Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона
Инженерный вопрос. Что показывает разность источника, выходящего потока и накопления энергии?
Температура, тепловое сопротивление и постоянная времени связывают потери с охлаждением и длительностью включения. Это позволяет сравнить материалы, отвод тепла и рабочие циклы по количественным критериям.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.
Проверьте поверхностный и объёмный баланс. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите объёмную мощность, граничные потоки и изменение энергии для выбранного режима.
Результат этого занятия. Баланс с единицами, ориентацией нормалей и отличием мощности от теплоты.
Данные именно этого опыта. Сведите объёмную мощность, граничные потоки и изменение энергии для выбранного режима.
Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Приложите оба файла и решения. Цель невязки после уточнения сетки \le 1\% от 8 Вт в первом варианте и 4 Вт во втором; не делите на нулевую сумму потоков.
Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.
Критерий выполнения. Различайте плотность теплового потока, мощность, теплоту и внутреннюю энергию по определению и единице. Проверяйте баланс по внешней нормали; согласуйте G=-\operatorname{grad} T с направлением перепада. Учитывайте глубину и осесимметрию в интегралах; выводите kS\Delta T/L только для одномерного эталона. Сохраните модели и решения, подтвердите баланс и сходимость; отделяйте аналитические ответы от фактически выполненного FEMM-расчёта.
Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.
Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.
Вывод для устройства
Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.
Границы вывода. Результат зависит от источников, среды, теплоотдачи и теплоёмкости. Упрощённый эталон не заменяет неизвестные условия охлаждения реального устройства.
Теория и вывод формул
Интегрирование теплового потока связывает локальный закон теплопроводности с балансом энергии расчётной области. Согласование единиц, ориентации границ и объёмных источников позволяет проверить тепловую модель FEMM.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Локальное поле F теплового модуля FEMM — вектор плотности теплового потока, Вт/м²; в учебных формулах обозначим его q. Интеграл q\cdot n по поверхности даёт тепловой поток как мощность \dot{Q}_\mathrm{th}, Вт. Переданное количество теплоты Q_{\mathrm{th}}, Дж, получается дополнительным интегралом по времени.
Выражение «тепловой поток» иногда относится и к плотности, и к мощности. В этом курсе всегда уточняйте единицу: q\,[\mathrm{Вт/м^2}], \dot Q_{\mathrm{th}}\,[\mathrm{Вт}], Q_{\mathrm{th}}\,[\mathrm{Дж}]. Это обнаруживает ошибки до вычисления.
Внешняя нормаль задаёт положительную отдаваемую мощность; отрицательный интеграл означает поступление тепла в тело. При обращении ориентации открытой поверхности знак меняется.
Первый интеграл даёт Вт, второй — Дж; Q_{\mathrm{th}}=\dot{Q}_\mathrm{th}\cdot \Delta t допустимо лишь при постоянной мощности.
Разность температур и закон Фурье
Температура — скалярное поле; T_a-T_b равно интегралу -\operatorname{grad} T от a к b. Это тождество для однозначной температуры. Закон Фурье дополнительно связывает плотность потока с градиентом и свойствами материала.
В изотропной среде q=-k \operatorname{grad} T; в анизотропной используют тензор k, и q может не быть параллелен -\operatorname{grad} T. Формула kS\Delta T/L не является общим определением потока.
В FEMM G=-\operatorname{grad} T, а F=kG. Следовательно, ho_lineintegral(0), то есть интеграл G\cdot t по пути a\to b, даёт T_a-T_b. Проверьте это соглашение до сравнения знаков.
Для однородного стержня постоянного сечения, без внутренних источников и бокового теплообмена, одномерное стационарное решение даёт \dot{Q}_\mathrm{th}=kS(T_a-T_b)/L. При переменном k(T) нужен интеграл по температуре.
T_a-T_b=\int_a^b(-\nabla T)\cdot d\mathbf l,\qquad\mathbf q=-\mathbf k\nabla T
Одномерный стационарный перенос без источников и боковых потерь.
Энергия тела и интегральный баланс
Внутренняя энергия U_{\mathrm{th}} — объёмный интеграл \rho_u. Для неподвижного твёрдого тела без механической работы скорость её изменения равна мощности внутренних источников минус поток наружу. Это закон сохранения энергии и средство численной проверки.
При постоянной объёмной теплоёмкости c_V=\rho c изменение энергии относительно T_{\mathrm{ref}} равно \int c_V(T-T_{\mathrm{ref}})dV. При переменном c сначала интегрируют по температуре. Формула mc\Delta T требует однородной температуры либо корректной средней при постоянном c.
