Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Обоснование численной устойчивости выбранной характеристики
Инженерный вопрос. Можно ли отделить влияние сетки от границы и шага положения?
Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выберите одну защищаемую величину и различите погрешности сетки, внешней области и дискретизации положения. Точность линейного решателя не заменяет эти проверки.
Ответить на вопрос по своим результатам. Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Раздельные таблицы уточнения и обоснованный выбор параметров серии.
Данные именно этого опыта. Сохраните параметры каждого уточнения и изменения одной контрольной величины.
Оформление наблюдений. Таблица параметра уточнения, числа элементов и одной неизменной по определению величины; отдельная серия для каждого источника численного изменения.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Независимые сеточная и граничная серии; допуск и масштаб заданы до выбора результата.
Независимый контроль. Используйте последовательное уточнение и независимый физический предел; одно совпадение двух грубых сеток недостаточно для оценки порядка сходимости.
Критерий выполнения. Есть три сетки, число элементов, отдельная проверка области, критерий каждой величины и объяснение выбора.
Точность и расхождения. Выполните уровни и допуск, прямо заданные практикумом. Иначе укажите требуемую точность по инженерной задаче до сравнения; изменение соседних решений является оценкой устойчивости, а не доказанной полной погрешностью.
Основание сравнения. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.
Вывод для устройства
Выберите достаточно экономную сетку для требуемой характеристики и покажите, почему именно её устойчивость достаточна для последующего решения.
Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.
Дополнительный расчётный метод
Гладкий зазор: аналитическая проверка поля и независимых источников ошибки
Сопоставление с точным полем гладкого зазора позволяет отдельно измерить ошибку сетки, дискретизации возбуждения и затухания гармоник.
Автоматизированное исследование включает проверку влияния сетки, размера расчётной области и шага изменения параметра. Раздельное уточнение этих величин позволяет оценить устойчивость результата и обосновать настройки расчёта.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Сходимость по сетке исследуется при неизменных материале, внешней области, возбуждении и положении ротора. Иначе изменение результата невозможно связать с одним источником погрешности. Размер элемента управляет пространственным разрешением; точность нелинейного решателя и шаг угла — другие параметры, поэтому они проверяются отдельными сериями.
Для ненулевой величины относительное изменение двух последних приближений нормируют к уточнённому результату. Около нуля вводят заранее выбранный физический масштаб: малый зубцовый момент нельзя оценивать процентом от случайного почти нулевого числа. Три сетки показывают устойчивость тенденции, но не автоматически задают порядок сходимости. Силы и момент обычно чувствительнее потокосцепления, поскольку зависят от производных либо квадратичных полевых выражений. Внешнюю границу проверяют отдельным увеличением воздушного окружения при сопоставимой локальной сетке.
q_{2} и q_{3} — среднее и уточнённое решения; масштаб назначается до просмотра результата.
Порядок проверки результата
Численный пример ниже является аналитическим учебным эталоном. Его значения вычислены по указанным формулам; они не обозначают результат решения новой модели методом конечных элементов. Практикум связывает эталон с полевой задачей: сначала воспроизведите уже проверенный результат базового раздела, затем измените только один исследуемый параметр. Именно такое сравнение позволяет отделить ошибку программы от влияния геометрии, сетки и физического приближения. Сохраните исходную модель, рабочую копию и таблицу с заголовками величин. В подписи каждой величины укажите единицу, положительное направление и способ получения; для гармонических величин дополнительно укажите амплитудную нормировку. Если условие задачи не выполнено, остановите серию и сохраните причину отказа вместе с последним корректным состоянием.
Пояснение программы
Защитный масштаб scale_wb предотвращает деление на почти нулевое потокосцепление. Элементы списка с индексами 1 и 2 соответствуют двум последним сеткам. Умножение на 100 переводит относительное расхождение в проценты. Сравнение с 0,01 проверяет учебный допуск только для потокосцепления; сходимость силы, момента и размеров внешней области исследуют отдельно.
Независимые циклы уточнения
Скрипт должен изменять только один численный параметр за один эксперимент, сохраняя физическую постановку.
Постройте внешний цикл по размеру сетки при фиксированных угле и внешней границе. Записывайте число элементов и целевую величину, а не только запрошенный размер.
