Воздушная катушка1 — Обмотка · 2 — r₂ = 30 ммРасчётный образец. Осесимметричное сечение; показана одна сторона обмотки. Размер r₁ отсчитывается от оси до внутренней поверхности, r₂ — до наружной.Открыть SVG целикомРезультат отдельноИсходная учебная модель
Цель и задачи
Цель. Оценить физический смысл гармонического решения катушки.
Задачи
Различать амплитудные и действующие комплексные значения.
Отличать токопроводимость от гармонического расчёта магнитного поля.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Теоретическое занятие с количественной проверкой · Согласование комплексного отклика и средней мощности
Инженерный вопрос. Чем комплексная амплитуда отличается от мгновенного поля?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Численный пример объясняет смысл комплексной амплитуды и границы гармонического приближения.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Зафиксируйте частоту, фазовый нуль и амплитудную либо действующую нормировку; отдельно запишите действительную и мнимую части уравнения.
Гармонический ток воздушной обмотки. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните частоту, нормировку тока и комплексное поле в контрольной точке.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте действительную и мнимую части отдельно, затем фазу и мощность; явно сохраните амплитудную либо действующую нормировку.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Комплексное значение и восстановленный фазовый смысл с границами гармонической постановки.
Данные именно этого опыта. Сохраните частоту, нормировку тока и комплексное поле в контрольной точке.
Оформление наблюдений. Частота, \operatorname{Re} и \operatorname{Im} входных и выходных величин, единицы, нормировка и средняя мощность; модуль без фазы недостаточен.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Не ожидайте вихретоковых потерь в материале с \sigma=0. Во всех таблицах отмечайте амплитудный или действующий способ записи.
Независимый контроль. Сопоставьте комплексное уравнение целиком, отдельно баланс активной мощности и допустимый низкочастотный или постоянный предел.
Критерий выполнения.I_{\text{амп}}=10 \,\text{А}; \delta\approx 0{,}935 \,\text{мм}; при R=2 \,\text{Ом} P=100 \,\text{Вт}. Правильно названы ограничения модели.
Точность и расхождения. Используйте модуль комплексной разности, а не разность модулей. Для исчезающей компоненты приводите абсолютное расхождение и фиксированный физический масштаб.
Основание сравнения. Опора — комплексные уравнения и определение средней мощности из занятия. Не смешивайте амплитудные и действующие значения и не заменяйте комплексную невязку одной разностью модулей.
Вывод для устройства
Объясните, как фазовый отклик влияет на параметр цепи, реактивную составляющую или потери в исследуемом режиме.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Дополнительный расчётный метод
Короткозамкнутый виток: поверхностный эффект и потери
Ток, фазовый сдвиг, сопротивление и потери замкнутого витка связывают поверхностный эффект с электрической нагрузкой и нагревом.
Формула относится к синусоидальному току. Если API возвращает амплитудный фазор, при переходе к средней активной мощности появляется множитель 1/2.Численный пример применения метода
Для замкнутого витка задана амплитуда синусоидального тока 100 А, Rac=0,060 Ом, Rdc=0,040 Ом при одной температуре. Это заданные данные аналитического эталона.
Действующий ток I_{\mathrm{rms}}=70.710678 А.
Потери AC=300.000 Вт; при том же действующем токе DC=200.000 Вт.
Численно усредняем i(t)²Rac по 4096 равномерным отсчётам периода и получаем те же 300 Вт.
Ответ.P_{\mathrm{ac}}=300 Вт, P_{\mathrm{dc}}=200 Вт, k_R=1{,}5. Подстановка амплитуды 100 А вформулуI²R без 1/2 дала бы 600 Вт и удвоила бы рассчитанный нагрев.
Страницы источника. PDF 1–2: постановка; 2–3: измеряемые величины, частота и варианты
Законы Максвелла определяют выбор измерения в FEMM. Пример с электродами показывает, почему сопротивление зависит от всей краевой задачи, включая форму контактов.
Получаемые величины. циркуляция H и охваченный ток; баланс потоков B; ток и сопротивление по электродам; проверка режима квазистатики
Задать ориентацию контура и поверхности.
Сопоставить интеграл с источником и локальные производные с материальным законом.
Для одного проводящего тела изменить расположение электродов при прежнем материале.
Сравнить сопротивление и потери; определить, какие члены полной системы нужны выбранному модулю FEMM.
Страницы источника. PDF 1–20 полностью: 1–2 постановка; 3–15 ротор, циркуляция, дивергенция и поток; 16–20 заряд, закон Ома, материальные уравнения и ток смещения.
Электродинамические поля и проникновение в проводящий массив
Глубина проникновения, фаза и вихревые потери позволяют оценить проводящий массив и шихтовку. Сравнение выполняют при одном физическом условии: поверхностном поле, средней индукции или полном потоке.
Получаемые величины.\Delta=√(2/(\omega \mu \sigma )); комплексные B(z), J(z) и фаза; Вт/м³ и Вт вихревых потерь; отношение потерь сплошной и шихтованной области
Объявить постоянные \mu,\sigma и амплитудную нормировку.
Проверить экспоненциальное затухание и фазу в полупространстве.
Для пластины задать одинаковые условия на обеих сторонах и сравнить профиль.
Вычислить потери с множителем 1/2 для амплитуд и сопоставить при одном фиксированном поле/потоке.
Сравнить сплошной и шихтованный варианты, сохраняя фактическую среднюю индукцию и геометрию.
Страницы источника. PDF 1–42 полностью: 1–8 уравнения и энергия; 9–18 полупространство; 19–23 интегральные величины; 24–33 пластина; 34–42 потери и шихтовка.
Стационарный и гармонический расчёты описывают различные режимы электромагнитного поля. Обоснованный выбор режима позволяет установить, какие свойства устройства воспроизводит модель и какие выводы допускает полученное решение.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
До сих пор поля в курсе были неподвижны во времени: заряды покоились, токи не менялись. Стоит индукции B начать изменяться — и электрическое поле перестаёт быть потенциальным: у него появляются замкнутые линии, циркуляция по контуру становится отличной от нуля, а разность потенциалов между двумя точками начинает зависеть от пути. Это и есть электромагнитная индукция, открытая Фарадеем и записанная Максвеллом в виде уравнения.
Второе, чисто математическое обстоятельство: в энергетике, электромеханике и индукционном нагреве подавляющее большинство процессов — гармонические, с одной частотой f (50 Гц, 400 Гц, десятки килогерц). Для них все уравнения линейной теории поля можно освободить от времени, заменив производную ∂/∂t умножением на число. Инструмент такой замены — комплексные амплитуды, или фазоры. Весь модуль о гармонических полях, включая вихревые токи и скин-эффект, написан на этом языке, поэтому соглашения о фазорах нужно усвоить до мелочей.
Закон электромагнитной индукции
Пусть L — неподвижный замкнутый контур, S — любая натянутая на него поверхность, n — единичная нормаль к S, согласованная с направлением обхода по правилу правого винта (см. поток и потокосцепление). Магнитный поток через S: Φ=∫SB⋅ndS.
Закон Фарадея в интегральной форме
Циркуляция напряжённости электрического поля по неподвижному контуру равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через любую поверхность, опирающуюся на этот контур:
∮LE⋅dl=−dtdΦ=−dtd∫SB⋅ndS.
Левая часть называется электродвижущей силой (ЭДС) e контура, единица — вольт. Знак «минус» выражает правило Ленца: индуцированное поле стремится препятствовать изменению потока.
Так как контур неподвижен, производную по времени можно внести под знак интеграла. Применив теорему Стокса к левой части, получаем ∫S∇×E⋅ndS=−∫S∂t∂B⋅ndS. Поверхность S произвольна, значит, равны подынтегральные выражения.
Дифференциальная форма закона Фарадея
∇×E=−∂t∂B.
Переменное магнитное поле является источником вихрей электрического поля. В статике (∂B/∂t=0) получаем ∇×E=0, и поле снова потенциально. Дифференциальная форма — локальное утверждение: она связывает величины в одной и той же точке и не требует никакого контура.
Для обмотки из N витков, каждый из которых сцеплён с потоком Φk, ЭДС складываются, и e=−dΨ/dt, где Ψ=∑kΦk — потокосцепление. Условие согласованной ориентации (нормаль — по правому винту от направления обхода, в котором отсчитывается e) здесь обязательно: без него знак ЭДС лишён смысла.
ЭДС трансформаторная и ЭДС движения
Поток через контур может изменяться по двум причинам: меняется само поле B(t) при неподвижном контуре (трансформаторная ЭДС, именно её описывает ∇×E=−∂B/∂t) или контур движется либо деформируется в постоянном поле (ЭДС движения, равная ∮(v×B)⋅dl, где v — скорость элемента контура). В общем случае движущегося контура полная ЭДС по-прежнему равна −dΦ/dt, если поток вычислять через поверхность, перемещающуюся вместе с контуром [Тамм]. В этом уроке и во всём модуле контуры неподвижны, и речь идёт только о трансформаторной ЭДС.
