Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Получение силовой характеристики и проверка энергетического преобразования
Инженерный вопрос. Как выбранная проницаемость и шаг влияют на проверку производной?
Потокосцепления, индуктивность и запас энергии превращают полевую модель в параметры электрической цепи. Они нужны для выбора числа витков, тока, магнитной связи и рабочего диапазона до расчёта динамики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте координату, положительное направление и удерживаемое возбуждение. Выберите силовой интеграл и допустимую энергетическую производную.
Вычисленный аналитический эталон. Проверьте размерность, знак и условия зазорной или энергетической оценки до обработки полевого результата.
Энергетическая производная при двух шагах. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните силы и энергетические разности двух шагов при одинаковом рабочем состоянии.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте знак, единицу и геометрический множитель силы или момента; выполните сравнение, предусмотренное именно этим практикумом.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Сопоставление методов с объяснением фиксированной и дифференциальной линеаризаций.
Данные именно этого опыта. Сохраните силы и энергетические разности двух шагов при одинаковом рабочем состоянии.
Оформление наблюдений. Положение, источник, сила или момент, область интеграла; для энергетической проверки — энергия или коэнергия соседних положений и шаг.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Неизменность физических токов проверена; согласованы знак координаты и единица производной.
Независимый контроль. Сопоставьте предусмотренные независимые силовой и энергетический методы при одинаковых токах либо напряжениях и одной системе координат.
Критерий выполнения. Сила вычислена двумя способами; шаг и сетка проверены; знаки, области интегрирования и использование предыдущего решения описаны.
Точность и расхождения. Уточните шаг перемещения отдельно от сетки зазора. Около нулевой силы или момента сравнивайте абсолютные значения с единицей; относительный процент там неустойчив.
Основание сравнения. Опора — тензор напряжений, взвешенный интеграл и энергетическая производная из занятия. Укажите удерживаемую величину, знак координаты и границу применимости аналитического зазорного предела.
Вывод для устройства
Свяжите характеристику с требуемым усилием, моментом или запасом к противодействующей нагрузке. Такой запас требует заданной механической характеристики.
Границы вывода. Параметр относится к указанной рабочей точке и определению индуктивности. Торцевые поля, сопротивление и нагрев не возникают автоматически из магнитостатической энергии.
Дополнительный расчётный метод
Электромагнитные силы и добавочные моменты
Силы в пазу показывают передачу момента через зубцы и сердечник. Общий тензорный интеграл сопоставляют с силами на выбранных телах, сохраняя одну расчётную систему.
Получаемые величины. сила на проводнике и сердечнике; полная сила зубцового деления; напряжения на стенках паза; зависимость доли силы меди от глубины тока
Выбрать, на какое тело нужна сила, и сохранить ориентацию.
Для линейного эталона выделить внешнее поле и поле тока.
Вычислить силу проводника без включения собственного поля как внешнего.
Сопоставить полную силу с интегралом в воздухе и энергетическим контролем; проверить сетку.
Страницы источника. PDF 1–15 полностью: 1–3 назначение сил; 4–8 объёмные/поверхностные силы; 9–15 разделение силы проводника и зубцового деления.
Силу, полученную по коэнергии, сопоставляют с результатом интегрирования напряжений Максвелла. Различие фиксированной и дифференциальной магнитных проницаемостей рассматривается в связи с условиями вычисления производных.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
При виртуальном перемещении x с неизменными токами электромагнитная сила равна частной производной коэнергии по x. Для линейной катушки W^{\prime} = LI^2/2, поэтому F = I^{2}(\mathrm dL/\mathrm dx)/2. Если положительным x выбрано увеличение зазора, L уменьшается и сила получается отрицательной: якорь притягивается в сторону уменьшения зазора. Этот знак следует из определения координаты, а не назначается после расчёта.
