Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Оценка электрического поля, ёмкости и изоляционного промежутка
Инженерный вопрос. Почему напряжённость меняется на стыке диэлектриков?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте потенциалы или заряды независимых проводников, свойства диэлектрика и требуемую полевую либо интегральную величину.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Таблица интерфейса с проверкой непрерывных величин и объяснением скачка поля.
Данные именно этого опыта. Снимите потенциал, нормальные поле и смещение по обе стороны стыка двух материалов.
Оформление наблюдений. Потенциалы, заряды, область и энергия; для поля — координаты и компоненты, для ёмкости — определение и полная геометрия электродов.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Используйте зарядовый баланс и согласованные зарядовую и энергетическую оценки, если они предусмотрены постановкой занятия.
Критерий выполнения. В модели две метки и два материала; внутренний стык не превращён в электрод; C\approx 2{,}36111675\,\mathrm{пФ}, а E_{1}/E_{2}\approx 2.
Точность и расхождения. Для ёмкости и энергии уточняйте интегральную величину. Для поля у кромки фиксируйте физическое скругление либо удаление точки; сеточный максимум идеального угла не является прочностью изоляции.
Основание сравнения. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Вывод для устройства
Свяжите результат с размером электрода, ёмкостью или распределением напряжённости; вывод о пробое требует обоснованного критерия и данных для реального диэлектрика.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Дополнительный расчётный метод
Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом (ОНПУ,2010)
Размеры и B(H) задают магнитную цепь, затем полевой расчёт определяет тяговую силу. Таблица независимых оценок показывает пользу и границы классического и численного методов.
Свойства расчётной модели назначаются объектам с различными функциями: метка задаёт материал области, граница получает граничное условие, а проводник объединяет эквипотенциальные участки. Электрическая цепь магнитного модуля определяет возбуждение обмотки и имеет иной смысл, чем проводник в электростатической задаче.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
В FEMM назначение свойства определяется типом объекта. Метка связывает материал с замкнутой областью, граничное условие задаётся на выбранной границе, а проводник объединяет части эквипотенциального тела. Электрическая цепь магнитного модуля описывает возбуждение обмотки. Совпадение некоторых приёмов работы в интерфейсе не устраняет физического различия между такой цепью и проводником электростатической задачи.
Группа помогает совместно выбирать и перемещать объекты; номер группы не назначает им материал автоматически. На границе двух диэлектриков без свободного заряда непрерывен нормальный D, а не нормальный E.
Вывод контрольного соотношения
Разделите геометрическую область на два материала и выведите распределение напряжения из непрерывности нормального электрического смещения.
Плоские слои без свободного поверхностного заряда, линейные изотропные материалы.
Непрерывность D_n и отношение E_{1}/E_{2}=\varepsilon _{2}/\varepsilon _{1}=2 следуют из закона Гаусса.
Общее падение напряжения распределяется как 66,6667 и 33,3333 В.
Ёмкость равна 2,361 пФ; |E_{1}|=13333{,}3333\,\mathrm{В/м}, |E_{2}|=6666{,}6667\,\mathrm{В/м}.
Границы применимости. Плоские слои без свободного поверхностного заряда, линейные изотропные материалы.
Связь с опытом в FEMM
Создайте двухслойный диэлектрик; проверьте свойства каждой метки, отрезка и проводника через повторный выбор.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Проверка и границы вывода
В модели две метки и два материала; внутренний стык не превращён в электрод; C\approx 2{,}36111675\,\mathrm{пФ}, а E_{1}/E_{2}\approx 2.
Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой.
Одинаковый цвет областей не подтверждает одинаковый материал. Метка на границе может быть отнесена не к ожидаемой области.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Свойство нужно создать и назначить; точечные источники
Properties открывает менеджер выбранного типа: Materials, Boundary, Point и Circuits либо Conductors. Add создаёт описание, Modify или двойной щелчок меняет выбранное описание, Delete удаляет его. Созданное имя ещё не воздействует на модель: материал назначают метке области, границу — отрезку или дуге, точечное свойство — узлу. После назначения снова откройте свойства геометрического объекта.
Это список описаний материалов текущей магнитной модели. Добавление записи ещё не назначает её геометрической области: затем материал выбирают в свойствах соответствующей метки.
Обозначения на рисунке
Add
Добавить
Delete
Удалить
Modify
Изменить
Air
Воздух
iron
Железо
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Точечное свойство задаёт либо потенциал, либо источник. В магнитном модуле это A или точечный ток; в электростатике — V или зарядовый источник; в теплопроводности — T или сосредоточенный источник тепла; в токовом модуле — V или токовый источник. Переключатель делает варианты взаимоисключающими. Сосредоточенный источник не заменяет реальный электрод конечного размера там, где требуется достоверный локальный максимум поля.
