Занятие 11.3
Цель. Разделить проводящий и ёмкостный токи гармонического эталона.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Расчётная лабораторная работа · Согласование комплексного отклика и средней мощности
Инженерный вопрос. Как частота меняет действительную и мнимую части тока?
Сопротивление, распределение тока, потери и электромагнитное усилие нужны для выбора сечения, контактного пути и последующего расчёта нагрева или механической нагрузки.
Лабораторная работа:
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Обосновать постановку и способ измерения. Зафиксируйте частоту, фазовый нуль и амплитудную либо действующую нормировку; отдельно запишите действительную и мнимую части уравнения.
Проводимость и ток смещения в одной гармонике — аналитический эталон. Проверьте комплексное произведение для мощности и физический смысл фазы на численном примере.
Решите проводящий диэлектрик при 0, 1000 и 2000 Гц; сравните действительную и мнимую части тока.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите комплексные токи и средние мощности трёх частот при одном напряжении.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте действительную и мнимую части отдельно, затем фазу и мощность; явно сохраните амплитудную либо действующую нормировку.
Результат этого занятия. Частотная таблица с проверкой постоянного предела и нормировки мощности.
Данные именно этого опыта. Сведите комплексные токи и средние мощности трёх частот при одном напряжении.
Оформление наблюдений. Частота, \operatorname{Re} и \operatorname{Im} входных и выходных величин, единицы, нормировка и средняя мощность; модуль без фазы недостаточен.
Проверка из практикума. При f\to 0 ёмкостная составляющая исчезает. Фазовый угол и коэффициент 1/2 проверяются отдельно от модуля. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Сопоставьте комплексное уравнение целиком, отдельно баланс активной мощности и допустимый низкочастотный или постоянный предел.
Критерий выполнения. При 1000 Гц \widehat I=0{,}1+j2{,}22530011\,\mathrm{мкА}, P=5 мкВт для амплитуды 100 В; предел f\to 0 воспроизводит DC.
Точность и расхождения. Используйте модуль комплексной разности, а не разность модулей. Для исчезающей компоненты приводите абсолютное расхождение и фиксированный физический масштаб.
Основание сравнения. Опора — комплексные уравнения и определение средней мощности из занятия. Не смешивайте амплитудные и действующие значения и не заменяйте комплексную невязку одной разностью модулей.
Объясните, как фазовый отклик влияет на параметр цепи, реактивную составляющую или потери в исследуемом режиме.
Границы вывода. Эквивалентные слои контакта и идеальные проводники требуют обоснованных свойств. Двумерная активная длина не включает автоматически реальные присоединения и торцевое распределение тока.
В гармонической электроквазистатической постановке комплексная плотность полного тока определяется выражением (\sigma +j\omega \varepsilon )E. Применимость скалярного потенциала требует обоснованного пренебрежения магнитной индуктивной связью.
В электроквазистатической гармонике комплексная плотность полного тока равна (\sigma +j\omega \varepsilon )E. Скалярная постановка пренебрегает магнитной индуктивной связью; она пригодна, когда это приближение обосновано.
Диэлектрические потери задаются комплексной проницаемостью в согласованной временной конвенции. Активная мощность при пиковых амплитудах содержит коэффициент 1/2; действующие значения используют другую нормировку.
Разделите активную проводимость и ёмкостную восприимчивость, вычислите комплексный ток и среднюю мощность.
\omega =2\pi \cdot 1000\,\mathrm{рад/с}; G=10^{-9}\,\mathrm{См}, B=2{,}2253001109\cdot 10^{-8}\,\mathrm{См}.
Комплексная амплитуда тока равна 10^{-7}+j2{,}2253001109\cdot 10^{-6}\,\mathrm{А}.
Средняя активная мощность равна 5·10⁻⁶ Вт. Для \mathrm{RMS}=100\,\mathrm{В} мощность была бы вдвое больше: 10 мкВт.
