Теплопроводность · Плоскопараллельная
Охлаждение равномерно нагреваемой шины
Медная шина 100 × 10 мм, расчётная длина перпендикулярно рисунку 1 м. Объёмное тепловыделение 10⁵ Вт/м³; тепло отводится с двух широких сторон, торцы теплоизолированы.
Цель работы — связать полевое распределение с измеряемой величиной, получить проверяемый численный результат и объяснить границы выбранной модели. Все параметры заданы непосредственно в программе. Собственная постановка содержит физический ориентир и критерии приёмки, поэтому результат можно исследовать без внешней библиотеки готовых решений.
Самостоятельная учебная модель FEMM 5: от физических соотношений к полевому решению и проверке результата.
Допущения и устройство учебной модели
Все размеры, свойства материалов и условия возбуждения заданы ниже. Численные результаты относятся к опубликованной версии модели FEMM 5.
Физическая и математическая постановка
Теория и контрольная модель
При одинаковой конвекции сверху и снизу температура зависит только от поперечной координаты. Полный поток делится поровну между двумя поверхностями. Температура поверхности определяется конвективным сопротивлением, а дополнительный подъём к середине имеет параболический профиль и зависит от теплопроводности.
Из-за высокой теплопроводности меди внутренняя разность температур мала по сравнению с конвективным перепадом. Это позволяет количественно проверить распространённое приближение равномерной температуры проводника. Программа независимо интегрирует конвекцию вдоль обеих границ и сопоставляет её с объёмной мощностью.
Как читать расчёт и проверки
Программа создаёт три последовательные дискретизации. Для каждой сохраняются отдельная входная модель и собственное решение FEMM. Перед запуском решателя записанный файл закрывается и повторно открывается: проверяется именно сохранённая версия с русскими именами материалов, проводников и границ. В result.json величины records сопровождаются числом узлов и элементов, а checks содержит фактический остаток, предел и логический итог.
Для электрических моделей отдельно проверяются баланс токов на выводах и равенство суммарных джоулевых потерь и активной мощности на выводах. Для тепловых задач используются аналитический профиль, эквивалентное координатное преобразование или интегральный баланс источников и теплоотдачи. Эти проверки отвечают на разные вопросы: совпадение одной температуры или одного тока само по себе не подтверждает правильность всей постановки.
Практическое исследование
Измените коэффициент конвекции с 10 до 20 Вт/(м² К). Сравните снижение температуры поверхности с изменением перепада центр–поверхность. Второй перепад при заданной мощности и постоянной теплопроводности практически не зависит от h.
Замените медь материалом с меньшей теплопроводностью, сохранив геометрию и источники. Оцените, когда приближение равномерной температуры перестанет быть достаточным. Сравните точный профиль и его среднее значение.
Проверьте масштабирование по глубине: удвоение длины перпендикулярно рисунку удваивает мощность и площадь теплоотдачи, но не температуру. Это хороший способ обнаружить ошибку переноса погонной мощности в объёмный источник.
Исходные данные
Медная шина 100 × 10 мм, расчётная длина перпендикулярно рисунку 1 м. Объёмное тепловыделение 10⁵ Вт/м³; тепло отводится с двух широких сторон, торцы теплоизолированы.
| Параметр | Значение | Единица | Происхождение |
|---|---|---|---|
| Высота | 10 | мм | Принято в учебной постановке |
| k меди | 380 | Вт/(м К) | Принято в учебной постановке |
| qv | 100000 | Вт/м³ | Принято в учебной постановке |
| h | 10 | Вт/(м² К) | Принято в учебной постановке |
| Воздух | 20 | °C | Принято в учебной постановке |
Порядок воспроизведения
- Скопируйте reproduce.py в отдельную рабочую папку и откройте его во встроенном редакторе Python FEMM 5. Запускайте файл целиком. Программа сама создаёт новый каталог calculated-XX рядом с файлом, поэтому повторная серия сохраняет предыдущие модели и результаты.
- До расчёта прочитайте параметры и единицы. После расчёта откройте последнюю входную модель и соответствующее решение. Сопоставьте назначение русских имён с физическим смыслом, определите путь тока или теплового потока и найдите величины, используемые в контрольной формуле.
