Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Определение потокосцеплений, индуктивности и запаса энергии
Инженерный вопрос. Как ток меняет секущую индуктивность сердечника?
Потокосцепления, индуктивность и запас энергии превращают полевую модель в параметры электрической цепи. Они нужны для выбора числа витков, тока, магнитной связи и рабочего диапазона до расчёта динамики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выберите секущее, дифференциальное или взаимное определение параметра; запишите условия применимости энергетической формулы.
Ответить на вопрос по своим результатам. Рассчитайте требуемый параметр по определениям занятия и сопоставьте предусмотренные независимые оценки при одном рабочем состоянии.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Кривая с указанием области насыщения и принятого определения индуктивности.
Данные именно этого опыта. Сохраните ток, потокосцепление и секущую индуктивность в заданных точках.
Оформление наблюдений. Токи, направления обмоток, потокосцепления и энергия; для матрицы — независимое возбуждение каждого столбца и проверочный режим.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Один сердечник без зазора, одна рабочая цепь и I_{2}=0; проверяется W+W^{\prime}\approx I_{1} \Psi_{1} и сеточная чувствительность.
Независимый контроль. Используйте независимую энергетическую оценку, взаимность либо совместное возбуждение в соответствии с линейностью и процедурой занятия.
Точность и расхождения. Уточняйте токовый шаг отдельно от сетки; при нулевом токе не вычисляйте секущее отношение. Для малых взаимных коэффициентов показывайте абсолютное расхождение и знак.
Основание сравнения. Используйте определения секущей, дифференциальной и взаимной индуктивности, приведённые в занятии. Энергетическая формула линейной системы не переносится автоматически на насыщенную систему.
Вывод для устройства
Свяжите найденный параметр с моделью электрической цепи, выбором зазора или допустимым запасом энергии, сохраняя зависимость от рабочего тока.
Границы вывода. Параметр относится к указанной рабочей точке и определению индуктивности. Торцевые поля, сопротивление и нагрев не возникают автоматически из магнитостатической энергии.
Дополнительный расчётный метод
Энергия магнитного поля через векторный потенциал
Независимые энергетические определения связывают поле с параметрами цепи и электромеханическим преобразованием. Сравнение зависит от принятого материального закона и удерживаемых величин.
Получаемые величины. AJ=\int A\cdot J dV; W и W'; матрица индуктивностей и перекрёстное насыщение; устойчивость параметров при сетке и перемещении
Для линейной токовой системы сопоставить AJ, \Sigma i\Psi и 2W.
Для нелинейной системы интегрировать H по B и B по H, сохраняя одну рабочую точку.
Определить секущие и локальные параметры отдельными опытами.
Проверить сетку в узких зазорах и перенос карты в уравнения цепи/механики.
Страницы источника. PDF 1–7: энергия и функционал; 8–9: нелинейная магнитная цепь; 10–18: постановка и параметры; 19–25: сетка и движение; 26–30: связанные модели.
Нелинейная характеристика \Psi(I) описывает изменение потокосцепления при насыщении магнитопровода. На её основе рассматриваются статическая индуктивность и границы представления катушки постоянным коэффициентом связи.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Нелинейный материал создаёт нелинейную зависимость потокосцепления от тока
При насыщении ферромагнитного материала приращение H вызывает всё меньшее приращение B. Одновременно изменяется пространственное распределение поля: возрастает роль рассеяния, а отдельные участки магнитопровода оказываются в разных рабочих точках. В результате потокосцепление \Psi перестаёт быть пропорциональным току I. Эту зависимость исследуют серией расчётов одной геометрии при изменяемом токе и неизменных остальных параметрах. Полученная кривая \Psi(I) относится к определённым материалу и положению подвижного тела; при другом зазоре требуется самостоятельная характеристика.
Статическая индуктивность: наклон секущей
При \Psi(0)=0 и ненулевом токе статическая индуктивность определяется как L_{\text{ст}}=\Psi(I)/I. Математически это наклон секущей от начала координат к рабочей точке; поэтому прежнее название «секущая» полезно как геометрическое пояснение. Статическая индуктивность описывает состояние, но не коэффициент малого изменения. При I\to0 её получают пределом, если он существует. Для гладкой линейной характеристики \Psi=LI этот наклон равен наклону касательной и L_{\text{ст}}=L_{\text{дин}}=L. При постоянном магнитном смещении полное отношение \Psi/I не выделяет собственную индуктивность.
L_{\text{ст}} в Гн; условие нулевого смещения является частью определения используемой характеристики.