Границы применимости. Электроквазистатическая постановка учитывает проводимость и ток смещения. Индуктивное вытеснение тока требует магнитной модели; это не полный волновой решатель.
Решите проводящий диэлектрик при 0, 1000 и 2000 Гц; сравните действительную и мнимую части тока.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
При 1000 Гц \widehat I=0{,}1+j2{,}22530011\,\mathrm{мкА}, P=5 мкВт для амплитуды 100 В; предел f\to 0 воспроизводит DC.
При f\to 0 ёмкостная составляющая исчезает. Фазовый угол и коэффициент 1/2 проверяются отдельно от модуля.
В current-flow нельзя рассчитывать скин-эффект путём одного повышения частоты: для него нужна магнитная индукционная постановка.
Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.
Одна и та же двумерная геометрия допускает несколько физических постановок. Магнитный модуль учитывает электромагнитную индукцию и токи проводимости, пренебрегая током смещения; электростатический модуль описывает поле неподвижных зарядов. Модуль протекания тока учитывает токи проводимости и смещения в приближении, исключающем существенное влияние магнитной индукции, а тепловой модуль решает задачу теплопроводности. В каждом случае выбирается плоскопараллельная или осесимметричная геометрия. Такой выбор не расширяет состав физических явлений: пространственное распределение общего вида, распространение электромагнитных волн и гидродинамика требуют других моделей.
Обозначения и единицы
Условия применения. Исходное уравнение Максвелла перед квазиэлектростатическим упрощением. Нельзя одновременно выкинуть ток смещения и ожидать ёмкостной составляющей тока.
Обозначения и единицы
Условия применения. Уравнение приведено как часть исходной системы Максвелла. Для оценки индуктивности и магнитного вытеснения тока нужен магнитный модуль, а не только Current Flow.
Обозначения и единицы
Условия применения. Пренебрежение правой частью обосновывают масштабами задачи; одно лишь название «низкая частота» не гарантирует малости индуктивного эффекта.
Обозначения и единицы
Условия применения. Сохраняется связь с локальным зарядом; это не предписание независимо назначать произвольную \rho в том же токовом решении, где она определяется потенциалом и свойствами.
Обозначения и единицы
Условия применения. Линейный локальный закон. В анизотропном материале \sigma является тензором; скалярное выражение применяют вдоль соответствующей главной оси.
Обозначения и единицы
Условия применения. Линейное материальное соотношение в выбранном частотном режиме; для потерь и анизотропии учитывают комплексные коэффициенты по направлениям.
Обозначения и единицы
Условия применения. Производные понимаются в обычном смысле внутри гладкой области и в слабом смысле на интерфейсах. Поверхностные источники требуют соответствующих условий скачка.
Обозначения и единицы
Условия применения. Токовый баланс включает обе составляющие. Только в постоянном режиме из него непосредственно следует \operatorname{div} J=0.
Обозначения и единицы
Условия применения. Квазиэлектростатика: индукционный вклад -\partial A/\partial t достаточно мал. При выраженном скин-эффекте магнитного происхождения требуется иная постановка.
Обозначения и единицы
Условия применения. Установившаяся квазиэлектростатика, \exp (j\omega t), без объёмного стороннего источника в рассматриваемой области. Для анизотропии коэффициент является тензором.
Шляпка у V добавлена для явного обозначения комплексной амплитуды; исходный математический оператор сохранён.
Обозначения и единицы
Условия применения. Требуются локально постоянные скалярные \sigma и \varepsilon. При плавно меняющемся коэффициенте возникает дополнительный член с его градиентом; при анизотропии обычный скалярный лапласиан недостаточен.
В оригинале сказано «piece-wise continuous». Для указанного вынесения коэффициента этого недостаточно: здесь явно требуется его кусочное постоянство, а на интерфейсах используется дивергентная постановка.
