FEMM 5

Часть II · Теория четырёх физических модулей FEMM → § 10 · Теплопроводность

Занятие 10.6

Переходная теплопроводность: теплоёмкость, начальное решение и шаг времени

Цель и задачи

Цель. Проверить накопление тепла и последовательность начальных состояний.

Задачи

  • Проверьте временное накопление энергии на пространственно однородном нагреве T=T_{0}+q_vt/c_v.
  • Сохраните начальное решение, шаги, конечную температуру и прирост энергии однородного нагрева.
Что нужно вспомнить перед началом

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Оценка тепловой инерции и длительности режима

Инженерный вопрос. Совпадают ли температуры в один момент при разных временных шагах?

Температура, тепловое сопротивление и постоянная времени связывают потери с охлаждением и длительностью включения. Это позволяет сравнить материалы, отвод тепла и рабочие циклы по количественным критериям.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

  1. Обосновать постановку и способ измерения. Добавьте теплоёмкость и начальное состояние к источникам и границам; определите последовательность связанных шагов или принятый эквивалентный тепловой закон.

  2. Нагрев теплоизолированного объёма — аналитический эталон. Проверьте единицу теплоёмкости и аналитический предел накопления энергии при заданной мощности.

  3. Подготовьте начальную температуру и три серии временных шагов, используя документированное предыдущее решение.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните начальное решение, шаги, конечную температуру и прирост энергии однородного нагрева.

  4. Ответить на вопрос по своим результатам. Сопоставьте температуры в одинаковые моменты времени и накопленную энергию; отдельно оцените влияние временного шага.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Сравнение временных рядов с аналитическим накоплением и правильной единицей теплоёмкости.

Данные именно этого опыта. Сохраните начальное решение, шаги, конечную температуру и прирост энергии однородного нагрева.

Оформление наблюдений. Время, температуры, мощность, начальное состояние, запасённая энергия и шаг; результаты разных шагов сравнивайте в одни моменты времени.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. В отсутствие источника равномерное начальное состояние должно оставаться постоянным на каждом шаге. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Независимый контроль. Проверьте накопленную энергию и доступный аналитический временной предел; отдельно повторите расчёт с меньшим шагом.

Критерий выполнения. После 20 с T=310\,\mathrm{К}; c_v введена как 2 МДж/(м³·К); в журнале указаны исходный .anh, каждый шаг и энергетический баланс.

Точность и расхождения. Оцените изменение температуры и времени достижения уровня при уточнении шага. Ошибки начального состояния и теплоёмкости отделите от дискретизации времени.

Основание сравнения. Используйте уравнение накопления энергии и временной эталон из занятия. Одноузловой RC-предел требует обоснования пространственной однородности; предыдущие решения задают начальное состояние.

Вывод для устройства

Свяжите кривую нагрева или остывания с длительностью включения и тепловой инерцией; одноузловой предел требует обоснования пространственной однородности.

Границы вывода. Результат зависит от источников, среды, теплоотдачи и теплоёмкости. Упрощённый эталон не заменяет неизвестные условия охлаждения реального устройства.

Теория и вывод формул

Нестационарное уравнение c_v\partial T/\partial t-\operatorname{div} (k\nabla T)=q_v учитывает накопление энергии и её перенос теплопроводностью. Коэффициент c_v=\rho c_p представляет объёмную теплоёмкость, которую следует отличать от удельной массовой теплоёмкости c_p.

Соглашения об обозначениях и единицах
  • \(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
  • \(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
  • \(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
  • Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
  • Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
  • Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Указатель формул этого занятия
  1. (10.12) · Вывод контрольного соотношения

Физический и методический смысл

Уравнение c_v\partial T/\partial t-\operatorname{div} (k\nabla T)=q_v описывает накопление энергии и пространственный перенос теплопроводностью. Здесь c_v=\rho c_p — объёмная теплоёмкость, не удельная массовая c_p.

В FEMM 5 переходный тепловой шаг связан с предыдущим решением и длительностью шага. Начальный файл, порядок шагов и соответствие геометрии являются частью модели; последовательность несвязанных стационарных решений не заменяет этот процесс.

Вывод контрольного соотношения

Проверьте временное накопление энергии на пространственно однородном нагреве T=T_{0}+q_vt/c_v.

c_v\frac{dT}{dt}=q_v,\quad T(t)=T_0+\frac{q_v}{c_v}t=300+0{,}5t
(10.12)
FEMM 5 поддерживает переходную теплопроводность через предыдущее решение и шаг времени. Здесь нет переносного члена, течения и фазового перехода.

  1. Из пространственной однородности следует отсутствие градиента и граничного потока.

  2. Скорость нагрева q_v/c_v=0{,}5\,\mathrm{К/с}.