Переключатель выбирает один способ воздействия на узел: заданный A либо сосредоточенный ток. На рисунке активен потенциал, поэтому неактивное число в поле тока не является вторым одновременно заданным условием.
Обозначения на рисунке
Specified Potential Property
Заданный потенциал
Point Current Property
Точечный ток
Specified Vector Potential, Wb/m
Заданный векторный потенциал, Вб/м
Point Current, Amps
Точечный ток, А
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
В магнитостатике действительное значение вводят в реальную часть, мнимую часть оставляют нулевой. При гармонике комплексная запись должна соответствовать одной временной конвенции. Опорное A в одном узле может устранять произвол потенциала при производных условиях на границе; это не повод бездумно закреплять произвольный узел внутри устройства.
При фиксированном времени и стремлении частоты к нулю косинусная часть остаётся, а синусная исчезает. Поэтому в магнитостатической задаче физическое постоянное значение вводят в действительную часть, а мнимую оставляют нулевой. Мнимая часть не является вторым независимым постоянным источником.
\omega — рад/с; t — с; обе части a имеют единицы той величины, которую задаёт поле интерфейса.
Условия применения. Конвенция \exp (j\omega t), предел при фиксированном t. Это пояснение формата ввода; оно не утверждает совпадение всех режимов физической системы при пределе частоты и при статическом возбуждении.
Проверьте на своей модели
Создайте свойство с заметным именем, назначьте его правильному типу объекта и проверьте через повторное выделение.
Назовите, какая величина задана, а какая вычисляется, прежде чем выбирать тип точечного свойства.
Магнитные границы: какие параметры реально участвуют
Prescribed A задаёт A_{0}, A_{1}, A_{2} и фазу \varphi: линейное по координатам значение A на границе. Постоянное A на плоской границе означает нулевой нормальный B, а не отсутствие магнитного поля вообще. В осесимметрии координаты формы — r,z; интерпретацию потока ведут с учётом 2\pi rA.
В полях Prescribed A задаётся постоянная и линейная по координатам часть потенциала с общей фазой. Разность A_z вдоль плоской границы определяет нормальный поток. Постоянное значение A делает этот нормальный поток нулевым, но не запрещает касательное магнитное поле.
Обозначения и единицы
A здесь — компонента A_z, Вб/м; A_0 имеет ту же единицу.
При x,y в метрах коэффициенты A_1,A_2 имеют единицу Вб/м².
\varphi — общая фаза: в экспоненте радианы, поле интерфейса использует градусы.
Условия применения. Плоская магнитная модель. При ручной проверке коэффициентов согласуйте единицы координат с единицами задания; для постоянного режима используют вещественное значение.
Та же форма граничного задания использует радиальную и осевую координаты. Неизвестная магнитного поля — азимутальная компонента A_{\theta }. Поток через круг связан с 2\pi rA_{\theta }, поэтому постоянное ненулевое A_{\theta } не имеет того же смысла, что постоянное A_z на произвольной плоской границе.
Обозначения и единицы
r,z — радиальная и осевая координаты; A=A_\theta — Вб/м.
A_0 — Вб/м; при r,z в метрах A_1,A_2 — Вб/м².
\varphi в интерфейсе задаётся в градусах; в e^{j\varphi} — в радианах.
Условия применения. Осесимметричная геометрия, r\ge 0 и регулярное поле на оси. Проверка магнитного потока должна включать цилиндрический геометрический множитель.
Small Skin Depth заменяет проводящее тело поверхностным приближением, когда глубина проникновения мала относительно характерных размеров. Вводятся относительная проницаемость и проводимость материала. При нулевой частоте это условие вырождается в нулевую нормальную производную и уже не описывает малый скин-слой. Mixed использует c_{0},c_{1}: при c_{0}=0 задаётся производная, при c_{1}=0 подходящий c_{0} позволяет приблизить открытую границу.
Проводящее тело с тонким слоем проникновения заменяется комплексным условием Робина на поверхности. Множитель 1+j связывает амплитудное затухание и фазовое запаздывание поля внутри слоя. Это позволяет не строить сетку по чрезвычайно малой толщине, если выполнены условия приближения.
Обозначения и единицы
n — внешняя нормаль расчётной области; A — комплексный потенциал, Вб/м.
\delta — глубина проникновения, м; оба слагаемых имеют единицу Вб/м².
Условия применения. Гармоника \exp (j\omega t); скин-глубина мала относительно толщины проводника, радиусов кривизны и масштаба изменения поля вдоль поверхности. При f\to 0 формально получается \partial A/\partial n=0, но физическое приближение тонкого слоя тогда неприменимо.