В стационарном режиме накопление энергии равно нулю, но энергия тела не обязана быть нулевой. Мощность переноса не равна запасённой энергии. Стационарное решение без исходного состояния, теплоёмкости и времени не определяет длительность нагрева.
Объёмный источник q_v [Вт/м³] даёт полную мощность P_{\mathrm{src}}=\int q_v dV. Полную мощность в ваттах нельзя напрямую вводить в поле объёмного источника: распределите её по физическому объёму.
Объём и плотность считаются неизменными; стационарность означает отсутствие накопления.
Поверхностный теплообмен и средние значения
Конвекция и излучение входят в баланс как интегралы поверхностной плотности мощности. Формулы hS\Delta T и \varepsilon\sigma_{\mathrm{SB}} S(T^{4}-T_{\infty }^{4}) требуют постоянных коэффициентов и температуры поверхности. Усреднение T перед четвёртой степенью в общем случае меняет мощность излучения.
Средняя температура бывает объёмной, поверхностной, массовой и энергетически взвешенной. Укажите меру интегрирования. При переменных \rho c объёмная средняя не определяет энергию через одну произвольную теплоёмкость.
R_{\mathrm{th}}=(T_a-T_b)/\dot{Q}_\mathrm{th} — параметр выбранного режима и границ. Частная формула L/(kS) следует из одномерного стержня. При нелинейном теплообмене R_{\mathrm{th}} зависит от режима даже при неизменной геометрии.
Излучение серой поверхности в большое изотермическое окружение; температуры в четвёртой степени — в К.
Глубина, осесимметрия и API FEMM
В плоской модели линия \gamma представляет поверхность глубиной d: \dot{Q}_\mathrm{th}=d\int _{\gamma } q\cdot n dl. В осесимметрии \dot{Q}_\mathrm{th}=\int _{\gamma } q\cdot n\cdot 2\pi r dl. Объёмные интегралы используют d\cdot dS_{\mathrm{2D}} либо 2\pi r dr dz; линейный перепад температуры не получает этих множителей.
Контур задают ho_clearcontour()/ho_addcontour(x,y). ho_lineintegral(0) даёт перепад G\cdot t, ho_lineintegral(1) — тепловую мощность F\cdot n, ho_lineintegral(3) — среднюю температуру контура. Средняя температура не является мощностью.
ho_getconductorproperties("boundary") возвращает температуру и суммарную тепловую мощность свойства Conductor. ho_blockintegral(0) — средняя температура выбранных областей; ho_blockintegral(2) — их объём. Для энергии дополнительно нужны \rho c, состояние отсчёта и интегрирование.
Используйте единую внешнюю нормаль в балансе; знак Conductor сопоставьте с ней. Укажите отдающую и получающую тепло границы. Встроенные интегралы уже содержат геометрические множители, домножать повторно нельзя.
Разобранный численный пример
8 Вт через стенку: сколько теплоты и энергии?
Дано. Стенка L=10\,\mathrm{мм}, высота 20 мм, глубина 100 мм; k=0{,}5\,\mathrm{Вт/(м\cdot К)}; слева 373,15 К, справа 293,15 К; верх и низ изолированы, источников нет.
Для нормали +x \dot{Q}_\mathrm{th}=\int q\cdot n dS=8\,\mathrm{Вт}. По внешним нормалям справа +8 Вт, слева −8 Вт; сумма нулевая.
За 60 с неизменного режима через сечение проходит Q_{\mathrm{th}}=480\,\mathrm{Дж}. Это не прирост энергии стенки: столько же энергии поступает и уходит.
Отдельная задача: ту же стенку с c_V=2\cdot 10^{6}\,\mathrm{Дж/(м^3\cdot К)} равномерно нагрели на 20 К. При объёме 2·10⁻⁵ м³ \Delta U=800\,\mathrm{Дж}. Это другое состояние; мощность 8 Вт без временной модели не описывает этот нагрев.
Ответ:q_x=4000\,\mathrm{Вт/м^2}; \dot{Q}_\mathrm{th}=8\,\mathrm{Вт}; за 60 с проходит 480 Дж при нулевом накоплении. Для отдельного равномерного нагрева на 20 К \Delta U=800\,\mathrm{Дж}.
Проверка: Аналитический эталон, не выполненный FEMM-расчёт. Удвоение глубины при тех же температурах удваивает мощность, теплоту и объём, но не q и профиль T.
