Занятие 2.3

Копирование, перенос, поворот и отражение геометрии без потери свойств

Цель и задачи

Цель. Отличать перенос геометрии от физического масштабирования.

Задачи

Различайте перенос, зеркальное отражение и изменение масштаба геометрии, используя размерность ёмкости.
Сохраните ёмкость и поле исходного, перенесённого и увеличенного конденсаторов при прежней глубине.

Что нужно вспомнить перед началом

Перед началом: 2.2 · Метки областей, группы и назначение свойств во всех четырёх модулях

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Проверка размерности и перенос результата между размерами

Инженерный вопрос. Какие преобразования сохраняют ёмкость и какие меняют поле?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Выведите степень масштабирования из геометрии интеграла. Отдельно рассмотрите изменение глубины плоской модели и изменение всех линейных размеров.
Ёмкость плоского конденсатора без краевого поля — аналитический эталон. Проверьте отношения величин аналитически до переноса чисел на другую геометрию.
Создайте групповой выбор конденсатора, перенесите его на 20 мм и сравните результат; затем удвойте поперечные размеры при прежней глубине.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните ёмкость и поле исходного, перенесённого и увеличенного конденсаторов при прежней глубине.
Ответить на вопрос по своим результатам. Вычислите отношения величин до и после изменения; отдельно отметьте локальные и интегральные результаты.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Таблица отношений с объяснением роли масштаба и полноты группового выбора.

Данные именно этого опыта. Сохраните ёмкость и поле исходного, перенесённого и увеличенного конденсаторов при прежней глубине.

Оформление наблюдений. Таблица исходного и изменённого масштабов, отношений локальных и интегральных величин, с указанием неизменных источников.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Независимый контроль. Сопоставьте отношения с выведенным законом подобия и проверьте, что объёмный множитель не учтён дважды.

Критерий выполнения. Перенос не меняет C; подобное увеличение сечения при прежней глубине сохраняет C и уменьшает |E| вдвое. Каждая копия имеет собственные метки.

Точность и расхождения. Оцените отклонение отношения от закона подобия при согласованных сетке и источниках. При нулевой исходной величине используйте абсолютную разность с единицей.

Основание сравнения. Используйте объёмные множители и законы подобия, выведенные в занятии. Глубина плоской модели и радиальное интегрирование осесимметричной модели имеют разный смысл.

Вывод для устройства

Укажите, позволяет ли такой перенос оценивать новый размер устройства и какие торцевые, тепловые или нелинейные эффекты разрушают подобие.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Теория и вывод формул

Копирование, перенос, поворот и отражение преобразуют выбранные объекты модели. Согласованное выделение узлов, линий, дуг и меток позволяет сохранить геометрию устройства вместе с назначенными свойствами.

Соглашения об обозначениях и единицах

\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(2.3) · Вывод контрольного соотношения

Физический и методический смысл

Преобразование действует на выбранные объекты. При переносе устройства необходимо включить узлы, линии, дуги и метки, сохранив назначенные свойства.

Масштабирование геометрии не является пересчётом материала. При неизменном U и увеличении всех поперечных размеров в s раз напряжённость уменьшается в s раз; ёмкость плоского подобного сечения при неизменной глубине сохраняется.

Вывод контрольного соотношения

Различайте перенос, зеркальное отражение и изменение масштаба геометрии, используя размерность ёмкости.

C=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{g},\quad Q=CU,\quad W=\frac12 CU^2

(2.3)

Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.

Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.

Границы применимости. Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.

Связь с опытом в FEMM

Создайте групповой выбор конденсатора, перенесите его на 20 мм и сравните результат; затем удвойте поперечные размеры при прежней глубине.

Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.

Проверка и границы вывода

Перенос не меняет C; подобное увеличение сечения при прежней глубине сохраняет C и уменьшает |E| вдвое. Каждая копия имеет собственные метки.

При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются.

Копирование только контуров оставляет новые области без материалов; отражение обмотки требует отдельной проверки знаков токов.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

DXF: допуск слияния узлов и перенос свойств

Импорт FEMM ориентирован на двумерный DXF revision 13 и извлекает линии, окружности и дуги. Неизвестные записи пропускаются. Поэтому наличие объекта в CAD не доказывает его появления в расчётной геометрии: после File/Import DXF сравните число замкнутых областей и характерные размеры с исходным чертежом.

Запрошенный при импорте tolerance — максимальное расстояние, при котором две точки считаются одной. Слишком малое значение оставляет щели и дубли; слишком большое сливает реальные тонкие зазоры. Выбирайте допуск существенно меньше минимального физического зазора и повторяйте проверку топологии. Большой чертёж может импортироваться медленно из-за проверки согласованности, а не из-за зависания.