Гармонические процессы и комплексные амплитуды
Гармоническая величина x(t)=Xmcos(ωt+ψ) задаётся тремя числами: амплитудой Xm, угловой частотой ω=2πf и начальной фазой ψ. В линейной системе, возбуждаемой на одной частоте, все величины имеют одну и ту же ω, поэтому для каждой из них достаточно хранить пару (Xm,ψ) — то есть одно комплексное число.
Комплексная амплитуда (фазор)
Гармонической величине x(t)=Xmcos(ωt+ψ) сопоставляется комплексное число
X˙=Xmejψ,такчтоx(t)=Re{X˙ejωt}.
Здесь j — мнимая единица, j2=−1. Модуль фазора ∣X˙∣=Xm — амплитудное значение, аргумент — начальная фаза. Это соглашение курса: фазоры амплитудные, а не действующие, и временной множитель — ejωt (а не e−jωt, как в части физической литературы).
Два пояснения к определению. Мнимую единицу в электротехнике обозначают j, а не i, потому что буква i занята мгновенным током i(t); это соглашение закреплено в глоссарии. Выбор амплитудных, а не действующих фазоров важен тем, что все формулы для мощности и энергии приобретают множитель 21, о чём ниже; в литературе по электрическим цепям [Демирчян] фазоры чаще действующие, поэтому при сопоставлении формул проверяйте соглашение.
Определение распространяется на векторные поля покомпонентно: E(r,t)=Re{E˙(r)ejωt}, где E˙(r) — комплексный вектор, каждая декартова компонента которого есть фазор. Фазы компонент могут быть разными: тогда конец вектора E(t) описывает в пространстве эллипс, а не отрезок.
Дифференцирование и интегрирование фазоров
dtdx=Re{jωX˙ejωt}⟺X˙↦jωX˙,∫xdt⟺X˙↦jωX˙.
Доказательство — прямое дифференцирование: операции d/dt и Re линейны и перестановочны, а dejωt/dt=jωejωt. Умножение на j=ejπ/2 поворачивает фазор на +90°: производная опережает исходную величину на четверть периода, интеграл отстаёт.
Поэтому закон Фарадея для гармонических полей читается без времени: ∇×E˙=−jωB˙, а ЭДС обмотки — E˙=−jωΨ˙. Любое линейное уравнение с постоянными коэффициентами переводится на язык фазоров заменой ∂/∂t→jω; обратный переход — умножение на ejωt и взятие вещественной части.
Переход оправдан только для линейных операций: сложения, умножения на вещественную константу, дифференцирования. Произведение двух гармонических величин уже не гармоническое (оно содержит постоянную составляющую и вторую гармонику), поэтому мощность и энергию через фазоры вычисляют особым образом (см. ниже). К нелинейным системам — например, к насыщенному сердечнику — фазоры применимы лишь приближённо, по первой гармонике.
Фазорная диаграмма
Фазор изображают стрелкой на комплексной плоскости: длина — амплитуда, угол с вещественной осью — начальная фаза. Мгновенное значение — это проекция на вещественную ось стрелки, повёрнутой на угол ωt; удобно считать, что все стрелки диаграммы вращаются с одной угловой скоростью против часовой стрелки, а мы смотрим на «остановленный» кадр при t=0. Сложение гармонических величин одной частоты — это сложение стрелок по правилу параллелограмма; сдвиг на 90° — поворот. Диаграмма позволяет решать задачу о фазах «на глаз»: например, сразу видно, что ЭДС E˙=−jωΨ˙ отстаёт от потокосцепления на 90°.
Мгновенные, амплитудные, действующие и средние значения
Действующее значение
Действующим (среднеквадратичным) значением периодической величины x(t) с периодом T называют
X=T1∫0Tx2(t)dt.
Для гармонической величины X=Xm/2≈0,707Xm. Заявленные изготовителем напряжения и токи («220 В», «10 А») — действующие значения; амплитуда сетевого напряжения 220 В равна 2202≈311 В.
Действующее значение — это такое постоянное значение тока, которое выделяет в сопротивлении R ту же среднюю мощность: ⟨Ri2⟩=RI2. Отсюда и его роль в расчётах потерь.
Средняя мощность через фазоры
Пусть u(t)=Re{U˙ejωt}, i(t)=Re{I˙ejωt}, где U˙=Umejψu, I˙=Imejψi — амплитудные фазоры. Мгновенная мощность
p(t)=ui=UmImcos(ωt+ψu)cos(ωt+ψi)=21UmIm[cos(ψu−ψi)+cos(2ωt+ψu+ψi)].
Второе слагаемое колеблется с удвоенной частотой и за период даёт нуль. Средняя (активная) мощность
P=⟨p⟩=21UmImcosφ=21Re{U˙I˙∗},φ=ψu−ψi,
где звёздочка — комплексное сопряжение. Если бы фазоры были действующими, U˙д=U˙/2, I˙д=I˙/2, множитель 21 исчез бы: P=Re{U˙дI˙д∗}=UIcosφ. В курсе фазоры амплитудные, поэтому во всех формулах для средней мощности и средней энергии стоит множитель 21.
Та же конструкция даёт комплексную мощность S~=21U˙I˙∗=P+jQ, где Q=21UmImsinφ — реактивная мощность, а ∣S~∣=21UmIm=UI — полная. Для полей: средняя объёмная плотность потерь Джоуля ⟨J⋅E⟩=21Re{J˙⋅E˙∗}=21σ∣E˙∣2, средняя плотность энергии магнитного поля в линейной среде ⟨21B⋅H⟩=41Re{B˙⋅H˙∗}=41μ∣H˙∣2. Общее правило: среднее за период от произведения двух гармонических величин равно половине вещественной части произведения фазора одной на сопряжённый фазор другой.
Величина
Определение
Связь для синусоиды
Мгновенное значение x(t)
функция времени
Xmcos(ωt+ψ)
Амплитуда Xm
наибольшее значение
=∣X˙∣
Действующее значение X
среднеквадратичное
Xm/2
Среднее значение ⟨x⟩
T1∫0Txdt
0
Средняя мощность P
⟨ui⟩
21Re{U˙I˙∗}=UIcosφ
Пример: ЭДС катушки в переменном поле
ЭДС и действующее напряжение обмотки
Катушка из N витков охватывает поток Φ(t)=Φmcosωt, одинаковый для всех витков, так что Ψ=NΦ. При согласованной ориентации
e=−NdtdΦ=NωΦmsinωt=NωΦmcos(ωt−90°).
В фазорах: Φ˙=Φm (вещественный, фаза нуль), E˙=−jωNΦ˙=ωNΦme−jπ/2. ЭДС отстаёт от потока на 90°: когда поток максимален, его скорость изменения — и ЭДС — равна нулю. Амплитуда Em=ωNΦm=2πfNΦm, действующее значение
E=22πfNΦm≈4,44fNΦm.
Это формула трансформаторной ЭДС, по которой рассчитывают число витков обмоток. Числа: f=50 Гц, N=200, сечение сердечника S=10 см² =10−3 м², Bm=1,2 Тл, тогда Φm=BmS=1,2⋅10−3 Вб, Em=314,2⋅200⋅1,2⋅10−3=75,4 В, E=75,4/2=53,3 В; проверка по формуле 4,44⋅50⋅200⋅1,2⋅10−3=53,3 В.
Трансформатор на холостом ходу
Если к первичной обмотке (N1 витков) приложено напряжение U˙1, а сопротивлением обмотки можно пренебречь, то напряжение уравновешивает ЭДС: U˙1=−E˙1=jωN1Φ˙. Отсюда Φ˙=U˙1/(jωN1): поток отстаёт от напряжения на 90°, а его амплитуда задаётся напряжением и частотой, а не током — ток холостого хода лишь таков, каков нужен для создания этого потока по кривой намагничивания сердечника. Во вторичной обмотке U˙2=jωN2Φ˙ при той же ориентации, поэтому U˙2/U˙1=N2/N1 — напряжения синфазны (или противофазны при обратной ориентации витков), а их отношение равно отношению чисел витков [Бессонов].
Распространённые заблуждения
Сложение действующих значений. Если i1(t) и i2(t) сдвинуты по фазе, действующее значение суммы не равно сумме действующих значений. Складывать можно только фазоры (как комплексные числа) или мгновенные значения; действующее значение берётся у результата.
Фазор — «вектор в пространстве». Фазор — комплексное число, изображающее фазу и амплитуду скалярной функции времени. Стрелка на фазорной диаграмме ничего не говорит о направлении поля в пространстве. У векторного поля три компоненты, и у каждой свой фазор.
