Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Определение сопротивления, распределения тока и джоулевых потерь
Инженерный вопрос. Какая часть соединения определяет полное сопротивление и нагрев?
Сопротивление, распределение тока, потери и электромагнитное усилие нужны для выбора сечения, контактного пути и последующего расчёта нагрева или механической нагрузки.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Согласуйте проводимость, потенциалы выводов и длину проводящего пути. Для контакта явно задайте, что моделирует эквивалентный слой.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте токи выводов, интеграл плотности тока и потери по областям; восстановите сопротивление и баланс мощности.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Таблица вкладов с проверкой суммы мощности и последовательного сопротивления.
Данные именно этого опыта. Сохраните общий ток, падения напряжения и локальные потери каждой части.
Оформление наблюдений. Напряжения, токи выводов, интеграл плотности тока через сечение и потери по областям; затем сопротивления и баланс мощности.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Модель слоя описывает выбранное эквивалентное сопротивление. Она не доказывает физику микропятен контакта или контактное давление. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Сопоставьте ток вывода с интегралом по сечению и мощность выводов с суммой объёмных потерь.
Критерий выполнения.I\approx 86{,}567164\,\mathrm{А}, P_{\mathrm{total}}\approx 8{,}656716\,\mathrm{Вт}; сумма локальных потерь согласована с мощностью на выводах в пределах 1%.
Точность и расхождения. Для баланса тока около нуля используйте абсолютную невязку и ненулевой токовый масштаб. Сетку в узком контакте уточняйте отдельно от проводимости слоя.
Основание сравнения. Опора — закон Ома и джоулевы потери из занятия. Удельная проводимость, длина и площадь должны соответствовать тому же режиму; эквивалентный контактный слой не описывает автоматически физику реальной поверхности.
Вывод для устройства
Определите участок, ограничивающий проводимость и создающий нагрев; свойства эквивалентного контакта должны быть обоснованы отдельно для реальной поверхности.
Границы вывода. Эквивалентные слои контакта и идеальные проводники требуют обоснованных свойств. Двумерная активная длина не включает автоматически реальные присоединения и торцевое распределение тока.
Дополнительный расчётный метод
Уравнения Максвелла и материальные соотношения
Законы Максвелла определяют выбор измерения в FEMM. Пример с электродами показывает, почему сопротивление зависит от всей краевой задачи, включая форму контактов.
Получаемые величины. циркуляция H и охваченный ток; баланс потоков B; ток и сопротивление по электродам; проверка режима квазистатики
Задать ориентацию контура и поверхности.
Сопоставить интеграл с источником и локальные производные с материальным законом.
Для одного проводящего тела изменить расположение электродов при прежнем материале.
Сравнить сопротивление и потери; определить, какие члены полной системы нужны выбранному модулю FEMM.
Страницы источника. PDF 1–20 полностью: 1–2 постановка; 3–15 ротор, циркуляция, дивергенция и поток; 16–20 заряд, закон Ома, материальные уравнения и ток смещения.
На идеальном контакте проводящих сред непрерывны потенциал и нормальная составляющая плотности тока. Изменение проводимости влияет на градиент потенциала и распределение потерь; контактный слой позволяет описать дополнительное сопротивление соединения.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
При идеальном контакте потенциал непрерывен, а нормальный ток сохраняется. Изменение проводимости перераспределяет градиент потенциала и локальные потери.
Сопротивление реального контакта определяется микрогеометрией и состоянием соприкасающихся поверхностей. Однородный слой с заданным сопротивлением представляет их эквивалентное описание. При интерпретации результата следует учитывать размерность постановки: двумерная модель сужения тока не воспроизводит автоматически пространственное растекание в реальном соединении.
Вывод контрольного соотношения
Получите распределение падений напряжения в двух последовательных областях из общего тока.
Стационарная омическая модель двух слоёв; реальная контактная проводимость требует измерения либо независимой модели.
Первая область имеет R_{1}=0{,}000155172414\,\mathrm{Ом}, вторая R_{2}=0{,}001\,\mathrm{Ом}.
Полное сопротивление 0,001155 Ом даёт I=86{,}56716418\,\mathrm{А}.
Во второй области выделяется около 7,494 Вт, во всей системе 8,657 Вт.
Границы применимости. Стационарная омическая модель двух слоёв; реальная контактная проводимость требует измерения либо независимой модели.
