FEMM 5

Исследование 4 · FEMM 5 · встроенный Python

Насыщение, матрица дифференциальных индуктивностей и предыдущая проницаемость

Магнитная система с несколькими обмотками описывается не одной величиной L, а отображением вектора токов в вектор потокосцеплений. При насыщении это отображение нелинейно; рабочая точка определяет отклик на малое возмущение.

В первой части разбора используются две обмотки собственного нелинейного магнитопровода. Во второй — отдельный электромагнит с N=200 и двумя воздушными зазорами: на нём действительно выполнены режимы Incremental и Frozen относительно сохранённого базового решения. Эти две геометрии и их численные индуктивности не смешиваются.

Место в курсе.Геометрию, физическую постановку и результаты можно изучать вместе с основным занятием. Серийную программу и обработку разбирайте после введения во встроенный Python.

Объект, физическая модель и вывод соотношений

Соглашения об обозначениях и единицах
  • \(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
  • \(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
  • \(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
  • Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
  • Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
  • Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

От энергии к матрице производных

Для обратимой магнитной системы при фиксированной геометрии дифференциал коэнергии равен сумме \Psi_k dIk. Следовательно, потокосцепления — первые производные коэнергии, а матрица индуктивностей — её вторые производные. При достаточной гладкости смешанные производные совпадают.

Каждый столбец центральной разности строится изменением только одного тока. Для двух портов нужны четыре возмущённых поля и базовое состояние на один шаг. Половинный шаг — отдельная проверка; симметризация до проверки скрыла бы сеточную или вычислительную ошибку.

Полное отношение \Psi _{1}/I_{1} при ненулевом I_{2} содержит взаимное поле. Поэтому его нельзя считать частной производной по I_{1}. В таблице порядок строк и столбцов закреплён: первичная и вторичная обмотки.

\mathrm dW^{\prime}=\sum_k\Psi_k\,\mathrm dI_k,\qquad L_{jk}^{\mathrm{диф}}=\frac{\partial\Psi_j}{\partial I_k}=\frac{\partial^2W^{\prime}}{\partial I_j\partial I_k}
(Р4.1)
Положение ротора или якоря и остальные источники фиксированы.
L_{jk}^{\mathrm{диф}}\approx\frac{\Psi_j(\mathbf I+h\mathbf e_k)-\Psi_j(\mathbf I-h\mathbf e_k)}{2h},\qquad L_{12}=L_{21}
(Р4.2)
Последнее равенство является физической проверкой обратимой системы, а не предписанным исправлением результатов.

Что замораживается в Frozen и Incremental

В скалярной изотропной модели секущая проницаемость определяется отношением B/H, а дифференциальная — наклоном dB /dH. Для малого возмущения около ненулевого поля отклик вдоль поля и поперёк него различен; FEMM строит соответствующую инкрементальную задачу из базового решения.

Команда mi_setprevious(base_ans,1) использует дифференциальный отклик Incremental. Тип 2 фиксирует проницаемость Frozen, полезную для разделения вкладов источников при насыщенном состоянии. Ток 0,01 А здесь есть возмущение, а не новый полный постоянный ток 1,01 А.

Для рассматриваемого электромагнита секущая и дифференциальная величины близки: воздушные зазоры доминируют, а выбранная рабочая точка слабо насыщена. Именно поэтому отдельная двухобмоточная высокотоковая точка нужна для наглядного изучения сильной нелинейности.

\mu_{\mathrm{сек}}=\frac BH,\qquad \mu_{\mathrm{диф}}=\frac{\mathrm dB}{\mathrm dH},\qquad L_{\mathrm{диф}}\approx\frac{\Psi(I_0+h)-\Psi(I_0-h)}{2h}
(Р4.3)
В областях постоянных магнитов и анизотропной стали требуется соответствующий векторный закон материала; скалярная запись — объяснение принципа.