Пропущенная половина. Запись P=Re{U˙I˙∗} верна только для действующих фазоров. С амплитудными фазорами курса она завышает мощность вдвое. Ту же ошибку делают, записывая плотность потерь как σ∣E˙∣2 вместо 21σ∣E˙∣2.
Смена знака временной зависимости. При соглашении e−jωt производная переходит в −jω, индуктивное сопротивление становится отрицательным, а знак глубинного фазового сдвига в скин-эффекте меняется. Смешивать источники с разными соглашениями нельзя без пересчёта.
Фазоры для нелинейных процессов. Если ток содержит высшие гармоники (насыщение), один фазор его не описывает; формулы вида P=21Re{U˙I˙∗} дают лишь мощность первой гармоники.
Вопросы и упражнения
Ток i(t)=5cos(314t−30°) А. Запишите фазор I˙ и фазор производной di/dt; найдите амплитуду и фазу производной. Чему равно действующее значение тока?
Два тока одной частоты: i1=10cosωt А и i2=10cos(ωt+90°) А, текут в одном проводнике. Найдите амплитуду и действующее значение суммарного тока. Сравните с «арифметической» суммой действующих значений и объясните расхождение.
Обмотка из N=500 витков, Φm=2 мВб, f=50 Гц. Найдите амплитудное и действующее значения ЭДС. Как они изменятся при f=400 Гц и том же Φm?
U˙=100 В, I˙=2e−j60° А (амплитудные фазоры). Найдите активную, реактивную и полную мощность. Отстаёт ток от напряжения или опережает?
Покажите, что среднее за время произведения двух гармонических величин разных частот равно нулю. Что это означает для потерь от двух гармоник тока в одном сопротивлении?
В области с переменным B взяты две точки A и B. Используя интегральный закон Фарадея, объясните, почему показание вольтметра, подключённого к этим точкам, зависит от того, как проложены его провода.
Ответы к пунктам 1, 2 и 4
1.I˙=5e−j30° А; производная jωI˙=314⋅5ej(90°−30°)=1570ej60° А/с — амплитуда 1570 А/с, фаза +60°. Действующее значение 5/2=3,54 А.
2.I˙=10+10j=102ej45° А: амплитуда 14,1 А, действующее значение 10 А. Сумма действующих значений 7,07+7,07=14,1 А неверна: токи сдвинуты на четверть периода и их максимумы не совпадают.
4.P=21⋅100⋅2cos60°=50 Вт, Q=21⋅100⋅2sin60°=86,6 вар, ∣S~∣=100 В·А. Фаза тока −60° меньше фазы напряжения 0: ток отстаёт (индуктивный характер нагрузки).
Итоги
Закон Фарадея: ∇×E=−∂B/∂t локально и ∮E⋅dl=−dΦ/dt для неподвижного контура; ЭДС обмотки e=−dΨ/dt при согласованной ориентации.
Фазор X˙=Xmejψ задаёт гармоническую величину x(t)=Re{X˙ejωt}; в курсе фазоры амплитудные, временная зависимость ejωt, мнимая единица — j.
Производная по времени переходит в умножение на jω (поворот на +90°); закон Фарадея для гармонических полей: ∇×E˙=−jωB˙.
Действующее значение X=Xm/2; средняя мощность P=21Re{U˙I˙∗} с амплитудными фазорами (и Re{U˙I˙∗} с действующими); среднее от произведения — половина вещественной части произведения на сопряжённый фазор.
FEMM представляет магнитную гармонику через комплексные амплитуды при принятом множителе \exp(j\omega t). Действительное мгновенное поле получается как действительная часть этого произведения. Амплитудное значение синусоиды больше действующего в \sqrt{2} раз. При записи исходного тока необходимо прямо указать, какое значение используется. Для амплитудных комплексных U и I средняя мощность содержит множитель 1/2. Пропуск этого множителя приводит к двукратной ошибке потерь и к неверной энергетической проверке.
i(t)=\Re\{\widehat I e^{j\omega t}\},\quad I_{\text{д}}=\frac{|\widehat I|}{\sqrt2},\quad P=\frac12\Re\{\widehat U\widehat I^{*}\}
I_{\text{д}} — действующий ток в А; звёздочка означает комплексное сопряжение; P — средняя мощность в Вт.
Вихревые токи изменяют распределение поля
При ненулевой частоте проводник противодействует изменяющемуся потоку. В простом однородном полупространстве характерный масштаб проникновения задаётся глубиной \delta. Если \sigma=0, этот механизм отсутствует независимо от частоты. Для ферромагнетика магнитная проницаемость может зависеть от поля, а при гармоническом возбуждении — представляться комплексной величиной, поэтому простая формула \delta является начальной оценкой. Сетка должна разрешать слой проникновения; выбор h\approx \delta/3 помогает начать опыт, но сходимость интегральных потерь затем проверяется отдельным уточнением.
\delta в м; \mu — абсолютная проницаемость в \text{Гн}/\text{м}; \sigma — удельная электрическая проводимость в \text{См}/\text{м}. Формула предполагает линейную однородную среду.
Нелинейная гармоника — приближение
Насыщение создаёт гармоники даже при синусоидальном возбуждении. Строгое решение тогда требует учёта формы сигналов во времени. Нелинейный гармонический режим FEMM использует эффективное описание основной гармоники, а не автоматически восстанавливает все высшие гармоники. Полученная комплексная индуктивность содержит фазовый сдвиг и реакцию проводников; её нельзя без уточнений считать вещественной энергетической индуктивностью. Параметры потерь материала должны соответствовать принятой модели и частоте, иначе точная сетка не сделает потери достоверными.
Электростатика и токопроводимость
Электростатический модуль ищет скалярный потенциал V по заданным зарядам и электрическим границам. Модуль токопроводимости описывает проводящий и ёмкостный ток при малом влиянии магнитной индукции. Они решают другие уравнения и не являются подключённой внешней цепью магнитного трансформатора. Значение напряжения на магнитной обмотке выводится из тока и потокосцепления; нельзя задать в магнитном модуле одновременно произвольные ток и напряжение одной обмотки. Согласование с цепью рассматривается позже, сначала ручным решением простых уравнений.
Первое уравнение — электростатика; второе — гармоническая токопроводимость без объёмных источников тока.
Переходное поле и серия статических положений
Нестационарная магнитная задача имеет начальное состояние и временную историю токов и вихретоковой диффузии. Серия магнитостатических решений по положениям ротора этой памяти не содержит. Она полезна для карт потокосцеплений и моментов, а затем для связанной цепной модели при отдельно принятых упрощениях. Встроенный Python во второй части автоматизирует серии и может интегрировать такую цепь; это не превращает FEMM в прямой временной полевой решатель. Переходная теплопроводность, напротив, поддерживается шагами от предыдущего теплового решения и изучается в занятиях о нестационарном нагреве и тепловых циклах. Это отдельный модуль; его возможности не означают наличия переходного магнитного решателя.
Полноволновая граница применения
Если размеры сравнимы с длиной электромагнитной волны, требуется учёт распространения, тока смещения и излучения. Обычные низкочастотные модели электрических машин находятся в другом диапазоне, но быстрые импульсы преобразователя могут возбуждать ёмкостные эффекты в изоляции. Их нельзя получить увеличением частоты магнитной модели без смены физической постановки. Выбирайте режим по сформулированной цели: статический момент, установившееся вихретоковое экранирование, электрическая прочность изоляции или переходный пуск требуют разных моделей.
Фаза и амплитуда не являются двумя частотами
У токов двух обмоток может быть одинаковая частота и разная фаза. Комплексный коэффициент выражает эту фазу, а не отдельный временной шаг. Например, ток j А имеет ту же амплитуду один ампер, что ток один ампер, но сдвинут на четверть периода при принятой экспоненте. Пересчёт к действующим значениям делит модуль на \sqrt{2} и не меняет фазу. Суммирование комплексных токов выполняется как суммирование векторов, поэтому два одинаковых по модулю источника не всегда дают удвоенное поле. Для первого расчёта при синусоидальном токе отсутствие проводимости специально сохраняет простую фазовую связь: всё поле поворачивается по фазе вместе с источником, а пространственная форма остаётся прежней.
От временного закона к комплексной гармонике
Используется временной множитель e^{j\omega t}. Комплексные значения поля FEMM являются амплитудами; действующие значения вводятся отдельно.
Дифференцирование гармоники заменяет временную производную умножением на мнимую угловую частоту.
\partial_t\Re\{\widehat a e^{j\omega t}\}=\Re\{j\omega\widehat a e^{j\omega t}\}
Для однородного проводящего полупространства подстановка экспоненциального затухания в уравнение диффузии даёт одинаковые масштабы затухания и изменения фазы — глубину проникновения.
