Матрица ёмкостей, взаимность и энергия системы электродов

От распределённого поля к параметрам

Инженеру редко нужна функция $\varphi(\ur)$ сама по себе. Нужны числа: заряд на электроде, напряжение между выводами, ёмкость, запасённая энергия, сила притяжения пластин. Все они получаются из поля интегрированием — по поверхности, по линии, по объёму — и в этом смысле поле является промежуточным результатом, а интегральные величины — конечным. Этот урок показывает, как именно выполняется переход для электростатики; те же приёмы в модуле M7 будут применены к индуктивности и сопротивлению.

Второй предмет урока — силы. Электростатическая сила на электрод может быть вычислена через производную энергии по координате (метод виртуальной работы), и здесь скрыта известная ловушка со знаками: при постоянном заряде берётся $-\partial W/\partial x$, при постоянном напряжении — $+\partial W/\partial x$. Мы разберём, почему оба способа дают одно и то же.

Заряд, напряжение, ёмкость

Пусть система состоит из двух проводников (электродов) в линейном диэлектрике; один находится под потенциалом $\varphi_1$, другой — $\varphi_2$.

Почему $C$ — параметр, а не функция режима? В линейной среде уравнение Лапласа и граничные условия линейны: удвоение потенциалов электродов удваивает $\varphi$ всюду, а с ним $\uE$, $\uD$ и $Q$. Отношение $Q/U$ от $U$ не зависит и определяется только геометрией и проницаемостью. Ёмкость — мера того, сколько заряда система «вмещает» при единичном напряжении; большой ёмкости отвечают большие электроды, малые зазоры и высокая $\varepsilon$.

Поверхность $S_1$ можно брать как угодно — прижать к электроду (тогда интеграл есть сумма поверхностного заряда) или отодвинуть в диэлектрик: поток $\uD$ один и тот же, пока внутри нет других свободных зарядов. Эта свобода используется при вычислении $Q$ по известному полю: интегрируют там, где поле проще.

Три классических конденсатора

Плоский. Однородное поле $E=U/d$ между пластинами площадью $S$ на расстоянии $d$ (краевые эффекты пренебрежимы при $d\ll\sqrt S$): $D=\varepsilon U/d$, $Q=DS$, откуда $$C=\frac{\varepsilon S}{d}.$$

Коаксиальный. Из урока об электростатике $E_r=U/(r\ln(b/a))$. Возьмём $S_1$ — цилиндр радиуса $r$ ($a<r<b$) длиной $\ell$: $Q=D_r\cdot2\pi r\ell=\varepsilon U\cdot2\pi\ell/\ln(b/a)$ — от $r$, как и должно быть, не зависит. Погонная ёмкость $$C'=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}.$$

Сферический. $E_r=U/[r^2(1/a-1/b)]$; поток через сферу радиуса $r$: $Q=4\pi r^2\varepsilon E_r=4\pi\varepsilon U/(1/a-1/b)$, откуда $$C=\frac{4\pi\varepsilon ab}{b-a}, \qquad C\to4\pi\varepsilon a\ \text{при}\ b\to\infty\ \text{(уединённый шар)}.$$

Двухслойный диэлектрик

Пусть зазор заполнен двумя слоями с проницаемостями $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, граница между ними — эквипотенциальная поверхность (параллельна электродам). Поверхностного заряда на границе нет, поэтому $D_n$ непрерывно, а $E_n$ скачет: $E_1=D/\varepsilon_1$, $E_2=D/\varepsilon_2$. Для плоского конденсатора с толщинами слоёв $d_1$, $d_2$ $$U=E_1d_1+E_2d_2=D\left(\frac{d_1}{\varepsilon_1}+\frac{d_2}{\varepsilon_2}\right) \quad\Rightarrow\quad C=\frac{S}{d_1/\varepsilon_1+d_2/\varepsilon_2}=\left(\frac1{C_1}+\frac1{C_2}\right)^{-1}.$$ Слои ведут себя как последовательно соединённые конденсаторы: заряд общий, напряжения складываются. Для коаксиала с границей слоёв на радиусе $c$ аналогично $$C'=\frac{2\pi}{\dfrac{\ln(c/a)}{\varepsilon_1}+\dfrac{\ln(b/c)}{\varepsilon_2}}, \qquad E_1(r)=\frac{Q'}{2\pi\varepsilon_1r}\ (a<r<c),\quad E_2(r)=\frac{Q'}{2\pi\varepsilon_2r}\ (c<r<b),$$ где $Q'=C'U$ — погонный заряд. Напряжённость всегда больше в слое с меньшей $\varepsilon$: напряжение распределяется между слоями обратно пропорционально проницаемостям (при равных толщинах слоёв). Это главная опасность воздушных включений в твёрдой изоляции — они берут на себя непропорционально большую долю напряжения при наименьшей электрической прочности.

