Занятие 10.4
Цель. Оценить влияние заданной теплоотдачи на температуру поверхности.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Расчётная лабораторная работа · Определение теплового сопротивления и установившегося нагрева
Инженерный вопрос. Как изменение теплоотдачи меняет тепловой поток и температуру границы?
Температура, тепловое сопротивление и постоянная времени связывают потери с охлаждением и длительностью включения. Это позволяет сравнить материалы, отвод тепла и рабочие циклы по количественным критериям.
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Обосновать постановку и способ измерения. Согласуйте источники мощности, теплопроводность и условия отвода; выберите температуру, поток или тепловое сопротивление как искомую характеристику.
Тепловое сопротивление пластины и конвекции — аналитический эталон. Проверьте аналитический тепловой путь и баланс в условиях геометрии примера.
Замените правую фиксированную температуру условием конвекции; сравните два заданных коэффициента теплоотдачи.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите коэффициент теплоотдачи, температуру поверхности и поток двух вариантов.
Ответить на вопрос по своим результатам. Восстановите профиль или тепловое сопротивление из таблицы; сопоставьте суммарные источники и выходящие потоки.
Результат этого занятия. Сравнение с последовательными тепловыми сопротивлениями и источником значения теплоотдачи.
Данные именно этого опыта. Сведите коэффициент теплоотдачи, температуру поверхности и поток двух вариантов.
Оформление наблюдений. Температуры в заданных местах, потоки через границы, мощности по областям и свойства; для сопротивления — определённая разность температур и мощность.
Проверка из практикума. h задаётся извне. Решатель теплопроводности не определяет скорость обтекания и не рассчитывает коэффициент теплоотдачи. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Сопоставьте суммарную мощность источников с выходящим тепловым потоком и аналитическим пределом, допустимым для этой геометрии.
Критерий выполнения. При h=100\,\mathrm{Вт/(м^2\cdot К)} Q=4{,}5454545\,\mathrm{Вт} и T_{\mathrm{surface}}=345{,}454545\,\mathrm{К}; источник значения h указан, если используется реальное устройство.
Точность и расхождения. Сеточную устойчивость температуры и потока оценивайте отдельно. Неопределённость теплоотдачи и теплопроводности нельзя устранить уменьшением конечного элемента.
Основание сравнения. Опора — закон Фурье и аналитический тепловой баланс из занятия. Теплоотдача и свойства материала являются исходными данными; одномерный предел применим только при согласованном пути тепла.
Определите доминирующий тепловой путь и влияние материала или границы; решение о допустимом нагреве требует заданной температуры среды и предела материала.
Границы вывода. Результат зависит от источников, среды, теплоотдачи и теплоёмкости. Упрощённый эталон не заменяет неизвестные условия охлаждения реального устройства.
Граничные условия теплопроводности описывают заданную температуру, тепловой поток либо теплообмен с окружающей средой. Конвективное соотношение q_n=h(T-T_{\infty }) требует заранее известного h: модуль теплопроводности не определяет этот коэффициент самостоятельно.
Фиксированная температура, заданная плотность потока, конвекция и излучение задают разные связи на границе. Конвекция q_n=h(T-T_{\infty }) требует известного h; этот коэффициент не рассчитывается модулем теплопроводности.
Излучение зависит от абсолютных температур в четвёртой степени. Подстановка градусов Цельсия в этот закон неверна. Периодические и антипериодические условия связывают пары границ и требуют физического обоснования.
Сложите сопротивления теплопроводности и конвекции, получив поток и температуру поверхности.
Последовательные тепловые сопротивления складываются: R=11\,\mathrm{К/Вт}.
Полный поток равен 50/11=4{,}5454545 Вт.
Температура охлаждаемой поверхности равна 300+Q\cdot 10=345{,}454545\,\mathrm{К}.
Границы применимости. Одномерная стационарная теплопроводность с внешне заданной теплоотдачей. Radiation использует абсолютные температуры в четвёртой степени.
Замените правую фиксированную температуру условием конвекции; сравните два заданных коэффициента теплоотдачи.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
При h=100\,\mathrm{Вт/(м^2\cdot К)} Q=4{,}5454545\,\mathrm{Вт} и T_{\mathrm{surface}}=345{,}454545\,\mathrm{К}; источник значения h указан, если используется реальное устройство.
h задаётся извне. Решатель теплопроводности не определяет скорость обтекания и не рассчитывает коэффициент теплоотдачи.
В данном курсе отсутствуют гидродинамические задачи; скорость, турбулентность и естественная конвекция не решаются FEMM.