Электростатическая постановка исключает временные изменения, а токопроводимость описывает электрический потенциал с сохранением тока. Наличие частоты в последней не превращает её в полноволновую модель.
Границы применимости. Одна гармоника не определяет пусковой процесс и спектр коммутации. Формула глубины проникновения предполагает локальную линейную однородную среду и неприменима без оговорок к насыщенному слоистому сердечнику.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Четыре физических приближения и единицы источников
Одна и та же двумерная геометрия допускает несколько физических постановок. Магнитный модуль учитывает электромагнитную индукцию и токи проводимости, пренебрегая током смещения; электростатический модуль описывает поле неподвижных зарядов. Модуль протекания тока учитывает токи проводимости и смещения в приближении, исключающем существенное влияние магнитной индукции, а тепловой модуль решает задачу теплопроводности. В каждом случае выбирается плоскопараллельная или осесимметричная геометрия. Такой выбор не расширяет состав физических явлений: пространственное распределение общего вида, распространение электромагнитных волн и гидродинамика требуют других моделей.
В магнитостатике исходными соотношениями служат ротор H, равный плотности свободного тока, и нулевая дивергенция B. Запись B = \nabla\times A автоматически выполняет второе соотношение. При нелинейном материале следует оставлять проницаемость внутри дифференциального оператора. Заменить его постоянным множителем перед лапласианом допустимо лишь в однородной линейной изотропной области. Постоянный магнит требует дополнительного источника в материальном законе, как разобрано в занятии 8.3.
В магнитной гармонике используется временной множитель \exp (j\omega t). Проводящий ток складывается из вклада изменения векторного потенциала и вклада продольного электрического градиента потенциала. Последний обеспечивает ограничения полного тока в проводящих телах и цепях. Если оставить только слагаемое -j\omega \sigma A, можно получить неверный полный ток даже при визуально правдоподобном распределении вихревых токов. Отдельно заданную плотность возбуждения не следует второй раз включать в индуцированную составляющую.
Проводимость преобразует электрическое поле в плотность проводящего тока. В магнитной гармонической задаче E включает и индуцированную составляющую, и поле, поддерживающее заданный ток цепи. Эта J не означает автоматически всю правую часть уравнения, если отдельно введён источник Jsrc.
Условия применения. Линейная изотропная проводимость покоящегося материала. Поле \sigma в магнитном диалоге задано в МСм/м: для формулы значение умножают на 10⁶.
Изменяющаяся индукция создаёт вихревое электрическое поле. Знак минус согласует направление индуцированной ЭДС с законом Ленца. Поэтому в вихретоковой магнитной задаче нельзя в общем случае описать E только градиентом электрического потенциала.
Обозначения и единицы
\mathbf E — В/м; \mathbf B — Тл; t — время, с.
Обе части имеют единицу В/м².
Условия применения. Уравнение для неподвижного пространственного контура; движение проводника требует отдельного учёта электродвижущей силы движения.
Подстановка B=\nabla\times A переносит временную производную на векторный потенциал. Ротор суммы E+Ȧ становится нулевым; эту безвихревую часть можно представить градиентом скалярного потенциала. Так получается разложение электрического поля на индукционную и потенциальную части.
Обозначения и единицы
\dot{\mathbf A}=\partial\mathbf A/\partial t — В/м.
\nabla\times\dot{\mathbf A} — В/м².
Условия применения. Пространственная и временная производные переставляются для достаточно регулярных полей. Глобальное введение потенциала дополнительно учитывает связность области и ограничения цепей.
Индукционная и потенциальная части электрического поля
Первый член описывает действие изменяющегося магнитного поля, второй — продольный электрический градиент, необходимый, например, для поддержания тока проводящего тела. Нулевой заданный ток не означает нулевого индуцированного поля: градиент V подбирается так, чтобы выполнялось ограничение полного тока.
Обозначения и единицы
V — электрический скалярный потенциал, В; обе части правой стороны — В/м.
\mathbf A — Вб/м, точка означает производную по времени.
Условия применения. Покоящаяся проводящая область в принятой калибровке. В двумерной магнитной постановке продольный градиент задаётся ограничениями проводящих областей и цепей.
Применение закона Ома к двум составляющим E даёт индукционный ток и ток от градиента напряжения. Их алгебраическая сумма определяет локальную J. Интеграл этой суммы по сечению должен отвечать назначенному току цепи, поэтому отбрасывание второго слагаемого способно нарушить баланс.
Обозначения и единицы
\mathbf J — проводящий ток на единицу площади, А/м².
\sigma — См/м; \dot{\mathbf A} и \nabla V — В/м.
Условия применения. Изотропный закон Ома, без добавления стороннего объёмного источника тока в левую часть. Если Jsrc задаётся отдельно, он учитывается в следующем уравнении один раз.
Магнитное уравнение с проводящими и заданными токами
\nabla\times\left(\frac{1}{\mu(B)}\nabla\times\mathbf A\right)=-\sigma\dot{\mathbf A}+\mathbf J_{\mathrm{src}}-\sigma\nabla V
Правая часть содержит заданный источник и отклик проводящей среды. В отличие от электростатического токового модуля здесь сохранена магнитная индукция, но отброшен ток смещения. Это временная исходная запись для последующего перехода к одной гармонике; сама по себе она не означает наличие произвольного переходного магнитного расчёта в FEMM.
Обозначения и единицы
\mathbf J_{\mathrm{src}} — заданная плотность источника, А/м².
\sigma, \mu, \mathbf A, V выражаются в См/м, Гн/м, Вб/м и В.
Условия применения. Магнитоквазистатическое приближение и неподвижная среда. Ограничения полного тока обеспечиваются градиентом V; источник не должен дублироваться в проводящем слагаемом.
Амплитудное представление гармонического поля
\mathbf A(t)=\operatorname{Re}\!\left[\mathbf a(\cos\omega t+j\sin\omega t)\right]=\operatorname{Re}\!\left[\mathbf a e^{j\omega t}\right]
Комплексная величина a кодирует амплитуду и фазу одной установившейся гармоники. При a=are+j aim реальное поле равно are \cos (\omega t)−aim \sin (\omega t). Принятый знак \exp (j\omega t) определяет знаки мнимых частей потерь и правило замены временной производной на j\omega.
Обозначения и единицы
j^2=-1; \omega=2\pi f, рад/с; t — с.
\mathbf a — комплексная пиковая амплитуда A, Вб/м. Для одной скалярной синусоиды действующее значение равно |a|/\sqrt2.
Условия применения. Одна частота и установившийся режим. Пиковую амплитуду нельзя без пересчёта подставлять в формулу мощности, записанную для действующих значений.
Уравнение магнитной гармоники
\nabla\times\left(\frac{1}{\mu_{\mathrm{eff}}(B)}\nabla\times\mathbf a\right)=-j\omega\sigma\mathbf a+\widehat{\mathbf J}_{\mathrm{src}}-\sigma\nabla\widehat V
Производная по времени заменена умножением на j\omega, и решатель находит комплексное поле одной частоты. Для линейной среды это прямое гармоническое решение. В нелинейной среде эффективная проницаемость описывает приближение основной гармоники насыщенного отклика; высшие гармоники этим решением не восстанавливаются.
Обозначения и единицы
\mathbf a, \widehat{\mathbf J}_{\mathrm{src}}, \widehat V — комплексные пиковые амплитуды, соответственно Вб/м, А/м² и В.
\mu_{\mathrm{eff}} — абсолютная эффективная проницаемость, Гн/м; она может быть комплексной.
Условия применения. Магнитоквазистатика, временная конвенция \exp (j\omega t), заданная частота. Нелинейная гармоническая модель не равна нелинейному расчёту полного временного сигнала.
В оригинале V в гармоническом уравнении не отмечен шляпкой. Здесь она добавлена, чтобы явно отличать комплексную амплитуду от мгновенного потенциала.
В электростатике потенциальность E автоматически выполняет безвихревое условие Фарадея. В пояснении к (1.19) оригинал называет его законом Ампера; математически здесь используется именно \nabla\times E = 0. Для кусочно неоднородной или анизотропной среды правильна дивергентная форма уравнения, а не одна глобальная постоянная \varepsilon перед лапласианом. В тепловом модуле величина G руководства равна -\nabla T: это противоположность обычному математическому градиенту температуры. Плотность теплового потока F направлена от горячего к холодному.
В формулах СИ плотность магнитного тока J имеет единицу А/м², объёмный электрический заряд \rho — Кл/м³, объёмное тепловыделение q — Вт/м³; это разные типы источников. Абсолютные коэффициенты \mu, \varepsilon, k и \sigma имеют единицы Гн/м, Ф/м, Вт/(м·К) и См/м. Поля интерфейса могут использовать кратные единицы, например МСм/м для проводимости магнитного материала; перед подстановкой в формулы их переводят в СИ. Электрический ток через вывод в амперах и объёмная плотность тока не взаимозаменяемы без площади и распределения.
