Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Оценка электрического поля, ёмкости и изоляционного промежутка
Инженерный вопрос. Как свойства слоёв определяют поле и падение напряжения каждого слоя?
Распределение напряжённости и ёмкость используются при выборе размеров промежутка и электродов. Отдельная проверка кромок показывает, какие геометрические подробности влияют на максимум поля.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте потенциалы или заряды независимых проводников, свойства диэлектрика и требуемую полевую либо интегральную величину.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Проверка последовательной ёмкости и условий интерфейса по несглаженным данным.
Данные именно этого опыта. Сведите толщины, свойства материалов, напряжения слоёв и нормальные компоненты поля и смещения.
Оформление наблюдений. Потенциалы, заряды, область и энергия; для поля — координаты и компоненты, для ёмкости — определение и полная геометрия электродов.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Используйте зарядовый баланс и согласованные зарядовую и энергетическую оценки, если они предусмотрены постановкой занятия.
Критерий выполнения.C=2{,}36111675\,\mathrm{пФ} с отклонением до 1%; отношение E_{1}/E_{2}\approx 2; непрерывность D_n проверена отдельно от цветовой карты.
Точность и расхождения. Для ёмкости и энергии уточняйте интегральную величину. Для поля у кромки фиксируйте физическое скругление либо удаление точки; сеточный максимум идеального угла не является прочностью изоляции.
Основание сравнения. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Вывод для устройства
Свяжите результат с размером электрода, ёмкостью или распределением напряжённости; вывод о пробое требует обоснованного критерия и данных для реального диэлектрика.
Границы вывода. Линейная электростатика даёт поле и энергию, но не критерий пробоя сама по себе. Параметры диэлектрика, состояние поверхности и физическое скругление требуют исходных данных.
Теория и вывод формул
Условия на границе диэлектриков определяют изменение направления и величины электрического поля. При отсутствии свободного поверхностного заряда непрерывна нормальная составляющая D, а в электростатике — касательная составляющая E; нормальная составляющая E изменяется обратно пропорционально диэлектрической проницаемости.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
На границе диэлектриков условия сопряжения связывают компоненты электрического поля по обе стороны поверхности. Если свободный поверхностный заряд отсутствует, нормальная составляющая D непрерывна. В электростатике непрерывна также касательная составляющая E, тогда как нормальная составляющая E изменяется обратно пропорционально диэлектрической проницаемости. Эти различия определяют преломление линий поля на границе сред.
Анизотропия задаёт различные коэффициенты по координатным направлениям. Оси материала должны быть согласованы с теми коэффициентами, которые поддерживает конкретный диалог; поворот геометрии сам по себе не гарантирует поворота тензора материала.
Вывод контрольного соотношения
Получите последовательную ёмкость из суммы падений напряжения в двух слоях.
Плоские слои без свободного поверхностного заряда, линейные изотропные материалы.
Непрерывность D_n и отношение E_{1}/E_{2}=\varepsilon _{2}/\varepsilon _{1}=2 следуют из закона Гаусса.
Общее падение напряжения распределяется как 66,6667 и 33,3333 В.
Ёмкость равна 2,361 пФ; |E_{1}|=13333{,}3333\,\mathrm{В/м}, |E_{2}|=6666{,}6667\,\mathrm{В/м}.
Границы применимости. Плоские слои без свободного поверхностного заряда, линейные изотропные материалы.
Связь с опытом в FEMM
Сравните двухслойный зазор с однородным и проверьте обе стороны границы раздела несглаженными значениями.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Проверка и границы вывода
C=2{,}36111675\,\mathrm{пФ} с отклонением до 1%; отношение E_{1}/E_{2}\approx 2; непрерывность D_n проверена отдельно от цветовой карты.
Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой.
Значение точно на границе раздела сред может зависеть от стороны элемента и сглаживания; точки сравнения должны находиться внутри каждого материала.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Сглаживание поля: что восстанавливается и что остаётся приближением
В плоской задаче линейный потенциал на треугольнике даёт постоянное по элементу производное поле. На общей вершине несколько соседних элементов поэтому предлагают разные значения B. Карта без сглаживания показывает этот кусочно-постоянный результат. Сглаживание создаёт узловое представление производного поля для интерполяции и отображения; исходные узловые значения потенциала и сама сетка от этого не становятся решениями более высокого порядка.
