Занятие 9.4
Цель. Различать заданные и найденные величины проводника.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Расчётная лабораторная работа · Оценка электрического поля, ёмкости и изоляционного промежутка
Инженерный вопрос. Восстанавливает ли заданный заряд прежнее напряжение и как определяется плавающий потенциал?
Распределение напряжённости и ёмкость используются при выборе размеров промежутка и электродов. Отдельная проверка кромок показывает, какие геометрические подробности влияют на максимум поля.
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте потенциалы или заряды независимых проводников, свойства диэлектрика и требуемую полевую либо интегральную величину.
Ёмкость плоского конденсатора без краевого поля — аналитический эталон. Проверьте поле, ёмкость или энергию в аналитическом зазорном пределе с теми же границами.
Повторите конденсатор с заданным зарядом правого электрода и потенциалом левого; затем добавьте нейтральный плавающий электрод в симметричном зазоре.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните заряды и потенциалы рабочих электродов и нейтрального плавающего электрода.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
Результат этого занятия. Сравнение обратной задачи и плавающего электрода без назначения ему напряжения вручную.
Данные именно этого опыта. Сохраните заряды и потенциалы рабочих электродов и нейтрального плавающего электрода.
Оформление наблюдений. Потенциалы, заряды, область и энергия; для поля — координаты и компоненты, для ёмкости — определение и полная геометрия электродов.
Проверка из практикума. При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Используйте зарядовый баланс и согласованные зарядовую и энергетическую оценки, если они предусмотрены постановкой занятия.
Критерий выполнения. Для исходного Q=177{,}083756256 пКл восстановлено U\approx 100\,\mathrm{В}; у нейтрального электрода общий заряд около нуля, а потенциал не назначен вручную.
Точность и расхождения. Для ёмкости и энергии уточняйте интегральную величину. Для поля у кромки фиксируйте физическое скругление либо удаление точки; сеточный максимум идеального угла не является прочностью изоляции.
Основание сравнения. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Свяжите результат с размером электрода, ёмкостью или распределением напряжённости; вывод о пробое требует обоснованного критерия и данных для реального диэлектрика.
Границы вывода. Линейная электростатика даёт поле и энергию, но не критерий пробоя сама по себе. Параметры диэлектрика, состояние поверхности и физическое скругление требуют исходных данных.
Проводник объединяет принадлежащие ему границы условием эквипотенциальности. Задание потенциала позволяет определить заряд, а задание полного заряда — найти неизвестный потенциал, в том числе для плавающего электрода.
Проводник объединяет принадлежащие ему границы в одну эквипотенциальную систему. Можно задать потенциал и получить заряд либо задать полный заряд и определить потенциал.
Плавающий проводник с нулевым суммарным зарядом не обязан иметь нулевой потенциал. На разных участках его поверхности могут возникать заряды противоположных знаков. Несвязанные на рисунке части с одним именем проводника считаются электрически соединёнными.
Перейдите от задачи с заданным U к задаче с заданным Q=CU и проверьте обратное восстановление напряжения.
Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.
Границы применимости. Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.
Повторите конденсатор с заданным зарядом правого электрода и потенциалом левого; затем добавьте нейтральный плавающий электрод в симметричном зазоре.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Для исходного Q=177{,}083756256 пКл восстановлено U\approx 100\,\mathrm{В}; у нейтрального электрода общий заряд около нуля, а потенциал не назначен вручную.
При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются.
Нейтральный проводник — это Q=0, а не V=0. Для абсолютного уровня потенциала нужен хотя бы один опорный электрод.
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Неназначенная внешняя граница FEMM по умолчанию получает однородное условие Неймана. Это определённое математическое условие, а не отсутствие влияния границы. В плоскопараллельной магнитной задаче оно заставляет поток пересекать границу нормально; постоянный A на границе, напротив, запрещает нормальную компоненту потока. В электростатике однородное естественное условие означает нулевой нормальный электрический поток, а не заземление.
Если во всей связной области задана только нормальная производная потенциала, к решению можно прибавить произвольную постоянную. Поле при этом не изменится, но матрица имеет нулевую моду. Значение потенциала на подходящей границе или в опорной точке устраняет эту неопределённость. Для нескольких не связанных друг с другом областей проверяют каждую независимую компоненту. Периодическая связь равных потенциалов сама по себе не всегда устраняет общий постоянный сдвиг.
Рисунок М.2.27. Диалог «Свойство узла»
Заданный потенциал может фиксировать электрическую опору, а точечный зарядовый источник — задавать сосредоточенное возбуждение. В плоском сечении подпись C/m относится к линейному источнику вдоль отсутствующего направления; её нельзя подменять объёмной плотностью Кл/м³ или полным зарядом электрода.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Кроме единственности нужна совместимость источников и потоков. Если все электрические границы изолированы, ненулевой суммарный объёмный заряд не согласуется с нулевым выходящим потоком D. Аналогично стационарное положительное тепловыделение требует пути отвода тепла. Искусственная фиксация одного узла при несовместимом балансе не превращает изолированное устройство в физически корректную модель: этот узел фактически становится неописанным стоком.