Обозначения и единицы
Условия применения. Постоянный режим, локально однородная изотропная область с \sigma >0. Идеальная область \sigma =0 при f=0 сама по себе не даёт уравнения для определения её потенциала через проводимость.
В магнитостатике исходными соотношениями служат ротор H, равный плотности свободного тока, и нулевая дивергенция B. Запись B = \operatorname{rot} A автоматически выполняет второе соотношение. При нелинейном материале следует оставлять проницаемость внутри дифференциального оператора. Заменить его постоянным множителем перед лапласианом допустимо лишь в однородной линейной изотропной области. Постоянный магнит требует дополнительного источника в материальном законе, как разобрано в занятии 8.4.
В магнитной гармонике используется временной множитель \exp (j\omega t). Проводящий ток складывается из вклада изменения векторного потенциала и вклада продольного электрического градиента потенциала. Последний обеспечивает ограничения полного тока в проводящих телах и цепях. Если оставить только слагаемое -j\omega \sigma A, можно получить неверный полный ток даже при визуально правдоподобном распределении вихревых токов. Отдельно заданную плотность возбуждения не следует второй раз включать в индуцированную составляющую.
В электростатике потенциальность E автоматически выполняет безвихревое условие Фарадея. В пояснении к (1.19) оригинал называет его законом Ампера; математически здесь используется именно \operatorname{rot} E = 0. Для кусочно неоднородной или анизотропной среды правильна дивергентная форма уравнения, а не одна глобальная постоянная \varepsilon перед лапласианом. В тепловом модуле величина G руководства равна -\operatorname{grad} T: это противоположность обычному математическому градиенту температуры. Плотность теплового потока F направлена от горячего к холодному.
В формулах СИ плотность магнитного тока J имеет единицу А/м², объёмный электрический заряд \rho — Кл/м³, объёмное тепловыделение q — Вт/м³; это разные типы источников. Абсолютные коэффициенты \mu, \varepsilon, k и \sigma имеют единицы Гн/м, Ф/м, Вт/(м·К) и См/м. Поля интерфейса могут использовать кратные единицы, например МСм/м для проводимости магнитного материала; перед подстановкой в формулы их переводят в СИ. Электрический ток через вывод в амперах и объёмная плотность тока не взаимозаменяемы без площади и распределения.
Графическая оболочка femm_gui и движок femm_headless готовят и обрабатывают документы; fkn, belasolv, hsolv и csolv решают соответственно магнитные, электростатические, тепловые и токовые задачи. Генератор сетки tangle интегрирован в решатели. Поэтому отсутствие видимого окна само по себе не меняет физическую постановку, а успешный запуск оболочки ещё не подтверждает получение решения. Документ с исходными данными и файл результата должны соответствовать одной версии геометрии и свойств.
Проверьте на своей модели
В Current Flow частота задаёт статический или установившийся гармонический режим. Материал содержит \sigma _{x},\sigma _{y} в См/м, относительные \varepsilon _{x},\varepsilon _{y} и отдельные Loss Tangent по направлениям. Эти \sigma отличаются единицей от магнитного диалога, где используется МСм/м. При f=0 ёмкостная составляющая исчезает.
Для диэлектрика с потерями руководство трактует введённую \varepsilon как модуль комплексной проницаемости. Loss Tangent — \tan \delta, безразмерное число, а не угол \delta в градусах. Угол получают как \arctan (\tan \delta ). Если в документации изготовителя указана действительная часть \varepsilon ', модуль нужно предварительно восстановить: |\varepsilon |=\varepsilon '√(1+\tan ^{2}\delta ). При малых потерях разница мала, но переносить такую приближённую замену на большой \tan \delta нельзя.
Обозначения и единицы
Условия применения. Линейный диэлектрик на заданной частоте, конвенция \exp (j\omega t). Индекс направления опущен; при анизотропии каждое направление имеет свой модуль и угол.