Общий метод восстановления по группе соседних элементов мог бы аппроксимировать значения поля в центрах треугольников плоскостью по наименьшим квадратам. Однако на нерегулярной сетке такая задача может оказаться плохо обусловленной. Для магнитного поля FEMM использует более простое среднее: вклад каждого соседнего элемента взвешивается обратно пропорционально расстоянию от его центра тяжести до рассматриваемого узла. Поэтому большие и маленькие элементы влияют не одинаково, а восстановление не является простым средним всех ближайших значений.
Каждому соседнему треугольнику приписывается вес, обратный расстоянию от его центра до рассматриваемого узла. Сглаживание делает поле непрерывнее на рисунке, но не создаёт новую сетку.
Обозначения и единицы
\mathbf B_e — индукция в центре элемента, Тл; \mathbf x_e и \mathbf x_{\mathrm{node}} — координаты центра и узла, м; w_e — вес, м⁻¹; восстановленная \mathbf B_{\mathrm{node}} имеет единицу Тл.
Условия применения. На интерфейсах действуют специальные правила; нельзя усреднять несовместимые предельные значения через физический разрыв.
В PDF правило задано словами «inversely proportional to the distance»; нормированная формула раскрывает это описание.
Для электростатики процедура другая: в окрестности узла аппроксимируют узловые напряжения плоскостью и используют её градиент для восстановления электрического поля и смещения с учётом материала. Специальные случаи на границах и поверхностях обрабатываются отдельно. Магнитную формулу усреднения B поэтому нельзя выдавать за точное описание любого поля любого модуля.
На границе материалов физически непрерывны определённые компоненты, а не весь вектор. Без поверхностного заряда непрерывна нормальная D; при разных \varepsilon нормальная E обычно разрывна. Аналогично для границы раздела магнитных сред без поверхностного тока непрерывны нормальная B и тангенциальная H. Сглаживание изображения не должно скрывать эти физически обусловленные скачки. Сравнивайте значения с одной выбранной стороны границы раздела и фиксируйте режим сглаживания.
Рисунок М.2.36. При неоднозначности графики и интегралы рассчитываются с этой стороны контура
При совпадении пути с диэлектрическим интерфейсом нормаль показывает сторону чтения поля. Без свободного поверхностного заряда нормальная D непрерывна, но нормальная E при разных проницаемостях обычно различается. Разворот пути меняет сторону чтения; это не обязательно ошибка решателя.
Обозначения на рисунке
direction of contour definition
Направление задания контура
direction of the normal to the contour
Направление нормали к контуру
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
У острых углов поле может иметь сингулярность. Сглаживание способно изменить показанный максимум, но не создать конечное физическое значение для идеальной острой кромки. Для оценки изоляции указывают реальный радиус скругления; для интегральных сил и энергии отдельно проверяют сходимость нужного интеграла. Сравнение сглаженного и несглаженного профиля полезно как диагностический опыт, но не является самостоятельной строгой оценкой погрешности.
Электростатические свойства и выключенные поля проводника
В Material Properties задают относительные \varepsilon _{x}, \varepsilon _{y} и объёмную плотность свободного заряда \rho в Кл/м³. Смена единицы геометрии не меняет эту единицу источника. Анизотропные направления связаны с координатами задачи; ориентацию материала проверяют до интерпретации наклона векторов.
Список содержит свойства материалов документа. Название air само по себе не задаёт область воздуха: соответствующую запись нужно назначить её метке. При добавлении диэлектрика проверяют относительную проницаемость и наличие объёмного заряда.
Обозначения на рисунке
Add
Добавить
Delete
Удалить
Modify
Изменить
air
Воздух
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Два значения проницаемости задают анизотропию по координатным направлениям. Charge density — объёмный свободный заряд в Кл/м³; он отличается от линейного источника узла и от полного заряда проводника. Единицы геометрии не меняют размерность этого поля ввода.