Постановка и последовательность расчёта

Таблица Р4.1. Исходные данные
ВеличинаЗначениеЕдиница
Токи двухобмоточной системы2;1 и 8;4А
Шаги центральной разности0,1;0,05А
Электромагнит: базовый ток1А
Электромагнит: возмущение0,01А
Каждый зазор электромагнита1мм
  1. Запустите reproduce.py для свежих контрольных полей обеих геометрий.
  2. В reference/measurements.json сопоставьте четыре исходных возмущения каждого столбца; проверьте, что второй ток не изменялся.
  3. Полные программы, названные далее, запускайте через run-series.py из корня рабочей папки: выберите SERIES_NUMBER по списку README.html. Диспетчер сам устанавливает подпапку и контекст исходной программы; прежний рабочий каталог FEMM не важен.
  4. Выполните reference/matrix-full.py и сравните шаги 0,1 и 0,05 А. Сохраните исходную асимметрию L_{12}-L_{21} до какого-либо усреднения.
  5. В каталоге electromagnet запустите rebuild-complete-series.py: база ANS создаётся до задач типов 1 и 2. Сравните Lинкр с независимыми постоянными токами 0{,}99/1{,}01 А.
  6. Объясните, почему близость трёх L электромагнита не означает отсутствия насыщения при других токах и в другой геометрии.

Численные результаты и их проверка

Показаны сохранённые результаты FEMM 5. Переключатель и курсор исследуют готовую серию; повторный расчёт выполняется программой в установленном FEMM.

Таблица Р4.2. Численные данные
I₁, АI₂, АШаг, АL₁₁, ГнL₁₂, ГнL₂₁, ГнL₂₂, ГнНесимметрия, Гн
210,10,002244991,4 × 10⁻⁶992,4 × 10⁻⁶564,1 × 10⁻⁶1,022 × 10⁻⁶
210,050,002242991,1 × 10⁻⁶991,4 × 10⁻⁶564 × 10⁻⁶252,9 × 10⁻⁹
840,1429,9 × 10⁻⁶112,4 × 10⁻⁶112,4 × 10⁻⁶116,8 × 10⁻⁶4,687 × 10⁻⁹
840,05429,9 × 10⁻⁶112,4 × 10⁻⁶112,4 × 10⁻⁶116,8 × 10⁻⁶1,188 × 10⁻⁹

Контрольные сопоставления

Как воспроизвести в FEMM 5

Скачайте программу и необходимые модели, данные и инструкции из списка ниже. Сохраните указанные имена файлов и структуру подпапок. Откройте программу в редакторе встроенного Python FEMM 5 и запустите её. Внешний CPython для управления FEMM не требуется.

Скачайте все нужные файлы со страницы исследования в новую папку, сохранив имена и структуру подпапок. Выполните reproduce.py встроенным Python FEMM 5: проверяются хеши, заново решаются контрольные поля и пересчитываются численные проверки таблиц. Рабочий каталог определяется по пути сохранённого сценария. Полные программы запускайте через run-series.py; номер SERIES_NUMBER выбирается по списку в README.html.

Программа встроенного Python

Текст программы
# Выполняется только встроенным Python FEMM 5.
# Распакуйте весь ZIP в новую папку и запустите этот файл через меню Scripts.
# Запускайте сохранённый файл целиком: путь передаётся в sys.argv[0].
import os, sys, json, math, hashlib
assert sys.implementation.name == 'micropython', 'Нужен встроенный Python FEMM 5'
_saved_file = globals().get('__file__') or (sys.argv[0] if sys.argv else '')
assert _saved_file and os.path.isfile(_saved_file), 'Запустите сохранённый файл из полного распакованного комплекта'
os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(_saved_file)))
with open('manifest.json') as f: manifest = json.load(f)

def digest(path):
    h = hashlib.sha256()
    with open(path, 'rb') as f:
        while True:
            b = f.read(65536)
            if not b: break
            h.update(b)
    return ''.join('%02x' % b for b in h.digest())

# До расчёта проверяем переносимость и неизменность всех приложенных входов.
for item in manifest['files']:
    assert digest(item['path']) == item['sha256'], 'Изменён вход ' + item['path']
with open('expected-native.json') as f: cases = json.load(f)
os.mkdir('reproduced')   # Отказ от перезаписи предыдущего результата намеренный.
out = {'implementation': str(sys.implementation), 'runtime': sys.version,
       'case_id': manifest['case_id'], 'fresh_fields': [], 'checks': []}

def z(v):
    if isinstance(v, dict): return complex(v['re'], v['im'])
    if isinstance(v, (list, tuple)): return complex(v[0], v[1])
    return complex(v)

def serial(v):
    if isinstance(v, complex): return [v.real, v.imag]
    if isinstance(v, (list, tuple)): return [serial(t) for t in v]
    if isinstance(v, dict): return {k: serial(t) for k,t in v.items()}
    return v