Тильда введена как признак комплексной величины. Звёздочка не используется: в формулах мощности она означает комплексное сопряжение.
Обозначения и единицы
Условия применения. Для обычного пассивного диэлектрика с положительной \varepsilon ' выбирают ветвь 0\le \varphi <\pi /2. Проводимость \sigma учитывается отдельно: повторное включение тех же потерь в \sigma и \tan \varphi приводит к двойному счёту.
Рисунок М.2.56. Диалог «Свойства материала»
В отличие от магнитного диалога проводимость здесь вводят в См/м. Поля Loss Tangent содержат тангенс угла, а не градусы; для материала с потерями указанная относительная \varepsilon трактуется руководством как модуль комплексной проницаемости. Раздельные поля позволяют описать различия двух направлений.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Для каждого направления комплексная проводимость складывается из обычной \sigma и диэлектрического вклада. Не добавляйте повторно эквивалентные диэлектрические потери в \sigma, если они уже учтены \tan \delta. Такой токовый модуль не включает индуктивное магнитное вытеснение тока; увеличение частоты не заменяет вихретоковую магнитную постановку.
Обозначения и единицы
Условия применения. Линейная квазиэлектростатическая гармоника с диагональными материальными коэффициентами в координатах модели. Не включает индуктивный скин-эффект; одни и те же диэлектрические потери учитываются только один раз.
Сохранены обе строки исходного номера (2.21). Модули относительных \varepsilon и отдельные углы \varphi _{x}, \varphi _{y} обозначены явно, поскольку интерфейс задаёт их независимо; это устраняет неоднозначность общего \varphi в оригинале.
Boundary поддерживает Fixed Voltage, Mixed BC, Surface Current Density, Periodic и Anti-Periodic. Conductor Properties задаёт либо полный ток вывода, либо его напряжение, а вторую величину вычисляет. Раздельные поверхности с одним именем образуют общий эквипотенциальный вывод с суммарным током; геометрический разрыв сам по себе не означает электрической независимости.
Рисунок М.2.55. Диалог «Свойства границы»
Действительная и мнимая части задают одну комплексную амплитуду напряжения при общей частоте. По ним восстанавливаются модуль и фаза одного гармонического потенциала. Для DC оставляют действительное значение; для AC сохраняют принятую амплитудную нормировку.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Проверьте на своей модели
X-Y Plot различает V; модуль, нормальную и касательную компоненты полного тока J; аналогичные компоненты E; отдельно ток проводимости J_c и ток смещения J_d. Для проверки закона сохранения используйте полный комплексный J. Суммирование модулей J_c и J_d не равно модулю их комплексной суммы.
Рисунок М.2.60. Кнопки панели графических режимов
Показывайте вместе с изображением имя выбранной величины: потенциал V, поле E или плотность тока J. В комплексном режиме модуль скрывает фазу; по одной цветовой карте нельзя восстановить активную и ёмкостную части тока.
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Рисунок М.2.62. Диалог «График X–Y»
На самом скриншоте выбран потенциал V, хотя меню также позволяет исследовать полный ток J и его проводящую и диэлектрическую составляющие. При сравнении компонент складывайте комплексные значения; сумма модулей J_c и J_d обычно не равна модулю полного J.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Линейные интегралы дают разность напряжений E\cdot t, полный ток J\cdot n, длину/площадь контура и среднее напряжение линии. Блоковые результаты включают Real Power, Reactive Power, Apparent Power, Time-Average Stored Energy, площадь и объём. Это разные показатели: активная мощность характеризует средние потери, реактивная — обмен энергией, полная — сочетание активной и реактивной составляющих.
Conductor Properties показывает напряжение и ток выбранного вывода. Для проверки мощности определите положительное направление тока, сравните баланс выводов с объёмными потерями и сохраните нормировку комплексных величин. При пиковых амплитудах средняя активная мощность содержит 1/2; при действующих значениях этот множитель отсутствует. В DC используйте обычное произведение U\cdot I, не перенося коэффициент 1/2 из гармоники.