Для насыщенного материала метод фиксированной проницаемости сохраняет секущую проницаемость, найденную в исходном расчёте, а дифференциальная задача использует касательное отклонение. Команда mi_setprevious с prevtype = 1 выбирает дифференциальную проницаемость; prevtype = 2 — фиксированную проницаемость. Это разные физические эксперименты. Исходный файл .ans должен быть корректным решением нужной рабочей точки. Ни одна такая операция автоматически не делает уникальным разложение момента на магнитную и реактивную части. Силу проверяют независимым объёмным интегралом взвешенного тензора напряжений, когда выбранное тело имеет допустимое воздушное окружение.
Координата \delta положительна при увеличении зазора; отрицательная сила означает притяжение.
Порядок проверки результата
Численный пример ниже является аналитическим учебным эталоном. Его значения вычислены по указанным формулам; они не обозначают результат решения новой модели методом конечных элементов. Практикум связывает эталон с полевой задачей: сначала воспроизведите уже проверенный результат базового раздела, затем измените только один исследуемый параметр. Именно такое сравнение позволяет отделить ошибку программы от влияния геометрии, сетки и физического приближения. Сохраните исходную модель, рабочую копию и таблицу с заголовками величин. В подписи каждой величины укажите единицу, положительное направление и способ получения; для гармонических величин дополнительно укажите амплитудную нормировку. Если условие задачи не выполнено, остановите серию и сохраните причину отказа вместе с последним корректным состоянием.
Пояснение программы
Функция coenergy_j задаёт коэнергию в зависимости от зазора при неизменном токе current_a. Механические шаги выражены в метрах. Центральная разность оценивает производную коэнергии по зазору, то есть силу в направлении увеличения зазора. Переменная exact_force_n содержит независимую аналитическую производную. Сравнение выявляет ошибки знака, размерности и знаменателя до обращения к полевому решателю.
Фиксированная проницаемость и дифференциальный отклик
Сначала решается нелинейная рабочая точка. Фиксированная магнитная проницаемость сохраняет полученное состояние материала, дифференциальная описывает малое изменение около него.
Назовите, какую производную хотите получить: по току или по положению, и что удерживается постоянным. Разные операции не проверяют друг друга автоматически.
Истинную разностную производную нелинейной системы получите повторными полными решениями в соседних состояниях. Сравните её с локальной дифференциальной моделью.
При определении силы по коэнергии сохраняйте ток постоянным и переводите перемещение в метры. Если координата увеличивает зазор, притягивающая сила имеет отрицательный знак.
Границы применимости. Фиксированная магнитная проницаемость полезна для разложения вкладов источников, но не равна по определению касательной проницаемости. Совпадение возможно только при специальных условиях.
Разобранный численный пример
Вычисленный аналитический эталон
Дано. Для электромагнита предыдущего занятия C = \mu_0 N^2 S = 2{,}010619 \cdot 10^{-5} \,\text{Гн}\cdot \text{м}; \delta = 1 \,\text{мм}; I = 1 \,\text{А}.
W^{\prime} = C I^{2}/(2\delta) = 0{,}0100531 \,\text{Дж}.
При шагах 0,05 и 0{,}025 \,\text{мм} центральные разности дают -10{,}0783 и -10{,}0594 \,\text{Н}.
Ответ: Сила направлена к уменьшению зазора; уточнение шага приближает численную производную к -10{,}0531 \,\text{Н}.
Проверка: Относительная ошибка разности уменьшается приблизительно в четыре раза, как ожидается для гладкой функции.
Углублённый разбор
Замороженная проницаемость PM-машины: разложение поля и перекрёстный момент
Объект: совместное действие магнитов и обмотки в насыщенной стали
В PM-машине постоянные магниты и токи обмоток создают общее поле. Сталь насыщается именно этим общим полем. Если полностью отключить ток и заново решить нелинейную задачу, проницаемость изменится; результат такого решения нельзя затем линейно добавить к отдельному нелинейному решению с отключёнными магнитами. Обычный принцип суперпозиции справедлив для линейной системы с неизменными коэффициентами.
Метод замороженной проницаемости сначала сохраняет насыщенную рабочую точку, а затем фиксирует распределение секущей проницаемости по её конечным элементам. После этого при неизменной геометрии можно линейно разделять источники. Чтобы убрать магниты, обнуляют H_c, сохраняя их возвратную проницаемость и геометрию. Чтобы убрать токи, их задают равными нулю. Это диагностическое разделение в магнитном состоянии исходной точки, а не два независимых физических режима машины.
