Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении
Цель. Определить матрицу индуктивностей зубцовых контуров и зависимость взаимной магнитной проводимости от смещения. Отдельно оценить поправку, учитывающую рассеяние в области раскрытия паза.
Связь с проектированием. Оценить чувствительность индуктивности и рассеяния к зазору и положению зубцов; выбрать обоснованную модель проводимости коронок.
Задачи
Сопоставить потокосцепление цепи со средним A на сторонах катушки.
Проверить взаимность двух независимых возбуждений.
Построить взаимную проводимость при смещении на магнитный период.
Выделить поток рассеяния коронок по двум линиям A и проверить аналитические формулы.
Исходные данные и условия опыта
Матрица двух конечных зубцов рассчитывается при \mu _{r}=10000, зазорах 1, 2, 4 мм и единичных ампер-витках. Противоположные токи сторон одной катушки имеют согласованные знаки.
Серия встречных зубцов использует антипериодическую ячейку с шагом зубцов 30 мм: соседний зубцовый контур имеет противоположную МДС. Магнитный период — 60 мм. Смещение 0…60 мм с шагом 3 мм исследуется двумя независимыми возбуждениями.
Для коронок ширина шлица 20 мм, зазор 5 или 20 мм, глубина 10, 20, 30, 50 мм. Ток 1000 А расположен в нижнем слое толщиной 0,5 мм; опорная линия находится на 1 мм выше дна.
Теория расчётного метода
От распределения A к матрице индуктивностей
Поток между двумя плоскими силовыми линиями равен активной длине, умноженной на разность A. Для катушки конечного сечения вместо произвольной точки берут среднее A каждой стороны. Направления обхода определяют знак разности.
В линейной системе потокосцепление является линейной функцией токов. Независимые возбуждения дают столбцы матрицы L. Симметрия энергетического оператора требует L_{12}=L_{21}; знак взаимного элемента зависит от направления сторон обмоток.
Для двух зубчатых сердечников взаимная индуктивность меняется при движении. Антипериодическая модель описывает чередование противоположных МДС; после одного зубцового деления знак взаимной связи меняется, а через полный магнитный период восстанавливается.
\Psi_k=N_kl(\overline A_{k+}-\overline A_{k-}),\quad \boldsymbol\Psi=\mathbf L\mathbf i,\quad W=\tfrac12\mathbf i^T\mathbf L\mathbf i
Усреднение выполняется по соответствующим площадям сторон, а не по произвольной линии внутри паза.
L_{12}=L_{21},\qquad |M|\le\sqrt{L_{11}L_{22}}
Взаимность и неотрицательная энергия проверяют согласованность цепей и знаков. Для насыщенной системы применяют локальную дифференциальную матрицу.
Коронка — отдельная поправка к определённому потоку
Полная энергия собственного поля включает основные и дальние пути потока. Она не выделяет автоматически именно рассеяние головок зубцов. Для этой величины выбирают две ограничивающие силовые линии: в равномерной части шлица и касающуюся гладкого сердечника напротив оси паза.
Разность A этих линий даёт поток выбранной области. Из его проводимости вычитают вклад прямоугольной равномерной части h'/b. Полученная поправка является знаковой: небольшое отрицательное значение означает уменьшение относительно выбранной прямоугольной опоры, а не отрицательную полную магнитную проводимость.
Для глубокого шлица и \beta =1 две приведённые формулы алгебраически эквивалентны. При малой глубине поле опорной линии может оставаться неравномерным; это проверяется серией по глубине и сетке.
Вариант формулы при полном шаге обмотки \beta =1; сравнивается с тем же определением поправки.
Литература по методу:Проводимость рассеяния по коронкам зубцов · PDF 1: определение; 2–3: формулы и численные примеры; 4: геометрическая чувствительность; 5: программа
От потенциала к потоку и реальной обмотке
Разность A_z даёт поток на единицу активной длины. После умножения на фактическую длину получают веберы. Потокосцепление реальной обмотки определяется суммой вкладов всех её сторон с их знаками и числами витков; одна контрольная линия потока не заменяет эту сумму при рассеянии.
Сначала выполняют независимое возбуждение цепей. В линейной системе полученные столбцы образуют матрицу индуктивностей. Взаимность проверяет согласованность ориентации сторон и численного извлечения; положительность энергии проверяет физическую допустимость матрицы. При насыщении разделяют секущую и дифференциальную индуктивности.
Электрическая работа при неподвижной геометрии равна интегралу тока по изменению потокосцепления. Если независимой переменной выбран ток, удобнее коэнергия — площадь под зависимостью \Psi (i). Сумма двух площадей равна i\Psi. Это равенство остаётся полезной проверкой при нелинейной, однозначной кривой намагничивания.
Равенство W=W'=i\Psi /2 требует линейности и отсутствия независимого возбуждения в рассматриваемой однопортовой задаче. Для нескольких обмоток энергетическое тождество содержит сумму токов на потокосцепления всех независимых портов. При постоянном возбуждении генератора динамический баланс использует отдельно энергию переменных токов по формуле блока d/q и мощность преобразования. Для насыщенной стали интегрируют фактическую характеристику. Сила определяется частной производной при фиксированных токах, а не производной вдоль нагруженной траектории с меняющимся током.
