относится ко всему пакету, включая изоляцию.
Общая напряжённость вдоль слоёв и сумма потоков по площадям приводят к среднему арифметическому проницаемостей с весами c и 1-c. При полностью железном сечении получается \mu _{0}\mu _{r}, при отсутствии железа — \mu _{0}. Эта проверка пределов помогает обнаружить ошибку заполнения.
c — доля железа; \mu_r — относительная проницаемость железа.
Условия применения. Плоские слои, изотропное железо и немагнитная изоляция. При нелинейном железе коэффициент соответствует выбранной рабочей точке, а не постоянной для всех возбуждений.
Поперёк пакета один и тот же поток последовательно проходит железо и изоляцию. Железо теперь занимает долю длины cL, а не долю площади. Это геометрическое различие меняет место коэффициента c и объясняет, почему поперечную проницаемость нельзя получить простым умножением \mu на заполнение.
Обозначения и единицы
cL — суммарная длина железных участков пути, м.
S — общая площадь, нормальная поперечному потоку, м²; \mathcal R_{\perp,\mathrm{Fe}} — 1/Гн.
Условия применения. Последовательная модель плоских слоёв, общая нормальная индукция и изотропная проницаемость железа. Краевое выпучивание потока в этой локальной модели отсутствует.
Даже короткий суммарный путь по изоляции может определять основную часть поперечного магнитного сопротивления, потому что её проницаемость намного меньше проницаемости стали. Поэтому тонкие промежутки существенно ограничивают поток поперёк листов.
Обозначения и единицы
(1-c)L — суммарная длина немагнитных промежутков, м.
\mu_0 — Гн/м; S — м²; \mathcal R_{\perp,\mathrm{air}} — 1/Гн.
Условия применения. Промежутки считаются немагнитными; контактные неровности и локальные замыкания не моделируются отдельно. Это магнитное сопротивление, не тепловое контактное сопротивление.
Сопротивления последовательных участков складываются: \mathcal R_{\perp}=\mathcal R_{\perp,\mathrm{Fe}}+\mathcal R_{\perp,\mathrm{air}}. При общей площади и потоке суммируются падения МДС. Переписывание результата как L/(\mu_{\perp}S) определяет эффективную поперечную проницаемость.
Обозначения и единицы
\mathcal R_{\perp} — 1/Гн; L — длина всего составного пути, м; S — м².
c и 1-c — доли длины железа и изоляции.
Условия применения. Одна последовательная цепь потока через слои; не включает боковой обход промежутков. Для однородного железа при c=1 получается L/(\mu _{0}\mu _{r}S).
Поперёк слоёв усредняется обратная проницаемость, то есть используется взвешенное гармоническое среднее. При c=0{,}9 и \mu _{r}=1000 относительная поперечная проницаемость составляет около 9,9108, тогда как продольная — 900,1. Большая анизотропия возникает из геометрии слоёв даже при изотропном железе.
Обозначения и единицы
\mu_{\perp} — абсолютная проницаемость, Гн/м; для относительной делят на \mu_0.
c — доля железа; \mu_r — его относительная проницаемость.
Условия применения. Та же последовательная модель, что в сопротивлениях выше. При c\to 0 получается \mu _{0}, при c\to 1 — \mu _{0}\mu _{r}; ориентацию этого коэффициента согласуют с реальной нормалью к листам.
Рисунок М.A.5. Эквивалентная схема для потока в «лёгком» направлении
Вдоль листов металл и изоляция имеют одинаковое магнитное падение, а их потоки складываются. Поэтому эффективная проницаемость получается из параллельного соединения путей с долями c и 1 - c. В схеме руководства подразумевается единичная глубина; в формулах курса используется полная площадь сечения.
Обозначения на рисунке
Flux traveling in the "easy" lamination direction
Поток в «лёгком» направлении вдоль листов
Lamination
Пакет листов
Equivalent Magnetic Circuit
Эквивалентная магнитная цепь
L
Длина пути потока
W
Ширина пакета на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Рисунок М.A.6. Эквивалентная схема для потока в «трудном» направлении
Поперечный поток последовательно пересекает металл и изоляцию. Нормальная B общая, а магнитные падения складываются; поэтому усредняется обратная проницаемость. Даже тонкая изоляция может определять основную часть поперечного магнитного сопротивления.
