Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона
Инженерный вопрос. Сохраняются ли заряд, ток и мощность при смене способа измерения?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.
Результат этого занятия. Таблица балансов с направлениями и разделением статических и гармонических величин.
Данные именно этого опыта. Сведите поля, контурные интегралы и результаты выводов соответствующих электрических эталонов.
Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Приложите оба файла и решения, контуры, терминальные знаки. Цель относительного отклонения ненулевых эталонов \le 1\%; баланс нормируйте на модуль одного терминала.
Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.
Критерий выполнения. Выводите заряд, ток, напряжение, мощность и энергию из интегралов; отличайте определения от законов Гаусса, непрерывности и Фарадея. Различайте разность потенциалов, интеграл E по пути и ЭДС; указывайте условия независимости от пути. Согласуйте полевые, контурные и терминальные результаты двух модулей с геометрией, ориентацией и единицами. Подтвердите балансы на сохранённых моделях, отделяя аналитические эталоны от фактически выполненного FEMM-расчёта.
Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.
Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.
Вывод для устройства
Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Теория и вывод формул
Ориентированные интегралы образуют общую основу расчётов электростатики и электропроводности. Через них устанавливаются баланс заряда, соотношения для напряжения и ЭДС, а также выражения энергии и потерь.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Одна интегральная основа двух электрических модулей
Electrostatics FEMM определяет потенциал и поле, затем заряд и энергию. Current Flow определяет поле в проводящей/диэлектрической среде, токи и мощности. Сначала вводят интегральные величины, затем материальные законы и условия, из которых выводятся формулы плоского конденсатора или однородного резистора.
Заряд обозначим Q_e, чтобы отличить от количества теплоты Q_{\mathrm{th}}. Единицы D — Кл/м², J_c — А/м², E — В/м. Потенциал и напряжение измеряются в вольтах, но напряжение требует указания пары точек, а при вихревом поле — также пути.
Заряд и поток электрического смещения
Свободный заряд объёма равен интегралу плотности \rho_f; при поверхностных зарядах добавляют интеграл \sigma_f по заряженным поверхностям. Закон Гаусса связывает этот заряд с потоком D через замкнутую поверхность. Поток через незамкнутую поверхность не равен автоматически всему заряду электрода.
Для проводника в электростатическом равновесии используйте окружающую его поверхность либо свойство Conductor. Нормаль должна быть внешней. При наличии других электродов или открытой границы нельзя заранее полагать Q_{1}=-Q_{2}.
Ёмкость C=Q_e/U — параметр связи заряда и напряжения двухэлектродного линейного устройства при конкретных границах. Формула \varepsilon S/\ell требует однородного плоского поля без краевых эффектов. Для нескольких электродов обычно нужна матрица зарядов и потенциалов.
Поток D измеряется в Кл; последнее равенство относится к однородному плоскому конденсатору.
Ток проводимости, смещения и сохранение заряда
Ток проводимости — поток J_c через ориентированное сечение. В установившемся режиме без утечки и накопления он одинаков в последовательных сечениях проводника. В переходном режиме разность входящего и выходящего токов изменяет заряд.
В гармонической электроквазистатической модели полный ток включает проводимость и смещение. При e^{(j\omega t)} J_{\mathrm{tot}}=J_c+j\omega D. Такой ток непрерывен в системе проводник–диэлектрик, хотя носители проводимости не проходят сквозь идеальный диэлектрик.
Current Flow FEMM объединяет \sigma , \varepsilon и диэлектрические потери в комплексной эффективной проводимости. Его интегральный ток на ненулевой частоте нельзя автоматически считать чисто проводящим. В Magnetics ток направлен поперёк плоского чертежа, а в Current Flow — в его плоскости: физические поверхности интегрирования различаются.
Простая линейная среда; диэлектрические потери могут учитываться комплексной \varepsilon.
Напряжение, путь и ЭДС
В Electrostatics и принятой Current Flow модели E=-\operatorname{grad} V. Поэтому U_{ab}=V_a-V_b равно интегралу E\cdot dl от a к b и не зависит от формы пути. Порядок индексов и направление пути необходимо согласовать.
В общем поле с изменяющимся магнитным потоком интеграл E вдоль открытого пути зависит от пути. Разность одного скалярного потенциала уже не описывает всю электрическую силу: E=-\operatorname{grad} \phi -\partial A/\partial t. По замкнутому неподвижному контуру циркуляция E равна ЭДС индукции.
Показание вольтметра при изменяющемся магнитном поле зависит и от трассы проводов: два пути образуют контур со своим изменяющимся потоком. Для движущегося контура в ЭДС дополнительно входит v\times B. Электростатический решатель не воспроизводит произвольную вихревую ЭДС.