  3. Через 20 с температура равна 310 К. В поле GUI для объёмной теплоёмкости это c_v=2\,\mathrm{МДж/(м^3\cdot К)}, а не 2000000.

Границы применимости. FEMM 5 поддерживает переходную теплопроводность через предыдущее решение и шаг времени. Здесь нет переносного члена, течения и фазового перехода.

Связь с опытом в FEMM

Подготовьте начальную температуру и три серии временных шагов, используя документированное предыдущее решение.

Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.

Проверка и границы вывода

После 20 с T=310\,\mathrm{К}; c_v введена как 2 МДж/(м³·К); в журнале указаны исходный .anh, каждый шаг и энергетический баланс.

В отсутствие источника равномерное начальное состояние должно оставаться постоянным на каждом шаге.

Без теплоотвода положительный источник не имеет стационарного конечного температурного решения, хотя переходная задача корректна.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

Формулы и таблицы руководства к этому занятию

Тепловые границы: знак потока и линеаризация излучения

Пусть n направлена из тела наружу. Тогда положительная нормальная плотность теплового потока означает отдачу тепла. При изотропной теплопроводности она равна -k\partial T/\partial n. Поэтому запись руководства k\partial T/\partial n + f = 0 задаёт выходящий поток f. Если горячее тело охлаждается средой с температурой T_{\infty}, конвективный поток положителен при T > T_{\infty}. Знак проверяют на простом стержне до использования сложной геометрии.

Заданный выходящий тепловой поток

k\frac{\partial T}{\partial n}+f=0
(М.1.37)
При внешней нормали n закон Фурье даёт F_n =-k\partial T/\partial n. Следовательно, положительное f в этом граничном условии означает отвод тепла из расчётного тела, а отрицательное — подвод. Нулевое f соответствует теплоизоляции.

Обозначения и единицы

  • f=F_n — выходящая плотность теплового потока, Вт/м².
  • k — Вт/(м·К); \partial T/\partial n — К/м; n направлена наружу.

Условия применения. Изотропная теплопроводность на границе. Полный поток в ваттах получают интегрированием f по площади, включая глубину плоской модели или поверхность вращения.

Условия фиксированной температуры, заданного потока, конвекции и излучения задают разные связи. Температурная граница представляет идеальный термостат; конвекция представляет ограниченную теплоотдачу с заданным коэффициентом h. Излучение требует абсолютных температур в кельвинах и коэффициента излучения \beta от 0 до 1. Для закона \beta \sigma_{\text{СБ}}(T^{4} - T_{\infty}^{4}) нельзя использовать температуру в градусах Цельсия. Сам FEMM не определяет коэффициент h из скорости обтекания и не решает течение охлаждающей среды.

Конвективное граничное условие

k\frac{\partial T}{\partial n}+h(T-T_o)=0
(М.1.38)
Граница отдаёт тепло среде с температурой To; интенсивность ограничена коэффициентом теплоотдачи h. При T>To выходящий поток равен h(T−To)>0. Задание большой h приближает идеальный термостат, но выбор h должен отвечать физическому охлаждению, а не желаемой температуре результата.

Обозначения и единицы

  • h — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²·К).
  • T, T_o — температура поверхности и среды, К; разность можно выражать в К или °C.

Условия применения. Нормаль наружу, заданная температура внешней среды. FEMM использует предоставленный коэффициент h и не вычисляет его из течения жидкости.

Тепловое излучение на границе

k\frac{\partial T}{\partial n}+\beta k_{\mathrm{sb}}\left(T^4-T_o^4\right)=0
(М.1.39)
Разность четвёртых степеней температур задаёт результирующий лучистый теплообмен с окружением. Положительный поток уходит из более горячего тела. Из-за нелинейности нельзя подставить один постоянный эквивалентный h на произвольный диапазон температур без проверки погрешности.

Обозначения и единицы

  • \beta — коэффициент излучения, безразмерный, от 0 до 1.
  • k_{\mathrm{sb}}\approx5{,}670374419\cdot10^{-8} Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана–Больцмана.
  • T и T_o — только абсолютные температуры в кельвинах.

Условия применения. Заданная модель излучения к окружению, внешняя нормаль, согласованный коэффициент излучения. Формула не выполняет автоматически расчёт угловых коэффициентов между произвольными взаимно облучающими поверхностями.

Нелинейное излучение на очередной итерации заменяется локальным линейным выражением по температуре. Получается условие Робина, но его коэффициенты обновляются вместе с решением. Поэтому успешная линейная итерация не равна сходимости нелинейного теплообмена. При большом перепаде температур замена излучения одним постоянным h без отдельного обоснования может заметно изменить тепловой баланс.