Рисунок М.2.63. Диалог результатов проводника
Показанный ток имеет положительную мнимую часть, а отношение напряжения к току — отрицательную: это ёмкостный отклик при \exp (j\omega t). Чисто реактивный ток не создаёт активную мощность UI по произведению модулей; для амплитудных фазоров используют половину действительной части U\cdot I*.
Обозначения на рисунке
Увеличить рисунок · Источник: Д. Микер, [33]. Подпись и пояснение переведены для курса.
Проверьте на своей модели
Дано. Плоская область: S=0{,}001\,\mathrm{м^2}, L=0{,}01\,\mathrm{м}; \sigma =10^{-8}\,\mathrm{См/м}; \varepsilon_r=4; f=1000\,\mathrm{Гц}; комплексная амплитуда напряжения \widehat{V}=100\,\mathrm{В}.
\omega =2\pi \cdot 1000\,\mathrm{рад/с}; G=10^{-9}\,\mathrm{См}, B=2{,}2253001109\cdot 10^{-8}\,\mathrm{См}.
Комплексная амплитуда тока равна 10^{-7}+j2{,}2253001109\cdot 10^{-6}\,\mathrm{А}.
Средняя активная мощность равна 5·10⁻⁶ Вт. Для \mathrm{RMS}=100\,\mathrm{В} мощность была бы вдвое больше: 10 мкВт.
Ответ: \widehat I=0{,}1+j2{,}2253001109\,\mathrm{мкА}; P_{\mathrm{average}}=5 мкВт при амплитуде 100 В.
Проверка: При f\to 0 ёмкостная составляющая исчезает. Фазовый угол и коэффициент 1/2 проверяются отдельно от модуля. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| f | 1000 | Гц |
| \varepsilon_r | 4 | 1 |
| \sigma | 1\times 10^{-08} | См/м |
| \widehat{V} | 100 | В |
Ожидаемый результат. \widehat I=0{,}1+j2{,}2253001109\,\mathrm{мкА}; P_{\mathrm{average}}=5 мкВт при амплитуде 100 В. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. При f\to 0 ёмкостная составляющая исчезает. Фазовый угол и коэффициент 1/2 проверяются отдельно от модуля. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Как частота меняет действительную и мнимую части тока?
С чем сравнить. Опора — комплексные уравнения и определение средней мощности из занятия. Не смешивайте амплитудные и действующие значения и не заменяйте комплексную невязку одной разностью модулей.
Итог работы. Частотная таблица с проверкой постоянного предела и нормировки мощности.
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Рассчитайте малые активные потери конденсатора на фоне большого ёмкостного тока. Отдельно проверьте переход от действующего напряжения к амплитуде, которую использует гармонический решатель FEMM 5.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 19
Соедините два диэлектрика с разными ε и tanδ последовательно по направлению поля. Рассчитайте комплексный ток и средние потери без подмены двух материалов усреднённой вещественной проницаемостью.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 12
Шесть сторон трёхфазной обмотки создают бегущее магнитное поле над неподвижной алюминиевой пластиной. Наведённые в пластине токи взаимодействуют с полем и создают продольную силу. Работа связывает пространственное распределение обмотки, чередование фаз, потери и направление тяги.
Решений FEMM: 3 · Численных проверок: 44
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Решите проводящий диэлектрик при 0, 1000 и 2000 Гц; сравните действительную и мнимую части тока. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Когда комплексные величины заданы пиковыми амплитудами, а вычисляется среднее за период.
\widehat I=0{,}1+j2{,}2253001109\,\mathrm{мкА}; P_{\mathrm{average}}=5 мкВт при амплитуде 100 В.
Электроквазистатическая постановка учитывает проводимость и ток смещения. Индуктивное вытеснение тока требует магнитной модели; это не полный волновой решатель.