Замороженная секущая проницаемость отличается от дифференциальной проницаемости малосигнальной задачи. В FEMM 5 здесь используется mi_setprevious(base_ans,2); значение 1 относится к Incremental. Сетка и геометрия не меняются между исходной задачей и двумя разложениями. Сохранённый файл .ans исходной рабочей точки входит в переносимый комплект.
Сравниваются компоненты одного поля в одних точках. Сумма модулей не равна модулю суммы.
Почему моменты двух отдельных полей нельзя просто сложить
В воздушном зазоре касательное механическое напряжение Максвелла равно B_{\mathrm{rB}}\tau /\mu _{0}. Подстановка суммы двух полей в это произведение даёт собственный токовый член, собственный магнитный член и два перекрёстных произведения. Поэтому момент является квадратичной, а не линейной функцией поля. Линейность решения по источникам не превращает момент в линейную величину.
Разделение на «магнитный» и «реактивный» моменты требует явно выбранного определения и согласованного усреднения. Для этого опыта достаточно показать ненулевой перекрёстный остаток. Называть его универсальным чистым моментом магнитов либо переносить в другую насыщенную точку без нового базового решения нельзя. Официальный FrozenBenchmark демонстрирует разделение полей; не следует приписывать ему готовое универсальное разложение среднего момента.
Решено общее нелинейное поле whole.ans. Затем выполнены current-only с H_c=0 и pm-only с нулевыми фазными токами; обе задачи используют проницаемости whole.ans.
В 180 точках окружности r=59 мм, с отключённым сглаживанием, максимальная невязка векторной суммы составила 6,918·10⁻⁸ Тл, или 3,485·10⁻⁷ от максимального модуля общего поля.
WST-моменты трёх решений сохранены раздельно; их разность включает перекрёстный вклад. Указанное малое различие относится к суперпозиции B, а не к точности момента или истинности материала.
Ответ. Новый полевой опыт действительно подтверждает линейное разделение источников при одной замороженной насыщенной рабочей точке.
Проверка. Геометрия и сетка сохранены, изменены только источники, норма остатка вычислена по компонентам B_x и B_y.
Три задачи относительно одной рабочей точки
Запустите frozen_pm.py из полного комплекта. Сопоставьте число узлов и элементов трёх решений.
Постройте B_r и B\tau в зазоре для общего поля и суммы двух составляющих.
Покажите отдельно собственные и перекрёстные произведения при вычислении момента на одной воздушной окружности; уточните её дискретизацию.
Повторите опыт при другой нагрузке, каждый раз сначала выполняя новое нелинейное базовое решение.
Ожидаемый результат. Проверенное разложение поля и корректное объяснение перекрёстного момента.
Проверка. Не заменено H_c=0 заменой магнита воздухом; Frozen не смешан с Incremental; сумма модулей не используется вместо векторной суммы.
Три FEMM5-решения PM-машины с общей замороженной проницаемостью
3 новых решения методом конечных элементов; модель и все .ans включены в комплект.