Связь с опытом в FEMM
Постройте двухслойный проводник, интегрируйте потери отдельно и сопоставьте с I^{2}R каждой части.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Проверка и границы вывода
I\approx 86{,}567164\,\mathrm{А}, P_{\mathrm{total}}\approx 8{,}656716\,\mathrm{Вт}; сумма локальных потерь согласована с мощностью на выводах в пределах 1%.
Модель слоя описывает выбранное эквивалентное сопротивление. Она не доказывает физику микропятен контакта или контактное давление.
Материалу слоя нельзя одновременно приписать измеренное полное сопротивление и произвольную толщину без пересчёта \sigma.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Токовый материал: единицы проводимости и смысл loss tangent
В Current Flow частота задаёт статический или установившийся гармонический режим. Материал содержит \sigma _{x},\sigma _{y} в См/м, относительные \varepsilon _{x},\varepsilon _{y} и отдельные Loss Tangent по направлениям. Эти \sigma отличаются единицей от магнитного диалога, где используется МСм/м. При f=0 ёмкостная составляющая исчезает.
Для диэлектрика с потерями руководство трактует введённую \varepsilon как модуль комплексной проницаемости. Loss Tangent — \tan \delta, безразмерное число, а не угол \delta в градусах. Угол получают как \arctan (\tan \delta ). Если в документации изготовителя указана действительная часть \varepsilon ', модуль нужно предварительно восстановить: |\varepsilon |=\varepsilon '√(1+\tan ^{2}\delta ). При малых потерях разница мала, но переносить такую приближённую замену на большой \tan \delta нельзя.
При временном множителе \exp (j\omega t) пассивное диэлектрическое запаздывание соответствует отрицательной мнимой части \varepsilon. Поле Rel. Permittivity в токовом модуле трактуется как модуль относительной проницаемости. Если известна действительная часть \varepsilon ', требуемый модуль равен \varepsilon '√(1+\tan ^{2}\varphi ), а не просто \varepsilon ' при больших потерях.
Обозначения и единицы
\widetilde\varepsilon=\varepsilon^{\prime}-j\varepsilon^{\prime\prime}; для пассивного материала \varepsilon^{\prime\prime}\ge0.
\varphi — угол запаздывания; в тригонометрических функциях радианы.
Абсолютная \varepsilon измеряется в Ф/м; относительная \varepsilon _{r} безразмерна. Одна и та же фазовая запись применима к обеим при согласованной нормировке.
Условия применения. Линейный диэлектрик на заданной частоте, конвенция \exp (j\omega t). Индекс направления опущен; при анизотропии каждое направление имеет свой модуль и угол.
Тильда введена как признак комплексной величины. Звёздочка не используется: в формулах мощности она означает комплексное сопряжение.
В поле Loss Tangent вводят безразмерное отношение, а не угол в градусах. Для \varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon '' оно равно \varepsilon ''/\varepsilon '. Если задано число t=\tan \varphi, нужный угол вычисляют как \varphi =\arctan t, а модуль проницаемости восстанавливают с учётом этого же t.
Обозначение \delta в полях \tan \delta x, \tan \delta y означает тот же угол потерь, который в формуле руководства назван \varphi.
Условия применения. Для обычного пассивного диэлектрика с положительной \varepsilon ' выбирают ветвь 0\le \varphi <\pi /2. Проводимость \sigma учитывается отдельно: повторное включение тех же потерь в \sigma и \tan \varphi приводит к двойному счёту.
Для каждого направления комплексная проводимость складывается из обычной \sigma и диэлектрического вклада. Не добавляйте повторно эквивалентные диэлектрические потери в \sigma, если они уже учтены \tan \delta. Такой токовый модуль не включает индуктивное магнитное вытеснение тока; увеличение частоты не заменяет вихретоковую магнитную постановку.
Комплексная эффективная проводимость по двум направлениям
Каждый коэффициент суммирует проводящий и диэлектрический токи вдоль своей оси. Раскрытие экспоненты показывает положительную добавку \omega \varepsilon _{0}|\varepsilon _{r}|\sin \varphi к действительной проводимости и реактивную часть \omega \varepsilon _{0}|\varepsilon _{r}|\cos \varphi. При нулевой частоте остаётся \sigma; при нулевом угле диэлектрический вклад чисто реактивен.