Чётное и нечётное поле: от зубцовой зоны к Картеру
В линейной зубцовой зоне удобно разделить возбуждение поперечным потоком и собственным током паза. Они имеют различную симметрию и различные контрольные величины. Суперпозиция проверяется на поле и на потоке; энергия общего поля включает взаимный член.
Эффективный зазор определяется по интегральному потоку или энергии при явно фиксированной МДС либо фиксированном потоке. Коэффициент Картера связывает реальную зубцовую область с гладкой моделью. Он не служит множителем для любого локального пика B. Конечная проницаемость, ширина раскрытия и сетка варьируются раздельно.
Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении
Матрица двух конечных зубцов рассчитывается при \mu _{r}=10000, зазорах 1, 2, 4 мм и единичных ампер-витках. Противоположные токи сторон одной катушки имеют согласованные знаки. Серия встречных зубцов использует антипериодическую ячейку с шагом зубцов 30 мм: соседний зубцовый контур имеет противоположную МДС. Магнитный период — 60 мм. Смещение 0…60 мм с шагом 3 мм исследуется двумя независимыми возбуждениями. Для коронок ширина шлица 20 мм, зазор 5 или 20 мм, глубина 10, 20, 30, 50 мм. Ток 1000 А расположен в нижнем слое толщиной 0,5 мм; опорная линия находится на 1 мм выше дна. Матрица относится к линейной стали \mu _{r}=10000 и объявленным направлениям контуров. Период 60 мм описывает чередование МДС, а не равномерное униполярное возбуждение. Выделенная по двум линиям A проводимость рассеяния отличается от полной проводимости катушки по энергии.
Полный поток катушки и выделенное рассеяние коронок вычислены отдельно; знаковая поправка не является отрицательной полной проводимостью.
Проводимость коронок при разных глубинах
\delta, мм
h', мм
Сетка, мм
λкор FEMM
λкор формула
5
9
0,3
80,18 × 10⁻⁶
-0,008913
5
19
0,6
-0,009133
-0,008913
5
19
0,3
-0,0089
-0,008913
5
19
0,15
-0,008658
-0,008913
5
29
0,3
-0,009283
-0,008913
5
49
0,3
-0,009317
-0,008913
20
9
0,3
0,3346
0,3307
20
19
0,3
0,3302
0,3307
20
29
0,3
0,33
0,3307
20
49
0,3
0,33
0,3307
Взаимная проводимость и смещение
x, мм
L_{11}, мкГн
M_{12}, мкГн
M_{21}, мкГн
0
14,07
7,675
7,675
3
13,36
6,843
6,843
6
12,02
5,177
5,177
9
10,58
3,22
3,22
12
9,487
1,389
1,389
15
9,171
122,6 × 10⁻⁶
122,6 × 10⁻⁶
18
9,486
-1,388
-1,388
21
10,58
-3,22
-3,22
24
12,02
-5,177
-5,177
27
13,37
-6,844
-6,844
30
14,07
-7,675
-7,675
33
13,36
-6,843
-6,843
36
12,02
-5,177
-5,177
39
10,58
-3,22
-3,22
42
9,487
-1,389
-1,389
45
9,171
-122,6 × 10⁻⁶
-122,6 × 10⁻⁶
48
9,486
1,388
1,388
51
10,58
3,22
3,22
54
12,02
5,177
5,177
57
13,37
6,844
6,844
60
14,07
7,675
7,675
Количественные результаты и их проверка
Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.
Величина
Единица
Что определяет
L_{11}, L_{22}, M(x)
Гн
Энергия и взаимная связь контуров
λкор
1
Поправка к пазовому рассеянию
Среднее A и потокосцепление цепи согласуются менее чем на 0,2%; энергия согласуется с LI ^{2}/2.
Взаимность и повторение через 60 мм проверяются с допуском 0,2%.
Абсолютная сеточная разность λкор оценивается отдельно от относительной: поправка может быть близка к нулю.
Итоговый вывод. Выберите модель проводимости коронок по отношению раскрытия к зазору и глубине равномерного участка. Объясните знак поправки и влияние положения зубцов на M.
Границы применения результата
Матрица относится к линейной стали \mu _{r}=10000 и объявленным направлениям контуров.
Период 60 мм описывает чередование МДС, а не равномерное униполярное возбуждение.
Выделенная по двум линиям A проводимость рассеяния отличается от полной проводимости катушки по энергии.
Литература
Потокосцепление и ЭДС обмотки: сравнение независимых способов. — 16 с.
Зубцовый контур и взаимная проводимость при движении. — 6 с.
Проводимость рассеяния по коронкам зубцов. — 5 с.
Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
Магнитные поля в электрических машинах — введение. — 75 с.
Выражение энергии магнитного поля через векторный магнитный потенциал. Раздел 4. — 30 с.
Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
Магнитное поле в зазоре электрической машины с учётом зубчатости сердечников. Раздел 11. — 54 с.