Обозначения и единицы
Условия применения. Гладкое конечное магнитное поле вблизи оси. Электростатический потенциал V на r=0 может быть ненулевым.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Осесимметричная магнитная задача имеет особый случай: FEMM автоматически обеспечивает A_{\theta } = 0 на оси r = 0. Если часть границы действительно лежит на оси, это может обеспечить нужную опору и без отдельного свойства Дирихле. В электростатике ось не является заземлённым электродом: V на ней может быть ненулевым. Поэтому переносить магнитное правило A_{\theta } = 0 на электрический потенциал нельзя.
Обозначения и единицы
Условия применения. Геометрическое соответствие пары и физическая симметрия источников обязательны.
В PDF равенство сформулировано словами; курс записывает его математически и сохраняет различие знаков.
Периодическое условие связывает значения на соответствующих точках двух сторон, антипериодическое меняет их знак. Такое условие обосновывается симметрией геометрии, материалов и источников вместе. Выбор половины или сектора только по внешнему виду рисунка недостаточен: встречные токи либо полюса могут менять требуемую связь.
Проверьте на своей модели
В Material Properties задают относительные \varepsilon _{x}, \varepsilon _{y} и объёмную плотность свободного заряда \rho в Кл/м³. Смена единицы геометрии не меняет эту единицу источника. Анизотропные направления связаны с координатами задачи; ориентацию материала проверяют до интерпретации наклона векторов.
Boundary поддерживает Fixed Voltage, Mixed, Surface Charge Density, Periodic и Antiperiodic. Поверхностный заряд может назначаться внутреннему интерфейсу либо отдельному сегменту; это исключение из обычного использования условий на внешней границе. Для периодичности каждая связь соединяет только одну пару согласованных рёбер.
Обозначения и единицы
Условия применения. Скалярная \varepsilon на внешней границе изотропной области. Нормальный D на внешней границе не следует смешивать со скачком D_n, создаваемым свободным зарядом на внутреннем интерфейсе.
В Conductor Properties выбирают Prescribed charge либо Prescribed voltage. Поле второй величины неактивно, потому что её найдёт решатель. Один проводник может объединять геометрически раздельные поверхности: их потенциал общий, заряд суммируется. Поэтому заданный V как проводник удобнее простого Fixed Voltage, когда нужно автоматически получить общий Q. Нейтральный плавающий электрод задают суммарным Q=0 при наличии опоры потенциала в остальной задаче.
Рисунок М.2.31. Диалог «Свойства проводника»
При заданном полном заряде решатель находит общий потенциал проводника. Значение Q = 0 может описывать нейтральный плавающий электрод, если опора потенциала обеспечена в остальной задаче. Неактивное поле напряжения не является одновременно наложенным V = 0.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Проверьте на своей модели
Дано. Зазор g=10\,\mathrm{мм}; высота электрода 10 мм; глубина 100 мм; S=0{,}001\,\mathrm{м^2}; \varepsilon_r=2; U=100\,\mathrm{В}.
Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.
Ответ: C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж.
Проверка: При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Зазор | 10 | мм |
| Глубина | 100 | мм |
| \varepsilon_r | 2 | 1 |
| U | 100 | В |
Ожидаемый результат. C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Восстанавливает ли заданный заряд прежнее напряжение и как определяется плавающий потенциал?
С чем сравнить. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Итог работы. Сравнение обратной задачи и плавающего электрода без назначения ему напряжения вручную.
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Задайте заряд изолированной внутренней сферы и найдите её потенциал, ёмкость и энергию. Этот пример показывает, как вращение меридионального сечения восстанавливает объём сферы без ручного множителя 2πr.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 11
Найдите взаимную ёмкость двух проводов разных радиусов. Здесь требуется контролировать и сетку около тонкого провода, и удаление искусственной внешней границы.
Решений FEMM: 4 · Численных проверок: 11
Поместите нейтральную металлическую пластину между питающим и заземлённым электродами. Её потенциал не задаётся: известен только нулевой суммарный заряд. Объясните, почему ёмкость определяется суммой толщин зазоров.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 12
Вычислите погонную ёмкость провода над идеально проводящей землёй. Сравните конечную FEMM-область с точным решением методом изображений и оцените влияние её верхней границы.
Решений FEMM: 4 · Численных проверок: 7
Добавьте электрически изолированный конический экран в осесимметричный изолятор. Определите его неизвестный потенциал и проследите, как экран изменяет ёмкость и распределение поля.
Решений FEMM: 6 · Численных проверок: 14
Восстановите полную матрицу ёмкостных коэффициентов трёх фаз внутри общего экрана. Каждый её столбец получается отдельным единичным возбуждением; взаимность и симметрия становятся независимыми численными проверками.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 25
Постройте осесимметричную иглу с полусферическим концом и исследуйте поле в зазоре над заземлённой плоскостью. Определите, насколько точная ёмкость гарантирует точность локального поля около конца иглы.
Решений FEMM: 4 · Численных проверок: 8
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Повторите конденсатор с заданным зарядом правого электрода и потенциалом левого; затем добавьте нейтральный плавающий электрод в симметричном зазоре. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Да, если они физически электрически соединены вне сечения; это предположение нужно записать.
C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж.
Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.