Трансформатор от потокосцеплений до схемы замещения и нагрузочной характеристики
Цель. Определить коэффициент трансформации и параметры намагничивающей ветви и ветви короткого замыкания схемы замещения; построить зависимость вторичного напряжения от тока нагрузки и оценить точность и область применения полученных параметров.
Связь с проектированием. По результатам выбирают число витков и сечение магнитопровода по требуемому напряжению, оценивают падение напряжения и ток короткого замыкания. Сопротивления и потери требуют отдельного учёта реальных длин проводников и материала.
Задачи
Проверить геометрию, активную длину, знаки сторон обмоток и согласованность ампер-витков.
Определить потокосцепления и матрицу индуктивностей в линейной модели либо локальные параметры выбранной нелинейной рабочей точки.
Получить режимы ХХ, КЗ и нагрузки с выполнением условий на выводах.
Построить нагрузочную характеристику и объяснить влияние рассеяния, сопротивлений и насыщения.
Исходные данные и условия опыта
Сохраните пять исходных FEM и «Выполнить-расчет.py» из расчётного комплекта в одну папку. Программа запускается во встроенном Python FEMM 5 и создаёт новую папку «Расчет-NN». Для всех режимов сохраняются отдельные FEM/ANS и таблицы.
Общий протокол: N_{1}=354, N_{2}=39, активная длина 43 мм, площадь каждой стороны обмотки 650 мм². Линейный магнитопровод \mu _{r}=2000; отдельная нелинейная модель содержит B(H) M-43. При расширении внешней воздушной области геометрия магнитопровода не меняется.
Для схемы: U_{1}=230 В действующего значения, f=50 Гц, проводимость меди 58МСм/м, заполнение медью 0,6, средние длины витка 255{,}2/339{,}2 мм. Сопротивления не включены повторно в полевую обмотку: в FEM \sigma =0, а R учитываются внешним уравнением.
Условие короткого замыкания: U_{2}=0. При КЗ снижайте напряжение до тока 2,75 А первичной обмотки. В компенсационной воздушной модели задайте I_{2}=-354\cdot 2{,}75/39=-24{,}961538 А и глубину 1 мм. В основной нагрузочной модели сохраняйте магнитопровод и глубину 43 мм.
Теория расчётного метода
От уравнения магнитного поля к параметру обмотки
В плоской задаче ток направлен вдоль оси z, а поле в поперечном сечении описывается одной компонентой A_z. Из B=\operatorname{rot} A следуют B_x=\partial A_z/\partial y и B_y=-\partial A_z/\partial x. Уравнение поля связывает конструкцию и материал с распределением заданного тока; граничное условие задаётся на внешней воздушной области.
Обмотка занимает конечную площадь. Потокосцепление получают усреднением A_z по положительной и отрицательной сторонам с их знаками, числом витков и активной длиной. Поэтому N, знак стороны и глубина входят в результат так же непосредственно, как геометрия магнитопровода. Две стороны одной катушки относятся к одной электрической цепи.
При постоянной проницаемости действует суперпозиция: два независимых возбуждения дают столбцы матрицы L. Взаимность проверяет согласованность знаков и извлечения, а энергетическая формула — масштаб параметров. Уточнение сетки и внешней границы проверяет два разных источника численной погрешности.
\nabla\!\cdot\!\left(\nu\nabla A_z\right)=-J_z,\qquad \boldsymbol\Psi=\mathbf L\boldsymbol I
\nu =1/\mu; для линейной модели L не зависит от токов.
M_{12}=M_{21},\qquad W=\frac12\boldsymbol I^{T}\mathbf L\boldsymbol I
Соотношения относятся к взаимной линейной системе с согласованными направлениями токов.
Почему матрица поля предсказывает напряжение и нагрузку
Закон Фарадея связывает потокосцепление с наведённой ЭДС. При синусоидальном режиме производная становится умножением на j\omega; сопротивление меди добавляет активное падение. Если оба тока направлены внутрь положительных выводов, вторичная нагрузка удовлетворяет U_{2}=−ZнI₂. Эти знаки позволяют одним уравнением описать холостой ход, нагрузку и короткое замыкание.
