Занятие 9.5
Цель. Согласовать зарядовое и энергетическое определения ёмкости.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Расчётная лабораторная работа · Оценка электрического поля, ёмкости и изоляционного промежутка
Инженерный вопрос. Сохраняется ли ёмкость при смене напряжения и как она зависит от глубины?
Распределение напряжённости и ёмкость используются при выборе размеров промежутка и электродов. Отдельная проверка кромок показывает, какие геометрические подробности влияют на максимум поля.
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте потенциалы или заряды независимых проводников, свойства диэлектрика и требуемую полевую либо интегральную величину.
Ёмкость плоского конденсатора без краевого поля — аналитический эталон. Проверьте поле, ёмкость или энергию в аналитическом зазорном пределе с теми же границами.
Ёмкость двухэлектродного эталона: заряд, энергия и масштабирование. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните напряжение, заряд и энергию исходного режима, затем отдельно удвойте напряжение и глубину.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
Результат этого занятия. Две оценки ёмкости и таблица масштабирования заряда и энергии с условиями идеализации.
Данные именно этого опыта. Сохраните напряжение, заряд и энергию исходного режима, затем отдельно удвойте напряжение и глубину.
Оформление наблюдений. Потенциалы, заряды, область и энергия; для поля — координаты и компоненты, для ёмкости — определение и полная геометрия электродов.
Проверка из практикума. Две оценки ёмкости исходного режима согласованы с аналитическим эталоном и зарядовым балансом. Удвоение напряжения сохраняет C, удваивает Q и увеличивает W вчетверо; удвоение глубины при прежнем напряжении удваивает C, Q и W. Однородность, линейность и отсутствие бахромы указаны как условия сравнения.
Независимый контроль. Используйте зарядовый баланс и согласованные зарядовую и энергетическую оценки, если они предусмотрены постановкой занятия.
Критерий выполнения. Есть две оценки C и три согласованных режима с U, Q, W и глубиной; проверены зарядовый баланс, единицы и законы масштабирования в пределах принятой идеализации.
Точность и расхождения. Для ёмкости и энергии уточняйте интегральную величину. Для поля у кромки фиксируйте физическое скругление либо удаление точки; сеточный максимум идеального угла не является прочностью изоляции.
Основание сравнения. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Свяжите результат с размером электрода, ёмкостью или распределением напряжённости; вывод о пробое требует обоснованного критерия и данных для реального диэлектрика.
Границы вывода. Линейная электростатика даёт поле и энергию, но не критерий пробоя сама по себе. Параметры диэлектрика, состояние поверхности и физическое скругление требуют исходных данных.
После выбора опорного электрода линейная система проводников описывается соотношением Q=C V. Независимое задание потенциала одного электрода при нулевых потенциалах остальных позволяет определить соответствующий столбец матрицы ёмкостей.
Для нескольких линейных электродов Q=C V после выбора опорного электрода. Столбец матрицы получают независимым возбуждением одного потенциала при нулевых остальных.
В матрице коэффициентов Максвелла диагональные элементы положительны, взаимные обычно неположительны. Их нельзя без преобразования назвать положительными отдельными ёмкостями ветвей. Взаимность даёт C_{ij}=C_{ji}; энергия W=V^{\mathsf T}CV/2 неотрицательна.
Свяжите зарядовый и энергетический способы определения ёмкости и распространите их на независимые возбуждения.
Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.
Границы применимости. Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.
Подготовьте таблицу двух независимых возбуждений системы из двух рабочих электродов и опорного корпуса; отдельно сохраните базовый двухэлектродный эталон.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Столбцы матрицы имеют единицу Ф, взаимность проверена в численном допуске, энергия прямого решения сопоставлена с V^{\mathsf T}CV/2; базовый C совпадает с 1,771 пФ.
При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются.
Разные внешние границы или сетки между возбуждениями могут нарушать численную взаимность; сначала сохраняют одну геометрию и постановку.