Вывод энергии и коэнергии
Обратимая магнитная энергия равна интегралу i\cdot \mathrm d\Psi. Коэнергия является дополняющей площадью в прямоугольнике I\Psi: W^{\prime}_{\text{м}}=I\Psi-W_{\text{м}}. При интегрировании по току она равна интегралу \Psi(i)\mathrm di. Это не две разные запасённые энергии, а две функции для удобного выбора независимых переменных. В линейном случае они равны; при насыщении обычно различаются. Именно коэнергия удобна для силы при заданном токе, поэтому её нельзя заменить LI^2/2 без проверки линейности.
Для однозначной обратимой характеристики без постоянного смещения, при фиксированной геометрии; обе функции в Дж.
Насыщение и энергия
При типичной вогнутой \Psi(I) касательная становится более пологой, чем секущая. Формула W=I\Psi/2 тогда не является точной. Численно интегрировать таблицу можно методом трапеций, вручную складывая площади интервалов; при удвоении числа точек следует проверить изменение интеграла. FEMM отдельно вычисляет энергию и коэнергию по материальным законам. Их сравнение с таблицей \Psi(I) полезно, но требует одинакового нулевого состояния и достаточно полного диапазона тока.
Синтетическая гладкая характеристика
Для наглядного аналитического примера используется \Psi=L_0I_{\text{нас}} \tanh(I/I_{\text{нас}}). При малом токе \tanh u\approx u, поэтому начальная индуктивность равна L_0. При большом токе потокосцепление стремится к L_0I_{\text{нас}}, а динамическая индуктивность уменьшается. Это простая учебная функция, не характеристика марки стали и не результат FEMM. Её интеграл выражается через \ln \cosh, позволяя проверить вычисления энергии и коэнергии без численного решателя.
L_0 в Гн, I_{\text{нас}} в А; функция служит аналитическим эталоном насыщаемой системы с одной электрической цепью.
Что меняет постоянный магнит
В машине с магнитами имеется базовое потокосцепление при нулевых токах. Вычитание \Psi(0) может помочь определить приращение вдоль выбранного пути, но при насыщении не создаёт независимое «поле тока»: магнит и ток совместно меняют проницаемость. Для нескольких обмоток нельзя делением \Psi_j/I_j построить универсальную матрицу статических индуктивностей. Состояние описывается всей картой \Psi(I_{1},I_{2},\ldots ), а локальные изменения — матрицей Якоби следующего занятия. Этот переход важен для последующего моделирования насыщенных трансформаторов и машин.
В линейной системе с постоянным магнитом \Psi(I)=\Psi_0+LI, поэтому [\Psi(I)-\Psi_0]/I=\mathrm d\Psi/\mathrm dI=L. В нелинейной системе то же вычитание задаёт наклон хорды относительно выбранного состояния I=0; он зависит от пути изменения остальных токов и не является результатом режима Frozen Permeability.
Площадь под кривой помогает избежать ошибки
На графике с потокосцеплением по вертикали и током по горизонтали коэнергия равна площади под кривой от нуля до рабочего тока. Прямоугольник с высотой рабочего потокосцепления и шириной рабочего тока имеет площадь произведения этих величин. Часть прямоугольника над кривой соответствует энергии при взаимно обратной характеристике. Для прямой две части одинаковы, поэтому появляется привычная половина. Для вогнутой насыщаемой кривой площадь под ней больше половины прямоугольника, а энергия меньше. Этот рисунок связывает математические интегралы с физическим смыслом и позволяет сразу обнаружить невозможный ответ: отрицательная энергия в рассматриваемой однозначной пассивной катушке требует проверки данных, направления и принятого нулевого состояния.
Почему при насыщении энергия не равна половине произведения
Кривая потокосцепления однозначна, проходит через начало координат и относится к фиксированной геометрии без постоянных магнитов.
Статическая индуктивность описывает отношение конечного потокосцепления к конечному току. Она не является коэффициентом малого изменения тока.
Интегрирование по частям связывает площади под взаимно обратными характеристиками.
Для линейной характеристики через начало координат обе площади равны при любом токе. Для насыщения отдельно интегрируйте табличную характеристику и проверьте сумму энергии и коэнергии.
Границы применимости. Гистерезис делает энергию зависимой от пути. Статическая индуктивность в нулевой точке определяется пределом, если он существует, а не операцией деления нуля на нуль.
Связь с общими определениями
Определения и границы применимости собраны в занятии Статическая и динамическая индуктивности. Используйте интегральную запись как исходную; алгебраические формулы применяйте после проверки перечисленных там условий.
Разобранный численный пример
Статическая индуктивность учебной характеристики
Дано.L_0=0{,}12 \,\text{Гн}; I_{\text{нас}}=3 \,\text{А}; рабочий ток I=3 \,\text{А}; функция \Psi=L_0I_{\text{нас}} \tanh(I/I_{\text{нас}}).