Обозначения на рисунке
Relative permittivity, x
Относительная диэлектрическая проницаемость по x
Relative permittivity, y
Относительная диэлектрическая проницаемость по y
Charge density (C/m^3)
Объёмная плотность заряда, Кл/м³
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Перенесите нужный материал в модель и проверьте его параметры, прежде чем назначать область. Библиотечное название не сообщает автоматически температуру, частотный диапазон или происхождение данных конкретного изделия; для электростатики особенно важно не перепутать относительную и абсолютную проницаемости.
Обозначения на рисунке
Library Materials
Материалы библиотеки
Model Materials
Материалы текущей модели
Air
Воздух
Transformer Oil
Трансформаторное масло
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Boundary поддерживает Fixed Voltage, Mixed, Surface Charge Density, Periodic и Antiperiodic. Поверхностный заряд может назначаться внутреннему интерфейсу либо отдельному сегменту; это исключение из обычного использования условий на внешней границе. Для периодичности каждая связь соединяет только одну пару согласованных рёбер.
Условие связывает потенциал с нормальной производной. Поскольку D_n =-\varepsilon \partial V/\partial n, оно эквивалентно D_n =c_{0}V+c_{1}. При c_{0}=0 задаётся нормальное смещение, а при c_{1}=0 подходящая связь может приближать продолжение поля во внешнюю область.
Обозначения и единицы
V — В; \varepsilon_r\varepsilon_0 — Ф/м; n — внешняя нормаль.
c_0 — Ф/м²; c_1 — Кл/м²; все слагаемые имеют единицу Кл/м².
Условия применения. Скалярная \varepsilon на внешней границе изотропной области. Нормальный D на внешней границе не следует смешивать со скачком D_n, создаваемым свободным зарядом на внутреннем интерфейсе.
Fixed Voltage задаёт потенциал непосредственно на выбранном ребре или дуге. Если нужно объединить раздельные поверхности в один электрод и получить его суммарный заряд, удобнее использовать именованное свойство Conductor.
Обозначения на рисунке
Type
Тип условия
Fixed Voltage
Заданный потенциал
Fixed Voltage (V)
Значение потенциала, В
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
В Conductor Properties выбирают Prescribed charge либо Prescribed voltage. Поле второй величины неактивно, потому что её найдёт решатель. Один проводник может объединять геометрически раздельные поверхности: их потенциал общий, заряд суммируется. Поэтому заданный V как проводник удобнее простого Fixed Voltage, когда нужно автоматически получить общий Q. Нейтральный плавающий электрод задают суммарным Q=0 при наличии опоры потенциала в остальной задаче.
Проверьте на своей модели
Переключите тип проводника в копии модели и объясните, какое число стало входным, а какое результатом.
Не превращайте внутренний стык диэлектриков в электрод; отдельно задавайте заряд только при его физическом наличии.
Два диэлектрика последовательно — аналитический эталон
Дано. Два слоя толщиной по 5 мм; \varepsilon_{r1}=2, \varepsilon_{r2}=4; площадь 0,001 м²; общее напряжение 100 В; свободного заряда на внутренней границе нет.
Непрерывность D_n и отношение E_{1}/E_{2}=\varepsilon _{2}/\varepsilon _{1}=2 следуют из закона Гаусса.
Общее падение напряжения распределяется как 66,6667 и 33,3333 В.
Ёмкость равна 2,361 пФ; |E_{1}|=13333{,}3333\,\mathrm{В/м}, |E_{2}|=6666{,}6667\,\mathrm{В/м}.
Проверка: Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
Практикум в FEMM 5
Сравните двухслойный зазор с однородным и проверьте обе стороны границы раздела несглаженными значениями.
Откройте рабочую копию плоского конденсатора. Проведите вертикальную границу x=5\,\mathrm{мм} от y=0 до y=10\,\mathrm{мм}.
Создайте два материала с относительными диэлектрическими проницаемостями 2 и 4 и разместите по одной метке в каждом слое.