Периодическая тепловая граница подходит для повторяющихся частей с одинаковыми температурами. Формально доступная антипериодическая связь имеет вид T_{2} = -T_{1} и требует особой осторожности: для абсолютных положительных температур обычного нагретого устройства она не выражает привычную геометрическую симметрию. Антисимметрия отклонения \theta = T - T_{0} не тождественна антипериодичности абсолютной T. Подмена допустима только после согласованного преобразования источников, материалов и граничных законов; излучение и k(T) не сохраняют прежний вид автоматически.

Неназначенная тепловая граница адиабатична. При положительном источнике и полностью адиабатической оболочке конечной стационарной температуры не существует. Переходный расчёт такой системы, напротив, допустим: энергия накапливается в объёмной теплоёмкости. FEMM 5 поддерживает последовательные тепловые шаги от предыдущего решения; эта возможность разобрана в 10.6 и не означает наличия переходного магнитного решателя.

q_{\text{изл}}(T)\approx4\beta\sigma_{\text{СБ}}T_k^3T-\beta\sigma_{\text{СБ}}(3T_k^4+T_\infty^4)
(Р.3.2)
Касательная линеаризация около температуры T_{k} при постоянных \beta и T_{\infty}. Это объяснение нелинейной границы, а не предписание вручную заменить штатную Radiation.
\frac{d}{dt}\int_\Omega c_vT\,dV=\int_\Omega q\,dV-\oint_{\partial\Omega}q_n\,dS
(Р.3.3)
Баланс энергии при постоянной объёмной теплоёмкости c_{v}. Для переменной теплоёмкости накопленная энергия определяется интегралом c_{v}(T) по температуре.

Проверьте на своей модели

  • Проверьте, что при T = T_{\infty} конвективный и радиационный потоки равны нулю, а при T > T_{\infty} имеют положительный выходящий знак.
  • Для полностью изолированного тела с постоянными q и c_{v} проверьте T(t) = T_{0} + qt /c_{v}; стационарное решение такого опыта не используйте.

Источник: [33]. § 1.3.4 · § 1.4.2

Разобранный численный пример

Нагрев теплоизолированного объёма — аналитический эталон

Дано. Однородное тело вначале имеет 300 К; c_v=2\cdot 10^{6}\,\mathrm{Дж/(м^3\cdot К)}, q_v=10^{6}\,\mathrm{Вт/м^3}, все границы теплоизолированы; длительность 20 с.

  1. Из пространственной однородности следует отсутствие градиента и граничного потока.

  2. Скорость нагрева q_v/c_v=0{,}5\,\mathrm{К/с}.

  3. Через 20 с температура равна 310 К. В поле GUI для объёмной теплоёмкости это c_v=2\,\mathrm{МДж/(м^3\cdot К)}, а не 2000000.

Ответ: T(20\,\mathrm{с})=310\,\mathrm{К}; накопленная энергия на единицу объёма =20 МДж/м³.

Проверка: В отсутствие источника равномерное начальное состояние должно оставаться постоянным на каждом шаге. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.

Практикум в FEMM 5

Подготовьте начальную температуру и три серии временных шагов, используя документированное предыдущее решение.

Таблица 10.6. Исходные данные практикума
Исходная величинаЗначениеЕдиница
c_v2МДж/(м³·К)
q_v1 × 10⁶Вт/м³
t20с
  1. Подготовьте отдельное начальное решение с равномерными 300 К и q_v=0; сохраните его файл результата .anh.
  2. В рабочей модели снимите фиксированные температуры, задайте теплоизоляцию всех внешних границ, q_v=1000000 и c_v=2\,\mathrm{МДж/(м^3\cdot К)}.
  3. Для временных шагов используйте документированные параметры предыдущего решения и шага hi_probdef; это практикум с продолжением в уроке 14.2.
  4. Выполните серии с \Delta t=2{,}1{,}0{,}5\,\mathrm{с} до одного времени 20 с; каждый следующий шаг читает предыдущее корректное .anh. Сравните T и накопленную энергию.

Ожидаемый результат. T(20\,\mathrm{с})=310\,\mathrm{К}; накопленная энергия на единицу объёма =20 МДж/м³. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.

Как проверить. В отсутствие источника равномерное начальное состояние должно оставаться постоянным на каждом шаге. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Обработка и анализ результатов

Совпадают ли температуры в один момент при разных временных шагах?

  1. Сохраните начальное решение, шаги, конечную температуру и прирост энергии однородного нагрева.
  2. Сопоставьте температуры в одинаковые моменты времени и накопленную энергию; отдельно оцените влияние временного шага.

С чем сравнить. Используйте уравнение накопления энергии и временной эталон из занятия. Одноузловой RC-предел требует обоснования пространственной однородности; предыдущие решения задают начальное состояние.

Итог работы. Сравнение временных рядов с аналитическим накоплением и правильной единицей теплоёмкости.

Расчётные исследования по теме

Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.

