Занятие 9.6

Электростатическая сила, коэнергия и острые кромки

Цель и задачи

Цель. Проверить электростатическую силу и устойчивость её численной оценки.

Задачи

Получите силу по производной коэнергии при постоянном U и установите знак относительно координаты зазора.
Запишите силы двух методов, шаг изменения зазора и радиус скругления сравниваемых вариантов.

Что нужно вспомнить перед началом

9.5 · Матрица ёмкостей, взаимность и энергия системы электродов

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Получение силовой характеристики и проверка энергетического преобразования

Инженерный вопрос. Зависит ли вычисленная сила от шага производной и скругления электрода?

Распределение напряжённости и ёмкость используются при выборе размеров промежутка и электродов. Отдельная проверка кромок показывает, какие геометрические подробности влияют на максимум поля.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Задайте координату, положительное направление и удерживаемое возбуждение. Выберите силовой интеграл и допустимую энергетическую производную.
Сила притяжения плоских электродов — аналитический эталон. Проверьте размерность, знак и условия зазорной или энергетической оценки до обработки полевого результата.
Сравните силу по двум методам; в отдельной серии измените шаг разности и радиус скругления электрода.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Запишите силы двух методов, шаг изменения зазора и радиус скругления сравниваемых вариантов.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и геометрический множитель силы или момента; выполните сравнение, предусмотренное именно этим практикумом.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Сопоставление сил с фиксированным напряжением, направлением координаты и оценкой кромочного эффекта.

Данные именно этого опыта. Запишите силы двух методов, шаг изменения зазора и радиус скругления сравниваемых вариантов.

Оформление наблюдений. Положение, источник, сила или момент, область интеграла; для энергетической проверки — энергия или коэнергия соседних положений и шаг.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Разностная производная должна сохранять U, а не Q. Для постоянного заряда требуется производная энергии с противоположным знаком. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Независимый контроль. Сопоставьте предусмотренные независимые силовой и энергетический методы при одинаковых токах либо напряжениях и одной системе координат.

Критерий выполнения. Для идеального предела F=88{,}541878\,\mathrm{мкН}; записаны знак, фиксируемая величина U и отдельная сходимость интеграла силы.

Точность и расхождения. Уточните шаг перемещения отдельно от сетки зазора. Около нулевой силы или момента сравнивайте абсолютные значения с единицей; относительный процент там неустойчив.

Основание сравнения. Опора — тензор напряжений, взвешенный интеграл и энергетическая производная из занятия. Укажите удерживаемую величину, знак координаты и границу применимости аналитического зазорного предела.

Вывод для устройства

Свяжите характеристику с требуемым усилием, моментом или запасом к противодействующей нагрузке. Такой запас требует заданной механической характеристики.

Границы вывода. Линейная электростатика даёт поле и энергию, но не критерий пробоя сама по себе. Параметры диэлектрика, состояние поверхности и физическое скругление требуют исходных данных.

Теория и вывод формул

Электростатическую силу определяют по напряжениям Максвелла или изменению энергии при заданных внешних условиях. При постоянном напряжении необходимо учитывать работу источника, от которой зависит корректная запись энергетического соотношения.

Соглашения об обозначениях и единицах

\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(9.15) · Вывод контрольного соотношения

Физический и методический смысл

Силу можно получить из напряжений Максвелла или вариации энергии при согласованном внешнем условии. При фиксированном напряжении источник совершает работу, поэтому знак силы нельзя выводить из изолированной энергии поля без учёта источника.

Математически острый электрод может создавать неограниченное локальное поле. Сходимость полной силы не означает сходимости максимума E у вершины; физический радиус скругления должен быть частью геометрии.

Вывод контрольного соотношения

Получите силу по производной коэнергии при постоянном U и установите знак относительно координаты зазора.

F_{\mathrm{closing}}=\frac12\varepsilon S\frac{U^2}{g^2},\quad W^\prime=\frac12C(g)U^2,\quad F_g=\left.\frac{\partial W^\prime}{\partial g}\right|_U<0

(9.15)

Аналитический эталон относится к идеальным электродам. Локальная напряжённость у математически острой кромки не является проверкой электрической прочности.

Ёмкость зависит от зазора как C=\varepsilon S/g. Увеличение зазора уменьшает коэнергию при постоянном напряжении.
Производная по координате увеличения зазора отрицательна; модуль силы равен 0{,}5\varepsilon SU^{2}/g^{2}.
Подстановка даёт 8,854·10⁻⁵ Н. При g=5\,\mathrm{мм} сила увеличилась бы в четыре раза.