Глубина проникновения — расстояние, на котором амплитуда поля в однородном полупространстве уменьшается в e раз. Она убывает как обратный квадратный корень частоты, проницаемости и проводимости. Сравнение \delta с размерами тела определяет, оправдано ли поверхностное условие либо нужна объёмная вихретоковая сетка.
\mu_0 — Гн/м; результат \delta — м. Значение \sigma в МСм/м сначала умножают на 10⁶.
Условия применения. Линейная изотропная проводящая среда с вещественными положительными \mu и \sigma, магнитоквазистатическое приближение. Для нелинейной или существенно комплексной проницаемости это простое выражение требует дополнительного обоснования.
Условие Mixed объединяет производную потенциала с самим потенциалом. При c_{0}=0 задаётся нормальная производная, а при c_{1}=0 подходящий c_{0} может приближать удалённое продолжение поля. Коэффициент для открытой границы нельзя выбирать независимо от формы и радиуса внешнего контура.
Обозначения и единицы
c_0 имеет единицу 1/Гн, c_1 — А/м при A в Вб/м и координатах в метрах.
n — внешняя нормаль, \mu_r\mu_0 — абсолютная проницаемость у границы.
Условия применения. Запись для скалярного магнитного потенциала используемой постановки. При c_{0}=0 выполняется (1/\mu )\partial A/\partial n=-c_{1}; знак касательного H дополнительно зависит от согласованного направления касательной.
Periodic связывает одинаковые значения, Antiperiodic — противоположные. Одно имя периодического свойства назначают только паре соответствующих отрезков либо паре дуг; составную границу разбивают на отдельные пары. Strategic Dual Image усредняет решения с однородными условиями Дирихле и Неймана на внешней окружности плоской области; это специальный приём с ограниченной областью применимости, особенно для моделей без железа.
Periodic Air Gap и Anti-Periodic Air Gap связывают две концентрические дуги воздушного кольца без обычной сетки в самом кольце. Inner и Outer задают относительные углы в градусах. Смена Inner позволяет менять положение ротора без перестройки сетки прилегающих частей. Выбор периодического либо антипериодического варианта определяется повторением поля сектора, а не только рисунком зубцов.
Проверьте на своей модели
Для каждой периодической связи покажите ровно две согласованные стороны и объясните знак.
Перед Small Skin Depth сравните расчётную глубину проникновения с толщиной и радиусом кривизны детали.
\(B\)–\(H\): порядок точек, интерполяция и выход за диапазон
Nonlinear B-H curve переключает набор активных полей. В линейной модели задают \mu _{x}, \mu _{y} и углы гистерезисного запаздывания \varphi _{\mathrm{hx}}, \varphi _{\mathrm{hy}}. В нелинейной модели эти поля отключены, а Edit B-H Curve открывает табличные данные. Нельзя считать неактивные числа параллельно действующим материальным законом.
Вводите пары B,H в порядке строго возрастающего B: повторная или уменьшающаяся B отбрасывается. Нужно не менее трёх точек, для разумного описания обычно больше, особенно около колена насыщения. Import from file читает по два числа на строке, сначала B, затем H, разделённые пробелом, табуляцией или запятой; строки с начальным # или % служат комментариями.
Plot B-H Curve показывает точки и кубическую интерполяцию. Если редкая таблица вызывает немонотонную зависимость, программа сглаживает данные трёхточечным средним; итоговая кривая может заметно отклониться от данных изготовителя. Поэтому исправляйте недостаток исходных данных, а не принимайте отсутствие сообщения об ошибке за проверку материала. Логарифмический график исключает точку H=0 по математической причине.
За последней точкой FEMM линейно продолжает кривую. При глубоком насыщении это может завышать проницаемость: после решения сравните достигнутый диапазон B с таблицей. Для нелинейной гармоники поле \varphi _{h} задаёт максимальное гистерезисное запаздывание; это параметр модели, который обосновывают измерениями, а не произвольно подбирают для получения желаемого распределения поля.
В нелинейной гармонической модели заданный максимальный угол масштабируется текущей эффективной проницаемостью. В точке максимальной проницаемости он достигает \varphi _{\mathrm{hmax}}; при глубоком насыщении уменьшается вместе с отношением в формуле. Это принятая модель фазового запаздывания, а не восстановление измеренной петли гистерезиса во времени.
Обозначения и единицы
\mu_{\mathrm{eff}}(B) и \mu_{\mathrm{eff,max}} — значения одной амплитудной характеристики до задания фазового запаздывания; их отношение безразмерно.
\varphi_h и \varphi_{h\max} должны выражаться в одинаковых угловых единицах.