- Сравните все три записи records и убедитесь, что каждый пункт checks имеет passed=true. Уточните различие между ошибкой аналитического сравнения, изменением по сетке, невязкой баланса и итерационным остатком. Для модели с координатным преобразованием откройте также отдельную контрольную геометрию.
- Выполните исследовательские варианты по одному. Перед изменением предскажите знак и примерный масштаб эффекта. В отчёте приведите выбранные параметры, контрольную формулу, таблицу сеток, независимые проверки и объяснение того, какие выводы можно переносить на реальный объект.
Скачайте нужные файлы по отдельным ссылкам ниже в одну рабочую папку, затем откройте reproduce.py во встроенном Python FEMM 5 и выполните его. Сохраните имена файлов и структуру подпапок. Условия конкретного запуска и путь новых результатов указаны в комментариях программы.
Программа встроенного Python FEMM 5
"""Самостоятельная лабораторная работа курса FEMM 5.
Запуск: встроенный MicroPython FEMM 5, команды FEMM доступны непосредственно.
Геометрические координаты и глубина — мм; результаты интегралов — единицы СИ.
Данные, допущения, аналитические ориентиры и ход исследования заданы в README.md.
Каждая серия записывается в новую calculated-XX; прежние результаты сохраняются.
Сохранённая модель закрывается и открывается до расчёта, включая русские имена.
"""
import os
import sys
import json
import math
script = globals().get("__file__", "") or (sys.argv[0] if sys.argv else "")
base = os.path.dirname(os.path.abspath(script)) if script else os.getcwd()
index = 1
while "calculated-%02d" % index in os.listdir(base):
index += 1
directory = base + "/calculated-%02d" % index
os.mkdir(directory)
records = []
checks = []
def real(value):
if isinstance(value, (tuple, list)):
return real(value[0])
return complex(value).real
def check(name, value, limit):
checks.append(
{
"name": name,
"value": value,
"limit": limit,
"passed": math.isfinite(value) and value <= limit,
}
)
def polygon(prefix, points):
for x, y in points:
globals()[prefix + "_addnode"](x, y)
for i, (x, y) in enumerate(points):
x2, y2 = points[(i + 1) % len(points)]
globals()[prefix + "_addsegment"](x, y, x2, y2)
def geometry(prefix, job, mesh):
if job.get("polygon"):
polygon(prefix, job["polygon"])
for x1, y1, x2, y2 in job.get("interfaces", []):
globals()[prefix + "_addnode"](x1, y1)
globals()[prefix + "_addnode"](x2, y2)
globals()[prefix + "_addsegment"](x1, y1, x2, y2)
for x, y, radius, name in job.get("circles", []):
globals()[prefix + "_addnode"](x - radius, y)
globals()[prefix + "_addnode"](x + radius, y)
globals()[prefix + "_addarc"](x - radius, y, x + radius, y, 180, 1)
globals()[prefix + "_addarc"](x + radius, y, x - radius, y, 180, 1)
globals()[prefix + "_selectarcsegment"](x, y + radius)
globals()[prefix + "_selectarcsegment"](x, y - radius)
if prefix == "ci":
ci_setarcsegmentprop(1, "<None>", 0, 0, name or "<None>")
else:
hi_setarcsegmentprop(1, name or "<None>", 0, 0, "<None>")
globals()[prefix + "_clearselected"]()
for x, y, name, group in job["blocks"]:
globals()[prefix + "_addblocklabel"](x, y)
globals()[prefix + "_selectlabel"](x, y)
globals()[prefix + "_setblockprop"](name, 0, mesh, group)
globals()[prefix + "_clearselected"]()
def current(job, mesh, stem):
newdocument(3)
ci_probdef("millimeters", "planar", 0, 1e-10, job["depth"], 30)
for name, sx, sy in job["materials"]:
ci_addmaterial(name, sx, sy, 1, 1, 0, 0)
for name, voltage, amperes, kind in job["terminals"]:
ci_addconductorprop(name, voltage, amperes, kind)
