Закон Фурье, стационарная теплопроводность и тепловое сопротивление

Температурное поле

Тепловые процессы в электротехнических устройствах — нагрев обмоток и магнитопроводов, отвод тепла через корпус, прогрев стенки — описываются на том же математическом языке, что и электромагнитное поле. Основная величина здесь скалярная: температура $T(\vec r,t)$, К. Совокупность её значений во всех точках тела в данный момент времени называют температурным полем. Если поле не зависит от времени, $T=T(\vec r)$, оно называется стационарным; в противном случае — нестационарным (ему посвящён урок о нестационарной теплопроводности).

Поверхности уровня температурного поля — изотермические поверхности (на плоских картинах — изотермы). Через одну точку проходит ровно одна изотерма: температура в точке единственна, поэтому изотермы разных уровней не пересекаются. По густоте изотерм, как и по густоте горизонталей на карте, видно, где температура меняется быстро. Вектор, который количественно выражает эту быстроту, — градиент температуры $\nabla T$, К/м. Он направлен по нормали к изотерме в сторону роста температуры, а его модуль равен наибольшей скорости роста температуры на единицу длины.

Почти вся теория теплопроводности строится на двух утверждениях: закон Фурье связывает перенос тепла с градиентом температуры, а закон сохранения энергии связывает перенос тепла с изменением температуры во времени. Из них получается одно уравнение в частных производных — уравнение теплопроводности.

Плотность теплового потока и закон Фурье

Опыт показывает, что в неподвижной среде тепло переносится в сторону убывания температуры и тем интенсивнее, чем круче температура меняется. Это и есть закон Фурье.

Коэффициент теплопроводности — свойство материала. Между металлами и теплоизоляторами его значения различаются на четыре десятичных порядка:

Заметим, что воздух сам по себе — прекрасный теплоизолятор; минеральная вата, пенопласт и пористые материалы хороши именно потому, что удерживают воздух неподвижным и исключают его перемешивание. У металлов теплопроводность велика, поскольку тепло переносят те же свободные электроны, что и электрический заряд: хорошие проводники тока — хорошие проводники тепла.

Уравнение теплопроводности

Рассмотрим в теле произвольный неподвижный объём $V$, ограниченный замкнутой поверхностью $S$ с внешней нормалью $\un$. Пусть $\rho_m$ — плотность массы, кг/м³, $c$ — удельная теплоёмкость, Дж/(кг·К), $q_V$ — объёмная мощность внутренних источников тепла, Вт/м³ (например, джоулево тепловыделение). Деформациями и движением среды пренебрегаем.

Смысл уравнения прозрачен: температура в точке растёт, если тепла в неё втекает больше, чем вытекает ($\nabla\cdot \uq<0$), и если в ней работают источники. Коэффициент $\rho_m c$ — объёмная теплоёмкость, Дж/(м³·К) — показывает, сколько энергии нужно, чтобы нагреть единицу объёма на один кельвин.

Стационарный случай и уравнение Пуассона

В стационарном поле $\partial T/\partial t=0$, и уравнение сводится к балансу «что втекло — то вытекло или выделилось»: $$\nabla\cdot (\lambda\,\nabla T)+q_V=0 .$$ Если среда однородна ($\lambda=\mathrm{const}$), то $\nabla\cdot (\lambda\nabla T)=\lambda\,\nabla\cdot \nabla T=\lambda\,\Delta T$, и получается уравнение Пуассона $$\Delta T=-\frac{q_V}{\lambda},$$ а без источников — уравнение Лапласа $\Delta T=0$. Это те же уравнения, что для электростатического потенциала ($\Delta\varphi=-\rho/\varepsilon$): все результаты о единственности решения, принципе максимума и методах расчёта переносятся на тепловые задачи дословно [Тихонов]. Отличия — лишь в граничных условиях, о которых пойдёт речь в следующем уроке.

Температура и превышение температуры

В инженерных расчётах чаще интересуются не самой температурой, а её превышением над температурой окружающей среды $T_0$: $$\vartheta=T-T_0 ,\qquad [\vartheta]=\text{К}.$$ Так как $T_0$ — постоянная, $\nabla \vartheta=\nabla T$ и $\partial\vartheta/\partial t=\partial T/\partial t$: уравнение теплопроводности для $\vartheta$ имеет тот же вид. Если $\lambda$ не зависит от температуры, уравнение линейно, и к превышению применим принцип суперпозиции: превышение от двух источников равно сумме превышений от каждого из них в отдельности. Для самой температуры $T$ суперпозиция в таком виде неверна — складывать абсолютные температуры бессмысленно.

Одномерные стационарные задачи

Одномерные решения — основа всех тепловых схем замещения и первое средство проверки численных расчётов. Рассмотрим четыре задачи.