Границы применимости. Аналитический эталон относится к идеальным электродам. Локальная напряжённость у математически острой кромки не является проверкой электрической прочности.

Связь с опытом в FEMM

Сравните силу по двум методам; в отдельной серии измените шаг разности и радиус скругления электрода.

Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.

Проверка и границы вывода

Для идеального предела F=88{,}541878\,\mathrm{мкН}; записаны знак, фиксируемая величина U и отдельная сходимость интеграла силы.

Разностная производная должна сохранять U, а не Q. Для постоянного заряда требуется производная энергии с противоположным знаком.

Поле FEMM не является самостоятельным критерием пробоя, частичных разрядов или надёжности изоляции.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

Рисунки из руководства к этому занятию (1)

М.2.33 · Кнопки панели графических режимов

Формулы и таблицы руководства к этому занятию

Формула М.2.18 · Элементарная сила электрического тензора Максвелла
Формула М.Н.15 · Плотность электростатической энергии

Электростатические результаты: заряд, энергия и сила

Профили допускают V, модуль и нормальную/касательную компоненты D и E. Линейный E\cdot t даёт падение потенциала вдоль пути; D\cdot n через замкнутую поверхность соответствует охваченному свободному заряду. Контур в плоском сечении разворачивается на заданную глубину, в осесимметрии — вращением; поэтому результат D\cdot n имеет смысл полного заряда, а не заряда на метр без учёта постановки.

Панель электростатического постпроцессора с сеткой, изолиниями, цветовой картой и векторами. — Рисунок М.2.33. Кнопки панели графических режимов

Изолинии здесь соединяют точки одинакового потенциала V, а не являются линиями электрического потока. Для физической интерпретации отдельно выбирают E или D и учитывают, что в анизотропном диэлектрике эти векторы могут быть непараллельны.

Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.

Блоковые результаты: энергия, площадь сечения, объём, средние D и E, сила и момент через WST. Среднее E — векторное усреднение; встречные направления могут взаимно сократиться при ненулевом среднем модуле. Для силы WST выделяют тело или проводник, проверяют окружение воздухом и уточняют сетку. Линейный тензор не ведут по самому скачку свойств или острой кромке.

Элементарная сила электрического тензора Максвелла

\mathrm d\mathbf F=\frac12\left[\mathbf D(\mathbf E\cdot\mathbf n)+\mathbf E(\mathbf D\cdot\mathbf n)-(\mathbf D\cdot\mathbf E)\mathbf n\right]\mathrm dS

(М.2.18)

Электрическое поле создаёт поверхностное напряжение; его интеграл по замкнутой поверхности даёт результирующую силу на заключённое тело. Для вычисления в курсе поверхность выбирают в воздухе, избегая скачков свойств и острых кромок. Отдельный максимум E на кромке не заменяет интегральную силу.

Обозначения и единицы

\mathbf D — Кл/м²; \mathbf E — В/м; их произведение — Дж/м³=Н/м².
\mathbf n — внешняя единичная нормаль; \mathrm dS — м²; \mathrm d\mathbf F — Н.

Условия применения. Электростатика и замкнутая поверхность в однородном линейном окружении, обычно воздухе. Для силы внутри деформируемого диэлектрика с электрострикцией нужна более полная механическая модель.

В оригинале у (2.18), как у магнитного аналога, отсутствует dS. Здесь он явно восстановлен для размерностно правильной дифференциальной силы.

Плотность электростатической энергии

w_{\mathrm e}=\frac12\mathbf D\cdot\mathbf E,\qquad W_{\mathrm e}=\int_Vw_{\mathrm e}\,\mathrm dV

(М.Н.15)

Ненумерованное ядро из описания Stored energy превращается в полную энергию только после интегрирования по физическому объёму.

Обозначения и единицы

\mathbf D — электрическое смещение, Кл/м²; \mathbf E — поле, В/м; w_{\mathrm e} — плотность энергии, Дж/м³; W_{\mathrm e} — энергия, Дж.

Условия применения. Линейный обратимый диэлектрик; в плоской модели учитывается глубина, в осесимметричной — объём вращения.

Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.

Conductor Properties показывает V и общий Q выбранного имени. Для линейного двухэлектродного эталона сравните ёмкость через Q/U с 2W/U^{2} по энергии всего электрического поля. В многоэлектродной системе учитывайте все возбуждённые проводники: одна пара чисел Q,U не заменяет матрицу ёмкостей. При энергетическом расчёте силы различайте фиксированный заряд и фиксированное напряжение с работой источника.