Графическая оболочка femm_gui и движок femm_headless готовят и обрабатывают документы; fkn, belasolv, hsolv и csolv решают соответственно магнитные, электростатические, тепловые и токовые задачи. Генератор сетки tangle интегрирован в решатели. Поэтому отсутствие видимого окна само по себе не меняет физическую постановку, а успешный запуск оболочки ещё не подтверждает получение решения. Документ с исходными данными и файл результата должны соответствовать одной версии геометрии и свойств.
\nabla\times\left(\frac{1}{\mu(B)}\nabla\times\mathbf A\right)=\mathbf J,\qquad \mathbf B=\nabla\times\mathbf A
Переход (1.31)–(1.32) от закона Ампера–Максвелла к сохранению полного тока. При E = -\nabla V и замене \partial t на j\omega получается токовое уравнение.
Три тепловых соотношения (1.21)–(1.23) в обозначениях руководства. G измеряется в К/м, F — в Вт/м², q — в Вт/м³; их подстановка даёт -\nabla\cdot (k \nabla T) = q.
Локальные сокращения для однородных линейных изотропных областей; для векторного магнитного равенства дополнительно используется калибровка \nabla\cdot A = 0. Последнее равенство — предел токовой задачи при нулевой частоте. На интерфейсах возвращаются к дивергентной форме.
Электростатика, стационарная теплопроводность и гармоническое протекание тока без внутренних источников полного тока. Жирные материальные коэффициенты допускают тензорное представление; упрощение до лапласиана требует постоянных скалярных коэффициентов.
Проверьте на своей модели
Для токовой задачи при частоте, стремящейся к нулю, ёмкостный член должен исчезнуть; для магнитной задачи с нулевой проводимостью исчезают вихревые токи.
При переносе джоулевых потерь в тепловую модель передавайте Вт/м³ либо согласованную полную мощность, а не электрическую плотность тока.
Перед расчётом укажите, какой отброшенный член уравнений мал именно для выбранного устройства и наблюдаемой величины.
Как строится эффективная \(B\)–\(H\)-кривая основной гармоники
Нелинейная система при синусоидальном возбуждении обычно отвечает несинусоидально. Поэтому выражение «нелинейный гармонический расчёт» в FEMM обозначает приближение: учитывается изменение амплитуды и фазы основной гармоники из-за насыщения и принятых потерь, а высшие гармоники не восстанавливаются. Даже идеально сошедшееся решение не даёт форму броска тока включения, остаточное состояние, спектр искажённой волны или временную историю размагничивания.
Приложение A.4 уточняет, какая величина принимается синусоидальной при построении эффективной характеристики: это H. Для каждого уровня амплитуды H по исходной статической кривой определяют B(t), затем выделяют первую гармонику B. В ходе этой процедуры между пользовательскими точками B(H) применяется линейная интерполяция. Новые точки имеют те же значения H, что исходный набор, но скорректированные значения амплитуды B. Это не простая подстановка DC-проницаемости B/H в комплексное уравнение.
В описании FEMM синусоидальной принимается H, а эффективная амплитуда B берётся как первая гармоника нелинейного отклика. Это объясняет расширение эффективной B–H-кривой и отбрасывание высших гармоник.
Обозначения и единицы
H_m — амплитуда напряжённости, А/м; B(H) — исходная характеристика с B в Тл; B_1 — амплитуда первой гармоники, Тл; \omega — рад/с; t — с; \theta — рад.
Условия применения. Запись раскрывает основную идею без отдельного гистерезисного фазового сдвига; для полного FEMM-материала он учитывается дополнительной моделью.
В PDF первая гармоника описана словами. Интегральная запись дана для обучения и не утверждает, что FEMM выполняет именно такое численное квадратурное вычисление.
Для симметричной однозначной кривой и косинусоидального H амплитуда основной гармоники B получается интегралом Фурье. На насыщенной кривой сама форма B(t) может быть близка к ограниченной волне; амплитуда её первой гармоники способна превышать максимальное мгновенное значение исходной волны. Поэтому эффективную амплитуду нельзя без проверки читать как физический пик истинного несинусоидального B(t). Выбор синусоидальной B вместо H дал бы другую эффективную характеристику; именно поэтому важно знать соглашение FEMM.
Далее применяется модель нелинейного гистерезисного отставания. Руководство описывает связь угла отставания с проницаемостью, обеспечивающую принятую зависимость потерь от квадрата амплитуды B. Это параметризованная модель, а не восстановление реальной петли по одной статической кривой. Произвольный закон Штейнмеца с фиксированным показателем, особенно в пределе малой индукции, не следует считать автоматически встроенным в эту процедуру.
Две разные зависимости потерь от амплитуды индукции
Модель нелинейного гистерезисного запаздывания FEMM выбрана так, что потери пропорциональны квадрату B. Приведённая в обсуждении степень 1,6 относится к сравнению со степенной моделью Штейнмеца, а не к универсальному показателю для любой стали.
Обозначения и единицы
p_h — плотность гистерезисных потерь, Вт/м³; B — амплитуда индукции, Тл. Знак пропорциональности подразумевает коэффициенты с соответствующими единицами.
Условия применения. Сравнение зависимостей при фиксированных остальных условиях. При B\to0 попытка получить закон |B|^{1.6} только настройкой фазового запаздывания становится проблемной.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
Для нелинейного пакета с листами в плоскости выполняется ещё один этап: при каждом выбранном H решается одномерная нелинейная гармоническая задача по толщине листа. Вычисляется полный поток, затем он делится на толщину листа и учитывается коэффициент заполнения пакета. Так получается эффективная B(H)-характеристика, объединяющая насыщение, гистерезисную модель и вихревые токи листа. Общая двумерная сетка пакета не обязана геометрически разрешать каждый лист, но исходные толщина, проводимость, заполнение и данные B(H) остаются обязательными.
В учебном отчёте следует разделять три уровня: исходную статическую кривую производителя или учебного примера; эффективную характеристику, используемую одночастотной моделью; физическую временную волну, которую эта модель полностью не вычисляет. Сравнение с экспериментом либо переходным решателем должно использовать одинаково определённую основную гармонику и одинаковую нормировку амплитуд. Сравнение RMS всей искажённой волны только с RMS первой гармоники систематически теряет вклад высших гармоник.
Для действительной периодической скалярной компоненты поля B_{0} — постоянная составляющая, а комплексные \widehat{B}_{n} — амплитуды гармоник. Одночастотный расчёт не вычисляет весь ряд.
Проверьте на своей модели
Проверьте процедуру выделения гармоники на линейной B(H): результат должен совпасть с \mu H_{m}.
В сравнении с измерением укажите, сопоставляется ли амплитуда первой гармоники, полный пик или полное действующее значение.
Не называйте одну нелинейную AC-точку расчётом переходного пуска или полной петли гистерезиса.
Проверка: Та же мощность получается как R\cdot I_{\text{д}}^2; при 5 \,\text{кГц} \delta уменьшается в 10 раз, до 0{,}935 \,\text{мм}.
Углублённый разбор
Вихретоковый аппарат: два независимых ориентира — TEAM 28 и труба
Электродинамический подвес и замкнутые токи
В электродинамическом подвесе переменное поле неподвижной катушки наводит токи в проводящем теле. Их взаимодействие с полем может уравновесить тяжесть. В TEAM 28 две концентрические обмотки взаимодействуют с алюминиевым диском; в осесимметричной модели токи диска замыкаются по окружности. Входные данные — частота, токи обмоток, высота диска и проводимость; выходные — средняя сила, потери и импеданс.
Труба с внутренним прямым проводом — другой объект. В конечной трубе без внешнего подключения суммарный продольный ток через поперечное сечение должен быть нулевым. Локальные положительные и отрицательные токи при этом остаются. Условие задаётся нулевым током цепи; зануление проводимости устранило бы сам изучаемый механизм.
Эти задачи проверяют разные стороны модели. TEAM 28 связывает расчёт с опубликованной высотой левитации, но имеет материальную и экспериментальную неопределённость. Труба допускает точную радиальную задачу с постоянными коэффициентами и независимо проверяет комплексный ток.
Средняя сила в гармонической модели
Мгновенная плотность силы Лоренца равна J\times B. Усреднение произведения амплитудных синусоид даёт Re(J×B*)/2. Для немагнитного алюминия объёмный интеграл применяется непосредственно. Ферромагнитное тело требует учёта намагниченности либо интеграла напряжений в окружающем воздухе.
Проверка равновесной высоты состоит в сравнении средней силы с mg. Исходная динамическая задача TEAM 28 включает движение и переходный процесс; её нельзя заменить одним гармоническим решением. Помимо средней силы существуют компоненты 2\omega, а при движении возможны дополнительные электромеханические связи.