"""Новый опыт Frozen Permeability в FEMM 5. Запускать встроенным Python.Модель nonlinear-ipm.fem рядом. Исходник не перезаписывается."""importmath,json,os,sysassertsys.implementation.name=='micropython'# FEMM CLI и команда запуска сохранённого файла передают его путь в sys.argv[0].# Локальные модели/таблицы ищутся возле программы, а не в случайной рабочей папке.importos_saved_file=globals().get('__file__')or(sys.argv[0]ifsys.argvelse'')ifnot_saved_fileornotos.path.isfile(_saved_file):raiseRuntimeError('Запустите сохранённый файл из полного распакованного комплекта командой FEMM Run Script; не вставляйте его частями в консоль.')os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(_saved_file)))try:os.mkdir('frozen-pm-output')exceptOSError:passphase=['Фаза А','Фаза В','Фаза С']# Физическая d-ось данной модели имеет электрическое смещение 90 градусов.id,iq=-3.,8.;theta=math.pi/2curr=[id*math.cos(theta-k*2*math.pi/3)-iq*math.sin(theta-k*2*math.pi/3)forkinrange(3)]defclose():fornamein['mo_close','mi_close']:try:globals()[name]()exceptException:passdefone(name,previous,only):close();opendocument('nonlinear-ipm.fem');mi_setprevious(previous,2ifpreviouselse0)fork,ninenumerate(phase):mi_modifycircprop(n,1,0ifonly=='pm'elsecurr[k])ifonly=='i':mi_modifymaterial('Постоянный магнит',3,0)path='frozen-pm-output/'+name+'.fem';mi_saveas(os.path.abspath(path))saved_cwd=os.getcwd();os.chdir('frozen-pm-output')try:mi_analyze(1);mi_loadsolution();mo_smooth('off');samples=[]forkinrange(180):a=2*math.pi*k/180;x=59*math.cos(a);y=59*math.sin(a);v=mo_getpointvalues(x,y)samples.append([float(v[1]),float(v[2])])mo_clearblock();mo_groupselectblock(2);T=float(mo_blockintegral(22));mo_clearblock()result={'model':path,'Bxy_T':samples,'T_WST_Nm':T,'elements':mo_numelements(),'nodes':mo_numnodes()}finally:os.chdir(saved_cwd)returnresultout={'scope':'Нелинейная рабочая точка, затем два линейных замороженных решения с одной сеткой. Сравниваются компоненты B. Складывать отдельные моменты без перекрёстного члена нельзя.','id_A':id,'iq_A':iq,'phase_currents_A':curr}out['whole']=one('whole','',None)base='whole.ans'# относительный путь от папки FEM-файла; solver запускается в нейout['current_only']=one('current-only',base,'i');out['pm_only']=one('pm-only',base,'pm')errors=[];peak=0forwhole,a,binzip(out['whole']['Bxy_T'],out['current_only']['Bxy_T'],out['pm_only']['Bxy_T']):errors.append(math.sqrt((whole[0]-a[0]-b[0])**2+(whole[1]-a[1]-b[1])**2));peak=max(peak,math.sqrt(whole[0]**2+whole[1]**2))out['max_vector_residual_T']=max(errors);out['relative_to_peak_B']=max(errors)/peakout['torque_cross_residual_Nm']=out['whole']['T_WST_Nm']-out['current_only']['T_WST_Nm']-out['pm_only']['T_WST_Nm']out['passed']=out['relative_to_peak_B']<.002close()withopen('frozen-pm-result.json','w')asf:json.dump(out,f)print('Frozen PM',out['max_vector_residual_T'],out['relative_to_peak_B'],out['passed'])assertout['passed']
Границы модели.
Постановка опыта следует официальному FrozenBenchmark; использована собственная прежняя нелинейная IPM-геометрия курса. Введение в насыщение и вывод перекрёстного момента самостоятельные. Расчёт не является проверкой динамики гистерезиса либо регулятора.
Сначала определите положительную координату движения и знак силы в отчёте.
Выполните базовый статический расчёт, затем два перемещения якоря при неизменном токе.
Для каждого положения выберите все необходимые области поля и вычислите коэнергию mo_blockintegral(17).
Получите центральную производную, переведя шаг из миллиметров в метры. Повторите с половинным шагом.
Выберите только тело якоря и сравните составляющую силы с интегралом взвешенного тензора: 18 для x, 19 для y.
Для отдельного эксперимента сохраните рабочее .ans и задайте mi_setprevious(...,1) либо (...,2). В подписи результата укажите выбранный тип.
Ожидаемый результат. Два способа определения силы и два шага виртуального перемещения; тип проницаемости обозначен явно.
Как проверить. Неизменность физических токов проверена; согласованы знак координаты и единица производной.
Обработка и анализ результатов
Как выбранная проницаемость и шаг влияют на проверку производной?
Сохраните силы и энергетические разности двух шагов при одинаковом рабочем состоянии.
