Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Оценка электрического поля, ёмкости и изоляционного промежутка
Инженерный вопрос. Согласуются ли заряд, энергия и аналитическая ёмкость плоского зазора?
Распределение напряжённости и ёмкость используются при выборе размеров промежутка и электродов. Отдельная проверка кромок показывает, какие геометрические подробности влияют на максимум поля.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте потенциалы или заряды независимых проводников, свойства диэлектрика и требуемую полевую либо интегральную величину.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Три оценки ёмкости и зарядовый баланс с объяснением знака поля.
Данные именно этого опыта. Сохраните напряжение, заряд обоих электродов, энергию и геометрию эталона.
Оформление наблюдений. Потенциалы, заряды, область и энергия; для поля — координаты и компоненты, для ёмкости — определение и полная геометрия электродов.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Используйте зарядовый баланс и согласованные зарядовую и энергетическую оценки, если они предусмотрены постановкой занятия.
Критерий выполнения. Три значения C согласованы в пределах 1%; сумма зарядов равна нулю в выбранном допуске; потенциал и поле имеют корректный знак.
Точность и расхождения. Для ёмкости и энергии уточняйте интегральную величину. Для поля у кромки фиксируйте физическое скругление либо удаление точки; сеточный максимум идеального угла не является прочностью изоляции.
Основание сравнения. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Вывод для устройства
Свяжите результат с размером электрода, ёмкостью или распределением напряжённости; вывод о пробое требует обоснованного критерия и данных для реального диэлектрика.
Границы вывода. Линейная электростатика даёт поле и энергию, но не критерий пробоя сама по себе. Параметры диэлектрика, состояние поверхности и физическое скругление требуют исходных данных.
Теория и вывод формул
Электростатическая задача объединяет соотношения E=-\nabla V и \operatorname{div} D=\rho. Для линейного диэлектрика материальная связь D=\varepsilon E приводит к уравнению потенциала -\operatorname{div} (\varepsilon \nabla V)=\rho.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Электростатическое поле удовлетворяет E=-\nabla V и \operatorname{div} D=\rho. Для линейного диэлектрика D=\varepsilon E, поэтому -\operatorname{div} (\varepsilon \nabla V)=\rho.
Руководство рассматривает линейную электростатику. Объёмный заряд, поверхностный заряд и полный заряд проводника имеют разные размерности и вводятся разными объектами. Выбор опорного потенциала не меняет E, но необходим для однозначного V.
Напряжение от a к b определяется интегралом \int_a^b\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l. В электростатике \mathbf E=-\nabla V, поэтому U_{ab}=V(a)-V(b) и результат не зависит от пути. Равенство U=El требует однородного поля и пути вдоль него. Заряд проводника получают как поток D через замкнутую охватывающую поверхность; произведение \sigma_s S допустимо лишь при равномерной поверхностной плотности заряда.
Вывод контрольного соотношения
Выведите ёмкость однородного зазора из поля, смещения и полного заряда электрода.
Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.
Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.
Границы применимости. Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.
Связь с опытом в FEMM
Решите плоский конденсатор и восстановите C тремя способами: Q/U, 2W/U^{2} и \varepsilon S/g.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Проверка и границы вывода
Три значения C согласованы в пределах 1%; сумма зарядов равна нулю в выбранном допуске; потенциал и поле имеют корректный знак.
При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются.
Задать напряжение между электродами и независимо навязать несовместимые заряды означает изменить или переопределить задачу.
Связь с общими определениями
Определения и границы применимости собраны в занятии Интегральные электрические величины. Используйте интегральную запись как исходную; алгебраические формулы применяйте после проверки перечисленных там условий.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Четыре физических приближения и единицы источников
Одна и та же двумерная геометрия допускает несколько физических постановок. Магнитный модуль учитывает электромагнитную индукцию и токи проводимости, пренебрегая током смещения; электростатический модуль описывает поле неподвижных зарядов. Модуль протекания тока учитывает токи проводимости и смещения в приближении, исключающем существенное влияние магнитной индукции, а тепловой модуль решает задачу теплопроводности. В каждом случае выбирается плоскопараллельная или осесимметричная геометрия. Такой выбор не расширяет состав физических явлений: пространственное распределение общего вида, распространение электромагнитных волн и гидродинамика требуют других моделей.