Новая серия использует учебную team28-course.fem, адаптированную из официального примера FEMM 5. Русские имена свойств не меняют геометрию и физические параметры: 50 Гц, амплитуда тока 20 А, 960 и −576 витков. Для исходной асимптотической границы выполнены две сетки. Затем на плотной сетке та же внешняя дуга заменена условием A=0; последняя модель увеличивает только внешний радиус с 12 до 24 см. Катушки и диск сохраняются. Такой опыт непосредственно отделяет чувствительность силы TEAM 28 к внешней границе от общего сравнения границ на воздушной катушке.
Амплитудные фазоры; применимость Лоренца к диску обусловлена \mu _{r}\approx 1.
Труба: уравнение поля и недостающее электрическое условие
В проводящем кольце окружная напряжённость H\theta (r) удовлетворяет модифицированному уравнению Бесселя. Общее решение записывается через I1 и K_{1}, однако встроенная среда не обязана иметь эти функции. Здесь радиальная задача решена методом Рунге—Кутты четвёртого порядка для двух фундаментальных решений. Это независимый одномерный расчёт, не подгонка к FE.
На внутренней стенке закон Ампера даёт 2πriH(ri)=I провода. При нулевом суммарном токе трубы также верно 2πroH(ro)=I провода. Два условия определяют коэффициенты решения. Плотность продольного тока находится из производной rH; разность rH на границах даёт полный ток трубы.
Без цепи I=0 FEMM допускает ненулевой продольный ток. Это изменение электрической схемы, а не численная ошибка. Намеренно изменённая модель показывает, почему геометрия, \sigma и \mu без электрического условия не определяют физическую задачу.
Второе условие выражает отсутствие внешнего тока по трубе.
Фаза, норма ошибки и границы вывода
Сравнивать только модули J недостаточно: одинаковые амплитуды могут иметь разные фазы. Сохранены действительные и мнимые части H и J в двадцати точках. Нормированная RMS-ошибка строится по комплексной разности J_{\mathrm{FE}}-J_{\mathrm{ref}} и учитывает фазовую ошибку.
Радиальный эталон проверен 2000 и 4000 шагами; максимальная разность H существенно меньше 10⁻³ А/м. Это проверка интегрирования эталона. Сеточная пара FEMM 0{,}8/0{,}4 мм проверяет дискретизацию поля. Эти проверки не валидируют произвольную нелинейную сталь, концы короткой трубы или переходный процесс.
Комплексная норма включает амплитудную и фазовую ошибки.
TEAM 28: расчёт и опубликованный ориентир
Дано. Опубликованная высота 11,3 мм; масса 0,107 кг; вес 1,04931 Н.
Грубая сетка: Лоренц 1,021 Н, WST 1,001 Н. Мелкая: Лоренц 1,025 Н, WST 1,018 Н.
На мелкой сетке потери диска 13,5119 Вт; методы силы отличаются приблизительно на 0,671%.
Лоренц на мелкой сетке ниже веса на 2,314%. Историческая страница публикует около 1,007 Н для своих моделей; это отдельные данные.
Ответ. Подтверждён масштаб силы, но осталось ненулевое расхождение с опубликованным равновесием.
Проверка. Две сетки не доказывают асимптотическую сходимость. Геометрию, материалы, амплитуду тока и измерительную неопределённость рассматривают отдельно.
Труба: одно условие меняет весь ответ
Дано. ri=12,7 мм, ro=25,4 мм, \mu _{r}=1000, \sigma =10 МСм/м, f=1 Гц, амплитуда 100 А, глубина 1 м.
При I трубы=0 комплексная RMS-ошибка J уменьшается с 0,3357% на сетке 0,8 мм до 0,1505% на сетке 0,4 мм.
На мелкой сетке суммарный ток около (1{,}43\cdot 10^{-13}+j1{,}52\cdot 10^{-12}) А, потери 1,76182 Вт.
Без ограничения I=0 ток трубы становится -116{,}114-j13{,}227 А, потери 1,04429 Вт; разница с эталоном нулевого тока возрастает до 63,39%.
Ответ. Изменилось электрическое замыкание, поэтому ответ другой при прежней геометрии и материалах.
Проверка.f=1 Гц означает \omega =2\pi рад/с. Неоднозначное обозначение частоты в исторической таблице исправляется по физическому смыслу.
TEAM 28: одна геометрия, асимптотическая граница и A=0
Дано. Плотная сетка h=0{,}0625 см, прежняя высота диска 11,3 мм; вес 1,049 Н.
При радиусе 12 см исходная асимптотическая граница даёт Лоренц 1,025 Н, WST 1,018 Н и потери диска 13,51 Вт.
При том же радиусе и той же сетке A=0 даёт Лоренц 2,15 Н, WST 2,144 Н и потери 30 Вт. Число элементов в обеих моделях равно 135198; отдельно проверены совпадение узлов и связности.
При A=0 и радиусе 24 см: Лоренц 1,152 Н, WST 1,146 Н, потери 14,23 Вт; 538015 элементов. Геометрия катушек и диска не меняется.
Ответ. Близкая A=0 более чем удваивает среднюю силу относительно асимптотики. При прежней высоте остаток F−mg равен +1{,}101043 Н для 12 см и +0{,}102730 Н для 24 см: эти модели уже не воспроизводят заявленное равновесие.
Проверка. Удвоение области уменьшает искажение, но 24 см ещё не доказывает сходимости к бесконечной области. Для новой равновесной высоты нужна отдельная серия по положению; здесь рассчитан только остаток в опубликованной точке.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 08-dipole-team28.py и 04-tube.py.
Сравните Лоренц, WST и вес; сохраните ненулевые расхождения.
Для трубы восстановите фазу из пары (\operatorname{Re} , \operatorname{Im} ), затем проверьте суммарный ток.
Уточняйте шаг радиального эталона и сетку конечных элементов раздельно; объясните изменение схемы после снятия I=0.
Ожидаемый результат. Четыре варианта TEAM 28 и три решения трубы; сетки, внешние границы, комплексные профили и мощности.
Проверка.
Фактор 1/2 в средней силе.
Нулевой суммарный ток трубы.
Исторические данные отделены от новых расчётов.
Дипольный момент и TEAM 28
Семь дипольных положений и четыре варианта TEAM 28: две сетки, две границы и увеличенная область. Только статический момент и установившаяся сила.