Проверьте знак, единицу и геометрический множитель силы или момента; выполните сравнение, предусмотренное именно этим практикумом.
С чем сравнить. Опора — тензор напряжений, взвешенный интеграл и энергетическая производная из занятия. Укажите удерживаемую величину, знак координаты и границу применимости аналитического зазорного предела.
Итог работы. Сопоставление методов с объяснением фиксированной и дифференциальной линеаризаций.
Код выполняется во встроенном Python FEMM 5. Он проверяет приведённый аналитический вывод; получение полевых данных выполняется отдельным практикумом с указанной моделью.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Фиксированная и дифференциальная проницаемости: силы и проверка производных.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Аналитический учебный пример; полевой решатель не вызывается.Параметры, единицы величин и порядок вывода пояснены по стадиям."""importmath# Постоянная C = μ₀·N²·S в согласованных единицах СИ; L = C/g.# Здесь проверяется производная аналитической коэнергии, а не режим проницаемости FEMM.constant=4*math.pi*1e-7*200**2*4e-4current_a,gap_m=1.0,0.001# Коэнергия, Дж, как функция зазора, м; ток во всех состояниях сохраняется.defcoenergy_j(gap):returnconstant*current_a**2/(2*gap)# Независимая производная даёт силу, Н. Отрицательный знак означает уменьшение зазора.exact_force_n=-constant*current_a**2/(2*gap_m**2)# Сравниваем два механических шага. Для переноса геометрии FEMM шаг переводят в мм.forstep_min[0.00005,0.000025]:force_n=(coenergy_j(gap_m+step_m)-coenergy_j(gap_m-step_m))/(2*step_m)# Порядок вывода: шаг, м; разностная сила, Н; точная аналитическая сила, Н.print(step_m,force_n,exact_force_n)
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Магнитная система с несколькими обмотками описывается не одной величиной L, а отображением вектора токов в вектор потокосцеплений. При насыщении это отображение нелинейно; рабочая точка определяет отклик на малое возмущение.
Фрагмент таблицы Р4.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Рисунок 17.11. Визуализация численных данных FEMM 5: Нелинейный магнитопровод. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Условная учебная кривая B(H), заданная в файле; это не характеристики промышленной стали. Статическая индуктивность (наклон секущей) и динамическая индуктивность (наклон касательной) при насыщении различаются.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 17.12. Интегральная энергия всей магнитной системы; выделение включает катушку и окружающий воздух. Открыть в полном размереРисунок 17.13. Учебная нелинейная B–H-характеристика: подтверждение введённых точек и их единиц. Открыть в полном размереРисунок 17.14. Поле нелинейного двухобмоточного сердечника при первичном токе 3 А. Открыть в полном размереРисунок 17.15. Геометрия: электромагнит с двумя зазорами и отдельным якорем Открыть в полном размереРисунок 17.16. Распределение магнитной индукции: электромагнит с двумя зазорами и отдельным якорем При открытии сохранённого решения FEMM сообщает Multiply Defined Regions. Кадр показывает интерфейс и картину поля; количественные результаты требуют проверки задания областей. Открыть в полном размереРисунок 17.17. Сила на отдельном якоре по взвешенному тензору напряжений. Сохранённая модель выдаёт предупреждение Multiply Defined Regions. Показанные компоненты силы иллюстрируют работу постпроцессора; перед количественным сравнением нужно проверить задание областей и сходимость. Открыть в полном размереРисунок 17.18. Встроенная консоль FEMM: Фиксированная и дифференциальная проницаемости: силы и проверка производных. Аналитическая проверка программы занятия. Показана консоль исходной редакции программы, зафиксированной при съёмке. Текущая программа с русскими пояснениями проверена отдельно во встроенном Python FEMM; этот снимок не является новым запуском текущей редакции. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Получите силу при двух токах и двух зазорах, сравните масштаб I^{2}/\delta^{2} и объясните отклонения насыщенной модели.
Критерий выполнения: Сила вычислена двумя способами; шаг и сетка проверены; знаки, области интегрирования и использование предыдущего решения описаны.