Создайте плоскопараллельную модель в миллиметрах с Depth=20 мм и Frequency=0. Постройте наружный квадрат x,y=\pm 30 \,\text{мм} и внутренний x,y=\pm 20 \,\text{мм}. Область между ними — сердечник без воздушного зазора. Назначьте синтетическое нелинейное железо с таблицей B(H) из 8.4 и \sigma=0.
Обмотка 1 охватывает левый стержень: прямоугольники x=-40\ldots -30 и x=-20\ldots -10 \,\text{мм}, в обоих y=-10\ldots 10 \,\text{мм}. Назначьте цепь «Обмотка 1» типа series и соответственно +100 и -100 витков.
Обмотка 2 охватывает правый стержень: прямоугольники x=10\ldots 20 и x=30\ldots 40 \,\text{мм}, y=-10\ldots 10 \,\text{мм}. Для положительного взаимного потокосцепления назначьте цепь «Обмотка 2» и соответственно -50 и +50 витков. Подпишите на схеме выбранный положительный обход потока.
Замкните внешнюю квадратную область x,y=-150\ldots 150 \,\text{мм} и назначьте Prescribed A=0. Метки воздуха необходимы во всех независимых замкнутых воздушных областях, включая окно. Материал обмоток: \mu_r=1, \sigma=0, без дополнительного источника J.
Задайте размер элемента в железе и обмотках не более 2 \,\text{мм}. Сначала возбудите только одну цепь, затем другую; каждый раз сохраняйте отдельную копию задачи и оба потокосцепления из View → Circuit Properties.
Во второй цепи сохраняйте I_{2}=0. В первой выполните токи 0;1;3;5;10 \,\text{А}; снимите \Psi_{1}, W_{\text{м}}, W^{\prime}_{\text{м}} и B в точке (0;25) мм. Геометрия и сеточные ограничения неизменны.
Для ненулевых токов вычислите L_{\text{ст}}=\Psi_{1}/I_{1}. Сравните таблицу с вложенными новыми данными конечно-элементного расчёта; они относятся к этому квадратному сердечнику, а не к аналитической \tanh-функции разобранного примера.
Оцените интеграл \Psi_{1} \mathrm dI трапециями. Добавьте промежуточные токи на изгибе характеристики и проверьте изменение коэнергии.
Ожидаемый результат. Для рассматриваемой насыщаемой характеристики статическая индуктивность уменьшается; W и W^{\prime} различаются. Синтетическая B(H) описывает учебное нелинейное железо, не характеристики промышленной стали.
Как проверить. Один сердечник без зазора, одна рабочая цепь и I_{2}=0; проверяется W+W^{\prime}\approx I_{1} \Psi_{1} и сеточная чувствительность.
Обработка и анализ результатов
Как ток меняет секущую индуктивность сердечника?
Сохраните ток, потокосцепление и секущую индуктивность в заданных точках.
Рассчитайте требуемый параметр по определениям занятия и сопоставьте предусмотренные независимые оценки при одном рабочем состоянии.
С чем сравнить. Используйте определения секущей, дифференциальной и взаимной индуктивности, приведённые в занятии. Энергетическая формула линейной системы не переносится автоматически на насыщенную систему.
Итог работы. Кривая с указанием области насыщения и принятого определения индуктивности.
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Магнитная система с несколькими обмотками описывается не одной величиной L, а отображением вектора токов в вектор потокосцеплений. При насыщении это отображение нелинейно; рабочая точка определяет отклик на малое возмущение.
Фрагмент таблицы Р4.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Рисунок 8.41. Визуализация численных данных FEMM 5: Нелинейный магнитопровод. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Условная учебная кривая B(H), заданная в файле; это не характеристики промышленной стали. Статическая индуктивность (наклон секущей) и динамическая индуктивность (наклон касательной) при насыщении различаются.
Насыщение изменяет связь тока и потокосцепления. Постоянная индуктивность перестаёт описывать одновременно установившийся поток, запасённую энергию и малое приращение напряжения.
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Насыщение дросселя: статическая индуктивность и энергия. Геометрия учебной модели; подписи скрыты для читаемости. Открыть в полном размереСохранённое решение «Насыщение дросселя: статическая индуктивность и энергия». Модуль магнитной индукции |B|, Тл, и линии статического магнитного поля; рабочая область модели. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Для аналитической функции найдите \Psi и L_{\text{ст}} при I=1{,}5 \,\text{А} и сравните с точкой 3 \,\text{А}.