Проверьте на своей модели

Сопоставьте заряд электрода с потоком D через замкнутый контур и укажите выбранную нормаль.
Проверьте, что энергетический интеграл включает весь нужный диэлектрик, а не только одну произвольно выбранную часть.

Источник: [33]. § 2.5 · § 2.5.5 · § 2.5.6 · § 2.5.7 · § 2.5.8

Разобранный численный пример

Сила притяжения плоских электродов — аналитический эталон

Дано. S=0{,}001\,\mathrm{м^2}; g=10\,\mathrm{мм}; \varepsilon_r=2; U=1000\,\mathrm{В} удерживается источником; краевые поля исключены.

Ёмкость зависит от зазора как C=\varepsilon S/g. Увеличение зазора уменьшает коэнергию при постоянном напряжении.
Производная по координате увеличения зазора отрицательна; модуль силы равен 0{,}5\varepsilon SU^{2}/g^{2}.
Подстановка даёт 8,854·10⁻⁵ Н. При g=5\,\mathrm{мм} сила увеличилась бы в четыре раза.

Ответ: Сила направлена на уменьшение зазора; модуль 88,54 мкН.

Проверка: Разностная производная должна сохранять U, а не Q. Для постоянного заряда требуется производная энергии с противоположным знаком. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.

Практикум в FEMM 5

Сравните силу по двум методам; в отдельной серии измените шаг разности и радиус скругления электрода.

Таблица 9.6. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
S	0,001	м²
g	0,01	м
U	1000	В
\varepsilon_r идеального эталона	2

Постройте отдельные рабочие варианты конденсатора с зазорами 9,9; 10; 10,1 мм и одинаковыми U=1000\,\mathrm{В}, глубиной и высотой.
Для каждой модели сохраните заряд и энергию; пересчитайте сетку после изменения геометрии.
Вычислите центральную производную коэнергии по g в метрах. Не меняйте направление координаты между вариантами.
Для модели с воздушной областью вокруг подвижного электрода сравните с разрешённым интегралом силы; отдельно оцените влияние краёв и внешней границы.
Взвешенный интеграл тензора напряжений eo_blockintegral(5) в FEMM применим, когда выделенный проводник окружён свободным пространством с \varepsilon_r=1. При \varepsilon_r\ne 1 вокруг проводника используйте проверенную производную энергии или контурный тензор Максвелла с фактической \varepsilon; ошибку встроенного интеграла не заменяйте нулём. Для замкнутого контура явно согласуйте направление нормали, обход и координату перемещения.

Ожидаемый результат. Сила направлена на уменьшение зазора; модуль 88,54 мкН. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.

Как проверить. Разностная производная должна сохранять U, а не Q. Для постоянного заряда требуется производная энергии с противоположным знаком. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Обработка и анализ результатов

Зависит ли вычисленная сила от шага производной и скругления электрода?

Запишите силы двух методов, шаг изменения зазора и радиус скругления сравниваемых вариантов.
Проверьте знак, единицу и геометрический множитель силы или момента; выполните сравнение, предусмотренное именно этим практикумом.

С чем сравнить. Опора — тензор напряжений, взвешенный интеграл и энергетическая производная из занятия. Укажите удерживаемую величину, знак координаты и границу применимости аналитического зазорного предела.

Итог работы. Сопоставление сил с фиксированным напряжением, направлением координаты и оценкой кромочного эффекта.

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Рабочая область модели «Ёмкостный датчик перемещения: чувствительность по полевой карте». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере

Сохранённое решение «Ёмкостный датчик перемещения: чувствительность по полевой карте». Электрический потенциал V, В; питание 1 В. Открыть в полном размере

Самостоятельная работа

Сравните силу по двум методам; в отдельной серии измените шаг разности и радиус скругления электрода. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.

Критерий выполнения: Для идеального предела F=88{,}541878\,\mathrm{мкН}; записаны знак, фиксируемая величина U и отдельная сходимость интеграла силы.

Первоисточники и дополнительное чтение по занятию

[33] — 63–65

Пояснения и типичные ошибки

Почему нельзя дифференцировать W по g без указания режима источника?

При фиксированных Q и U системы обмена энергией различаются; производная должна соответствовать выбранным независимым переменным.

Какое контрольное число и единица проверяют этот опыт?

Сила направлена на уменьшение зазора; модуль 88,54 мкН.

При каких предположениях получена приведённая формула?

На что обратить внимание

Поле FEMM не является самостоятельным критерием пробоя, частичных разрядов или надёжности изоляции.
Аналитический эталон относится к идеальным электродам. Локальная напряжённость у математически острой кромки не является проверкой электрической прочности.