В полевом решателе задаются комплексные амплитуды. При переходе к действующим фазорам токи и потокосцепления делят на √2. В таблице мощность равна Re(UI*); множитель 1/2 нужен только при использовании амплитуд.
Для сопротивления требуются данные, которых нет в плоском сечении: длина полного витка и площадь меди. Здесь средние длины 255{,}2/339{,}2 мм взяты из расчётного листа, а заполнение 0,6 задано как условие учебного проекта. Удельная проводимость 58МСм/м относится к выбранной температуре меди.
Из условия идеального КЗ без активного сопротивления следует \Psi _{2}=0. Исключение I_{2} из линейной матрицы даёт Lк=L_{11}-M^{2}/L_{22}. Это параметр того же плоского магнитопровода; при сопротивлении вторичной обмотки ток определяют полным комплексным уравнением.
Авторский компенсационный метод использует равные встречные МДС и воздушную область, чтобы выделить энергию рассеяния. Энергию модели на глубине 1 мм умножают на отношение эффективной длины к 1 мм. Здесь lэф=1{,}075\cdot (50+4+20+0{,}5+49{,}6+4+20+0{,}5)=159{,}745 мм. Такой результат — приближённая конструктивная оценка и не заменяет расчёт торцевого поля.
Для нелинейной стали \Psi (I) уже не является прямой. Секущая индуктивность \Psi /I характеризует выбранную точку, а дифференциальная d\Psi /dI — малое изменение рядом с ней. Из уменьшения наклона нельзя без нового расчёта получить ток произвольной несинусоидальной формы или потери в стали.
Исходная задача задаётся характеристикой устройства: напряжением, моментом, силой, потерями либо параметром схемы замещения. Поле является промежуточным результатом. Сначала выбирают контрольную величину и нормировку, затем физическую область, источник и граничные условия; только после этого — геометрию и сетку.
Один и тот же рисунок поля может соответствовать разным активным длинам и числам витков. Поэтому каждое сравнение сопровождается единицами, направлением обхода и указанием, являются ли ток и напряжение амплитудными, действующими либо мгновенными. Простой аналитический предел проверяет масштаб результата до расчёта сложного устройства.
В магнитоквазистатической постановке закон полного тока связывает поле с заданным током, а отсутствие магнитных зарядов требует непрерывности нормального магнитного потока. В плоской модели эти условия удобно выполнить через единственную составляющую векторного потенциала A_z. Скалярная магнитная проницаемость либо нелинейная зависимость H(B) замыкает систему.
На границе материалов сохраняется нормальная составляющая B; тангенциальная H непрерывна при отсутствии поверхностного свободного тока. Внешняя граница и симметрия являются физическими условиями задачи. Их изменение проверяется отдельно от уменьшения конечных элементов: сходимость внутри неверной области не устраняет ошибку постановки.
Параметрическая серия и независимые оси погрешности
Автоматизация сохраняет одинаковую последовательность построения, решения и извлечения для каждого набора параметров. Перед серией фиксируют единицы, признаки материалов и обмоток, точку измерения и требуемую характеристику. Программа должна повторно открывать сохранённую модель, чтобы расчёт относился к записанному варианту.
Изменение сетки, внешней границы, углового шага, числа гармоник и шага времени отвечает на разные вопросы. Сначала получают ряд по одной оси при фиксированных остальных условиях, затем проверяют независимый аналитический или энергетический критерий. Скрипт переносит методику в серию; сам по себе он не заменяет физического обоснования.
Разность A_z даёт поток на единицу активной длины. После умножения на фактическую длину получают веберы. Потокосцепление реальной обмотки определяется суммой вкладов всех её сторон с их знаками и числами витков; одна контрольная линия потока не заменяет эту сумму при рассеянии.
Сначала выполняют независимое возбуждение цепей. В линейной системе полученные столбцы образуют матрицу индуктивностей. Взаимность проверяет согласованность ориентации сторон и численного извлечения; положительность энергии проверяет физическую допустимость матрицы. При насыщении разделяют секущую и дифференциальную индуктивности.