Обозначения на рисунке
Flux traveling in the "hard" lamination direction
Поток в «трудном» направлении поперёк листов
Lamination
Пакет листов
Equivalent Magnetic Circuit
Эквивалентная магнитная цепь
L
Длина пути потока
W
Ширина пакета на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Для нелинейной процедуры FEMM использует упрощение продольной проницаемости \mu _{\parallel} \approx c\mu _{r}\mu _{0} при (1 - c) \ll c\mu _{r}. В учебном примере c = 0{,}9 и \mu _{r} = 1000 точная продольная относительная проницаемость равна 900,1, приближённая — 900, а поперечная — около 9,9108. Небольшой объём изоляции способен уменьшить поперечную проницаемость на два порядка относительно продольной. Само приближение не следует бездумно продолжать к почти пустому пакету или к состоянию, где \mu _{r} близка к единице.
Вклад изоляции в продольную магнитную проводимость отброшен. При c=0{,}9 и \mu _{r}=1000 точная относительная проницаемость 900,1 заменяется на 900: ошибка около 0,0111 %. При \mu _{r}, близкой к единице, либо очень малом заполнении такая замена уже не гарантирует малой ошибки.
Условия применения. Применять только при выполнении критерия. При c\to 0 приближение даёт нуль вместо \mu _{0} и теряет правильный предел; насыщение уменьшает \mu _{r} и может ухудшить точность.
Численный пример объясняет оценку «около 0,01%» в руководстве. Малость ошибки здесь обусловлена высокой проницаемостью и большим заполнением; это не универсальная точность модели пакета.
Обозначения и единицы
c — доля железа; \mu_r — относительная проницаемость металла; \mu_{\parallel,r} — эффективная относительная проницаемость вдоль листов. Эти величины безразмерны.
Условия применения. Линейная оценка в заданной рабочей точке; изоляция принята с \mu_r=1.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Если листы лежат в плоскости модели, весь двумерный поток идёт по лёгкому направлению и используется соответствующая эффективная характеристика. Если листы ориентированы параллельно x или y, двум направлениям назначаются разные проницаемости. Направление пакета необходимо согласовать с физической конструкцией и типом задачи. Проверка только названия материала без ориентации, толщины листа и коэффициента заполнения недостаточна.
Это магнитная эквивалентная модель. Тепловая анизотропия того же пакета имеет похожую геометрическую логику последовательных и параллельных слоёв, но требует собственных теплопроводностей и контактных сопротивлений. Магнитные \mu _{\parallel} и \mu _{\perp} нельзя переносить в тепловой модуль как численные коэффициенты k.
Комплексная проницаемость листа и встроенный учёт вихревых токов
В тонком листе переменное магнитное поле неоднородно по толщине из-за вихревых токов. Если толщина мала по сравнению с остальными геометрическими размерами, этот одномерный внутренний процесс можно включить в частотно-зависимую эффективную проницаемость. Геометрическая сетка тогда описывает пакет как сплошную среду. Это не означает исчезновения потерь: они представлены комплексным материальным законом.
Для линейного железа формула (A.11) включает относительную проницаемость \mu _{r}, проводимость \sigma, толщину металлического листа d, угловую частоту \omega и гистерезисный угол отставания \varphi _{h}. В приведённой ниже компактной записи p безразмерно; d нужно выражать в метрах, \sigma в См/м и \omega в радианах в секунду. Угол в экспоненте задаётся в радианах, хотя поле интерфейса может ожидать градусы. Указание единиц геометрии в миллиметрах не отменяет перевод величин в СИ при ручной проверке формулы.
Частотная проницаемость проводящего листа с гистерезисным запаздыванием
Формула сворачивает распределение поля по толщине тонкого металлического листа в одну комплексную относительную проницаемость. Безразмерный параметр p=(d/2)\sqrt{j\omega\sigma\mu_r\mu_0} сравнивает толщину с масштабом проникновения. Один множитель \exp (-j\varphi _{h}/2) стоит перед \tanh, второй — внутри; при p\to 0 вместе они дают \mu _{r} \exp (-j\varphi _{h}). При \varphi _{h}=0 остаётся \mu _{r} \tanh (p)/p.
d — толщина именно металла, м; \sigma — См/м; \omega — рад/с; \mu_0 — Гн/м.