В магнитостатике исходными соотношениями служат ротор H, равный плотности свободного тока, и нулевая дивергенция B. Запись B = \operatorname{rot} A автоматически выполняет второе соотношение. При нелинейном материале следует оставлять проницаемость внутри дифференциального оператора. Заменить его постоянным множителем перед лапласианом допустимо лишь в однородной линейной изотропной области. Постоянный магнит требует дополнительного источника в материальном законе, как разобрано в занятии 8.4.
В магнитной гармонике используется временной множитель \exp (j\omega t). Проводящий ток складывается из вклада изменения векторного потенциала и вклада продольного электрического градиента потенциала. Последний обеспечивает ограничения полного тока в проводящих телах и цепях. Если оставить только слагаемое -j\omega \sigma A, можно получить неверный полный ток даже при визуально правдоподобном распределении вихревых токов. Отдельно заданную плотность возбуждения не следует второй раз включать в индуцированную составляющую.
Поэтому поле, представленное отрицательным градиентом потенциала, автоматически удовлетворяет безвихревому условию электростатики.
Обозначения и единицы
\psi — достаточно гладкая скалярная функция; если \psi=V — электрический потенциал, В, то \nabla V имеет единицу В/м.
Условия применения. Обычные области гладкости; на разрывах нужно учитывать предельные значения и граничные условия.
В соседнем предложении PDF ошибочно назван закон Ампера. Здесь речь о статическом законе Фарадея, \operatorname{rot} E = 0.
В электростатике потенциальность E автоматически выполняет безвихревое условие Фарадея. В пояснении к (1.19) оригинал называет его законом Ампера; математически здесь используется именно \operatorname{rot} E = 0. Для кусочно неоднородной или анизотропной среды правильна дивергентная форма уравнения, а не одна глобальная постоянная \varepsilon перед лапласианом. В тепловом модуле величина G руководства равна -\operatorname{grad} T: это противоположность обычному математическому градиенту температуры. Плотность теплового потока F направлена от горячего к холодному.
Дивергенция электрического смещения определяется свободным объёмным зарядом. Поток D через замкнутую поверхность равен охваченному заряду. На границе двух диэлектриков без свободного поверхностного заряда непрерывна нормальная D, тогда как нормальная E может изменяться.
Обозначения и единицы
\mathbf D — электрическое смещение, Кл/м².
\rho — плотность свободного объёмного заряда, Кл/м³.
Условия применения. Здесь используется электростатическая постановка. Поверхностный и точечный источники имеют другие размерности и не подставляются вместо \rho без соответствующего преобразования.
При отсутствии изменяющегося магнитного потока циркуляция E по замкнутому контуру равна нулю. Это позволяет описать поле одним скалярным потенциалом. На границе раздела диэлектриков касательная E непрерывна, даже когда диэлектрическая проницаемость меняется.
Обозначения и единицы
\mathbf E — напряжённость электрического поля, В/м.
Нулевой ротор не означает нулевую напряжённость.
Условия применения. Электростатика в области, где отсутствует внешняя индукционная ЭДС; глобальный однозначный потенциал требует согласованной топологии задачи.
Диэлектрическая проницаемость связывает поле с электрическим смещением, а через закон Гаусса — с зарядом электродов. В интерфейсе вводят относительную \varepsilon _{r}, тогда как в этой формуле стоит абсолютная \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}. Увеличение \varepsilon при заданной геометрии и напряжении меняет заряд и запасённую энергию.
Условия применения. Скалярный закон относится к линейному изотропному диэлектрику. Анизотропия требует тензора; электростатический модуль не решает произвольную нелинейную зависимость D(E).
Поле направлено в сторону уменьшения потенциала. Так как ротор градиента тождественно равен нулю, эта подстановка автоматически выполняет безвихревое условие Фарадея. Разность потенциалов определяется линейным интегралом E со знаком, зависящим от выбранного направления пути.
Обозначения и единицы
V — потенциал, В; \nabla V — В/м.
Добавление одной постоянной ко всем значениям V не меняет поле E.
Условия применения. Электростатика. Для единственного численного решения выбирают опорный потенциал или эквивалентное условие, устраняющее произвольную константу.
В пояснении оригинала ошибочно назван закон Ампера. Тождество \operatorname{rot} \operatorname{grad} V=0 обеспечивает именно статическое условие Фарадея \operatorname{rot} E=0.