Матрица ёмкостей

При трёх и более проводниках одной ёмкости недостаточно. Пусть есть $n$ проводников с потенциалами $U_1,\dots,U_n$, отсчитанными от опорного проводника («земли», потенциал 0). В силу линейности заряд каждого проводника — линейная комбинация всех потенциалов:

Свойства матрицы (на вводном уровне):

• Симметрия $C_{ij}=C_{ji}$ — следствие того, что энергия системы $W=\tfrac12\sum_{ij}C_{ij}U_iU_j$ не должна зависеть от порядка зарядки проводников (теорема взаимности Грина).
• Собственные коэффициенты положительны: $C_{ii}>0$ — проводник под положительным потенциалом при заземлённых соседях заряжен положительно.
• Взаимные коэффициенты неположительны: $C_{ij}\le0$ при $i\ne j$. Поднятие потенциала проводника $j$ при $U_i=0$ индуцирует на проводнике $i$ отрицательный заряд: линии $\uD$ выходят с $j$ и заканчиваются на $i$.
• Сумма по строке неотрицательна: $\sum_jC_{ij}\ge0$ — если все проводники поднять до одного потенциала, заряд каждого из них не отрицателен (линии поля уходят только на землю).

Из коэффициентов Максвелла строят частичные ёмкости, имеющие наглядный смысл конденсаторов между парами тел: $C_{i0}=\sum_jC_{ij}$ — частичная ёмкость проводника $i$ на землю, $C_{ik}^{\mathrm ч}=-C_{ik}$ ($i\ne k$) — частичная ёмкость между проводниками $i$ и $k$. Тогда $Q_i=C_{i0}U_i+\sum_{k\ne i}C_{ik}^{\mathrm ч}(U_i-U_k)$ — заряд складывается из зарядов «конденсаторов», соединяющих проводник с землёй и с каждым соседом. Все частичные ёмкости неотрицательны, что и делает их удобными для схем замещения многопроводных линий и кабелей [Иоссель], [Демирчян].

Энергия системы

Энергия поля в линейной системе двух электродов выражается тремя равносильными способами: $$W_{\mathrm э}=\frac12\int_V\uE\cdot\uD\,\dV=\frac12CU^2=\frac{Q^2}{2C}=\frac12QU .$$ Равенство объёмного интеграла и $\tfrac12CU^2$ проверим для коаксиала: $w=\tfrac12\varepsilon E^2=\tfrac12\varepsilon U^2/[r^2\ln^2(b/a)]$, объём кольца $2\pi r\,\dd r$ на единицу длины, $$W_\ell=\int_a^b\frac{\varepsilon U^2}{2r^2\ln^2(b/a)}\,2\pi r\,\dd r=\frac{\pi\varepsilon U^2}{\ln^2(b/a)}\ln\frac ba=\frac12\cdot\frac{2\pi\varepsilon}{\ln(b/a)}U^2=\frac12C'U^2 .$$ Это даёт второй, независимый способ вычисления ёмкости — через энергию: $C=2W/U^2$. При численном расчёте ёмкость по энергии и ёмкость по заряду (поток $\uD$) сходятся с разной скоростью, и их расхождение служит мерой погрешности (урок о сходимости).

Сила методом виртуальной работы

Пусть один электрод может смещаться вдоль координаты $x$ (расстояние между пластинами, глубина погружения в диэлектрик), так что $C=C(x)$. Дадим электроду виртуальное смещение $\dd x$ и составим баланс энергии. Результат зависит от того, что при этом удерживается постоянным.

Знаки различны потому, что различен источник работы. При постоянном заряде система замкнута и за работу платит полем — энергия поля убывает. При постоянном напряжении источник вносит вдвое больше работы, чем совершает сила; половина идёт на увеличение энергии поля, половина — на механическую работу, и энергия поля при движении растёт. Силу же оба подхода дают одну и ту же, потому что сила — функция состояния системы, а не способа, которым мы её мысленно возмущаем: $$-\left.\frac{\partial}{\partial x}\frac{Q^2}{2C}\right|_Q=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{\dd C}{\dd x}=\frac12U^2\frac{\dd C}{\dd x} =\left.\frac{\partial}{\partial x}\frac{CU^2}{2}\right|_U .$$ Итоговая формула $F_x=\tfrac12U^2\,\dd C/\dd x$ универсальна для линейных систем: сила направлена туда, куда растёт ёмкость — пластины притягиваются, диэлектрик втягивается в зазор.