\varphi_h — угол отставания B от H, рад; j^2=-1.
Условия применения. Линейное железо, тонкий лист относительно его прочих размеров, одномерное распределение по толщине, \exp (j\omega t). При нулевом p используют предел, а не прямое деление 0/0. Затем \mu _{\mathrm{fd}} заменяет \mu _{r} в формулах пакетирования; долю железа учитывают отдельно.
Две фазовые экспоненты и знаменатель сверены визуально. \mu _{\mathrm{fd}} в оригинале относительная: добавление лишнего \mu _{0} к результату нарушило бы последующую подстановку в (A.6) и (A.10).
Полученная \mu _{\mathrm{fd}} является относительной комплексной проницаемостью. В формулах пакетирования она заменяет \mu _{r}; затем учитывается доля железа и направление слоёв. При малой толщине либо малой частоте влияние вихревых токов убывает. Если одновременно отсутствует гистерезисное отставание, предел равен исходной \mu _{r}. Если вихревые токи исчезают, но \varphi _{h} остаётся, сохраняется комплексный множитель \exp (-j\varphi _{h}).
Множитель гистерезисного запаздывания остаётся и без вихревого вытеснения. При нулевом запаздывании сохраняется только диффузионное действие проводящего листа.
p — безразмерный параметр диффузии; \varphi_h — угол запаздывания, рад в экспоненте; \mu_{\mathrm{fd}} — эффективная относительная проницаемость.
Условия применения. Пределы выводятся из модели (A.11) при соглашении e^{j\omega t}; параметры должны быть согласованы с предположениями о листе и гармоническом режиме. Угол \varphi_h подставляется в экспоненту в радианах.
p_{179} прямо указывает множитель \exp (-j\varphi _{h}) для нештихтованного материала. Два предельных выражения раскрывают проверку номерной формулы (A.11), сама формула здесь не дублируется целиком.
При принятой временной зависимости \exp (j\omega t) положительное отставание B от H соответствует отрицательной мнимой части проницаемости. Оно даёт положительную среднюю магнитную потерю. Для массивного материала приближённый гистерезисный эффект также можно представить множителем \exp (-j\varphi _{h}), но проводимость и сетка массивного тела должны описывать его вихревые токи отдельно. Нельзя автоматически считать, что слой и массивный брусок с одинаковой сталью имеют одинаковые потери.
Для нелинейных листов постоянная \mu _{r} в этой формуле не заменяет процедуру приложения A.4: FEMM строит эффективную характеристику с решением внутренней одномерной нелинейной задачи. Потери, уже включённые выбранной моделью материала, нельзя повторно прибавлять к тому же объёму по внешней формуле. Дополнительная эмпирическая модель потерь должна явно представлять отсутствующий механизм либо служить независимым сравнением.
Средняя плотность потерь, представленная комплексной магнитной связью, при амплитудных фазорах и \exp (j\omega t). Для B = \mu H и \operatorname{Im} \mu < 0 результат неотрицателен; при действующих фазорах множителя 1/2 нет.
Проверьте на своей модели
В ручной оценке последовательно уменьшайте d и f: при \varphi _{h} = 0 должна восстанавливаться вещественная \mu _{r}.
Проверьте знак мнимой части и положительность потерь при принятой временной конвенции.
В балансе отдельно перечислите, какие потери уже входят в комплексную проницаемость и какие добавлены внешней моделью.
Как строится эффективная \(B\)–\(H\)-кривая основной гармоники
Нелинейная система при синусоидальном возбуждении обычно отвечает несинусоидально. Поэтому выражение «нелинейный гармонический расчёт» в FEMM обозначает приближение: учитывается изменение амплитуды и фазы основной гармоники из-за насыщения и принятых потерь, а высшие гармоники не восстанавливаются. Даже идеально сошедшееся решение не даёт форму броска тока включения, остаточное состояние, спектр искажённой волны или временную историю размагничивания.
Приложение A.4 уточняет, какая величина принимается синусоидальной при построении эффективной характеристики: это H. Для каждого уровня амплитуды H по исходной статической кривой определяют B(t), затем выделяют первую гармонику B. В ходе этой процедуры между пользовательскими точками B(H) применяется линейная интерполяция. Новые точки имеют те же значения H, что исходный набор, но скорректированные значения амплитуды B. Это не простая подстановка DC-проницаемости B/H в комплексное уравнение.