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Профили допускают V, модуль и нормальную/касательную компоненты D и E. Линейный E\cdot t даёт падение потенциала вдоль пути; D\cdot n через замкнутую поверхность соответствует охваченному свободному заряду. Контур в плоском сечении разворачивается на заданную глубину, в осесимметрии — вращением; поэтому результат D\cdot n имеет смысл полного заряда, а не заряда на метр без учёта постановки.
Рисунок М.2.32. Кнопки панели запуска расчётных операций
Для электростатики последовательность остаётся прежней: проверить сетку, выполнить решение и открыть актуальный файл .res. Совпадение значков с магнитным модулем не означает совпадения уравнений и единиц результатов.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Рисунок М.2.34. Кнопки панели профиля, интегрирования и результатов проводника
По профилю проверяют распределение V, E или D; интеграл D по охватывающей поверхности даёт заряд; результаты проводника сразу сообщают его общий Q и потенциал. Сопоставление этих способов помогает проверить выбранный электрод и ориентацию контура.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Рисунок М.2.35. Диалог «График X–Y»
Профиль V вдоль заданного пути позволяет проверить граничные потенциалы и плавность решения. Для оценки электрической напряжённости выбирайте E либо его нужную компоненту: малая разность соседних значений V сама по себе не заменяет производную с учётом расстояния.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Блоковые результаты: энергия, площадь сечения, объём, средние D и E, сила и момент через WST. Среднее E — векторное усреднение; встречные направления могут взаимно сократиться при ненулевом среднем модуле. Для силы WST выделяют тело или проводник, проверяют окружение воздухом и уточняют сетку. Линейный тензор не ведут по самому скачку свойств или острой кромке.
Обозначения и единицы
Условия применения. Электростатика и замкнутая поверхность в однородном линейном окружении, обычно воздухе. Для силы внутри деформируемого диэлектрика с электрострикцией нужна более полная механическая модель.
В оригинале у (2.18), как у магнитного аналога, отсутствует dS. Здесь он явно восстановлен для размерностно правильной дифференциальной силы.
Обозначения и единицы
Условия применения. Линейный обратимый диэлектрик; в плоской модели учитывается глубина, в осесимметричной — объём вращения.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Conductor Properties показывает V и общий Q выбранного имени. Для линейного двухэлектродного эталона сравните ёмкость через Q/U с 2W/U^{2} по энергии всего электрического поля. В многоэлектродной системе учитывайте все возбуждённые проводники: одна пара чисел Q,U не заменяет матрицу ёмкостей. При энергетическом расчёте силы различайте фиксированный заряд и фиксированное напряжение с работой источника.
Рисунок М.2.37. Диалог результатов проводника
Здесь показан полный заряд именованного электрода. Отношение Q/U даёт ёмкость только при согласованной двухэлектродной постановке и выбранной разности потенциалов; число 100 В относительно опоры не всегда является напряжением между произвольной парой электродов.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Проверьте на своей модели
Дано. Зазор g=10\,\mathrm{мм}; высота электрода 10 мм; глубина 100 мм; S=0{,}001\,\mathrm{м^2}; \varepsilon_r=2; U=100\,\mathrm{В}.
Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.
Ответ: C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж.
Проверка: При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Зазор | 10 | мм |
| Глубина | 100 | мм |
| \varepsilon_r | 2 | 1 |
| U | 100 | В |
Ожидаемый результат. C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. Две оценки ёмкости исходного режима согласованы с аналитическим эталоном и зарядовым балансом. Удвоение напряжения сохраняет C, удваивает Q и увеличивает W вчетверо; удвоение глубины при прежнем напряжении удваивает C, Q и W. Однородность, линейность и отсутствие бахромы указаны как условия сравнения.
Сохраняется ли ёмкость при смене напряжения и как она зависит от глубины?