\varphi_i=\arctan(t_i), где t_i — введённый Loss Tangent по направлению i.
Условия применения. Линейная квазиэлектростатическая гармоника с диагональными материальными коэффициентами в координатах модели. Не включает индуктивный скин-эффект; одни и те же диэлектрические потери учитываются только один раз.
Сохранены обе строки исходного номера (2.21). Модули относительных \varepsilon и отдельные углы \varphi _{x}, \varphi _{y} обозначены явно, поскольку интерфейс задаёт их независимо; это устраняет неоднозначность общего \varphi в оригинале.
Boundary поддерживает Fixed Voltage, Mixed BC, Surface Current Density, Periodic и Anti-Periodic. Conductor Properties задаёт либо полный ток вывода, либо его напряжение, а вторую величину вычисляет. Раздельные поверхности с одним именем образуют общий эквипотенциальный вывод с суммарным током; геометрический разрыв сам по себе не означает электрической независимости.
Здесь задаётся полный ток именованного вывода, а его потенциал вычисляется. Несколько поверхностей с одним именем имеют общий потенциал и суммарное ограничение тока. Неактивное поле напряжения не закрепляет вывод на нуле.
Обозначения на рисунке
Prescribed Current
Заданный полный ток
Voltage (V)
Потенциал, В
Current (A)
Полный ток, А
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Проверьте на своей модели
При заданных \varepsilon ' и \tan \delta вычислите величину для поля permittivity; отдельно покажите, что \tan \delta не является углом.
Сверьте полный ток через проводник и через контрольное сечение; для AC сравнивайте комплексные числа.
Две последовательные проводящие области — аналитический эталон
Дано. Две области одинаковой площади 10⁻⁵ м²: L_{1}=90\,\mathrm{мм}, \sigma _{1}=58\cdot 10^{6}\,\mathrm{См/м}; L_{2}=10\,\mathrm{мм}, \sigma _{2}=10^{6}\,\mathrm{См/м}; U=0{,}1\,\mathrm{В}.
Первая область имеет R_{1}=0{,}000155172414\,\mathrm{Ом}, вторая R_{2}=0{,}001\,\mathrm{Ом}.
Полное сопротивление 0,001155 Ом даёт I=86{,}56716418\,\mathrm{А}.
Во второй области выделяется около 7,494 Вт, во всей системе 8,657 Вт.
Ответ:I=86{,}56716418\,\mathrm{А}; P_{\mathrm{total}}=8{,}656716418\,\mathrm{Вт}; падение напряжения на второй области 0,08657 В.
Проверка: Модель слоя описывает выбранное эквивалентное сопротивление. Она не доказывает физику микропятен контакта или контактное давление. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
Практикум в FEMM 5
Постройте двухслойный проводник, интегрируйте потери отдельно и сопоставьте с I^{2}R каждой части.
Разделите прямой проводник вертикальным отрезком x=90\,\mathrm{мм}; назначьте отдельные материалы двум меткам.
Оставьте внутреннюю границу обычной границей материалов; не вводите на ней источник или фиксированный потенциал.
После решения измерьте ток, падение напряжения на каждой области и интеграл потерь отдельно по выбранным блокам.
Проверьте влияние толщины эквивалентного слоя при сохранении его сопротивления L_{2}/(\sigma _{2}S).
Ожидаемый результат.I=86{,}56716418\,\mathrm{А}; P_{\mathrm{total}}=8{,}656716418\,\mathrm{Вт}; падение напряжения на второй области 0,08657 В. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. Модель слоя описывает выбранное эквивалентное сопротивление. Она не доказывает физику микропятен контакта или контактное давление. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Обработка и анализ результатов
Какая часть соединения определяет полное сопротивление и нагрев?
Сохраните общий ток, падения напряжения и локальные потери каждой части.
Сопоставьте токи выводов, интеграл плотности тока и потери по областям; восстановите сопротивление и баланс мощности.
С чем сравнить. Опора — закон Ома и джоулевы потери из занятия. Удельная проводимость, длина и площадь должны соответствовать тому же режиму; эквивалентный контактный слой не описывает автоматически физику реальной поверхности.
Итог работы. Таблица вкладов с проверкой суммы мощности и последовательного сопротивления.