Электрическая работа при неподвижной геометрии равна интегралу тока по изменению потокосцепления. Если независимой переменной выбран ток, удобнее коэнергия — площадь под зависимостью \Psi (i). Сумма двух площадей равна i\Psi. Это равенство остаётся полезной проверкой при нелинейной, однозначной кривой намагничивания.
Равенство W=W'=i\Psi /2 требует линейности и отсутствия независимого возбуждения в рассматриваемой однопортовой задаче. Для нескольких обмоток энергетическое тождество содержит сумму токов на потокосцепления всех независимых портов. При постоянном возбуждении генератора динамический баланс использует отдельно энергию переменных токов по формуле блока d/q и мощность преобразования. Для насыщенной стали интегрируют фактическую характеристику. Сила определяется частной производной при фиксированных токах, а не производной вдоль нагруженной траектории с меняющимся током.
Задание токов в геометрии определяет один полевой режим. Питание от напряжения и работа на нагрузку требуют отдельного выполнения уравнений выводов. В линейной гармонической модели напряжение содержит сопротивление меди и производную потокосцепления; фазорная невязка проверяется для каждой обмотки.
Сопротивления рассчитывают по полной длине проводника и температуре. Лобовые части, кольца ротора и добавочные внешние индуктивности, отсутствующие в плоском сечении, входят в схему отдельными элементами. В насыщенном режиме потокосцепление зависит от состояния, и постоянная матрица L становится локальным приближением.
Планарная магнитостатическая модель, глубина43 мм, M-43. В первичной обмотке354 витка и мгновенный ток0.387А; вторичная обмотка разомкнута. Рассчитываются потокосцепление, секущая индуктивность, энергия и коэнергия.
Компенсационный магнитостатический опыт: первичная354витка,2.75А; вторичная39витков,24.96153846153846А с противоположной МДС. Магнитные области заменены воздухом для отдельной оценки рассеяния. Глубина1мм; эффективная длина161мм задаёт масштаб161/1 для энергии и AJ. Рассчитывается приведённая индуктивность рассеяния.
Планарная магнитостатическая модель с раздельными частями магнитопровода, глубина43мм. Источники первичной обмотки J=±0.210766МА/м²; вторичная разомкнута. Рассчитываются поле, потокосцепление и энергия для заданного положения геометрии.
Трансформатор: параметры, нагрузка и выбор вторичной обмотки
Планарная активная часть 43 мм; N_{1}/N_{2}=354/39 или 350/38. Линейная схема на 50 Гц с \mu _{r}=2000 и отдельно заданными сопротивлениями; нелинейная токовая серия M-43. Воздушная компенсационная модель — отдельная оценка рассеяния.
Нагрузочная характеристика при 230 В,50 Гц и нелинейное потокосцепление M-43. Выбор 350/38 витков проверен отдельным полевым расчётом. Открыть графикРезультаты расчёта
Величина
Результат
Единица
L_{11}
2,65
Гн
L_{22}
0,03217
Гн
M
0,2919
Гн
Lк активной части
1,366
мГн
Рассеяние с эффективной длиной
4,134
мГн
U_{2} выбранной обмотки350/38 витков
23,97
В
Последовательное решение
1 · Описание модели и проверка обмотки
Ошибку числа витков или глубины нельзя устранить последующей настройкой схемы замещения.
Запишите протокол, направления цепей и знаки витков двух сторон. Вычислите эффективную глубину 49{,}6\cdot 0{,}866\approx 43 мм и объясните её связь с пакетом стали.
Откройте грубую и мелкую модели: размеры магнитопровода совпадают. В модели с дальней границей изменяется только воздушная область; сравните координаты её внешнего прямоугольника.
Вычислите площадь одного провода kзSобм/N и сопротивления по полным средним длинам витка. Объясните, почему активную длину 43 мм нельзя подставить вместо длины полного витка.
J_k S_k=N_k i_k
S — площадь одной стороны обмотки с эквивалентным распределённым током. Коэффициент заполнения и модель многожильного провода задаются отдельно.