Не назначайте внутренней границе фиксированный потенциал: это граница материалов, а не третий электрод.
После расчёта снимите значения в (4,5) и (6,5) мм. Сопоставьте нормальные D и E, затем найдите заряд правого электрода.
Ожидаемый результат.C = 2{,}36111675008\,\mathrm{пФ}; U_{1} = 66{,}6667\,\mathrm{В}; U_{2} = 33{,}3333\,\mathrm{В}. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. Потенциал непрерывен, нормальная напряжённость скачкообразна. Равенство E_{1}=E_{2} было бы ошибкой. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Обработка и анализ результатов
Как свойства слоёв определяют поле и падение напряжения каждого слоя?
Сведите толщины, свойства материалов, напряжения слоёв и нормальные компоненты поля и смещения.
Сопоставьте полевые, зарядовые и энергетические величины с аналитическим контрольным пределом; проверьте потенциалы и зарядовый баланс.
С чем сравнить. Используйте определения поля, ёмкости и энергии из занятия. Однородный или слоистый зазор является пределом с заданными границами; локальный максимум у идеальной острой кромки требует отдельной оценки.
Итог работы. Проверка последовательной ёмкости и условий интерфейса по несглаженным данным.
Расчётные исследования по теме
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Сравните однослойную и двухслойную изоляцию кабеля при одинаковых размерах и напряжении. Главный вопрос — где возникает максимум E и как выбор ε перераспределяет напряжение между слоями.
Поверните главные оси диэлектрического тензора на 90° и объясните изменение ёмкости при неизменных размерах и напряжении. Одномерный эталон позволяет проверить, какая компонента проницаемости используется решателем.
Проверьте на одной задаче три условия: непрерывность потенциала, непрерывность нормальной D и скачок нормальной E. Сравните FEMM с последовательным соединением плоских диэлектрических слоёв.
Вычислите ёмкость полоскового проводника над диэлектрической подложкой и повторите тот же расчёт с воздухом. Из двух скалярных решений получите эффективную проницаемость и квази-ТЕМ оценку волнового сопротивления.
Измените уровень жидкости в коаксиальном датчике и получите его градуировочную характеристику C(h). Покажите различие между движением электродов и движением границы диэлектриков.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Полная геометрия двухслойной изоляции кабеля: жила, граница слоёв и внешний экран. Зелёные точки — метки областей; длинные имена скрыты только в отображении. Открыть в полном размереСохранённое решение «Градированная изоляция: распределение поля в слоях». Цвет показывает потенциал V в вольтах, чёрные линии — эквипотенциали. Показана увеличенная рабочая область двухслойной изоляции. Открыть в полном размереРабочая область модели «Анизотропный диэлектрик: главные оси и ёмкость». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Анизотропный диэлектрик: главные оси и ёмкость». Электрический потенциал V, В. Открыть в полном размереРабочая область модели «Граница двух диэлектриков: D непрерывно, E меняется». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Граница двух диэлектриков: D непрерывно, E меняется». Электрический потенциал V, В. Изменение густоты эквипотенциалей на границе слоёв. Открыть в полном размереРабочая область модели «Микрополосковая линия: два скалярных поля и квази-ТЕМ оценка». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Микрополосковая линия: два скалярных поля и квази-ТЕМ оценка». Электростатический потенциал V, В, в воздухе и подложке микрополосковой линии; поперечная модель для квазистатического приближения. Открыть в полном размереРабочая область модели «Ёмкостный уровнемер: жидкость и воздух в одном датчике». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размереСохранённое решение «Ёмкостный уровнемер: жидкость и воздух в одном датчике». Электрический потенциал V, В, в осесимметричном ёмкостном уровнемере с частичным заполнением. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Сравните двухслойный зазор с однородным и проверьте обе стороны границы раздела несглаженными значениями. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Критерий выполнения:C=2{,}36111675\,\mathrm{пФ} с отклонением до 1%; отношение E_{1}/E_{2}\approx 2; непрерывность D_n проверена отдельно от цветовой карты.