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Г-образный проводник изменяет направление тока на прямой угол. У входящего угла линии тока сгущаются: локальные потери возрастают, а идеальная острая кромка создаёт математическую особенность. Этот опыт связывает геометрию контакта, сходимость сетки и смысл выбранной расчётной величины.
Фрагмент таблицы Р2.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Пример показывает, почему сопротивление короткого контакта нельзя получить простым делением длины пластины на площадь поперечного сечения. Ток сначала растекается от нижнего электрода, затем постепенно выравнивается по высоте полосы и выходит через правый торец. Наибольшая неоднородность возникает около конца короткого контакта. При этом измеряемое сопротивление остаётся конечной интегральной характеристикой, которую удобно проверять аналитически.
Проводник с боковым прямоугольным вырезом связывает привычное правило сопротивления участка с двумерным перераспределением тока. В узком месте средняя плотность тока возрастает, но переход к этому месту создаёт дополнительную неоднородность. По этой причине сумма сопротивлений трёх прямоугольных участков даёт полезную оценку снизу, однако не заменяет решение поля. Пример подходит для обсуждения шин, токоподводов и геометрических концентраторов.
Задача отделяет две электрические характеристики кабеля: продольное сопротивление металлических проводников и поперечную утечку через изоляцию. Здесь рассчитывается только вторая величина. Потенциал внутреннего электрода равен 1 В, внешнего — нулю; ток проходит радиально через слабопроводящий диэлектрик. Удельная проводимость столь мала, что при единичном напряжении ток всего кабеля имеет порядок десятков микроампер.
Круглая плёнка радиуса 200 мм и толщины 0.1 мм. Четыре соосные позиции с шагом 10 мм: токовые контакты x=±15 мм, измерительные точки x=±5 мм. Радиус токовых контактов 0.2 мм.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Рабочая область модели «Электрическое сопротивление тонкой пластины». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Электрическое сопротивление тонкой пластины». Карта модуля потенциала |V|, В, в проводящей плёнке; постоянный ток. Открыть в полном размереРабочая область модели «Распределение тока в проводнике переменного сечения». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Распределение тока в проводнике переменного сечения». Модуль потенциала |V|, В, и эквипотенциали проводника переменного сечения при постоянном токе. Открыть в полном размереРабочая область модели «Ток утечки коаксиальной линии». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Ток утечки коаксиальной линии». Карта модуля потенциала |V|, В, в слабопроводящей коаксиальной изоляции; стационарная утечка. Открыть в полном размереРабочая область модели «Проводимость анизотропной плёнки». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Проводимость анизотропной плёнки». Модуль потенциала |V|, В, и эквипотенциали ортотропной проводящей плёнки при постоянном токе. Открыть в полном размереРабочая область модели «Резистивный датчик положения: холостой отсчёт». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Резистивный датчик положения: холостой отсчёт». Карта модуля потенциала |V|, В, вдоль резистивного датчика положения; стационарное питание 1 В. Открыть в полном размереРабочая область модели «Составная шина с резистивной вставкой». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Составная шина с резистивной вставкой». Модуль потенциала |V|, В, в медной шине с резистивной вставкой. Основное изменение потенциала сосредоточено на вставке. Открыть в полном размереУвеличенная область токовых контактов четырёхзондовой модели: контакты радиусом 0,2 мм расположены при x = ±15 мм. Два потенциальных зонда задаются точками считывания решения, без отдельных проводящих областей. Внешняя граница плёнки за кадром; подписи скрыты. Открыть в полном размереСохранённое решение «Четырёхзондовое измерение поверхностного сопротивления». Модуль потенциала |V|, В, возле токовых контактов четырёхзондового измерения. Увеличенная область плёнки; внешняя граница за кадром. Открыть в полном размереРабочая область модели «Растекание тока в осесимметричном ступенчатом токоподводе». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Растекание тока в осесимметричном ступенчатом токоподводе». Модуль плотности тока |J|, А/м², в увеличенном переходе от тонкого стержня к широкому токоподводу. Шкала отображения 0–5·10⁷ А/м²; эквипотенциали скрыты. Торцы модели за кадром. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Постройте двухслойный проводник, интегрируйте потери отдельно и сопоставьте с I^{2}R каждой части. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Критерий выполнения:I\approx 86{,}567164\,\mathrm{А}, P_{\mathrm{total}}\approx 8{,}656716\,\mathrm{Вт}; сумма локальных потерь согласована с мощностью на выводах в пределах 1%.
