Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Построение карты отклика и локальных параметров
Инженерный вопрос. Устойчива ли оценка производной к выбору приращения?
Потокосцепления, индуктивность и запас энергии превращают полевую модель в параметры электрической цепи. Они нужны для выбора числа витков, тока, магнитной связи и рабочего диапазона до расчёта динамики.
Локальная производная замкнутого сердечника. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сравните локальные производные потокосцеплений при двух приращениях около одной рабочей точки.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте карту в независимых точках; сопоставьте интерполяцию или производную с прямым расчётом и повторите при меньшем шаге.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Локальная матрица и вывод о пригодном шаге без смешения с секущими параметрами.
Данные именно этого опыта. Сравните локальные производные потокосцеплений при двух приращениях около одной рабочей точки.
Оформление наблюдений. Координаты каждой точки, отклик, шаг производной и способ интерполяции; контрольные точки не должны совпадать с узлами определения параметра.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Оба соседних \Psi и шаг сохранены; половинный шаг проверен самостоятельно; изменение производной менее 2\,\% либо объяснено дальнейшее уточнение.
Независимый контроль. Сопоставьте прогноз с прямым расчётом в независимой точке и измените шаг производной или плотность карты отдельно от сетки.
Критерий выполнения. Меняется по одному току \pm \Delta I; измеряются обе \Psi; описаны проверка шагом/2 и взаимности в обратимой модели.
Точность и расхождения. Разделите невязку полевого решения, ошибку интерполяции и чувствительность производной к приращению. Вблизи нулевого отклика сохраняйте абсолютную оценку с единицей.
Основание сравнения. Используйте определения карты, локальной производной и коэнергии из занятия. Вывод относится к проверенному диапазону; экстраполяция и переход через границу карты требуют отдельного обоснования.
Вывод для устройства
Объясните, в каком диапазоне карта может заменить прямые полевые расчёты в модели цепи или движения и почему за её пределами нужен новый расчёт.
Границы вывода. Параметр относится к указанной рабочей точке и определению индуктивности. Торцевые поля, сопротивление и нагрев не возникают автоматически из магнитостатической энергии.
Дополнительный расчётный метод
Энергия магнитного поля через векторный потенциал
Независимые энергетические определения связывают поле с параметрами цепи и электромеханическим преобразованием. Сравнение зависит от принятого материального закона и удерживаемых величин.
Получаемые величины. AJ=\int A\cdot J dV; W и W'; матрица индуктивностей и перекрёстное насыщение; устойчивость параметров при сетке и перемещении
Для линейной токовой системы сопоставить AJ, \Sigma i\Psi и 2W.
Для нелинейной системы интегрировать H по B и B по H, сохраняя одну рабочую точку.
Определить секущие и локальные параметры отдельными опытами.
Проверить сетку в узких зазорах и перенос карты в уравнения цепи/механики.
Страницы источника. PDF 1–7: энергия и функционал; 8–9: нелинейная магнитная цепь; 10–18: постановка и параметры; 19–25: сетка и движение; 26–30: связанные модели.
В окрестности рабочей точки нелинейную зависимость потокосцепления можно линеаризовать. Динамическая индуктивность и матрица Якоби характеризуют малые изменения токов и служат основой локального описания системы.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Динамическая индуктивность L_{\text{дин}}=(\partial\Psi/\partial I)_{I_0} — коэффициент малого изменения потокосцепления при фиксированных геометрии и остальных токах. Математически это наклон касательной; термины «дифференциальная» и «касательная» поясняют эту производную. Разложение \Psi(I_0+\delta I)=\Psi(I_0)+L_{\text{дин}}\delta I+\ldots связывает определение с малым возмущением. В линейной системе без смещения статическая и динамическая индуктивности совпадают. При нелинейной B\text{–}H-характеристике они обычно различаются; при типичном насыщении динамическая меньше статической. Название «динамическая» не означает, что одна квазистатическая производная автоматически учитывает гистерезис, вихретоковую память или произвольную частоту.
L_\text{дин}(I_0)=\left.\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dI}\right|_{I_0},\qquad \Delta\Psi\simeq L_\text{дин}\Delta I
Приращение достаточно мало, геометрия и другие независимые токи сохраняются; высшие члены разложения отброшены.
Центральная разность
В графическом интерфейсе удобно выполнить два соседних расчёта при I_{0}-\Delta I и I_{0}+\Delta I. Разность их потокосцеплений делится на 2\Delta I. Чётные члены гладкого разложения сокращаются, и ведущая ошибка шага имеет порядок \Delta I^2. Половинный шаг служит проверкой. Слишком маленькое \Delta I делает разность потокосцеплений сравнимой с численным шумом; тогда производная ухудшается несмотря на меньший шаг. Все соседние модели должны иметь одинаковые ограничения сетки и один материал.