С чем сравнить. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Итог работы. Две оценки ёмкости и таблица масштабирования заряда и энергии с условиями идеализации.
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Определите ёмкость участка коаксиального кабеля двумя способами и проверьте радиальный закон поля. Круговая геометрия позволяет отличить ошибку интегральной ёмкости от локальной ошибки градиента потенциала.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 8
Задайте заряд изолированной внутренней сферы и найдите её потенциал, ёмкость и энергию. Этот пример показывает, как вращение меридионального сечения восстанавливает объём сферы без ручного множителя 2πr.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 11
Найдите взаимную ёмкость двух проводов разных радиусов. Здесь требуется контролировать и сетку около тонкого провода, и удаление искусственной внешней границы.
Решений FEMM: 4 · Численных проверок: 11
Поверните главные оси диэлектрического тензора на 90° и объясните изменение ёмкости при неизменных размерах и напряжении. Одномерный эталон позволяет проверить, какая компонента проницаемости используется решателем.
Решений FEMM: 6 · Численных проверок: 19
Поместите нейтральную металлическую пластину между питающим и заземлённым электродами. Её потенциал не задаётся: известен только нулевой суммарный заряд. Объясните, почему ёмкость определяется суммой толщин зазоров.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 12
Получите зависимость ёмкости от осевого перекрытия двух цилиндрических электродов. Сопоставьте численную чувствительность dC/dx с аналитическим эталоном и отделите линейную рабочую модель от реального краевого поля датчика.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 19
Рассчитайте ёмкость двух чередующихся групп плоских электродов. Эта задача развивает простую плоскую ёмкость: поле неоднородно, а кромки требуют отдельного контроля сетки.
Решений FEMM: 4 · Численных проверок: 10
Восстановите полную матрицу ёмкостных коэффициентов трёх фаз внутри общего экрана. Каждый её столбец получается отдельным единичным возбуждением; взаимность и симметрия становятся независимыми численными проверками.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 25
Вычислите ёмкость полоскового проводника над диэлектрической подложкой и повторите тот же расчёт с воздухом. Из двух скалярных решений получите эффективную проницаемость и квази-ТЕМ оценку волнового сопротивления.
Решений FEMM: 6 · Численных проверок: 12
Сместите внутренний цилиндр относительно наружного и проверьте ёмкость по точному выражению. Геометрическая асимметрия разрушает простой закон E∝1/r, но сохраняет аналитический интегральный ориентир.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 22
Профилирование электродов позволяет уменьшить концентрацию электрического поля у их краёв. Произвольное скругление не даёт готового аналитического распределения, поэтому в этой работе выбран профиль, построенный конформным преобразованием. Его потенциал, поле и ёмкость расчётного фрагмента определяются независимо от FEMM и служат проверкой геометрии.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 16
Дифференциальная пара имеет две связанные сигнальные полосы и общий опорный проводник. Её электрические свойства описываются матрицей ёмкостей, а не суммой двух независимых одиночных линий. В этой работе матрица определяется в реальном диэлектрическом сечении и в вакуумном контрольном сечении; затем вычисляется дифференциальное волновое сопротивление в квазиTEM приближении.
Решений FEMM: 12 · Численных проверок: 41
Изолированное проволочное кольцо является трёхмерным телом, но его осевая симметрия позволяет вычислить ёмкость в FEMM без трёхмерного решателя. Круг в плоскости r–z представляет сечение проволоки; после вращения он образует тор. Работа проверяет правильный геометрический вес полного тела и сравнивает результат с приближением тонкого кольца.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 21
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Выполните двухэлектродный эталон, получите ёмкость из заряда и энергии; отдельно сравните режимы при напряжениях 100 и 200 В и глубинах 100 и 200 мм. Сохраните собственные результаты и объясните различное масштабирование.
Один вектор напряжений даёт один вектор зарядов и не позволяет определить все независимые коэффициенты.
C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж.
Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.