# Зубцовые контуры: проводимости, коронки и взаимная связь при смещении

Получить матрицу индуктивностей зубцовых контуров, зависимость взаимной проводимости от смещения и отдельную поправку рассеяния в зоне раскрытия.

Оценить чувствительность индуктивности и рассеяния к зазору и положению зубцов; выбрать обоснованную модель проводимости коронок.

## От распределения A к матрице индуктивностей

Поток между двумя плоскими силовыми линиями равен активной длине, умноженной на разность A. Для катушки конечного сечения вместо произвольной точки берут среднее A каждой стороны. Направления обхода определяют знак разности.

В линейной системе потокосцепление является линейной функцией токов. Независимые возбуждения дают столбцы матрицы L. Симметрия энергетического оператора требует L₁₂=L₂₁; знак взаимного элемента зависит от направления сторон обмоток.

Для двух зубчатых сердечников взаимная индуктивность меняется при движении. Антипериодическая модель описывает чередование противоположных МДС; после одного зубцового деления знак взаимной связи меняется, а через полный магнитный период восстанавливается.

$$\Psi_k=N_kl(\overline A_{k+}-\overline A_{k-}),\quad \boldsymbol\Psi=\mathbf L\mathbf i,\quad W=\tfrac12\mathbf i^T\mathbf L\mathbf i$$

Усреднение выполняется по соответствующим площадям сторон, а не по произвольной линии внутри паза.

$$L_{12}=L_{21},\qquad |M|\le\sqrt{L_{11}L_{22}}$$

Взаимность и неотрицательная энергия проверяют согласованность цепей и знаков. Для насыщенной системы применяют локальную дифференциальную матрицу.

## Коронка — отдельная поправка к определённому потоку

Полная энергия собственного поля включает основные и дальние пути потока. Она не выделяет автоматически именно рассеяние головок зубцов. Для этой величины выбирают две ограничивающие силовые линии: в равномерной части шлица и касающуюся гладкого сердечника напротив оси паза.

Разность A этих линий даёт поток выбранной области. Из его проводимости вычитают вклад прямоугольной равномерной части h′/b. Полученная поправка является знаковой: небольшое отрицательное значение означает уменьшение относительно выбранной прямоугольной опоры, а не отрицательную полную магнитную проводимость.

Для глубокого шлица и β=1 две приведённые формулы алгебраически эквивалентны. При малой глубине поле опорной линии может оставаться неравномерным; это проверяется серией по глубине и сетке.

$$\lambda_{\rm кор}=\frac{A(0,-h\prime)-A(0,\delta)}{\mu_0I}-\frac{h\prime}{b}$$

Активная длина сокращается. Опорная линия должна лежать выше токового слоя в достаточно равномерной части поля.

$$\lambda_V=\frac{\ln[(\delta/b)^2+1/4]+4(\delta/b)\arctan[b/(2\delta)]}{2\pi}$$

Формула проводимости коронок напротив гладкого сердечника.

$$\lambda_{IS}=\frac1{2\rho}-\frac1\pi\left[\ln\frac2{\sqrt{1+\rho^{-2}}}+\frac{\arctan(\rho^{-1})}{\rho}\right],\quad\rho=\frac b{2\delta}$$

Вариант формулы при полном шаге обмотки β=1; сравнивается с тем же определением поправки.

## Порядок расчёта

Откройте программу reproduce.py во встроенном Python FEMM 5. Программа создаёт новую папку calculated-NN рядом с программой или в текущей рабочей папке и рассчитывает все серии. Сохранённые учебные FEM и ANS можно открывать отдельно для анализа поля.

### Контуры, знаки и выделяемая проводимость

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

1. Сопоставьте стороны каждой катушки со знаками тока и положительным направлением потокосцепления.
2. Объявите границы участка рассеяния: опорную линию шлица и касающуюся линию у гладкого сердечника. Не подменяйте этот поток полной энергией.
3. Для движущихся зубцов запишите шаг 30 мм, антипериодическую МДС соседнего контура и полный магнитный период 60 мм.

### Два независимых возбуждения

Один расчёт не определяет матрицу двух катушек.

1. Возбудите только катушку A, затем только B; извлеките обе пары потокосцеплений.
2. Вычислите среднее A по каждой стороне и независимо восстановите потокосцепление.
3. Сопоставьте взаимные элементы и энергию при зазорах 1, 2, 4 мм.

### Зубцы в относительном движении

Положение определяет связь контуров.

1. Выполните два возбуждения в каждом положении 0…60 мм с шагом 3 мм.
2. Постройте M(x), сравните M₁₂ и M₂₁ в каждой точке.
3. Проверьте смену знака после 30 мм и возврат после 60 мм; укажите физический смысл антипериодической МДС.

### Рассеяние коронок

Границы потока определяют смысл вычисленной проводимости.

1. Найдите A на опорной линии шлица и на гладкой поверхности напротив его оси.
2. Получите λкор для двух зазоров и четырёх глубин; сопоставьте две аналитические формулы.
3. Для глубины 20 мм и зазора 5 мм повторите сетки 0,60; 0,30; 0,15 мм и оцените абсолютную погрешность малой поправки.

## Расчётный пример

Раскрытие 20 мм; зазоры 5 и 20 мм. Противоположные зубцовые контуры: шаг 30 мм, магнитный период 60 мм, μr=10000.

1. При b=20 мм, δ=5 мм и h′=19 мм получена λкор=-0,00889997; формула даёт -0,00891301.
2. При δ=20 мм, h′=29 мм получена λкор=0,330032; формула даёт 0,330682.
3. Взаимная индуктивность противоположных контуров M(0)=7,67455 мкГн; M(30 мм) меняет знак, M(60 мм) восстанавливается.

Полный поток катушки и выделенное рассеяние коронок вычислены отдельно; знаковая поправка не является отрицательной полной проводимостью.

## Границы применимости

- Матрица относится к линейной стали μr=10000 и объявленным направлениям контуров.
- Период 60 мм описывает чередование МДС, а не равномерное униполярное возбуждение.
- Выделенная по двум линиям A проводимость рассеяния отличается от полной проводимости катушки по энергии.

## Источники

- [Потокосцепление и ЭДС обмотки: сравнение независимых способов](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-3.pdf)
- [Зубцовый контур и взаимная проводимость при движении](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-5.pdf)
- [Проводимость рассеяния по коронкам зубцов](http://e-200.ru/EMR/MP-5.pdf)