Результат $p=\tfrac12\varepsilon E^2$ обобщается: на любом участке поверхности проводника поле создаёт натяжение, направленное по внешней нормали (поле «тянет» поверхность наружу, вдоль силовых линий), $$p=\frac12\varepsilon E_n^2=\frac{\sigma_s^2}{2\varepsilon},$$ где $E_n$ — напряжённость у поверхности в диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon$. На внутренний электрод коаксиала действует радиальное натяжение $p=\tfrac12\varepsilon E(a)^2$, одинаковое по окружности и потому не дающее результирующей силы, а лишь растягивающее поверхность жилы. Общий способ вычисления сил через натяжения поля — тензор натяжений Максвелла — рассматривается в уроке об энергии и силах [Тамм].

Лаборатория

Лаборатория показывает поперечное сечение коаксиального конденсатора с двухслойным диэлектриком. Параметры: радиусы $a$ и $b$ электродов, промежуточный радиус $c$ границы слоёв, относительные проницаемости $\varepsilon_{r1}$ (внутренний слой) и $\varepsilon_{r2}$ (внешний), напряжение $U$ и длина $\ell$. По формулам этого урока вычисляются заряд $Q$, ёмкость $C$ и погонная ёмкость $C'$, напряжённости $E(a)$ и по обе стороны границы слоёв $E(c^-)$, $E(c^+)$, смещение $D(c)$ на границе слоёв, энергия $W$ и давление поля на жилу $\tfrac12\varepsilon_1E^2(a)$; кнопки задают однослойный диэлектрик ($\varepsilon_{r2}=\varepsilon_{r1}$) и оптимум $\ln(b/a)=1$. Графики $E(r)$, $\varphi(r)$ и $D(r)$ показывают скачок $E$ при непрерывном $D$.

Вопросы, на которые отвечает лаборатория:

• При $\varepsilon_{r1}=\varepsilon_{r2}$ проверьте $C'=2\pi\varepsilon/\ln(b/a)$ и убедитесь, что $W=\tfrac12CU^2$ при любых $U$ и $\ell$.
• Введите тонкий воздушный слой ($\varepsilon_{r2}=1$) снаружи твёрдой изоляции ($\varepsilon_{r1}=2{,}3$…$4$). Где теперь максимум $E$ — на жиле или на границе слоёв? При каком $c$ напряжённость в воздухе превысит напряжённость на жиле?
• Как меняется давление на внутренний электрод при изменении $a$ при фиксированных $b$ и $U$? Где находится минимум $E(a)$?
• Почему график $D(r)$ непрерывен, а график $E(r)$ имеет скачок именно в $\varepsilon_{r1}/\varepsilon_{r2}$ раз?

Итоги

• Заряд — поток $\uD$ через поверхность вокруг электрода, напряжение — линейный интеграл $\uE$; $C=Q/U$ зависит только от геометрии и $\varepsilon$. Плоский: $\varepsilon S/d$; коаксиальный: $C'=2\pi\varepsilon/\ln(b/a)$; сферический: $4\pi\varepsilon ab/(b-a)$.
• Слои диэлектрика с эквипотенциальной границей — последовательные конденсаторы: $D$ непрерывно, $E$ скачет, напряжение распределяется обратно пропорционально $\varepsilon$.
• Матрица ёмкостей $Q_i=\sum C_{ij}U_j$ симметрична, с положительной диагональю и неположительными взаимными коэффициентами; частичные ёмкости $-C_{ij}$ и $\sum_jC_{ij}$ неотрицательны и образуют схему замещения.
• $W=\tfrac12CU^2=Q^2/(2C)=\tfrac12\int\uE\cdot\uD\,\dV$; ёмкость можно вычислять как через заряд, так и через энергию.
• Сила: $F_x=-\partial W/\partial x|_Q=+\partial W'/\partial x|_U=\tfrac12U^2\,\dd C/\dd x$; на поверхность проводника действует натяжение $p=\tfrac12\varepsilon E_n^2$.

Далее — поле стационарного электрического тока: та же математика (уравнение Лапласа для $\varphi$), но вместо заряда — ток, вместо ёмкости — сопротивление, а вместо энергии — мощность потерь.