Полярность двух связанных обмоток. Получите аналитический масштаб поля в условиях примера; перенесите способ проверки, сохраняя ограничения его геометрии.
Составьте протокол и таблицу знаков. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Составьте таблицу источников, топологии, материальных законов и условий на каждой границе для трёх рассмотренных задач.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Обоснованный выбор уравнений и метода с согласованными знаками, единицами и явными пределами подобия.
Данные именно этого опыта. Составьте таблицу источников, топологии, материальных законов и условий на каждой границе для трёх рассмотренных задач.
Оформление наблюдений. Координаты, компоненты поля, единицы, режим и принадлежность точки материалу; при сравнении профилей — одна ориентация оси.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Клеммное напряжение отделено от ЭДС; \operatorname{rot} H и вихревые токи не смешаны; условия топологии названы.
Независимый контроль. Используйте производную потенциала, аналитический однородный предел или закон источника, предусмотренный данным занятием.
Критерий выполнения. Клеммное напряжение отделено от ЭДС; \operatorname{rot} H и вихревые токи не смешаны; условия топологии названы.
Точность и расхождения. Сравнивайте поле в тех же физических точках. Максимум у идеальной острой кромки нельзя оценивать единственной относительной погрешностью; фиксируйте расстояние до кромки и шаг сетки.
Основание сравнения. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.
Вывод для устройства
Поясните, где поле определяет полезный эффект устройства, а где локальная неоднородность ограничивает простую расчётную схему.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Теория и вывод формул
Уравнения магнитной цепи сопоставляются с уравнениями Максвелла. Источники и топология расчётной области определяют выбор скалярного или векторного потенциала и служат основой сравнения трёх численных методов.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Выберите положительный ток и нормаль потока по правилу правого винта, затем согласуйте с ней обход. Магнитное напряжение Um=∫Hdl положительно вдоль положительного потока на пассивном участке. Знак каждой МДС определяется направлением охваченного тока, а не желаемым ответом.
ЭДС e=-d\Psi /dt определена внутри проводника в направлении положительного тока. Клеммное напряжение пассивной обмотки равно u=Ri -e=Ri +d\Psi /dt. Знак плюс в импедансе и минус в законе Фарадея совместимы. Смена опорного направления меняет знак величины, но не физику.
\varepsilon k=±1 определяется ориентацией обхода и охваченного тока, а не желаемым знаком ответа.
Электрическая аналогия с размерностями
В формальной аналогии F[А] соответствует источнику напряжения, \Phi[Вб] — току, Um[А] — падению напряжения, ℜ[1/Гн] — сопротивлению, \Lambda[Гн] — проводимости. Местные B=\mu H и J=\sigma E похожи, но \mu и \sigma имеют разные единицы и смысл.
Магнитное сопротивление не является нагревательным резистором: идеальное поле запасает энергию, а потери вводятся отдельно. Воздушный промежуток не обрывает поток, как разрыв провода обрывает DC-ток. Контраст \mu стали и воздуха ограничен, поэтому магнитное рассеяние может быть существенным.
Проводимость \Lambda измеряется в генри, но не равна L катушки без учёта N и охвата витков.
От уравнений Максвелла к потенциальным формулировкам
В магнитоквазистатике без тока смещения используются \operatorname{div} B=0, \operatorname{rot} H=J и \operatorname{rot} E=-\partial B/\partial t вместе с материальными зависимостями. Пренебрежение током смещения не требует синусоидальности: переходная MQS-задача тоже возможна. Гармоническая постановка является частным случаем.
При J=0 локально H=-\operatorname{grad} \varphi _{m}. Глобальная однозначность требует подходящей топологии. Контур в воздухе вокруг обмотки может охватывать ток, хотя сам не проходит через проводник. Разрезы или дополнительный заданный вклад поля учитывают эту циркуляцию.
Векторный потенциал B=\operatorname{rot} A обеспечивает \operatorname{div} B=0 и применяется как в обмотке, так и в области J=0. В плоской задаче достаточно A_z. Для магнитостатики без заданной постоянной намагниченности, при B=\mu H и постоянной \mu, получается \Delta Az=−μJz; при переменной \mu нужна операторная форма с \nu =1/\mu. Если задан B_r постоянного магнита, источник входит как \operatorname{rot} [\nu (\operatorname{rot} A-B_r)]=Jext; его нельзя исключить из уравнения. Свойства PM рассматриваются отдельно в 8.4. Калибровка и границы устраняют неединственность A.
Обе записанные формы относятся к магнитостатике без заданной постоянной намагниченности, B=\mu H. При PM используется \operatorname{rot} [\nu (\operatorname{rot} A-B_r)]=Jext или эквивалентный источник M/H_c.
Гармоника и движение
В линейном неподвижном проводнике при оговорённой калибровке индуцированный ток содержит -j\omega \sigma A. В общем случае электрическое поле также содержит -\operatorname{grad} \varphi e, а токовые ограничения задают суммарный ток замкнутых деталей. Упрощённая запись не отменяет эти условия.