Отдельно выполните серию по размеру воздушной области. Затем при достаточно точной сетке измените угловой или токовый шаг.
Применяйте критерий по нескольким значимым величинам. Интегральная энергия может стабилизироваться раньше момента, локального поля или потерь.
Проверяемый результат; единица определяется выбором результата
по результату
W
Магнитная энергия
Дж
T
Электромагнитный момент
Н·м
Границы применимости. Одинаковая точность линейного решателя на разных сетках не означает одинаковую физическую точность. Сеточную, итерационную и параметрическую ошибки фиксируйте отдельно.
Пояснения к официальному руководству
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Какие системы и алгоритмы действительно использует FEMM 5
В FEMM используются итерационные методы подпространств Крылова для разреженных систем. Для обычной вещественной положительно определённой системы применяется метод сопряжённых градиентов с предобусловливанием (PCG). Симметрия матрицы сама по себе не гарантирует положительную определённость. В частности, ограничение заданного потокосцепления или полного тока может добавить строку множителя Лагранжа и сделать симметричную систему неопределённой; тогда применяется метод квазиминимальных невязок (QMR).
Гармоническая задача даёт комплексно-симметричную матрицу: транспонирование её не меняет, но транспонирование с комплексным сопряжением обычно меняет. Обычный вещественный PCG или его эрмитов вариант к такой системе нельзя переносить автоматически. Руководство указывает комплексно-симметричный метод бисопряжённых градиентов (BCG). Для нелинейной гармоники над решением этих систем выполняется внешняя итерация Ньютона. Таким образом, внутренняя алгебраическая сходимость, нелинейная сходимость материала и согласование внешней электрической цепи — три разных проверки.
Комплексная симметрия и эрмитовость — разные свойства
\mathbf K^T=\mathbf K,\qquad\mathbf K^{\dagger}=\overline{\mathbf K}^{\,T},\qquad\mathbf K^{\dagger}\ne\mathbf K\ \text{в общем случае}
Гармоническая матрица FEMM комплексно-симметрична; обычная версия метода сопряжённых градиентов для эрмитовой положительно определённой матрицы к ней напрямую не применяется.
Обозначения и единицы
\mathbf K — комплексная матрица дискретной задачи; T — транспонирование; черта — комплексное сопряжение; \dagger — сопряжённое транспонирование. Размерность элементов определяется физической постановкой.
Условия применения. Последнее неравенство характеризует общий гармонический случай; отдельная матрица может обладать дополнительной симметрией.
Исходник использует A=A^{T} и A=A*; в курсе матрица обозначена K, а * раскрыта как сопряжённое транспонирование, чтобы не путать её с магнитным потенциалом.
Предобусловливатель текущей версии — неполное разложение LDL ^{T} с пороговым заполнением. L имеет единичную диагональ, D хранит величины и знаки диагональных элементов; квадратные корни не нужны. Для ограничения памяти сохраняется только ограниченное число достаточно значимых элементов. Разложение строится один раз для очередной сборки и используется на её итерациях. Для сравнения предобусловливателей рассмотрите SSOR и неполное разложение без дополнительного заполнения; основной алгоритм FEMM использует пороговое заполнение.
Предобуславливатель сохраняет ограниченное заполнение, а D несёт знаки диагональных множителей. Квадратные корни не требуются, поэтому одна схема может использоваться и при потере положительной определённости из-за ограничений цепей.
Обозначения и единицы
\mathbf L — нижнетреугольный множитель с единичной диагональю; \mathbf D — диагональный множитель. Масштабы множителей выбираются согласованно с матрицей \mathbf K.
Условия применения. Знак приближения существенен: факторизация неполная, с порогом и ограничением числа сохраняемых элементов.
Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.
При сборке хранят диагональ и верхний треугольник разреженной матрицы, что удобно при присоединении уравнений цепей и объединении периодических узлов. Перед решением формируется полная копия в формате сжатых разреженных строк (CSR), используемая в умножении матрицы на вектор. Обратная нумерация Катхилла–Макки уменьшает разброс ненулевых элементов относительно диагонали; в описанной версии эту нумерацию выполняет генератор сетки, а не отдельная стадия решателя.