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Пусть n направлена из тела наружу. Тогда положительная нормальная плотность теплового потока означает отдачу тепла. При изотропной теплопроводности она равна -k\partial T/\partial n. Поэтому запись руководства k\partial T/\partial n + f = 0 задаёт выходящий поток f. Если горячее тело охлаждается средой с температурой T_{\infty}, конвективный поток положителен при T > T_{\infty}. Знак проверяют на простом стержне до использования сложной геометрии.
Обозначения и единицы
Условия применения. Изотропная теплопроводность на границе. Полный поток в ваттах получают интегрированием f по площади, включая глубину плоской модели или поверхность вращения.
Условия фиксированной температуры, заданного потока, конвекции и излучения задают разные связи. Температурная граница представляет идеальный термостат; конвекция представляет ограниченную теплоотдачу с заданным коэффициентом h. Излучение требует абсолютных температур в кельвинах и коэффициента излучения \beta от 0 до 1. Для закона \beta \sigma_{\text{СБ}}(T^{4} - T_{\infty}^{4}) нельзя использовать температуру в градусах Цельсия. Сам FEMM не определяет коэффициент h из скорости обтекания и не решает течение охлаждающей среды.
Обозначения и единицы
Условия применения. Нормаль наружу, заданная температура внешней среды. FEMM использует предоставленный коэффициент h и не вычисляет его из течения жидкости.
Обозначения и единицы
Условия применения. Заданная модель излучения к окружению, внешняя нормаль, согласованный коэффициент излучения. Формула не выполняет автоматически расчёт угловых коэффициентов между произвольными взаимно облучающими поверхностями.
Нелинейное излучение на очередной итерации заменяется локальным линейным выражением по температуре. Получается условие Робина, но его коэффициенты обновляются вместе с решением. Поэтому успешная линейная итерация не равна сходимости нелинейного теплообмена. При большом перепаде температур замена излучения одним постоянным h без отдельного обоснования может заметно изменить тепловой баланс.
Периодическая тепловая граница подходит для повторяющихся частей с одинаковыми температурами. Формально доступная антипериодическая связь имеет вид T_{2} = -T_{1} и требует особой осторожности: для абсолютных положительных температур обычного нагретого устройства она не выражает привычную геометрическую симметрию. Антисимметрия отклонения \theta = T - T_{0} не тождественна антипериодичности абсолютной T. Подмена допустима только после согласованного преобразования источников, материалов и граничных законов; излучение и k(T) не сохраняют прежний вид автоматически.
Неназначенная тепловая граница адиабатична. При положительном источнике и полностью адиабатической оболочке конечной стационарной температуры не существует. Переходный расчёт такой системы, напротив, допустим: энергия накапливается в объёмной теплоёмкости. FEMM 5 поддерживает последовательные тепловые шаги от предыдущего решения; эта возможность разобрана в 10.6 и не означает наличия переходного магнитного решателя.
Проверьте на своей модели
Boundary задаёт Fixed Temperature, Heat Flux, Convection, Radiation, Periodic или Anti-Periodic. Перед выбором отличите температуру в К, поверхностную плотность теплового потока в Вт/м², коэффициент конвекции в Вт/(м²·К) и безразмерную излучательную способность. Излучение использует абсолютную температуру, поэтому градусы Цельсия напрямую в соответствующие поля не подставляют.
Рисунок М.2.40. Диалог «Свойство узла»
В плоскопараллельной постановке точка с источником представляет линию тепловыделения вдоль глубины модели, поэтому на рисунке указаны Вт/м. Это отличается от объёмного источника в Вт/м³. Закрепление температуры в узле также не тождественно физическому охлаждению всей поверхности.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Рисунок М.2.41. Диалог «Свойства границы»
Условие Fixed Temperature задаёт идеальный температурный резервуар на границе. На рисунке стоит шаблонное значение 0 К; оно не является разумной исходной температурой обычного устройства. Для ограниченного теплоотвода выбирают конвекцию или излучение с физическими параметрами среды.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Constant Thermal Conductivity активирует kx,ky в Вт/(м·К). Thermal Conductivity Depends on Temperature отключает эти поля и открывает Edit T-k Curve: табличный k(T) изотропен. Точки сортируются по температуре, между ними применяется линейная интерполяция, вне диапазона удерживается ближайшее крайнее значение. Это правило экстраполяции программы не подтверждает материал за пределами эксперимента.
Import from file для T–k отдельно спрашивает порядок столбцов и единицы; температура в °C, °F или {}^\circR и проводимость в Btu/(ft·hr·F) либо kcal/(m·hr·K) преобразуются в К и Вт/(м·К). После импорта откройте Plot T-k Curve и проверьте хотя бы одну исходную пару вручную. Volume heat generation вводится в Вт/м³; Volumetric heat capacity — в МДж/(м³·К) и действует только в переходном расчёте с предыдущим решением и шагом времени.