Для неподвижной обмотки наведённая ЭДС e=-d\Psi /dt. В пассивном соглашении приложенное к выводам напряжение u=Ri+d\Psi /dt. Различие знаков связано с разными направлениями отсчёта.
Закон Фарадея для движущегося материального контура с согласованной ориентацией.
Мощность и энергия
Локальная мощность работы поля над током проводимости p=E\cdot J_c имеет единицу Вт/м³. В пассивном омическом материале она превращается в тепло. Полная джоулева мощность — объёмный интеграл; значение p в горячей точке нельзя умножать на весь объём без проверки однородности.
В стационарном двухполюснике с эквипотенциальными электродами и без боковой утечки интеграл равен UI при пассивном соглашении. При нескольких выводах суммируют терминальные мощности; при переменном поле баланс включает изменение энергии.
Для комплексных амплитуд средняя мощность равна \tfrac12 \operatorname{Re}(U I^{\cdot }), для действующих значений множителя ½ нет. Сравнение с интегралом FEMM требует одной нормировки. Ток смещения нельзя целиком трактовать как необратимое тепловыделение.
Электростатическая энергия — объёмный интеграл плотности \int E\cdot dD. В линейном обратимом диэлектрике без независимой поляризации w=\tfrac12 E\cdot D. При условиях идеального конденсатора отсюда следует W=\tfrac12 CU^{2}. Мощность в ваттах и энергия в джоулях — разные результаты.
Частные равенства не подменяют объёмного определения мощности.
Геометрия и API электростатики/токопроводимости
Для плоской задачи ток и поток D через нарисованную линию используют dS=d\cdot dl; в осесимметрии dS=2\pi r dl. Объёмная мера — d\cdot dS_{\mathrm{2D}} либо 2\pi r dr dz. Напряжение \int E\cdot dl таких множителей не получает.
В Electrostatics eo_lineintegral(0) даёт E\cdot t, eo_lineintegral(1) — D\cdot n; eo_getconductorproperties("electrode") возвращает потенциал и заряд. Энергия выбранных областей — eo_blockintegral(0). Контур задают eo_clearcontour()/eo_addcontour(x,y).
В Current Flow co_lineintegral(0) даёт E\cdot t, co_lineintegral(1) — ток через поверхность; co_getconductorproperties("electrode") возвращает потенциал и ток терминала. co_blockintegral(0) — активная мощность выбранных областей. Согласуйте знак тока на выводе с направлением входа в область.
Встроенные интегралы уже учитывают геометрию. Удвоение глубины при тех же потенциалах удваивает Q_e, I, W, P, но не U, E, D, J. При заданном токе изменение глубины может изменить напряжение и поле: указывайте условия возбуждения.
Разобранный численный пример
Одно поле — две постановки
Дано. Прямоугольник L=10\,\mathrm{мм}, h=20\,\mathrm{мм}, глубина d=100\,\mathrm{мм}; V(0)=100\,\mathrm{В}, V(L)=0; верх и низ изолированы. Electrostatics: \varepsilon_r=2. Отдельная DC Current Flow модель: \sigma =0{,}01\,\mathrm{См/м}.
E_x=100/0{,}01=10000\,\mathrm{В/м}. Площадь электрода S=0{,}02\cdot 0{,}1=0{,}002\,\mathrm{м^2}, объём 2·10⁻⁵ м³.
В Electrostatics D=\varepsilon _{0}\varepsilon_rE=1{,}77083756\cdot 10^{-7}\,\mathrm{Кл/м^2}; Q_e=DS=3{,}54167513\cdot 10^{-10}\,\mathrm{Кл}; C=3{,}54167513\,\mathrm{пФ}.
W_e=\tfrac12 \int E\cdot D dV=1{,}77083756\cdot 10^{-8}\,\mathrm{Дж}; тот же результат даёт \tfrac12 Q_eU.
В DC-модели J=\sigma E=100\,\mathrm{А/м^2}, I=\int J\cdot n dS=0{,}2\,\mathrm{А} при нормали +x; P_J=\int \sigma E^{2} dV=20\,\mathrm{Вт}; R=500\,\mathrm{Ом}.
Интеграл E по любому пути слева направо +100 В; обратный путь даёт −100 В. Обращение нормали меняет знак тока.
Ответ:U=100\,\mathrm{В}; Q_e=0{,}354167513 нКл; C=3{,}54167513\,\mathrm{пФ}; W_e=17{,}7083756 нДж; в отдельной DC-модели I=0{,}2\,\mathrm{А}, P_J=20\,\mathrm{Вт}.
Проверка: Аналитические эталоны идеального поля. Два файла представляют разные задачи; расчёт по формулам не подтверждает запуск FEMM.