Объединение закона Гаусса с E=-\operatorname{grad} V даёт уравнение для потенциала. При отсутствии объёмного заряда оно становится уравнением Лапласа, но электрическое поле всё равно может создаваться зарядами на границах. Через интерфейсы материалов решатель должен согласовать потенциал и нормальный поток D.
Обозначения и единицы
\varepsilon — Ф/м; V — В; \rho — Кл/м³.
Общая дивергентная форма: -\nabla\cdot(\varepsilon\nabla V)=\rho.
Условия применения. Вынесенная за лапласиан скалярная \varepsilon постоянна внутри рассматриваемой области. При переменных свойствах или анизотропии используют дивергентную форму с соответствующим коэффициентом.
В формулах СИ плотность магнитного тока J имеет единицу А/м², объёмный электрический заряд \rho — Кл/м³, объёмное тепловыделение q — Вт/м³; это разные типы источников. Абсолютные коэффициенты \mu, \varepsilon, k и \sigma имеют единицы Гн/м, Ф/м, Вт/(м·К) и См/м. Поля интерфейса могут использовать кратные единицы, например МСм/м для проводимости магнитного материала; перед подстановкой в формулы их переводят в СИ. Электрический ток через вывод в амперах и объёмная плотность тока не взаимозаменяемы без площади и распределения.
Графическая оболочка femm_gui и движок femm_headless готовят и обрабатывают документы; fkn, belasolv, hsolv и csolv решают соответственно магнитные, электростатические, тепловые и токовые задачи. Генератор сетки tangle интегрирован в решатели. Поэтому отсутствие видимого окна само по себе не меняет физическую постановку, а успешный запуск оболочки ещё не подтверждает получение решения. Документ с исходными данными и файл результата должны соответствовать одной версии геометрии и свойств.
\nabla\times\left(\frac{1}{\mu(B)}\nabla\times\mathbf A\right)=\mathbf J,\qquad \mathbf B=\nabla\times\mathbf A
Магнитостатическое уравнение для материала без постоянного магнитного источника; A измеряется в Вб/м.
\nabla\times\left(\frac{1}{\mu_{\text{эфф}}}\nabla\times\widehat{\mathbf A}\right)=-j\omega\sigma\widehat{\mathbf A}+\widehat{\mathbf J}_{\text{зад}}-\sigma\nabla\widehat V
Потенциальная и индукционная части электрического поля. Ротор градиента равен нулю, поэтому \operatorname{rot} E = -\operatorname{rot} \partial_t A; это промежуточная связь (1.10) перед (1.11)–(1.12).
Переход (1.31)–(1.32) от закона Ампера–Максвелла к сохранению полного тока. При E = -\operatorname{grad} V и замене \partial t на j\omega получается токовое уравнение.
Три тепловых соотношения (1.21)–(1.23) в обозначениях руководства. G измеряется в К/м, F — в Вт/м², q — в Вт/м³; их подстановка даёт -\operatorname{div} (k \operatorname{grad} T) = q.
Локальные сокращения для однородных линейных изотропных областей; для векторного магнитного равенства дополнительно используется калибровка \operatorname{div} A = 0. Последнее равенство — предел токовой задачи при нулевой частоте. На интерфейсах возвращаются к дивергентной форме.
Электростатика, стационарная теплопроводность и гармоническое протекание тока без внутренних источников полного тока. Жирные материальные коэффициенты допускают тензорное представление; упрощение до лапласиана требует постоянных скалярных коэффициентов.
Проверьте на своей модели
Для токовой задачи при частоте, стремящейся к нулю, ёмкостный член должен исчезнуть; для магнитной задачи с нулевой проводимостью исчезают вихревые токи.
При переносе джоулевых потерь в тепловую модель передавайте Вт/м³ либо согласованную полную мощность, а не электрическую плотность тока.
Перед расчётом укажите, какой отброшенный член уравнений мал именно для выбранного устройства и наблюдаемой величины.
Проверка: При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
Практикум в FEMM 5
Решите плоский конденсатор и восстановите C тремя способами: Q/U, 2W/U^{2} и \varepsilon S/g.
Создайте Electrostatics Problem; Problem Definition: millimeters, Planar, Depth=100, Precision=1e-8.
Постройте узлы (0,0), (10,0), (10,10), (0,10), соедините четырьмя отрезками. Добавьте одну метку внутри; \varepsilon_x=\varepsilon_y=2.