Центральная конечная разность; \Psi в Вб, токи в А, итог в Гн.
Несколько токов — локальная матрица Якоби
Для двух обмоток каждый элемент равен частной производной \Psi_j по I_k при фиксированных остальных токах. Поэтому для первого столбца изменяется только I_{1}, для второго — только I_{2}. Нельзя одновременно менять оба тока и объявить результат отдельной взаимной производной. При обратимом гладком материальном законе матрица Якоби симметрична как матрица вторых производных коэнергии. При насыщении взаимная реакция зависит от обоих рабочих токов, что важно для перекрёстного насыщения машин.
(L_\text{дин})_{jk}=\left.\frac{\partial\Psi_j}{\partial I_k}\right|_{\mathbf I_0},\qquad\Delta\boldsymbol\Psi\simeq\mathbf L_\text{дин}\Delta\mathbf I
j — измерительная цепь, k — изменяемый ток; все другие токи и геометрия фиксированы.
Дифференциальная и фиксированная проницаемости
В FEMM можно рассчитывать отклик на малое возмущение около ранее рассчитанного состояния. Режим Incremental Permeability использует дифференциальную проницаемость в рабочей точке; режим Frozen Permeability (метод фиксированной, или «замороженной», проницаемости) фиксирует секущую проницаемость, найденную в исходном нелинейном расчёте, для последующих линейных расчётов. Эти режимы не взаимозаменяемы. До их применения полезно получить производную ручной серией полных соседних статических задач: она раскрывает определение и даёт контрольный эталон. Выбор ранее рассчитанного файла должен соответствовать той же геометрии, сетке и рабочему состоянию.
Фиксация секущей проницаемости материала не означает, что любой полученный коэффициент автоматически равен статическому отношению полного потокосцепления к току. Особенно при постоянных магнитах и нескольких источниках это отдельная процедура разделения полей. Названия проницаемостей здесь сохраняются, поскольку относятся к материальному закону B(H), а названия индуктивностей — к связи \Psi(I) всей системы.
Локальный сигнал и гармоника
Малосигнальный отклик на гармоническое возбуждение может учитывать частоту и реакцию проводников. Тогда параметры комплексны и зависят от частоты. Производная магнитостатической характеристики \Psi(I) характеризует квазистатическую обратимую реакцию и не содержит автоматически гистерезисных потерь и вихретоковой памяти. Прежде чем сравнить два метода, нужно убедиться, что они отвечают на один вопрос. Слишком большая амплитуда возмущения нарушает локальность; один касательный коэффициент не описывает всю петлю тока.
Контроль производной
Сначала проверяют шаг на гладком аналитическом примере, затем переносят процедуру в FEMM. Для выбранного учебного электромагнита разумно начинать с \Delta I около 1\text{–}5\,\% рабочего тока, а потом делить пополам. Окончательный шаг выбирают по стабилизации результата, а не по универсальной цифре. При нулевом токе берут небольшой абсолютный шаг. В отчёте сохраняют оба потокосцепления, шаг и рабочую точку: одна опубликованная L_{\text{дин}} без этих сведений не позволяет проверить её происхождение.
Как локальная производная влияет на уравнение цепи
При неподвижной геометрии скорость изменения потокосцепления равна локальной производной по току, умноженной на скорость изменения тока. Поэтому в дифференциальном уравнении напряжения рядом с производной тока появляется динамическая индуктивность. Подстановка статической индуктивности вместо динамической означает замену нелинейного закона другим законом и даёт неверную динамическую реакцию. Если движется якорь либо ротор, дополнительно появляется производная потокосцепления по положению, умноженная на скорость. В нескольких цепях действует вся матрица Якоби, включая перекрёстные элементы. Эти связи объясняют пользу таблиц первой части: они формируют исходные карты для продвинутой цепной модели второй части. Однако сама локальная производная не добавляет полевую историю гистерезиса и вихретоковой диффузии, если они отсутствуют в исходной модели.
Вывод и проверка локального Якобиана
Все производные берутся около одной рабочей точки при неизменной геометрии. Нелинейная характеристика должна быть гладкой в исследуемой окрестности.
Разложите вектор потокосцеплений в ряд Тейлора. Коэффициент линейного приращения и есть матрица динамических индуктивностей.
Для каждого столбца изменяйте один ток в обе стороны. Центральная разность устраняет первый член ошибки шага, но разность слишком близких решений усиливает численный шум.
Повторите расчёт с вдвое меньшим шагом и проверьте предсказанное приращение в направлении, которое не использовалось при построении столбцов.
Границы применимости. Матрица динамических индуктивностей имеет локальную область применения. Малый шаг без достаточной точности полевого решения не гарантирует точной производной.