def check(label, actual, expected, tolerance):
    error = abs(z(actual) - z(expected))
    out['checks'].append({'name':label,'actual':serial(actual),
                         'expected':serial(expected),'error':error,
                         'tolerance':tolerance,'passed':error <= tolerance})

for j, spec in enumerate(cases):
    for cmd in ('mo_close', 'mi_close'):
        try: globals()[cmd]()
        except Exception: pass
    opendocument(spec['model'])
    mi_saveas('reproduced/control-' + str(j) + '.fem')
    if 'frequency_Hz' in spec:
        mi_probdef(spec['frequency_Hz'], 'millimeters', 'planar', 1e-8,
                   spec.get('depth_mm',100), 20)
    for name,value in spec.get('set_circuits',{}).items():
        mi_modifycircprop(name, 1, z(value))
    if spec.get('rotate_deg'):
        mi_selectgroup(2); mi_moverotate(0,0,spec['rotate_deg'],4); mi_clearselected()
    if 'boundary' in spec:
        name,index,value = spec['boundary']; mi_modifyboundprop(name,index,value)
    mi_saveas('reproduced/control-' + str(j) + '.fem')
    mi_analyze(1); mi_loadsolution(); mo_smooth('off')
    row = {'model':spec['model'],'elements':mo_numelements(),'nodes':mo_numnodes(),
           'problem':serial(mo_getprobleminfo()),'circuits':{}}
    for name, values in spec.get('circuits',{}).items():
        actual = list(mo_getcircuitproperties(name)); row['circuits'][name] = serial(actual)
        for k,expected in enumerate(values):
            check('Поле '+str(j)+' '+name+' '+('I','U','Psi')[k], actual[k], expected,
                  max(1e-9, 1e-5*abs(z(expected))))
    mo_clearblock(); mo_groupselectblock()
    for key,expected in spec.get('integrals',{}).items():
        actual=mo_blockintegral(int(key)); row['integral_'+key]=serial(actual)
        check('Объёмный интеграл '+key,actual,expected,max(1e-7,1e-5*abs(z(expected))))
    mo_clearblock()
    if 'gap_torque' in spec:
        q=spec['gap_torque']; actual=mo_gapintegral(q['name'],0)
        if isinstance(actual,(list,tuple)): actual=actual[0]
        row['gap_torque_Nm']=serial(actual)
        check('Момент границы AGE',actual,q['expected'],q['tolerance'])
    if 'torque' in spec:
        q=spec['torque'];mo_groupselectblock(q['group']);actual=mo_blockintegral(22);mo_clearblock()
        row['torque_Nm']=serial(actual);check('Момент WST',actual,q['expected'],q['tolerance'])
    if 'magnet_probe' in spec:
        # Исходные графические минимумы получены со сглаживанием поля.
        # Настройку сохраняем явно, чтобы сравнивать одинаковые величины.
        mo_smooth('on')
        q=spec['magnet_probe']
        for p in q['extrema']:
            x,y=p['minimum_point_mm'];angle=math.atan2(y,x)
            sign=1 if p['pole']%2==0 else -1;v=mo_getpointvalues(x,y)
            h=(z(v[1]).real*sign*math.cos(angle)+z(v[2]).real*sign*math.sin(angle)-q['Br_T'])/(4*math.pi*1e-7*q['mu'])
            check('Физический H вдоль намагничивания полюса '+str(p['pole']),h,p['Hparallel_min_A_m'],.02)
    out['fresh_fields'].append(row)
    with open('reproduced/native-result.json','w') as f: json.dump(out,f)
    mo_close();mi_close()

# Повторяем предметные арифметические проверки сохранённых серий.
with open('postprocess.py') as f: exec(f.read(),globals())
out['passed']=all(q['passed'] for q in out['checks'])
with open('reproduced/native-result.json','w') as f: json.dump(out,f)
print('AUDIT_CASE',out['case_id'],'FIELDS',len(out['fresh_fields']),
      'CHECKS',len(out['checks']),'PASSED',out['passed'])
assert out['passed'], 'Есть несогласованные численные проверки; см. native-result.json'

Как трактовать результат

Расчётная среда: FEMM 5.0 06Oct2026; встроенный MicroPython; без внешнего Python/COM/TCP

Введение в устройство и принцип действия объекта, вывод учебных соотношений и пояснения к результатам написаны для этого курса. Численные результаты и заимствованные методы связаны с указанными ниже исходными материалами.

Источники и дальнейшее чтение

  1. [33]

← Все расчётные исследования