При движении добавляется \sigma (v\times B). Величина E дв=v\times B является электрическим полем движения. Серия фиксированных положений не содержит этот член автоматически. Немагнитный проводник с \mu _{r}=1 может экранировать AC-поле, но без движения или переходного процесса не создаёт вихревые токи в установившемся DC.
\nabla\times(\nu\nabla\times\underline A)+j\omega\sigma\underline A=\underline J_{ext}\quad\text{в оговорённой калибровке},\qquad J=\sigma(E+v\times B)
Упрощённая гармоническая запись не отменяет электрических потенциалов и ограничений суммарного тока в общем случае.
Физический смысл границ
В плоском поле A_z =\mathrm{const} задаёт линию B и нулевой нормальный поток через границу; \partial A_z /\partial n=0 заставляет B быть нормальной к границе. Одной симметрии геометрии недостаточно: нужны согласованные токи и материалы. Периодичность и антипериодичность определяются повторением источников.
Внешнее окружение приближается удалённой границей, асимптотическим условием или преобразованием внешней области. Контроль — изменение выбранных интегралов при расширении домена. Два сходных изображения поля сами по себе не подтверждают отсутствие влияния обрезки.
Выбор метода и протокол постановки
Конечные разности аппроксимируют производные на узлах сетки; прямоугольная область особенно удобна, сложные границы требуют специальных приёмов. FEM использует слабую форму и аппроксимацию потенциала на элементах. Кусочно-линейный A_z даёт кусочно-постоянные производные B внутри треугольника; сглаживание не повышает порядок решения.
Интегральные и граничные методы используют фундаментальное решение и удобны для неограниченного однородного окружения. Нелинейные объёмные материалы требуют дополнительных областей и итераций. Квазипотенциальное представление катушки через заданную циркуляцию или двойной слой не означает существования физических магнитных зарядов.
Протокол должен задавать анализ или синтез, известные I/U/\Phi /B, геометрию, размерность, материалы, частоту, токовую связность, границы и выходные интегралы. Независимый баланс обязателен для проверки. В книге конвенции прямой и обратной задачи различаются для цепи и поля; явное описание входов надёжнее этих названий.
Нарисуйте направления токов, потоков, напряжений и обходов двух обмоток. Запишите Фарадея и клеммное уравнение до и после переворота вторичной полярности.
Составьте таблицу аналогий с единицами и отдельно укажите запасённую энергию и активные потери.
Для DC-магнита, полного AC-кольца, частичного витка и движущегося проводника выберите размерность, потенциал, источники и отброшенные члены.
На одной воздушной задаче сравните идеи FDM, FEM и полевых трубок, сохраняя границы и выходной интеграл.
Обработайте таблицу знаков, условие L_{1}L_{2}\ge M^{2}, баланс NI и протокола постановок. Отсутствие J в воздухе не доказывает глобальную однозначность \varphi _{m}.
Ожидаемый результат. Таблица знаков и аналогий, четыре протокола постановки с входами и независимыми проверками.
Как проверить. Клеммное напряжение отделено от ЭДС; \operatorname{rot} H и вихревые токи не смешаны; условия топологии названы.
Оценка результата
Когда допустим скалярный потенциал и что сохраняется при электрической аналогии?
Составьте таблицу источников, топологии, материальных законов и условий на каждой границе для трёх рассмотренных задач.
Проверьте знак, единицу и масштаб по постановке; используйте аналитическое поле, если для этого эталона оно выведено в занятии.
С чем сравнить. Аналитический профиль из теории применим только при тех же источниках, материале и граничных условиях. Карта цветов не заменяет численное измерение.
Итог работы. Обоснованный выбор уравнений и метода с согласованными знаками, единицами и явными пределами подобия.
Программа проверяет аналитические тождества через assert. Она не строит модель и не заменяет результаты полевого расчёта этого занятия.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Самостоятельный аналитический контроль занятия.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5; используется только стандартная арифметика.Этот код проверяет формулы и единицы; нативные поля имеют отдельные квитанции."""importmathl1=0.1;l2=0.4;mutual=0.18;im=1.0;frequency=50# Положительная энергия пассивной матрицы проверяется её определителем.det=l1*l2-mutual**2;coupling=mutual/math.sqrt(l1*l2)assertdet>0andabs(coupling-0.9)<1e-12# Из амплитудного потокосцепления получаем RMS ЭДС; переворот меняет только знак.emf=2*math.pi*frequency*mutual*im/math.sqrt(2)assertabs(emf-39.9859464434)<1e-9assertabs(abs(-emf)-abs(emf))<1e-12print("Связь",coupling,"ЭДС RMS, В",emf)
Место занятия в расчёте магнитной системы
Выбор полевой постановки и согласованных направлений. Свяжите знаки и материальные уравнения с выбором скалярного или векторного потенциала, источниками и границами модели аппарата.