Тепловой Conductor объединяет изотермические поверхности. Prescribed temperature задаёт общую T и вычисляет суммарный поток; Prescribed heat flux в этом диалоге означает заданный полный тепловой поток в Вт, в отличие от плотности потока на обычной границе. Вторая величина неактивна и вычисляется. Одинаковое имя на раздельных поверхностях связывает их одной изотермической идеализацией.
Рисунок М.2.45. Диалог «Свойства проводника»
Именованный тепловой проводник объединяет изотермические поверхности: задаётся одна тепловая характеристика, другая вычисляется. На исходном скриншоте поле подписано W/m, тогда как текст руководства описывает полный поток, а окно результатов на рис. М.2.51 выводит W. Это расхождение обозначений источника: не переносите единицу этого поля на итоговый интеграл; проверяйте постановку, Depth и баланс полной мощности. Обычная граничная плотность теплового потока в Вт/м² — другая величина.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Проверьте на своей модели
Дано. L=10\,\mathrm{мм}, k=10\,\mathrm{Вт/(м\cdot К)}, S=0{,}001\,\mathrm{м^2}; слева T=350\,\mathrm{К}; справа среда T_{\infty }=300\,\mathrm{К} и заданный h=100\,\mathrm{Вт/(м^2\cdot К)}.
Последовательные тепловые сопротивления складываются: R=11\,\mathrm{К/Вт}.
Полный поток равен 50/11=4{,}5454545 Вт.
Температура охлаждаемой поверхности равна 300+Q\cdot 10=345{,}454545\,\mathrm{К}.
Ответ: Q=4{,}5454545\,\mathrm{Вт}; T поверхности=345,5 К.
Проверка: h задаётся извне. Решатель теплопроводности не определяет скорость обтекания и не рассчитывает коэффициент теплоотдачи. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| h | 100 | Вт/(м²·К) |
| T_{\infty } | 300 | К |
| T_{\mathrm{left}} | 350 | К |
Ожидаемый результат. Q=4{,}5454545\,\mathrm{Вт}; T поверхности=345,5 К. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. h задаётся извне. Решатель теплопроводности не определяет скорость обтекания и не рассчитывает коэффициент теплоотдачи. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Как изменение теплоотдачи меняет тепловой поток и температуру границы?
С чем сравнить. Опора — закон Фурье и аналитический тепловой баланс из занятия. Теплоотдача и свойства материала являются исходными данными; одномерный предел применим только при согласованном пути тепла.
Итог работы. Сравнение с последовательными тепловыми сопротивлениями и источником значения теплоотдачи.
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Многослойный кабель позволяет проверить тепловую модель значительно строже, чем сравнением одной максимальной температуры. Для каждого пассивного слоя есть независимое аналитическое сопротивление, а через все слои проходит одна и та же мощность жилы. Учебная задача учит различать удельное тепловое сопротивление материала, теплопроводность и сопротивление целого цилиндрического слоя. Эти три величины имеют разные определения и не должны смешиваться в таблицах.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 8
Три кабеля в одной траншее нагревают друг друга через грунт. Поэтому средний кабель оказывается горячее крайних даже при одинаковых потерях и одинаковой конструкции. Задача связывает внутренние сопротивления изоляции с распространением тепла в окружающей среде и с конвекцией на поверхности земли. Она полезна для обсуждения групповой прокладки и различия между локальной температурой поверхности и температурой жилы.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 6
Медная шина 100 × 10 мм, расчётная длина перпендикулярно рисунку 1 м. Объёмное тепловыделение 10⁵ Вт/м³; тепло отводится с двух широких сторон, торцы теплоизолированы.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 9
Шина 100 × 10 мм, расчётная длина 1 м, равномерное тепловыделение 10⁵ Вт/м³. Нижняя сторона охлаждается конвекцией h=10 Вт/(м² К), верхняя излучает в среду 20 °C с коэффициентом 0.8; торцы изолированы.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 7
Медная жила радиуса 5 мм, изоляция до радиуса 8 мм, длина 1 м. Охлаждение воздухом 20 °C с h=10 Вт/(м² К). Учебное ограничение температуры жилы 90 °C; сопротивление зависит от температуры.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 13
Три кабеля радиусами жилы 5 мм и изоляции 10 мм находятся на глубине 1 м в грунте k=1 Вт/(м К). Каждый выделяет 20 Вт/м. Сравниваются расстояния между осями 150, 300 и 600 мм; поверхность грунта поддерживается при 20 °C.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 20
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Замените правую фиксированную температуру условием конвекции; сравните два заданных коэффициента теплоотдачи. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
В общем случае это несовместимые независимые граничные требования; выбирают физически заданную связь.
Q=4{,}5454545\,\mathrm{Вт}; T поверхности=345,5 К.
Одномерная стационарная теплопроводность с внешне заданной теплоотдачей. Radiation использует абсолютные температуры в четвёртой степени.