Анизотропная теплопроводность

В слоистых и волокнистых материалах — шихтованных магнитопроводах, стеклотекстолите, намотанных обмотках, графите — теплопроводность зависит от направления. Закон Фурье обобщается: каждая компонента $\uq$ зависит от всех компонент градиента, $$q_i=-\sum_j\lambda_{ij}\frac{\partial T}{\partial x_j},\qquad \uq=-\boldsymbol\lambda\,\nabla T ,$$ где $\boldsymbol\lambda$ — симметричный тензор теплопроводности. Для симметричного тензора существуют три взаимно перпендикулярных главных направления, в которых он диагонален: $\boldsymbol\lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$. В слоистой структуре главные оси — вдоль слоёв и поперёк них. Если слои толщиной $d_1$, $d_2$ с теплопроводностями $\lambda_1$, $\lambda_2$ чередуются, то вдоль слоёв они работают «параллельно», а поперёк — «последовательно»: $$\lambda_\parallel=\frac{d_1\lambda_1+d_2\lambda_2}{d_1+d_2},\qquad \lambda_\perp=\frac{d_1+d_2}{d_1/\lambda_1+d_2/\lambda_2}.$$ Так, в шихтованном сердечнике тонкие лаковые или оксидные прослойки почти не мешают теплу течь вдоль листов, но резко снижают $\lambda_\perp$. У графита с упорядоченной структурой теплопроводность вдоль слоёв измеряется сотнями Вт/(м·К), а поперёк — единицами.

Главное следствие анизотропии: вектор $\uq$ уже не антипараллелен $\nabla T$ и не перпендикулярен изотермам. Пусть $\lambda_x=100$, $\lambda_y=1$ Вт/(м·К), а градиент направлен под углом $45°$ к осям, $\nabla T=g(1,1)/\sqrt2$. Тогда $\uq=-g(100,1)/\sqrt2$ — вектор, отклонённый от оси $x$ всего на $\arctan(1/100)\approx0{,}6°$. Тепло «выбирает» направление лёгкого переноса почти независимо от направления градиента. В уравнении теплопроводности анизотропия учитывается автоматически: $\nabla\cdot (\boldsymbol\lambda\nabla T)$ в главных осях раскрывается как $\lambda_1\partial^2T/\partial x_1^2+\lambda_2\partial^2T/\partial x_2^2+\lambda_3\partial^2T/\partial x_3^2$ [Лыков].

Зависимость теплопроводности от температуры

У реальных материалов $\lambda=\lambda(T)$: у чистых металлов теплопроводность с ростом температуры слегка падает, у сталей и изоляционных материалов — чаще растёт. Тогда стационарное уравнение $\nabla\cdot (\lambda(T)\nabla T)+q_V=0$ нелинейно. При умеренных перепадах пользуются средним значением $\lambda$ на интервале температур. Если же зависимость существенна, помогает преобразование Кирхгофа: вводят новую переменную $$\Theta=\frac{1}{\lambda_0}\int_{T_0}^{T}\lambda(T')\,\dd T' ,\qquad \nabla \Theta=\frac{\lambda(T)}{\lambda_0}\nabla T ,$$ и стационарное уравнение для $\Theta$ становится линейным уравнением Пуассона $\lambda_0\Delta\Theta=-q_V$; условия первого и второго рода сохраняют свой вид (условие третьего рода становится нелинейным). Решив его, возвращаются к $T$ обращением интеграла. В нестационарных задачах преобразование линейности не даёт: $\partial T/\partial t=(\lambda_0/\lambda(T))\,\partial\Theta/\partial t$, и коэффициент при производной по времени остаётся зависящим от температуры; там остаётся численное решение [Лыков].

Сводка величин

Итоги

• Температурное поле $T(\vec r,t)$ — скалярное; его изотермы не пересекаются, а $\nabla T$ направлен по нормали к ним в сторону роста температуры.
• Закон Фурье $\uq=-\lambda\nabla T$: тепло течёт против градиента, от горячего к холодному; $\uq$ — плотность потока в Вт/м², $P=\int_S\uq\cdot\un\,\dS$ — поток в Вт.
• Баланс энергии контрольного объёма и теорема Остроградского–Гаусса дают уравнение $\rho_mc\,\partial T/\partial t=\nabla\cdot (\lambda\nabla T)+q_V$; в стационарном однородном случае — уравнение Пуассона $\Delta T=-q_V/\lambda$.
• Одномерные решения: линейный профиль в плоской стенке, парабола при тепловыделении ($T_{\max}-T_s=q_VL^2/(2\lambda)$ для пластины, $q_Va^2/(4\lambda)$ для провода), логарифм в цилиндрической стенке с $P'=2\pi\lambda(T_1-T_2)/\ln(r_2/r_1)$.
• В анизотропной среде $\lambda$ — тензор, и $\uq$ не антипараллелен градиенту; зависимость $\lambda(T)$ делает задачу нелинейной, но в стационарном случае её линеаризует преобразование Кирхгофа.

Далее — граничные условия теплообмена и тепловые схемы: как задать на поверхности тела конвекцию и излучение и как свести многослойную стенку к цепи тепловых сопротивлений.