Условия применения. Нелинейная одночастотная магнитная постановка с выбранной моделью гистерезисных потерь. Для фазовых экспонент угол переводят из градусов интерфейса в радианы.
Проверьте на своей модели
Импортируйте таблицу с одной намеренно повторённой B в копии материала и объясните исчезновение точки.
Сопоставьте линейный и логарифмический графики; запишите максимальное допустимое B исходных данных.
Личная библиотека материалов и безопасное обновление
Material Library обменивает материалы текущей модели и библиотеки перетаскиванием. Двойной щелчок редактирует материал; контекстное меню корневой папки Library или Model содержит Import Materials для чтения другого файла библиотеки либо модели. Копия материала в расчётном документе должна иметь проверенное происхождение и диапазон применимости.
Перенос записи из Library Materials в Model Materials создаёт материал модели. Это не автоматическая замена уже назначенной марки во всех проектах. Перед изменением личной библиотеки сохраняйте её копию; перед расчётом проверяйте свойства материала именно внутри документа.
Обозначения на рисунке
Library Materials
Материалы библиотеки
Model Materials
Материалы текущей модели
Hard Magnetic Materials
Магнитотвёрдые материалы
Soft Magnetic Materials
Магнитомягкие материалы
Solid Non-Magnetic Conductors
Сплошные немагнитные проводники
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
FEMM 5 поставляет библиотеки рядом с программой, но после сохранения диалога создаёт личную копию: в Windows это %APPDATA%\FEMM, в macOS — ~/Library/Application Support/FEMM/, в Linux/FreeBSD — ~/.local/share/FEMM/. Имена четырёх библиотек: matlib.dat, statlib.dat, heatlib.dat, condlib.dat. Для сохранности пользовательских материалов важна именно личная копия.
Новая версия программы не подмешивает новые материалы в изменённую библиотеку автоматически: при изменении поставляемой версии диалог предлагает заменить личную библиотеку. Перед согласием сохраните её копию; для выборочного обновления используйте импорт. Файл .seed отмечает исходную версию и не является резервной копией. Старые фразы в скалярных разделах руководства о единственном расположении рядом с исполняемым файлом следует читать вместе с уточнением на с.36–37.
Проверьте на своей модели
Найдите файл личной библиотеки без удаления; сопоставьте один материал библиотеки и его копию в модели.
Опишите, что сохранится при выборочном импорте и что может замениться при принятии новой поставляемой библиотеки.
Два диэлектрика последовательно — аналитический эталон
Дано. Два слоя толщиной по 5 мм; \varepsilon_{r1}=2, \varepsilon_{r2}=4; площадь 0,001 м²; общее напряжение 100 В; свободного заряда на внутренней границе нет.
Непрерывность D_n и отношение E_{1}/E_{2}=\varepsilon _{2}/\varepsilon _{1}=2 следуют из закона Гаусса.
Общее падение напряжения распределяется как 66,6667 и 33,3333 В.
Ёмкость равна 2,361 пФ; |E_{1}|=13333{,}3333\,\mathrm{В/м}, |E_{2}|=6666{,}6667\,\mathrm{В/м}.
Проверка: Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
Практикум в FEMM 5
Создайте двухслойный диэлектрик; проверьте свойства каждой метки, отрезка и проводника через повторный выбор.
Откройте рабочую копию плоского конденсатора. Проведите вертикальную границу x=5\,\mathrm{мм} от y=0 до y=10\,\mathrm{мм}.
Создайте два материала с относительными диэлектрическими проницаемостями 2 и 4 и разместите по одной метке в каждом слое.
Не назначайте внутренней границе фиксированный потенциал: это граница материалов, а не третий электрод.
После расчёта снимите значения в (4,5) и (6,5) мм. Сопоставьте нормальные D и E, затем найдите заряд правого электрода.
Ожидаемый результат.C = 2{,}36111675008\,\mathrm{пФ}; U_{1} = 66{,}6667\,\mathrm{В}; U_{2} = 33{,}3333\,\mathrm{В}. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Обработка и анализ результатов
Почему напряжённость меняется на стыке диэлектриков?
Снимите потенциал, нормальные поле и смещение по обе стороны стыка двух материалов.
Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
С чем сравнить. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Итог работы. Таблица интерфейса с проверкой непрерывных величин и объяснением скачка поля.
Самостоятельная работа
Создайте двухслойный диэлектрик; проверьте свойства каждой метки, отрезка и проводника через повторный выбор. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Критерий выполнения: В модели две метки и два материала; внутренний стык не превращён в электрод; C\approx 2{,}36111675\,\mathrm{пФ}, а E_{1}/E_{2}\approx 2.