geometry("ci", job, mesh)
for x, y, name in job.get("electrode_segments", []):
ci_selectsegment(x, y)
ci_setsegmentprop("<None>", mesh, 0, 0, 0, name)
ci_clearselected()
path = directory + "/" + stem + ".fec"
ci_saveas(path)
ci_close()
opendocument(path)
ci_analyze(1)
ci_loadsolution()
co_smooth("off")
terminals = {}
terminal_power = 0
balance = 0
current_scale = 0
for name, voltage, amperes, kind in job["terminals"]:
u, i = co_getconductorproperties(name)
terminals[name] = {"U_V": real(u), "I_A": real(i)}
terminal_power += real(complex(u) * complex(i).conjugate())
balance += complex(i)
current_scale = max(current_scale, abs(complex(i)))
powers = {}
power = 0
for x, y, name, group in job["blocks"]:
if name == "<No Mesh>":
continue
co_groupselectblock(group)
powers[str(group)] = real(co_blockintegral(0))
power += powers[str(group)]
co_clearblock()
samples = []
for x, y in job.get("samples", []):
values = co_getpointvalues(x, y)
samples.append(
{
"x_mm": x,
"y_mm": y,
"U_V": real(values[0]),
"J_A_m2": math.sqrt(
abs(complex(values[1])) ** 2 + abs(complex(values[2])) ** 2
),
}
)
row = {
"model": stem + ".fec",
"mesh_mm": mesh,
"nodes": co_numnodes(),
"elements": co_numelements(),
"terminals": terminals,
"P_W": power,
"group_power_W": powers,
"samples": samples,
"current_balance_relative": abs(balance) / current_scale,
"power_balance_relative": abs(power - terminal_power) / max(power, 1e-30),
}
check(stem + ": баланс токов", row["current_balance_relative"], 1e-6)
check(stem + ": баланс мощности", row["power_balance_relative"], 1e-6)
co_close()
ci_close()
return row
def heat(job, mesh, stem):
newdocument(2)
hi_probdef("millimeters", "planar", 1e-10, job["depth"], 30)
for name, kx, ky, q in job["materials"]:
hi_addmaterial(name, kx, ky, q, 0)
for name, kind, temp, ambient, h in job["boundaries"]:
hi_addboundprop(name, kind, temp, 0, ambient, h, 0)
geometry("hi", job, mesh)
for x, y, name in job.get("boundary_segments", []):
hi_selectsegment(x, y)
hi_setsegmentprop(name, mesh, 0, 0, 0, "<None>")
hi_clearselected()
path = directory + "/" + stem + ".feh"
hi_saveas(path)
hi_close()
opendocument(path)
hi_analyze(1)
hi_loadsolution()
ho_smooth("off")
averages = {}
generated = 0
for x, y, name, group in job["blocks"]:
ho_groupselectblock(group)
averages[str(group)] = real(ho_blockintegral(0))
volume = real(ho_blockintegral(2))
q = [m[3] for m in job["materials"] if m[0] == name][0]
generated += q * volume
ho_clearblock()
samples = []
for x, y in job.get("samples", []):
samples.append({"x_mm": x, "y_mm": y, "T_K": real(ho_getpointvalues(x, y)[0])})
convection = 0
for x1, y1, x2, y2, ambient, h in job.get("convection_edges", []):
count = 200
total = 0
for n in range(count + 1):
t = real(
ho_getpointvalues(
x1 + (x2 - x1) * n / count, y1 + (y2 - y1) * n / count
)[0]
)
total += (0.5 if n in (0, count) else 1) * (t - ambient)
length = math.sqrt((x2 - x1) ** 2 + (y2 - y1) ** 2) * 0.001
convection += total / count * length * job["depth"] * 0.001 * h
row = {
"model": stem + ".feh",
"mesh_mm": mesh,
"nodes": ho_numnodes(),
"elements": ho_numelements(),
"samples": samples,
"group_average_K": averages,
"generated_W": generated,
"convection_W": convection,
}
if job.get("convection_edges"):
check(
stem + ": баланс конвективного теплоотвода",
abs(convection - generated) / max(generated, 1e-30),
0.005,
)
ho_close()
hi_close()
return row
JOB = json.loads(