Задайте проводникам имена left и right: потенциалы 0 и 100 В. Назначьте проводники соответствующим вертикальным отрезкам; не дублируйте их независимыми зарядовыми условиями.
После решения откройте Conductor Properties и прочитайте V, Q. Выделите весь диэлектрик и найдите энергию блоковым интегралом. Вычислите C=Q_{\mathrm{right}}/100 и сравните с 2W/100^{2}.
Ожидаемый результат.C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Обработка и анализ результатов
Согласуются ли заряд, энергия и аналитическая ёмкость плоского зазора?
Сохраните напряжение, заряд обоих электродов, энергию и геометрию эталона.
Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
С чем сравнить. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Итог работы. Три оценки ёмкости и зарядовый баланс с объяснением знака поля.
Расчётные исследования по теме
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Определите ёмкость участка коаксиального кабеля двумя способами и проверьте радиальный закон поля. Круговая геометрия позволяет отличить ошибку интегральной ёмкости от локальной ошибки градиента потенциала.
Проверьте на одной задаче три условия: непрерывность потенциала, непрерывность нормальной D и скачок нормальной E. Сравните FEMM с последовательным соединением плоских диэлектрических слоёв.
Профилирование электродов позволяет уменьшить концентрацию электрического поля у их краёв. Произвольное скругление не даёт готового аналитического распределения, поэтому в этой работе выбран профиль, построенный конформным преобразованием. Его потенциал, поле и ёмкость расчётного фрагмента определяются независимо от FEMM и служат проверкой геометрии.
Дифференциальная пара имеет две связанные сигнальные полосы и общий опорный проводник. Её электрические свойства описываются матрицей ёмкостей, а не суммой двух независимых одиночных линий. В этой работе матрица определяется в реальном диэлектрическом сечении и в вакуумном контрольном сечении; затем вычисляется дифференциальное волновое сопротивление в квазиTEM приближении.
Изолированное проволочное кольцо является трёхмерным телом, но его осевая симметрия позволяет вычислить ёмкость в FEMM без трёхмерного решателя. Круг в плоскости r–z представляет сечение проволоки; после вращения он образует тор. Работа проверяет правильный геометрический вес полного тела и сравнивает результат с приближением тонкого кольца.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Геометрия коаксиального кабеля: внутренняя жила, круговая граница оболочки и русское имя материала изоляции. Размеры заданы в миллиметрах. Открыть в полном размереСохранённое электростатическое решение коаксиального кабеля. Цвет показывает потенциал V в вольтах; чёрные линии — эквипотенциали. Жила имеет потенциал 1 В, оболочка — 0 В. Открыть в полном размереРабочая область модели «Граница двух диэлектриков: D непрерывно, E меняется». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Граница двух диэлектриков: D непрерывно, E меняется». Электрический потенциал V, В. Изменение густоты эквипотенциалей на границе слоёв. Открыть в полном размереРабочая область модели «Профиль Роговского: конформное поле и распределение напряжённости». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Профиль Роговского: конформное поле и распределение напряжённости». Электрический потенциал V, В, между профилированными электродами; диапазон −100…100 В. Открыть в полном размереРабочая область модели «Дифференциальная пара: матрица ёмкостей и квазистатическое сопротивление». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Дифференциальная пара: матрица ёмкостей и квазистатическое сопротивление». Электростатический потенциал V, В: один базисный режим возбуждения дифференциальной пары для определения её параметров. Увеличенная область около пары; верхняя удалённая граница за кадром.Открыть в полном размереУвеличенное сечение проволочного кольца: центр r = 20 мм, z = 0; радиус проволоки 0,25 мм. Показан меридиональный разрез тела вращения; ось и удалённая граница за кадром. Открыть в полном размереСохранённое решение «Ёмкость проволочного кольца: полное тело вращения и тонкое кольцо». Потенциал V, В, в увеличенной области проволочного кольца. Слева видна ось r = 0; прямоугольник — вспомогательная область сгущения сетки; удалённая сферическая граница за кадром. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Решите плоский конденсатор и восстановите C тремя способами: Q/U, 2W/U^{2} и \varepsilon S/g. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Критерий выполнения: Три значения C согласованы в пределах 1%; сумма зарядов равна нулю в выбранном допуске; потенциал и поле имеют корректный знак.