Решатели в этом руководстве намеренно однопоточные. Это свойство реализации объясняется стоимостью неполного разложения и последовательных треугольных проходов. Поэтому число логических процессоров не является ожидаемым коэффициентом ускорения одного расчёта. Упоминаемая автором побитовая повторяемость относится к одинаковому запуску в согласованном окружении; она не гарантирует тождество между другими версиями, платформами, сетками или библиотеками. В отчёте сохраняют версию, входные данные и параметры расчёта.
Типовая структура симметричной системы с ограничением c^{T}u = q и множителем Лагранжа \lambda. Это иллюстрация причины неопределённости, а не универсальная точная матрица любого типа цепи FEMM.
\mathbf r=\mathbf f-\mathbf K\mathbf u,\qquad \mathbf e=\mathbf K^{-1}\mathbf r
Связь невязки и алгебраической ошибки при обратимой K. Малость невязки без учёта обусловленности не даёт той же относительной ошибки поля; ошибка модели в это равенство вообще не входит.
Проверьте на своей модели
Не объясняйте отсутствие загрузки всех ядер неисправностью модели: сначала проверьте, какой решатель и версия используются.
В нелинейной связанной задаче отдельно сохраняйте критерий полевого решателя, невязку внешней цепи и контроль мощности.
Описание SSOR из материалов по старым версиям FEMM не подменяет описание LDL ^{T} текущего руководства.
Выберите одну машину и один токовый режим. Сохраните одинаковые параметры во всех трёх файлах модели FEMM.
Назначьте размеры элементов в зазоре и критических областях. Для меток используйте mi_setblockprop с отключённым автоматическим размером, если требуется явный шаг.
Запустите три анализа. Сохраните число элементов через mo_numelements и проверяемые \Psi, энергию либо момент.
Сформируйте относительное изменение двух последних результатов; при малом q используйте абсолютный допуск.
С отдельной серией удвойте внешнюю область. Не меняйте одновременно зазор или материал.
Покажите таблицу, а затем график q от размера элемента. Укажите, какой результат принят и почему.
Ожидаемый результат. Таблица позволяет принять конкретную сетку для конкретной величины, а не объявить всю модель точной.
Как проверить. Независимые сеточная и граничная серии; допуск и масштаб заданы до выбора результата.
Обработка и анализ результатов
Можно ли отделить влияние сетки от границы и шага положения?
Сохраните параметры каждого уточнения и изменения одной контрольной величины.
Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.
С чем сравнить. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.
Итог работы. Раздельные таблицы уточнения и обоснованный выбор параметров серии.
Аналитическая проверка таблицы. Настройка сеток и получение реальных значений выполняются в рабочей FEM-модели.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Проверка последней пары сеток.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Аналитический учебный пример; полевой решатель не вызывается.Параметры, единицы величин и порядок вывода пояснены по стадиям."""# Учебные потокосцепления, Вб, получены для трёх последовательно сгущённых сеток.# Эти числа служат эталоном алгоритма проверки, а не результатом нового решения.values=[0.240,0.246,0.247]# Защитный масштаб в Вб исключает деление на почти нулевое значение.scale_wb=0.01# Сравниваем две последние сетки; получаем относительное расхождение в долях единицы.relative=abs(values[2]-values[1])/max(abs(values[2]),scale_wb)print("Расхождение, %:",100*relative)# Допуск 1 % относится только к потокосцеплению; силу и момент проверяют отдельно.print("Учебный критерий выполнен:",relative<=0.01)
Расчётное исследование и разбор результатов
Эти материалы продолжают практикум: постановка, программа встроенного Python, сохранённые численные результаты и проверка их смысла. Графики строятся по результатам FEMM 5.
Эта машина отличается от 16-полюсного образца AGE: в собственной геометрии курса четыре полюса, 12 пазов и две пары полюсов. Период основной магнитной системы составляет 180 механических градусов. Ротор поворачивается как группа геометрии с перестроением сетки: отсутствующая в файле граница скользящего зазора не имитируется вызовом API.