'{"polygon": [[0, 0], [100, 0], [100, 10], [0, 10]], "depth": 1000, "materials": [["Нагреваемая медь", 380, 380, 100000.0]], "blocks": [[50, 5, "Нагреваемая медь", 1]], "boundaries": [["Конвекция", 2, 0, 293.15, 10]], "boundary_segments": [[50, 0, "Конвекция"], [50, 10, "Конвекция"]], "convection_edges": [[0, 0, 100, 0, 293.15, 10], [0, 10, 100, 10, 293.15, 10]], "samples": [[50, 5], [50, 0]]}'
)
reference = 293.15 + 1e5 * 0.01 / (2 * 10) + 1e5 * 0.01**2 / (8 * 380)
for level, mesh in enumerate((2, 1, 0.5)):
row = heat(JOB, mesh, "model-%02d" % (level + 1))
records.append(row)
check(
"Точная температура оси, сетка %d" % (level + 1),
abs(row["samples"][0]["T_K"] - reference),
0.002,
)
check("Заданная мощность 100 Вт", abs(row["generated_W"] - 100), 1e-5)
result = {
"runtime": "FEMM 5; embedded MicroPython",
"records": records,
"checks": checks,
"passed": all(item["passed"] for item in checks),
}
with open(directory + "/result.json", "w") as output:
json.dump(result, output)
print(json.dumps(result))
assert result["passed"]
Картина рассчитанного поля
Окна FEMM 5
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Результаты и численные проверки
Сохранено решений FEMM: 3. Выполнено проверок: 9. Полная точность чисел и условия сравнения доступны в таблицах результатов JSON.
| Элементов | Масштаб сетки, мм | Модель | Контрольные точки | Средняя температура области, К | Тепловыделение, Вт | Узлов | Конвективный тепловой поток, Вт |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1879 | 2 | model-01.feh | 2 точек; полные данные JSON | 1 полей; полные данные JSON | 100 | 1036 | 100 |
| 2776 | 1 | model-02.feh | 2 точек; полные данные JSON | 1 полей; полные данные JSON | 100 | 1533 | 100 |
| 10110 | 0,5 | model-03.feh | 2 точек; полные данные JSON | 1 полей; полные данные JSON | 100 | 5338 | 100 |
| Критерий | Получено | Допуск или ожидаемое значение | Итог |
|---|---|---|---|
| model-01: баланс конвективного теплоотвода | 21,07 × 10⁻¹² | 0,005 | Выполнен |
| Точная температура оси, сетка 1 | 12,59 × 10⁻⁶ | 0,002 | Выполнен |
| Заданная мощность 100 Вт | 99,48 × 10⁻¹⁵ | 1e-05 | Выполнен |
| model-02: баланс конвективного теплоотвода | 696,7 × 10⁻¹² | 0,005 | Выполнен |
| Точная температура оси, сетка 2 | 50,55 × 10⁻⁶ | 0,002 | Выполнен |
| Заданная мощность 100 Вт | 28,42 × 10⁻¹⁵ | 1e-05 | Выполнен |
| model-03: баланс конвективного теплоотвода | 335,1 × 10⁻¹² | 0,005 | Выполнен |
| Точная температура оси, сетка 3 | 6,879 × 10⁻⁶ | 0,002 | Выполнен |
| Заданная мощность 100 Вт | 241,6 × 10⁻¹⁵ | 1e-05 | Выполнен |
Допуски относятся к указанной учебной задаче и способу сравнения. Число показанных цифр не означает такой же физической точности.
Модели, решения и программа
Для нового расчёта сохраните программу, модели и необходимые данные в одну рабочую папку, сохраняя структуру подпапок.
- Файл результатов: README.md8340 байт
- Тепловое решение: model-01.anh85685 байт
- Тепловая модель: model-01.feh992 байт
- Тепловое решение: model-02.anh129215 байт
- Тепловая модель: model-02.feh992 байт
- Тепловое решение: model-03.anh484577 байт
- Тепловая модель: model-03.feh998 байт
- Программа встроенного Python: reproduce.py9085 байт
- Файл результатов: verification.json912 байт
Границы применимости
- Излучение и теплоотвод через торцы отсутствуют; коэффициент теплоотдачи принят постоянным. Тепловыделение задаётся непосредственно и не является расчётом допустимого тока.
- Проверка выполнена решателем FEMM 5.0 06Oct2026 во встроенной среде MicroPython. Она относится к данной версии геометрии, свойств и численных критериев. Снимки интерфейса FEMM выполняются отдельным согласованным проходом.