"""Два официальных эталона, повторённых в FEMM5: точный момент и TEAM28.Используются учебные torque-benchmark-course.fem и team28-course.fem с русскими именами свойств.Диполь: m=1Ам²,B=1Тл; изменяется внутренний угол AGE без пересоздания сетки.TEAM28: только установившаяся гармоническая сила при измеренной высоте11.3мм,не полная переходная задача. Историческую силу автора не используем как ответ."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-dipole-team28")data={"dipole":[],"team28":[]}foranglein[0,30,60,90,180,270,360]:opendocument(os.path.abspath("torque-benchmark-course.fem"))mi_modifyboundprop("Воздушный зазор AGE",10,angle)solve(folder,"dipole-%d"%angle)torque=mo_gapintegral("Воздушный зазор AGE",0)[0]exact=math.sin(angle*math.pi/180)data["dipole"].append({"angle_deg":angle,"torque_Nm":torque,"exact_Nm":exact,"absolute_error_Nm":abs(torque-exact),"elements":mo_numelements(),})close_magnetic()save_json(folder,data)formesh_cm,boundary_name,radius_cmin[(0.125,"Asymptotic",12),(0.0625,"Asymptotic",12),(0.0625,"A0",12),(0.0625,"A0",24),]:opendocument(os.path.abspath("team28-course.fem"))ifboundary_name=="A0":# Меняется только физическое свойство внешней дуги.mi_modifyboundprop("Асимптотическая внешняя граница",9,0)ifradius_cm!=12:# Увеличиваем только внешнюю дугу и два её осевых узла.# Катушки, диск, метки и заданная ближняя плотность сетки не меняются.mi_selectarcsegment(12,0)mi_setgroup(99)mi_clearselected()mi_selectnode(0,-12)mi_selectnode(0,12)mi_setgroup(99)mi_clearselected()mi_selectgroup(99)mi_scale(0,0,radius_cm/12,4)mi_clearselected()# Размеры исходного файла в сантиметрах, ток20А — амплитуда.forr,z,name,turnsin[(0.9,-0.1,"Воздух",0),(4.2,-0.1,"Обмотка",960),(8.8,0.3,"Обмотка",-576),(3.89,3.92,"Aluminum",0),]:# Имена исходного материала диска читаются непосредственно ниже.ifname=="Aluminum":continuemi_selectlabel(r,z)mi_setblockprop(name,0,mesh_cm,"Ток возбуждения"ifturnselse"<None>",0,0,turns)mi_clearselected()mi_selectlabel(3.89,3.92)mi_setblockprop("Алюминиевый диск",0,mesh_cm,"<None>",0,2,0)mi_clearselected()solve(folder,"team28-%s-R%d-mesh-%g"%(boundary_name,radius_cm,mesh_cm))mo_selectblock(3.89,3.92)data["team28"].append({"mesh_cm":mesh_cm,"boundary":boundary_name,"outer_radius_cm":radius_cm,"Lorentz_Fz_N":mo_blockintegral(12).real,"WST_Fz_N":mo_blockintegral(19).real,"disc_power_W":mo_blockintegral(4).real,"weight_N":0.107*9.80665,"elements":mo_numelements(),})close_magnetic()save_json(folder,data)assertmax(x["absolute_error_Nm"]forxindata["dipole"])<0.002print(data)
Труба и независимый комплексный радиальный эталон
Три варианта; RK4 без scipy, комплексные профили в двадцати точках.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Проводящая труба: FE и независимое интегрирование точного радиального ОДУ.FEMM5/MicroPython, без scipy. ri=12.7мм,ro=25.4мм,mu_r=1000,sigma=10МСм/м,f=1Гц,I_peak=100А, глубина1м. Сначала труба I=0, затем заземлённая на бесконечности.RK4 решает линейное комплексное ОДУ; 2000 и 4000 шагов проверяют интегрирование."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-tube")ri,ro=0.0127,0.0254alpha2=1j*2*math.pi*1000*MU0*1e7defintegrate(h_initial,d_initial,count):step=(ro-ri)/counth,d=complex(h_initial),complex(d_initial)values=[[ri,h,d]]defslope(r,h,d):returnd,(1/r**2+alpha2)*h-d/rforninrange(count):r=ri+n*stepa,b=slope(r,h,d)c,e=slope(r+step/2,h+a*step/2,d+b*step/2)f,g=slope(r+step/2,h+c*step/2,d+e*step/2)k,l=slope(r+step,h+f*step,d+g*step)h+=step*(a+2*c+2*f+k)/6d+=step*(b+2*e+2*g+l)/6values.append([r+step,h,d])returnvaluesdefreference(count):a=integrate(100/(2*math.pi*ri),0,count)b=integrate(0,1,count)coefficient=(100/(2*math.pi*ro)-a[-1][1])/b[-1][1]return[[v[0],v[1]+coefficient*w[1],v[2]+coefficient*w[2]]forv,winzip(a,b)]ref=reference(4000)ref_coarse=reference(2000)ode_difference=max(abs(ref[2*n][1]-ref_coarse[n][1])forninrange(2001))rows=[]forconstrained,meshin[(True,0.8),(True,0.4),(False,0.4)]:newdocument(0)mi_probdef(1,"millimeters","planar",1e-10,1000,30)material("Air")material("Steel",1000,10)mi_addcircprop("Wire",100,1)mi_addcircprop("Tube",0,0)circle(0,0,2.54)circle(0,0,12.7)a0_circle(25.4)label(0,0,"Air",mesh,"Wire",1,1)label(5,0,"Air",mesh)label(20,0,"Steel",mesh,"Tube"ifconstrainedelse"<None>",1,2)solve(folder,"Izero-%s-mesh-%g"%(constrained,mesh))samples=[]numerator,denominator=0,0forindexinrange(100,4000,200):r,h,derivative=ref[index]exact_j=derivative+h/rp=mo_getpointvalues(r*1000,0)j=(p[7]+p[8])*1e6samples.append({"r_m":r,"H_exact":pair(h),"H_FE":pair(p[6]),"J_exact":pair(exact_j),"J_FE":pair(j),})numerator+=abs(j-exact_j)**2denominator+=abs(exact_j)**2mo_groupselectblock(2)rows.append({"Izero":constrained,"mesh_mm":mesh,"tube_current_A":pair(mo_blockintegral(7)),"power_W":mo_blockintegral(4).real,"relative_RMS_J_error":math.sqrt(numerator/denominator),"ode_mesh_difference_A_per_m":ode_difference,"samples":samples,})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertode_difference<1e-3assertabs(complex(*rows[1]["tube_current_A"]))<1e-5assertrows[1]["relative_RMS_J_error"]<0.08print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Авторские разборы сопровождаются результатами расчётов в FEMM 5. Библиотечный оригинал TEAMProblem28.fem хранится отдельно для сверки; в курсе используется адаптированная учебная копия. Модель трубы построена заново. Опубликованная высота служит внешним ориентиром и не является результатом нового измерения.
Критический скин-эталон: как проверять историческое утверждение о программе
Что именно утверждает источник и что нужно проверить
Статья К. К. Крутикова и В. В. Рожкова «Особенности моделирования электрического и магнитного поверхностного эффекта от переменных электромагнитных полей в Femm» опубликована в 2020 году. Авторы считают транспортный скин-эффект проблемным, а наведённые токи в заготовке без стороннего тока — корректно моделируемыми. Это историческое утверждение о конкретных постановках, а не свойство всех будущих сборок.
На с. 52 вывод статьи связывается с сопоставлением объёмного уравнения и условия малой глубины проникновения; на с. 53 такое граничное условие назначается поверхностям оболочки. Здесь важно различать два способа постановки: полный проводящий объём с разрешённым скин-слоем и исключённый из сетки проводник с асимптотическим поверхностным импедансом. Поверхностное условие не является обязательным дополнением к каждому объёмному проводнику.
Практический вывод — предъявить независимый эталон, версию решателя и настройки. Нельзя переносить общее заключение 2020 года на FEMM 5; нельзя и объявлять всю программу безошибочной по одному проводу. Ниже проверяется линейный немагнитный круглый провод с заданным суммарным током, объёмной проводимостью и без Small Skin Depth на его поверхности.
Транспортный и наведённый ток различаются электрическими условиями. Заданный суммарный ток не требует равномерной J. Тип тонкой обмотки также нельзя подменять типом сплошного проводника при интерпретации результатов.
Точный внутренний импеданс круглого провода
В длинном круглом проводе осевые E и J зависят только от радиуса. Гармонические уравнения Максвелла дают уравнение Бесселя нулевого порядка. Регулярность на оси исключает сингулярное решение; интеграл суммарного тока задаёт коэффициент перед J0.
При \exp (j\omega t) введём k=(1-j)/\delta. Отношение поверхностного E(a) к суммарному току определяет внутренний импеданс. В низкочастотном пределе разложения J0 и J1 дают сопротивление l/(\sigma \pi a^{2}) и внутреннюю индуктивность \mu l/(8\pi ). Это независимые проверки размерности и предельного случая.
Встроенная программа вычисляет J0 и J1 комплексными степенными рядами с критерием остановки и пределом числа слагаемых. Для проверенных частот аргумент умеренный. Такой алгоритм не объявляется устойчивым для сколь угодно высоких частот и больших комплексных аргументов.
Активное сопротивление не содержит внешнюю индуктивность области.
Как сравнить результат конечно-элементного расчёта, не смешивая внутреннее и внешнее поле
Напряжение цепи содержит внутренний импеданс и внешнюю индуктивность между радиусами провода a и границы b. Для концентрической области внешнюю часть можно вычесть аналитически. Ошибка большого внешнего слагаемого заметно влияет на остаточную внутреннюю реактивность; её проверяют отдельно от активного сопротивления.
Прямой тест активного скин-эффекта — объёмная мощность P и Rac=2P/|I|^{2}. В модели заданы LamType=0, \sigma =58 МСм/м, амплитуда тока 100 А, радиус 1 мм и длина 100 мм. При 1 и 100 кГц выполнены две сетки. Воздух возле провода также уточнён, поскольку влияет на реактивность.
Проверка включает размерности, фазорную конвенцию, низкочастотный предел, суммарный ток и баланс мощности. Дополнительная труба с I=0 проверяет наведённые токи без транспортного тока. Это две различённые постановки, а не замена одного опыта другим.
Вычитание применимо к концентрической плоской геометрии, а не к произвольной обмотке.
Ограниченный вывод по текущей сборке
Проверка воспроизводит рост активного сопротивления от транспортного скин-эффекта в FEMM 5.0, сборка 06Oct2026, на предъявленной модели. Высокочастотная мощность приближается к аналитике при уточнении сетки. Поэтому историческую общую формулировку об ошибке нельзя переносить на эту решённую задачу.
Это не полное воспроизведение статьи и не установление причины всех прежних результатов. Для такого вывода потребовались бы исходные FEM-файлы авторов и точная версия программы. Здесь предъявлены собственная геометрия и независимый аналитический ответ; вывод ограничен именно ими.