Связь с общими определениями
Определения и границы применимости собраны в занятии Статическая и динамическая индуктивности. Используйте интегральную запись как исходную; алгебраические формулы применяйте после проверки перечисленных там условий.
При токах 2,9 и 3{,}1 \,\text{А} \Psi\approx 0{,}269005 и 0{,}279087 \,\text{Вб}; центральная разность даёт 50{,}4107 \,\text{мГн}. При шаге 0{,}05 \,\text{А} получается 50{,}4004 \,\text{мГн}.
Ответ: Точный аналитический ориентир 50{,}3969 \,\text{мГн}; ошибка двух разностей около 0{,}0274\,\% и 0{,}00685\,\%.
Проверка: Ошибка уменьшается примерно вчетверо при делении шага пополам, что соответствует второму порядку центральной разности.
Создайте плоскопараллельную модель в миллиметрах с Depth=20 мм и Frequency=0. Постройте наружный квадрат x,y=\pm 30 \,\text{мм} и внутренний x,y=\pm 20 \,\text{мм}. Область между ними — сердечник без воздушного зазора. Назначьте синтетическое нелинейное железо с таблицей B(H) из 8.4 и \sigma=0.
Обмотка 1 охватывает левый стержень: прямоугольники x=-40\ldots -30 и x=-20\ldots -10 \,\text{мм}, в обоих y=-10\ldots 10 \,\text{мм}. Назначьте цепь «Обмотка 1» типа series и соответственно +100 и -100 витков.
Обмотка 2 охватывает правый стержень: прямоугольники x=10\ldots 20 и x=30\ldots 40 \,\text{мм}, y=-10\ldots 10 \,\text{мм}. Для положительного взаимного потокосцепления назначьте цепь «Обмотка 2» и соответственно -50 и +50 витков. Подпишите на схеме выбранный положительный обход потока.
Замкните внешнюю квадратную область x,y=-150\ldots 150 \,\text{мм} и назначьте Prescribed A=0. Метки воздуха необходимы во всех независимых замкнутых воздушных областях, включая окно. Материал обмоток: \mu_r=1, \sigma=0, без дополнительного источника J.
Задайте размер элемента в железе и обмотках не более 2 \,\text{мм}. Сначала возбудите только одну цепь, затем другую; каждый раз сохраняйте отдельную копию задачи и оба потокосцепления из View → Circuit Properties.
Задайте рабочую точку I_{1}=3 \,\text{А},I_{2}=0. При неизменной геометрии решите варианты 2,9;3;3{,}1 \,\text{А} и снимите \Psi_{1}.
Найдите L_{\text{дин}} по центральной разности со \Delta I=0{,}1 \,\text{А}. Отдельно вычислите L_{\text{ст}}=\Psi_{1}(3)/3.
Повторите при 2,95 и 3{,}05 \,\text{А}, сохраняя I_{2}=0. Вложенные данные конечно-элементного расчёта пока дают первую центральную разность; вторую следует получить самостоятельно.
Если результат не стабилизируется, сначала уточните сетку, затем уменьшайте шаг. Аналитическая \tanh-функция — отдельный проверяемый математический пример, не характеристика этого сердечника.
Ожидаемый результат. В насыщенном рабочем состоянии L_{\text{дин}} меньше L_{\text{ст}}. Новые данные конечно-элементного расчёта относятся к квадратному сердечнику без зазора и рабочему току 3 \,\text{А}.
Как проверить. Оба соседних \Psi и шаг сохранены; половинный шаг проверен самостоятельно; изменение производной менее 2\,\% либо объяснено дальнейшее уточнение.
Обработка и анализ результатов
Устойчива ли оценка производной к выбору приращения?
Сравните локальные производные потокосцеплений при двух приращениях около одной рабочей точки.
Проверьте карту в независимых точках; сопоставьте интерполяцию или производную с прямым расчётом и повторите при меньшем шаге.
С чем сравнить. Используйте определения карты, локальной производной и коэнергии из занятия. Вывод относится к проверенному диапазону; экстраполяция и переход через границу карты требуют отдельного обоснования.
Итог работы. Локальная матрица и вывод о пригодном шаге без смешения с секущими параметрами.
Два расчёта при разных токах в FEMM
Используйте одинаковые геометрию, материал и сетку. Меняется только ток первичной обмотки; разность потокосцеплений делится на 0,2 А.
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Магнитная система с несколькими обмотками описывается не одной величиной L, а отображением вектора токов в вектор потокосцеплений. При насыщении это отображение нелинейно; рабочая точка определяет отклик на малое возмущение.
Фрагмент таблицы Р4.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Рисунок 8.46. Визуализация численных данных FEMM 5: Нелинейный магнитопровод. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Условная учебная кривая B(H), заданная в файле; это не характеристики промышленной стали. Статическая индуктивность (наклон секущей) и динамическая индуктивность (наклон касательной) при насыщении различаются.