Фрагмент таблицы Р5.2. Сохранённые результаты FEMM 5
Отсчёты
Ψ₁ фазы А, Вб
Ψ₃ фазы А, Вб
Ψ₅ фазы А, Вб
48
0,3413
0,02979
0,007825
96
0,3413
0,02979
0,007827
192
0,3413
0,02979
0,007826
Отсутствие повторения конца периода: последний угол, {}^\circ: 179,8; критерий: < 180
Относительное изменение \Psi _{1} при 192→768 отсчётах: 2,826 × 10⁻⁶; критерий: < 0,001
Сначала изучите постановку и таблицу результатов. Программу серии расчётов разбирайте после введения во встроенный Python.
Рисунок 13.12. Визуализация численных данных FEMM 5: Воздушная катушка. Это экспорт результатов поля, а не снимок окна программы.
Осесимметричная учебная модель. Независимо проверены изменения сетки и внешнего радиуса; аналитическая модель тонкостенного соленоида служит отдельным приближённым ориентиром.
Ориентиры в интерфейсеРисунок 13.13. Треугольная конечно-элементная сетка катушки в воздухе. В областях проводников элементы мельче, чем у внешней границы расчётной области. Открыть в полном размереРисунок 13.14. Поле воздушной катушки: осесимметричный магнитостатический эталон FEMM 5. Открыть в полном размереРисунок 13.15. Геометрия: поверхностные постоянные магниты и проверенная трёхфазная обмотка Открыть в полном размереРисунок 13.16. Распределение магнитной индукции: поверхностные постоянные магниты и проверенная трёхфазная обмотка Открыть в полном размереРисунок 13.17. Машина с поверхностными постоянными магнитами: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 13.18. Машина с поверхностными постоянными магнитами: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.19. Машина со встроенными постоянными магнитами: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 13.20. Машина со встроенными постоянными магнитами: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.21. Синхронная машина с неявнополюсным ротором: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 13.22. Синхронная машина с неявнополюсным ротором: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.23. Синхронная машина с явнополюсным ротором: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 13.24. Синхронная машина с явнополюсным ротором: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.25. Синхронная реактивная машина: выбранная сетка воздушного зазора. Дополнительные окружности в воздушном кольце задают области объёмного радиального усреднения при проверке момента методом Арккио. Открыть в полном размереРисунок 13.26. Синхронная реактивная машина: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.27. Вентильно-индукторная машина: исходное положение: выбранная сетка воздушного зазора. Дополнительные окружности в воздушном кольце задают области объёмного радиального усреднения при проверке момента методом Арккио. Открыть в полном размереРисунок 13.28. Вентильно-индукторная машина: исходное положение: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.29. Вентильно-индукторная машина: смещённый ротор: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 13.30. Вентильно-индукторная машина: смещённый ротор: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.31. Машина постоянного тока: выбранная сетка воздушного зазора. Открыть в полном размереРисунок 13.32. Машина постоянного тока: момент ротора на выбранной сетке. Открыть в полном размереРисунок 13.33. Профиль |B| через стержни и окно: сглаживание выключено. Контур от (−45; 15) до (45; 15) мм, 400 точек. Position — расстояние от начала контура в мм; |B| — магнитная индукция в Тл. Единицы восстановлены по модели и выбранной величине: само окно FEMM их не печатает. Открыть в полном размереРисунок 13.34. Профиль |B| через стержни и окно: сглаживание включено. Контур от (−45; 15) до (45; 15) мм, 400 точек. Position — расстояние от начала контура в мм; |B| — магнитная индукция в Тл. Единицы восстановлены по модели и выбранной величине: само окно FEMM их не печатает. Открыть в полном размереРисунок 13.35. Встроенная консоль FEMM: Автоматический контроль сетки и независимых параметров. Аналитическая проверка программы занятия. Показана консоль исходной редакции программы, зафиксированной при съёмке. Текущая программа с русскими пояснениями проверена отдельно во встроенном Python FEMM; этот снимок не является новым запуском текущей редакции. Открыть в полном размере
Самостоятельная работа
Сравните сходимость \Psi и момента на одной машине. Выберите минимальную сетку, удовлетворяющую обоим назначенным критериям.
Критерий выполнения: Есть три сетки, число элементов, отдельная проверка области, критерий каждой величины и объяснение выбора.