В описании FEMM синусоидальной принимается H, а эффективная амплитуда B берётся как первая гармоника нелинейного отклика. Это объясняет расширение эффективной B–H-кривой и отбрасывание высших гармоник.
Обозначения и единицы
H_m — амплитуда напряжённости, А/м; B(H) — исходная характеристика с B в Тл; B_1 — амплитуда первой гармоники, Тл; \omega — рад/с; t — с; \theta — рад.
Условия применения. Запись раскрывает основную идею без отдельного гистерезисного фазового сдвига; для полного FEMM-материала он учитывается дополнительной моделью.
В PDF первая гармоника описана словами. Интегральная запись дана для обучения и не утверждает, что FEMM выполняет именно такое численное квадратурное вычисление.
Для симметричной однозначной кривой и косинусоидального H амплитуда основной гармоники B получается интегралом Фурье. На насыщенной кривой сама форма B(t) может быть близка к ограниченной волне; амплитуда её первой гармоники способна превышать максимальное мгновенное значение исходной волны. Поэтому эффективную амплитуду нельзя без проверки читать как физический пик истинного несинусоидального B(t). Выбор синусоидальной B вместо H дал бы другую эффективную характеристику; именно поэтому важно знать соглашение FEMM.
Далее применяется модель нелинейного гистерезисного отставания. Руководство описывает связь угла отставания с проницаемостью, обеспечивающую принятую зависимость потерь от квадрата амплитуды B. Это параметризованная модель, а не восстановление реальной петли по одной статической кривой. Произвольный закон Штейнмеца с фиксированным показателем, особенно в пределе малой индукции, не следует считать автоматически встроенным в эту процедуру.
Две разные зависимости потерь от амплитуды индукции
Модель нелинейного гистерезисного запаздывания FEMM выбрана так, что потери пропорциональны квадрату B. Приведённая в обсуждении степень 1,6 относится к сравнению со степенной моделью Штейнмеца, а не к универсальному показателю для любой стали.
Обозначения и единицы
p_h — плотность гистерезисных потерь, Вт/м³; B — амплитуда индукции, Тл. Знак пропорциональности подразумевает коэффициенты с соответствующими единицами.
Условия применения. Сравнение зависимостей при фиксированных остальных условиях. При B\to0 попытка получить закон |B|^{1.6} только настройкой фазового запаздывания становится проблемной.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Для нелинейного пакета с листами в плоскости выполняется ещё один этап: при каждом выбранном H решается одномерная нелинейная гармоническая задача по толщине листа. Вычисляется полный поток, затем он делится на толщину листа и учитывается коэффициент заполнения пакета. Так получается эффективная B(H)-характеристика, объединяющая насыщение, гистерезисную модель и вихревые токи листа. Общая двумерная сетка пакета не обязана геометрически разрешать каждый лист, но исходные толщина, проводимость, заполнение и данные B(H) остаются обязательными.
В учебном отчёте следует разделять три уровня: исходную статическую кривую производителя или учебного примера; эффективную характеристику, используемую одночастотной моделью; физическую временную волну, которую эта модель полностью не вычисляет. Сравнение с экспериментом либо переходным решателем должно использовать одинаково определённую основную гармонику и одинаковую нормировку амплитуд. Сравнение RMS всей искажённой волны только с RMS первой гармоники систематически теряет вклад высших гармоник.
Для действительной периодической скалярной компоненты поля B_{0} — постоянная составляющая, а комплексные \widehat{B}_{n} — амплитуды гармоник. Одночастотный расчёт не вычисляет весь ряд.
Проверьте на своей модели
Проверьте процедуру выделения гармоники на линейной B(H): результат должен совпасть с \mu H_{m}.
В сравнении с измерением укажите, сопоставляется ли амплитуда первой гармоники, полный пик или полное действующее значение.
Не называйте одну нелинейную AC-точку расчётом переходного пуска или полной петли гистерезиса.
Список на страницах 171–172 содержит 24 позиции. Карта ниже связывает источники с физическими моделями и численными методами. При воспроизведении расчёта сверяйте параметры интерфейса и реализацию решателя с руководством выбранной версии FEMM; статья по методу помогает понять его математическое основание.