Записать в протокол. Таблица геометрии и свойств; N_{1}I_{1}, N_{2}I_{2} и их разность; имена точных файлов.
Независимые возбуждения отделяют собственное поле от взаимного и выявляют ошибку знаков.
Выполните независимые опыты (I_{1}, I_{2})=(1{,}0) и(0,1)А. Из потокосцеплений заполните оба столбца L и отдельно M_{12}, M_{21}.
Сравните W с I^{T}LI /2 и проверьте положительность определителя. Повторите матрицу на мелкой сетке и при дальней границе, используя значения программы.
Откройте серию насыщения 0,1…2 А: постройте \Psi _{1}(I_{1}), вычислите \Psi /I и соседние \Delta \Psi /\Delta I. Объясните различие с постоянной L линейной модели.
ХХ определяет потребную МДС и напряжение вторичной обмотки. Заданный ток и заданное напряжение задают разные задачи.
Используйте полевую матрицу и сопротивления проводников, чтобы решить U_{1}=(R_{1}+j\omega L_{11})I_{0} приI₂=0.
Умножьте ток RMS на√2 перед передачей в FEMM. Из нового решения вычислите действующие U_{1} и U_{2} и невязку первичного напряжения.
Сопоставьте U_{2}/U_{1} сN₂/N_{1}. Источник приводит L\mu =2{,}82 Гн и L_{\sigma}=5{,}2 мГн как данные своего трансформатора; объясните, почему одна учебная линейная активная часть не подтверждает точность для этого физического устройства.
КЗ задают напряжением на выводе, а не произвольно выбранной парой противоположных токов.
Вычислите Zк=R_{1}+j\omega L_{11}+(\omega M)^{2}/(R_{2}+j\omega L_{22}). Найдите U₁к=2,75|Zк| и комплексные токи; решите новую гармоническую FEM при этих амплитудах.
Проверьте U_{2}=R_{2}I_{2}+j\omega \Psi _{2}\approx 0 и модульI₁=2,75 А. Отдельно вычислите идеальную Lк=L_{11}-M^{2}/L_{22}.
Выполните воздушную компенсацию при равных встречных МДС. По энергии на 1 мм получите L_{\sigma} с lэф=159,745 мм. Сравните сLк активной части и поясните различие способов учёта длины.
Второе равенство относится к линейной системе, идеальному КЗ и согласованным направлениям; это не универсальная формула для насыщенной нагруженной машины.
Записать в протокол. Zк, Rк, Xк, Lк и невязка вторичного напряжения; отдельная строка для упрощённого опыта.
Параметры полезны, когда предсказывают независимый режим и показывают запас по напряжению.
Решите систему схемы для нагрузок 20,10,5,1 и 24/26{,}3 Ом при 230 В. Для каждой точки выполните прямой гармонический расчёт с полученными токами и проверьте оба уравнения выводов.
Постройте U_{2}(I_{2}), Pвх, Pнагрузки и потери R_{1}|I_{1}|^{2}+R_{2}|I_{2}|^{2}. Проверьте баланс; без потерь в стали он характеризует только принятые механизмы.
По отклонению от 24 В выберите 350 первичных и 38 вторичных витков. Пересчитайте L_{11}, L_{22} и сопротивления пропорционально квадратам соответствующих витков, а M — произведениюN₁N₂ при фиксированном заполнении. Откройте отдельный полевой расчёт выбранной обмотки и проверьте достижение цели с допуском 1%.
По геометрии проводников R_{1}=1{,}41382 Ом, R_{2}=0{,}0228083 Ом. При 39 витках нагрузочное напряжение равно 24,2692 В.
Выбраны 350/38 витков; прямое полевое решение даёт U_{2}=23{,}9681 В и I_{2}=26{,}2651 А. Отклонение от цели 24 В составляет 0,132715%.
В отдельной воздушной компенсации получена оценка L_{\sigma}=4{,}1343 мГн с эффективной длиной 159,745 мм.