Рамочное выделение Select Group включает только объекты текущего типа, полностью попавшие внутрь рамки. Чтобы перенести деталь с материалом, захватите также её метки и связанные границы либо заранее используйте ненулевую группу. Undo отменяет последнее добавление или удаление геометрии; для серии преобразований сохраняйте отдельный вариант. Export DXF передаёт геометрию обратно в CAD, после повторного импорта физические свойства восстанавливают и проверяют.

Проверьте на своей модели

Импортируйте образец с известным зазором дважды с различными допусками; сохраните значение, при котором зазор и замкнутость сохранены.
После копирования проверьте, что новые области имеют собственные метки и нужные граничные свойства.

Источник: [33]. § 2.1 · § 2.2.5

Разобранный численный пример

Ёмкость плоского конденсатора без краевого поля — аналитический эталон

Дано. Зазор g=10\,\mathrm{мм}; высота электрода 10 мм; глубина 100 мм; S=0{,}001\,\mathrm{м^2}; \varepsilon_r=2; U=100\,\mathrm{В}.

Переведите g=0{,}01\,\mathrm{м} и S=0{,}01\cdot 0{,}1=0{,}001\,\mathrm{м^2}. Примите \varepsilon _{0}=8{,}8541878128\cdot 10^{-12}\,\mathrm{Ф/м}.
Ёмкость равна 1,771·10⁻¹² Ф. Заряд электрода положительного потенциала равен +1{,}77083756256\cdot 10^{-10} Кл.
Энергия равна 8,854·10⁻⁹ Дж; сумма зарядов двух электродов равна нулю.

Ответ: C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж.

Проверка: При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.

Практикум в FEMM 5

Создайте групповой выбор конденсатора, перенесите его на 20 мм и сравните результат; затем удвойте поперечные размеры при прежней глубине.

Таблица 2.3. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Зазор	10	мм
Глубина	100	мм
\varepsilon_r	2	1
U	100	В

Создайте Electrostatics Problem; Problem Definition: millimeters, Planar, Depth=100, Precision=1e-8.
Постройте узлы (0,0), (10,0), (10,10), (0,10), соедините четырьмя отрезками. Добавьте одну метку внутри; \varepsilon_x=\varepsilon_y=2.
Задайте проводникам имена left и right: потенциалы 0 и 100 В. Назначьте проводники соответствующим вертикальным отрезкам; не дублируйте их независимыми зарядовыми условиями.
После решения откройте Conductor Properties и прочитайте V, Q. Выделите весь диэлектрик и найдите энергию блоковым интегралом. Вычислите C=Q_{\mathrm{right}}/100 и сравните с 2W/100^{2}.

Ожидаемый результат. C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.

Как проверить. При U=200\,\mathrm{В} заряд удваивается, энергия увеличивается в четыре раза. При удвоении глубины C, Q, W удваиваются. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Обработка и анализ результатов

Какие преобразования сохраняют ёмкость и какие меняют поле?

Сохраните ёмкость и поле исходного, перенесённого и увеличенного конденсаторов при прежней глубине.
Вычислите отношения величин до и после изменения; отдельно отметьте локальные и интегральные результаты.

С чем сравнить. Используйте объёмные множители и законы подобия, выведенные в занятии. Глубина плоской модели и радиальное интегрирование осесимметричной модели имеют разный смысл.

Итог работы. Таблица отношений с объяснением роли масштаба и полноты группового выбора.

Самостоятельная работа

Создайте групповой выбор конденсатора, перенесите его на 20 мм и сравните результат; затем удвойте поперечные размеры при прежней глубине. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.

Критерий выполнения: Перенос не меняет C; подобное увеличение сечения при прежней глубине сохраняет C и уменьшает |E| вдвое. Каждая копия имеет собственные метки.

Первоисточники и дополнительное чтение по занятию

[33] — 22–24, 99–105, 117–122

Пояснения и типичные ошибки

Почему удвоение размеров x, y не удваивает ёмкость этого плоского эталона?

Высота электрода и зазор увеличиваются одинаково, их отношение и глубина остаются прежними.

Какое контрольное число и единица проверяют этот опыт?

C = 1{,}77083756256\,\mathrm{пФ}; Q+ = 177{,}083756256 пКл; W = 8{,}8541878128 нДж.

При каких предположениях получена приведённая формула?

На что обратить внимание

Копирование только контуров оставляет новые области без материалов; отражение обмотки требует отдельной проверки знаков токов.
Линейный диэлектрик; полный заряд электрода, а не плотность заряда; идеальные боковые условия исключают бахрому.