Общую физическую основу автор связывает с книгами Plonus [1], Hoole [2] и Jackson [3]. Для теплопроводности указаны White [4] и Haberman [5]. Они помогают различать уравнения Максвелла, приближения низкой частоты и тепловую аналогию, но не дают права смешивать физические единицы аналогичных величин. Документация MicroPython [9] относится к языковой среде встроенных сценариев; особенности FEMM и доступных модулей всё равно сверяют с главой 3 текущего руководства.
Вариационное построение конечных элементов связано с Allaire [10] и Silvester [11], а осесимметричная магнитная формулировка — с работой Henrotte и соавторов [12]. Эти источники отвечают на разные вопросы: откуда возникает матрица элемента и почему специальная формулировка ведёт себя лучше у оси. Техники вычисления сил имеют отдельную основу: объёмный взвешенный интеграл связывается с McFee, Webb и Lowther [7], а метод тонкой оболочки — с Henrotte, Deliege и Hameyer [8]. Их нельзя сводить к утверждению, что всякий силовой интеграл одинаково точен на любой сетке.
Freund [14] объясняет итерационные методы для комплексно-симметричных систем; D’Azevedo, Forsyth и Tang [15] — влияние нумерации неизвестных на сходимость. Fletcher [13] объясняет предобусловливание SSOR. В §7.2 текущего руководства главным предобусловливателем является неполное LDL ^{T} с пороговым заполнением. Zienkiewicz и Zhu [16] представляют восстановление поля по соседним элементам; FEMM использует упрощённое взвешивание для магнитного поля, поэтому ссылка на общий метод не означает дословной реализации всех его шагов.
Для открытой области Chen и Konrad [17] дают обзор подходов. Работы Meeker [18, 19] объясняют IABC для магнитных и электростатических задач. Работы Freeman, Lowther и Forghani [20–22] относятся к отображению внешней области и его плоской, осесимметричной и пространственной постановкам. В учебном расчёте полезно сначала определить, используется ли простое усечение, IABC или преобразование Кельвина, а затем обращаться к соответствующему источнику; эти методы не являются разными названиями одного и того же граничного условия.
Вихревые токи и частотную проницаемость тонких листов руководство связывает со Stoll [6]. Нелинейную гармоническую характеристику — с Jack и Mecrow [23], а модель нелинейного гистерезисного отставания — с O’Kelly [24]. Для статьи или отчёта следует сослаться одновременно на выбранную модель материала и на фактическую реализацию FEMM. Одного названия марки стали недостаточно для воспроизводимого утверждения о потерях.
Проверьте на своей модели
В отчёте о численном методе разделите ссылку на текущую реализацию FEMM и ссылку на исходный метод.
Если статья из списка не изучалась непосредственно, укажите, что её назначение установлено по руководству FEMM; не приписывайте ей независимо проверенные выводы.
Статическая и динамическая индуктивности в учебной модели
Дано. Аналитическая нелинейная характеристика \Psi(I) = 0{,}36 \tanh(I/3) Вб. Она показывает насыщение и не является B\text{–}H-моделью конкретного трансформатора.
При I = 3 \,\text{А}: \Psi = 0{,}274174 \,\text{Вб}; статическая индуктивность \Psi/I = 0{,}091391 \,\text{Гн}.
Производная \mathrm d\Psi/\mathrm dI = 0{,}12/\cosh^2(I/3); при 3 \,\text{А} получаем 0{,}050397 \,\text{Гн}.
Если целевое потокосцепление равно 0{,}30 \,\text{Вб}, ток I = 3 \operatorname{artanh}(0{,}30/0{,}36) = 3{,}596843 \,\text{А}. Линейная оценка 0{,}30/0{,}12 = 2{,}5 \,\text{А} заметно занижена.
Ответ: Для сохранения требуемого потока нелинейный ток вырос; статическая и локальная динамическая индуктивности различаются.
Проверка: Предел \Psi при больших токах равен 0{,}36 \,\text{Вб}. Требование 0{,}40 \,\text{Вб} не имеет решения в этой аналитической модели, а не исправляется дополнительной итерацией.
Создайте плоскую магнитную задачу (Planar), миллиметры, частоту 50 \,\text{Гц} и глубину 40 \,\text{мм}. Нарисуйте прямоугольники с углами (-60; -50), (60; 50) и (-40; -30), (40; 30); область между ними — сердечник.