Для выбранной обмотки первичный ток составляет 2,86586 А, суммарные потери в меди — 26,29 Вт. Провод и тепловой режим первичной обмотки выбирают с учётом этого тока; 2,75 А относится к отдельному контрольному опыту КЗ.
Числа получены в FEMM 5 для заданных учебных условий. Конструктивная оценка рассеяния и линейная схема активной части имеют разные допущения.
Нагрузочная характеристика, N_{2}=39
Rн, Ом
U_{1}, В
I_{2}, А
U_{2}, В
Pнагрузки, Вт
Pмеди, Вт
ХХ
230
0
25,33
0
0,1079
20
230
1,264
25,28
31,96
0,1716
10
230
2,523
25,23
63,66
0,362
5
230
5,026
25,13
126,3
1,117
1
230
24,36
24,36
593,3
23,82
0,9125
230
26,6
24,27
645,4
28,38
0
9,131
24,96
202,3 × 10⁻¹²
0
24,9
КЗ — строкаRн=0 со сниженным U_{1}. Все электрические величины таблицы — действующие значения.
Нелинейная характеристика
I_{1}, А
\Psi _{1}, Вб·вит
Lсек, Гн
B в центре, Тл
0,1
0,7597
7,597
0,9965
0,3
1,077
3,59
1,415
0,6
1,154
1,923
1,516
1
1,198
1,198
1,575
2
1,26
0,6298
1,656
Токовая статическая серия M-43; она не задаёт автоматически синусоидальный ток при питании напряжением.
Количественные результаты и их проверка
Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.
Величина
Единица
Что определяет
kU=U_{20}/U_{1}
1
Число витков для требуемого вторичного напряжения
L_{11}, L_{22}, M и Lк
Гн
Связь обмоток, ток ХХ и рассеяние
Rк, Xк и Zвх
Ом
Падение напряжения и ток КЗ
U_{2}(I_{2}), \Delta U
В, %
Качество напряжения при выбранной нагрузке
Pвх, Pвых и невязка
Вт, %
Границы учтённых потерь и энергетическая согласованность
Взаимность M_{12}, M_{21} — расхождение менее 0,1%; энергия линейной модели I^{T}LI /2 — менее 0,3%.
Уточнение сетки: изменения L_{11}, L_{22}, M, Lк менее 2,5%; независимое расширение воздушной области — менее 3%. Воспроизведите фактические значения из программы.
Уравнения первичного и вторичного выводов проверяются прямым AC-решением с невязкой менее 0,5%; вторичное напряжение КЗ нормируется первичным приведённым напряжением.
Выбранная обмотка 350/38 витков должна дать 24 В с отклонением менее 1% при объявленной нагрузке. Баланс входной мощности, мощности нагрузки и медных потерь относится только к учтённым сопротивлениям.
Итоговый вывод. Обоснуйте выбор 350 первичных и 38 вторичных витков по напряжению под нагрузкой. Сопоставьте две оценки рассеяния, объясните роль средней длины витка и перечислите данные, необходимые для прогноза реального тока ХХ и полного КПД.
Границы применения результата
2D активная часть не содержит автоматически торцы, среднюю длину витка, бак, выводы и конструктивные потери.
Потери — мощность в ваттах; энергия — в джоулях. Пересчёт глубины требует единиц и проверки, относится ли длина к одной стороне или полному витку.
Гармоническая нелинейная модель не воспроизводит произвольную форму тока и переходный бросок включения.
Литература
Моделирование однофазного трансформатора : задание 1. — 20 с.
Однофазный трансформатор : расчётный лист. — 4 с.
Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.
Уравнения Максвелла. Раздел 2. — 20 с.
Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.
Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
Введение. — 13 с.
Простейшая электрическая машина. Раздел 1. — 30 с.
Рымша В. В., Процына З. П., Якимец А. М. Расчёт магнитных систем электромагнитов классическим и численным методом : методические указания. — Одесса : ОНПУ, 2010. — 48 с.
Составление скриптов на языке Lua. — 30 с.
Иванов-Смоленский А. В., Гончаров В. И., Тейн Наинг Тун. Применение конечно-элементных моделей при учебном проектировании синхронных машин. — 14 с.