Создайте Heat Flow Planar-модель в мм с Depth=100, прямоугольником (0,0)–(10,20) и k_x=k_y=0{,}5. Слева 373,15 К, справа 293,15 К, верх и низ изолированы.
Решите и проверьте в центре T=333{,}15\,\mathrm{К}, F_x=4000\,\mathrm{Вт/м^2}. Горизонтальный контур слева направо должен дать ho_lineintegral(0)=+80 К.
Вертикальные разрезы должны давать 8 Вт при нормали +x; обращение ориентации меняет знак. Сравните с мощностями свойств Conductor.
Составьте баланс по внешним нормалям -8+8+0+0=0 Вт. Получите объём ho_blockintegral(2) и среднюю температуру ho_blockintegral(0); объясните отличие от энергии.
В копии установите оба торца 293,15 К и q_v=200000\,\mathrm{Вт/м^3}. Ожидается источник 4 Вт, по 2 Вт наружу через торцы, T_{\max}=298{,}15\,\mathrm{К} в середине.
Удвойте глубину при фиксированных температурах и проверьте масштабирование. Интеграл теплоты за 60 с рассчитайте отдельно аналитически.
Ожидаемый результат. Исходная стенка: 8 Вт, перепад 80 К, средняя T=333{,}15\,\mathrm{К}. Источник: 4 Вт суммарно, по 2 Вт через торцы, T_{\max}=298{,}15\,\mathrm{К}.
Как проверить. Приложите оба файла и решения. Цель невязки после уточнения сетки \le 1\% от 8 Вт в первом варианте и 4 Вт во втором; не делите на нулевую сумму потоков.
Обработка и анализ результатов
Что показывает разность источника, выходящего потока и накопления энергии?
Сведите объёмную мощность, граничные потоки и изменение энергии для выбранного режима.
Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.
С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.
Итог работы. Баланс с единицами, ориентацией нормалей и отличием мощности от теплоты.
Самостоятельная работа
Постройте интегральный тепловой баланс стенки и варианта с источником; отдельно вычислите переданную теплоту за заданное время.
Критерий выполнения: Различайте плотность теплового потока, мощность, теплоту и внутреннюю энергию по определению и единице. Проверяйте баланс по внешней нормали; согласуйте G=-\operatorname{grad} T с направлением перепада. Учитывайте глубину и осесимметрию в интегралах; выводите kS\Delta T/L только для одномерного эталона. Сохраните модели и решения, подтвердите баланс и сходимость; отделяйте аналитические ответы от фактически выполненного FEMM-расчёта.
Пояснения и типичные ошибкиПочему интеграл в ваттах нельзя назвать запасённой энергией тела?
\int q\cdot n dS даёт мощность переноса; теплота требует интеграла по времени, энергия тела — объёмного интеграла с теплоёмкостью и состоянием. В стационарном режиме ненулевой перенос совместим с нулевым накоплением.
Самостоятельно: q_n(y)=1000+100000y Вт/м², 0\le y\le 20\,\mathrm{мм}, глубина 50 мм. Найдите мощность и теплоту за 30 с.
\dot{Q}_\mathrm{th}=0{,}05\int _{0}^{0{,}02}(1000+100000y)dy=2\,\mathrm{Вт}; Q_{\mathrm{th}}=60\,\mathrm{Дж}. Средняя плотность 2000 Вт/м², максимальная 3000 не заменяет её.
Самостоятельно: в объёме 2·10⁻⁵ м³ выделяется 200000 Вт/м³, наружу уходит 3 Вт. Какова скорость накопления энергии?
P_{\mathrm{src}}=4\,\mathrm{Вт}; dU_{\mathrm{th}}/dt=1\,\mathrm{Вт}=1 Дж/с. Режим не стационарный; при неизменном балансе за 10 с \Delta U=10\,\mathrm{Дж}.
Самостоятельно: цилиндрическая поверхность r=10\,\mathrm{мм}, высота 20 мм, q_n=1000\,\mathrm{Вт/м^2} наружу. Найдите мощность.
\dot{Q}_\mathrm{th}=1000\cdot 2\pi \cdot 0{,}010\cdot 0{,}020=1{,}256637\,\mathrm{Вт}. Без 2\pi r интеграл по линии имел бы единицу Вт/м, а не Вт.
На что обратить внимание
F в точке измеряется в Вт/м² и не равно мощности границы.
Средняя T без теплоёмкости, объёма и отсчёта не определяет энергию.
Нулевая сумма потоков не означает отсутствия теплопередачи.
Полную мощность нельзя вводить как источник Вт/м³; готовый интеграл не домножают на глубину.