Слева от левого стержня разместите прямые стороны первичной и вторичной обмоток: x от -66 до -62 \,\text{мм} и от -72 до -68 \,\text{мм}, y от -20 до 20 \,\text{мм}. В окне разместите обратные стороны: x от -38 до -34 \,\text{мм} и от -33 до -29 \,\text{мм} с той же высотой. Замкните каждый прямоугольник.
Создайте линейный материал сердечника с \mu_r = 1000 и нулевой проводимостью. Для идеализированных обмоточных областей задайте \mu_r = 1 и нулевую проводимость: сопротивления 0,4 и 0{,}1 \,\text{Ом} будут добавляться к напряжениям отдельно. Эти области представляют заданную плотность ампер-витков, а не расчёт потерь реального провода.
В свойствах цепей (Circuit Properties) задайте последовательные цепи «Первичная обмотка» и «Вторичная обмотка». В свойствах меток областей назначьте +200/-200 и +100/-100 витков прямым/обратным сторонам; знак определяет выбранные начала обмоток.
Окружите устройство воздухом до квадрата x,y = \pm 200 \,\text{мм}. Задайте нулевой магнитный потенциал на внешнем контуре. Разделите метками окно, внешний воздух, сердечник и четыре обмоточные области; сетку около углов и промежутков задайте мельче общей.
Сохраните линейный вариант. Создайте отдельный учебный материал с монотонными B\text{–}H-точками: (0;0), (0{,}5;100), (1;250), (1{,}4;600), (1{,}6;1500), (1{,}8;6000), (2;20000), где B в Тл, H в \text{А}/\text{м}; это явно учебная, а не сталь с данными изготовителя.
При I_2 = 0 выполните три токовых расчёта на 50 \,\text{Гц}. Зафиксируйте ток, напряжение и максимум B. Не переносите линейный коэффициент масштаба на эту серию.
Выберите напряжение внутри измеренного диапазона. По таблице увеличивайте или уменьшайте первичный ток, заново решайте поле и достигните согласованного ХХ. Для модели без потерь ток почти реактивный; при введении потерь требуется также подобрать фазу.
Ожидаемый результат. При приближении к насыщению для небольшого прироста потокосцепления нужен заметный прирост тока; линейный эталон перестаёт совпадать.
Как проверить. Сравните невязку уравнения напряжения, сетку насыщенных участков и два токовых шага. Отдельно перечислите отключённые потери и отсутствие временной истории.
Обработка и анализ результатов
Какие признаки насыщения видны и что остаётся вне гармоники?
Запишите подобранное возбуждение ХХ, рабочие точки железа и принятый баланс мощности.
Проверьте уравнения выводов с принятыми знаками и нагрузкой; сопоставьте полевой результат с расчётом по параметрам обмоток.
С чем сравнить. Используйте уравнения связанных обмоток и нормировку комплексных величин из занятия. Токовое возбуждение, заданное напряжение и условие короткого замыкания задают разные опыты.
Итог работы. Объяснение насыщения и перечень механизмов, не подтверждённых этим режимом.
Пошаговая настройка расчётного примера
Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.
Рисунок 19.16. Визуализация численных данных FEMM 5: Однофазный трансформатор: нагрузка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Двумерная модель активной части. Модель стали с постоянной магнитной проницаемостью не описывает насыщение. Идеализированные обмотки с нулевой проводимостью не учитывают все потери. Сходимость силы и момента требует отдельной проверки. Комплексные токи и потокосцепления заданы амплитудными значениями; они отличаются от действующих значений источника.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 19.17. Однофазный трансформатор: две обмотки, их стороны, сердечник и воздушная область. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 19.18. Однофазный трансформатор: нагрузка, согласованные токи отдельного режима. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размереРисунок 19.19. Нагрузка: цепь Secondary; полевое напряжение и потокосцепление. Для занятий о группе 3×1ф это кадр одной независимой составляющей, а не всей трёхфазной группы. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Составьте сравнительную таблицу линейного и нелинейного ХХ при трёх напряжениях, включая ток, потокосцепление, поле и невязку уравнений на выводах.
Критерий выполнения: Результат отделяет сходимость полевого решателя от согласования цепи; указаны происхождение B\text{–}H-данных, использованные механизмы потерь и предел гармонического приближения.