Медь: измеримый рост Rac
Дано.a=1 мм, l=100 мм, \sigma =58 МСм/м, амплитуда тока 100 А.
При 1 кГц точная мощность 2,747 Вт; FE на мелкой сетке 2,747 Вт. Ошибка около 0,00505%.
При 100 кГц точная мощность 7,304 Вт; сетка \delta /3 даёт 7,32 Вт, \delta /6 — 7,316 Вт. Ошибка уменьшается с 0,2222% до 0,1685%.
Точное Rac при 100 кГц равно 1,461 мОм, Rdc≈0,548810 мОм: рост в 2,662 раза.
Внутренняя реактивность при 100 кГц: FE 1,28628 мОм против точных 1,29956 мОм; остаток около 1,02%.
Ответ. Текущая модель FEMM 5 воспроизводит транспортный скин-эффект с малой, но ненулевой ошибкой активной мощности.
Проверка. Ошибка 0,1685% относится к активной мощности. Реактивность имеет отдельный, больший остаток.
Самостоятельное воспроизведение и расширение
Запустите 09-skin-benchmark.py; проверьте LamType, \sigma, частоту и ток цепи.
Сравните P, R и X раздельно; объясните вычитание внешней индуктивности.
В отдельной копии обнулите \sigma или смените модель провода; объясните, почему это другая физическая постановка.
Сформулируйте вывод с указанием версии, геометрии, частот и проверенной величины.
Ожидаемый результат. Четыре гармонических решения, точный внутренний импеданс и раздельные ошибки R и X.
Проверка.
Низкочастотный предел Rdc.
Два размера сетки.
100 А — амплитуда.
Историческое заключение не переносится на FEMM 5.
Транспортный скин-эффект круглой меди
Две частоты и четыре решения методом конечных элементов; собственный эталон, не полная репликация статьи 2020 года.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
"""Независимый тест транспортного скин-эффекта FEMM5, не пересказ вывода2020г.Круглая медь a=1мм, длина100мм, sigma=58МСм/м,I_peak=100А. f=1 и100кГц.Точный внутренний импеданс через ряды J0,J1; внешняя индуктивность исключается.Две сетки на каждой частоте; реальные провода, LamType=0, задан именно ток цепи."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-skin-benchmark")defbessel(order,z):term=1+0jiforder==0elsez/2total=termforkinrange(1,200):term*=-(z*z/4)/(k*(k+order))total+=termifabs(term)<1e-14*max(abs(total),1):returntotalraiseRuntimeError("Ряд Бесселя не сошёлся")rows=[]forfrequencyin[1000,100000]:omega=2*math.pi*frequencydelta=math.sqrt(2/(omega*MU0*58e6))k=(1-1j)/deltaexact=(0.1*k*bessel(0,k*0.001)/(2*math.pi*0.001*58e6*bessel(1,k*0.001)))fordivisorin[3,6]:newdocument(0)mi_probdef(frequency,"millimeters","planar",1e-10,100,30)material("Air")material("Cu",sigma=58)mi_addcircprop("Wire",100,1)circle(0,0,1,1)label(0,0,"Cu",min(0.3/divisor,delta*1000/divisor),"Wire",1,1)circle(0,0,3,1)label(2,0,"Air",0.15/divisor)label(5,0,"Air",0.3)a0_circle(10)solve(folder,"skin-%d-%d"%(frequency,divisor))current,voltage,flux=mo_getcircuitproperties("Wire")mo_groupselectblock(1)power=mo_blockintegral(4).realinternal=voltage/current-1j*omega*MU0*0.1/(2*math.pi)*math.log(10)rows.append({"frequency_Hz":frequency,"divisor":divisor,"delta_mm":delta*1000,"Z_internal_exact_ohm":pair(exact),"Z_internal_FE_ohm":pair(internal),"R_from_loss_ohm":2*power/100**2,"P_FE_W":power,"P_exact_W":100**2*exact.real/2,"relative_R_error":abs(2*power/100**2/exact.real-1),})close_magnetic()save_json(folder,rows)assertmax(row["relative_R_error"]forrowinrows)<0.03print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Самостоятельный критический разбор полного текста статьи и собственный эталон. Результат относится к текущей линейной круговой модели; причины всех исторических результатов не установлены.
Первоисточники: К. К. Крутиков, В. В. Рожков. Электричество, 2020, №8 [102] (С. 51–57; DOI <span class="inline-math" data-inline-latex="10.24160/0013-5380-2020-8-51-57">10.24160/0013-5380-2020-8-51-57</span>. Полный текст прочитан; исторический вывод отделён от нового эталона.).
Постройте прямоугольник обмотки по точкам (20; -100), (30; -100), (30; 100), (20; 100). Горизонтальная координата — радиус r, вертикальная — координата z. Геометрия занимает только r \ge 0.
Замкните внешнюю область правой полуокружностью радиуса 300 \,\text{мм} с центром (0; 0) и отрезком оси r=0. Обмотка должна полностью находиться внутри области. Суммарный угол двух четвертей внешней дуги — 180^\circ.
В «Свойствах материала» (Material Properties) создайте «Воздух» с относительной проницаемостью 1 и проводимостью 0 и «Учебную обмотку» с теми же параметрами. Разместите метку области (Block Label) в обмотке и отдельную метку воздуха вне её.
В «Свойствах цепи» (Circuit Properties) создайте последовательную цепь (series) «Катушка», задайте ток 1 \,\text{А}. В свойствах метки обмотки назначьте эту цепь и число витков (Turns)+100. Не добавляйте к ней независимо объёмную плотность тока.
Создайте границу «A=0» типа Prescribed A, оставьте коэффициенты A_{0}, A_{1}, A_{2} равными нулю и назначьте её внешней дуге и оси. На оси это соответствует регулярности азимутального потенциала; на удалённой дуге — усечению бесконечной области.
Сохраните исходную модель; создайте и осмотрите сетку, выполните расчёт и откройте результат. В режиме точки снимите B в (0; 0), в результатах цепи (View → Circuit Properties) запишите ток, напряжение и потокосцепление. Сохраните таблицу с единицами отдельно от цветовой карты.
Сохраните копию с Frequency=50 Гц и током цепи 1 \,\text{А}, понимаемым как амплитуда. Удельная электрическая проводимость учебной обмотки пока остаётся нулевой.
Сравните действительную и мнимую части B_z в центре с магнитостатикой. Затем смените фазу тока на +90^\circ: действительная часть равна 0 \,\text{А}, мнимая — 1 \,\text{А}; повторите расчёт.
Составьте классификацию: заданный постоянный ток; одна установившаяся гармоника; пуск двигателя; электрическое поле изоляции. Укажите нужный модуль и невозможность прямого расчёта переходного магнитного поля в рассматриваемой версии.
Ожидаемый результат. При \sigma=0 и линейных материалах пространственная форма поля соответствует статике; смена фазы тока поворачивает комплексную амплитуду.
Как проверить. Не ожидайте вихретоковых потерь в материале с \sigma=0. Во всех таблицах отмечайте амплитудный или действующий способ записи.
Обработка и анализ результатов
Чем комплексная амплитуда отличается от мгновенного поля?
Сохраните частоту, нормировку тока и комплексное поле в контрольной точке.
Проверьте действительную и мнимую части отдельно, затем фазу и мощность; явно сохраните амплитудную либо действующую нормировку.
С чем сравнить. Опора — комплексные уравнения и определение средней мощности из занятия. Не смешивайте амплитудные и действующие значения и не заменяйте комплексную невязку одной разностью модулей.
Итог работы. Комплексное значение и восстановленный фазовый смысл с границами гармонической постановки.
Пошаговая настройка расчётного примера
Откройте отдельную страницу с последовательными действиями, точными параметрами, накопительными файлами этапов и программами с русскими комментариями.
Рисунок 8.26. Визуализация численных данных FEMM 5: Воздушная катушка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Осесимметричная учебная модель. Независимо проверены изменения сетки и внешнего радиуса; аналитическая модель тонкостенного соленоида служит отдельным приближённым ориентиром.
Переменное поле катушки индуцирует токи в проводящем диске. Их взаимодействие с первичным полем создаёт среднюю силу отталкивания и одновременно выделяет теплоту.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Проводящий диск над катушкой: вихревые токи, потери и подъёмная сила. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Проводящий диск над катушкой: вихревые токи, потери и подъёмная сила». Норма комплексного вектора амплитуд магнитной индукции B, Тл; гармонический режим 500 Гц. Контуры потенциала скрыты. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Пересчитайте исходные данные для 5 \,\text{кГц} и тока 7{,}071 \,\text{А} действующего значения.
Критерий выполнения:I_{\text{амп}}=10 \,\text{А}; \delta\approx 0{,}935 \,\text{мм}; при R=2 \,\text{Ом} P=100 \,\text{Вт}. Правильно названы ограничения модели.