  • Нативный тепловой цикл токоведущей детали

    Медная деталь 10 × 1 мм, глубина 100 мм. Три импульса мощности по 1 с разделены паузами по 1 с; полное время 6 с. Мощность при включении 100 Вт, две широкие стороны охлаждаются с h=1000 Вт/(м² К), торцы изолированы.

    Решений FEMM: 8 · Численных проверок: 456

  • Преддуговой нагрев плавкой вставки: теплоотвод и I²t

    Медная вставка длиной 10 мм и сечением 0.2 × 0.2 мм нагревается током 12 А в течение 0.2 с. Торцы закреплены в идеальных держателях 20 °C, боковые поверхности теплоизолированы. Рассчитывается нагрев до плавления; фаза металла не меняется.

    Решений FEMM: 8 · Численных проверок: 152

  • Индукционный нагрев: переходное тепловое поле и температурная обратная связь

    Нативная последовательная связь гармонического магнитного поля и переходного теплового поля с пространственной температурой, консервативным переносом мощности и итерационным обновлением σ(T), μ(T).

    Решений FEMM: 18 · Численных проверок: 2626

Все темы учебного практикума

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Рабочая область модели «Нативный тепловой цикл токоведущей детали». Нативный препроцессор FEMM 5.
Рабочая область модели «Нативный тепловой цикл токоведущей детали». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере
Сохранённое решение «Нативный тепловой цикл токоведущей детали». Температура T, К, на сохранённом шаге переходного теплового цикла. Шкала отображения 293,15–333,15 К выбрана для почти равномерного поля; её пределы не являются экстремумами решения. Изотермы скрыты.
Сохранённое решение «Нативный тепловой цикл токоведущей детали». Температура T, К, на сохранённом шаге переходного теплового цикла. Шкала отображения 293,15–333,15 К выбрана для почти равномерного поля; её пределы не являются экстремумами решения. Изотермы скрыты. Открыть в полном размере
Рабочая область модели «Преддуговой нагрев плавкой вставки: теплоотвод и I²t». Нативный препроцессор FEMM 5.
Рабочая область модели «Преддуговой нагрев плавкой вставки: теплоотвод и I²t». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере
Сохранённое решение «Преддуговой нагрев плавкой вставки: теплоотвод и I²t». Температура T, К, на сохранённом шаге доплавительного нагрева тонкой медной вставки. Изотермы скрыты; виден продольный профиль температуры между охлаждаемыми торцами.
Сохранённое решение «Преддуговой нагрев плавкой вставки: теплоотвод и I²t». Температура T, К, на сохранённом шаге доплавительного нагрева тонкой медной вставки. Изотермы скрыты; виден продольный профиль температуры между охлаждаемыми торцами. Открыть в полном размере
Тепловая геометрия связанной модели индукционного нагрева, разделённая на подобласти назначения источников тепла. Зелёные точки — метки областей; длинные текстовые подписи скрыты в отображении.
Тепловая геометрия связанной модели индукционного нагрева, разделённая на подобласти назначения источников тепла. Зелёные точки — метки областей; длинные текстовые подписи скрыты в отображении. Открыть в полном размере
Сохранённое решение «Индукционный нагрев: переходное тепловое поле и температурная обратная связь». Температура T, К, на сохранённом шаге связанного индукционного нагрева. Прямоугольные подобласти служат назначению распределённых источников тепла; изотермы скрыты.
Сохранённое решение «Индукционный нагрев: переходное тепловое поле и температурная обратная связь». Температура T, К, на сохранённом шаге связанного индукционного нагрева. Прямоугольные подобласти служат назначению распределённых источников тепла; изотермы скрыты. Открыть в полном размере

Самостоятельная работа

Подготовьте начальную температуру и три серии временных шагов, используя документированное предыдущее решение. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.

Критерий выполнения: После 20 с T=310\,\mathrm{К}; c_v введена как 2 МДж/(м³·К); в журнале указаны исходный .anh, каждый шаг и энергетический баланс.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
  1. [33] — 7, 13, 70, 129–136
Пояснения и типичные ошибки
Почему стационарная задача не использует теплоёмкость?

При \partial T/\partial t=0 член накопления исчезает; c_v определяет динамику, а не стационарный профиль.

Какое контрольное число и единица проверяют этот опыт?

T(20\,\mathrm{с})=310\,\mathrm{К}; накопленная энергия на единицу объёма =20 МДж/м³.

При каких предположениях получена приведённая формула?

FEMM 5 поддерживает переходную теплопроводность через предыдущее решение и шаг времени. Здесь нет переносного члена, течения и фазового перехода.

На что обратить внимание

  • Без теплоотвода положительный источник не имеет стационарного конечного температурного решения, хотя переходная задача корректна.
  • FEMM 5 поддерживает переходную теплопроводность через предыдущее решение и шаг времени. Здесь нет переносного члена, течения и фазового перехода.