Практикум в FEMM 5
Согласуйте полевые, контурные и терминальные результаты
Создайте два Planar-файла с указанной геометрией: Electrostatics и Current Flow при нулевой частоте. Левый и правый электроды — свойства Conductor с 100 и 0 В; горизонтальные стороны изолированы.
Проверьте E_x в центре. Интеграл E\cdot t по прямому и ломаному пути слева направо должен быть 100 В; обратный путь даёт −100 В.
В Electrostatics получите D\cdot n через внутренний вертикальный разрез, заряды обоих электродов через eo_getconductorproperties и энергию eo_blockintegral(0). Укажите нормали и сопоставьте знаки.
В Current Flow получите ток через несколько разрезов co_lineintegral(1), терминальные токи co_getconductorproperties и активную мощность co_blockintegral(0). Сравните P с U\cdot I в пассивном соглашении.
Удвойте глубину при тех же потенциалах, пересчитайте оба файла и заполните таблицу масштабирования.
Ожидаемый результат. Электростатика: |Q_e|=0{,}354167513 нКл, W_e=17{,}7083756 нДж. DC: |I|=0{,}2\,\mathrm{А}, P_J=20\,\mathrm{Вт}. Напряжение слева направо 100 В.
Как проверить. Приложите оба файла и решения, контуры, терминальные знаки. Цель относительного отклонения ненулевых эталонов \le 1\%; баланс нормируйте на модуль одного терминала.
Обработка и анализ результатов
Сохраняются ли заряд, ток и мощность при смене способа измерения?
Сведите поля, контурные интегралы и результаты выводов соответствующих электрических эталонов.
Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.
С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.
Итог работы. Таблица балансов с направлениями и разделением статических и гармонических величин.
Расчётные исследования по теме
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Наведённое напряжение соседней жилы зависит от её нагрузки. Идеально заземлённая жила, разомкнутая жила и жила с большим сопротивлением могут иметь существенно разные потенциалы в одном и том же поперечном сечении кабеля. Работа связывает полевую матрицу комплексных проводимостей с простым внешним электрическим узлом и затем проверяет найденное напряжение новым полевым решением.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Рабочая область модели «Электрическая наводка в кабеле и нагрузка соседней жилы». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Электрическая наводка в кабеле и нагрузка соседней жилы». Модуль комплексного потенциала |V|, В, в изоляции трёхжильного кабеля при гармоническом возбуждении. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Составьте таблицу определений Q_e, I, U, ЭДС, P, W с областью и единицами; подтвердите её двумя электрическими моделями и опытом с глубиной.
Критерий выполнения: Выводите заряд, ток, напряжение, мощность и энергию из интегралов; отличайте определения от законов Гаусса, непрерывности и Фарадея. Различайте разность потенциалов, интеграл E по пути и ЭДС; указывайте условия независимости от пути. Согласуйте полевые, контурные и терминальные результаты двух модулей с геометрией, ориентацией и единицами. Подтвердите балансы на сохранённых моделях, отделяя аналитические эталоны от фактически выполненного FEMM-расчёта.
Пояснения и типичные ошибкиКогда напряжение равно разности потенциалов независимо от пути?
При E=-\operatorname{grad} V интеграл от a к b равен V_a-V_b и не зависит от пути. В вихревом поле интегралы по двум путям различаются на ЭДС замкнутого ими контура; важна трасса измерительных проводов.
Самостоятельно: J_n(y)=100(1+y/h) А/м², h=20\,\mathrm{мм}, глубина 100 мм. Найдите ток и ошибку использования максимального J.
I=0{,}1\int _{0}^{0{,}02}100(1+y/0{,}02)dy=0{,}3\,\mathrm{А}. Центральное J=150\,\mathrm{А/м^2} здесь равно среднему; максимальное J=200 даёт 0,4 А, завышение 33,33%.
Самостоятельно: внутрь объёма входит 5 мА, выходит 3 мА в течение 2 мс. Найдите изменение заряда.
dQ_e/dt=2\,\mathrm{мА}; \Delta Q_e=4 мкКл. Есть накопление заряда, поэтому режим не стационарный.
Самостоятельно: удвойте глубину DC-эталона при прежних 100 В. Найдите I, P, R и ёмкость электростатического эталона.
I=0{,}4\,\mathrm{А}, P=40\,\mathrm{Вт}, R=250\,\mathrm{Ом}; C=7{,}08335025\,\mathrm{пФ}. Поле E сохраняется.
На что обратить внимание
J и I, поток D и заряд всего электрода, P и W имеют разные определения.
Площадь физического сечения не равна площади прямоугольника на экране.
Не смешивайте амплитуды и действующие значения в мощности.
Current Flow не моделирует произвольную вихревую ЭДС индукции.
