FEMM 5

Исследование 1 · FEMM 5 · встроенный Python

Медные проводники при 5 кГц: скин-эффект, близость и сетка по глубине проникновения

В сплошном проводнике переменное магнитное поле перераспределяет плотность тока: скин-эффект вытесняет ток к поверхности, а поле соседнего проводника меняет распределение по сторонам сечения. Поэтому сопротивление переменному току зависит от частоты и взаимного расположения проводников.

Рассчитан медный прямоугольник 2×4 мм длиной 1 м и пара таких проводников с зазором 2 мм. В каждой возбуждаемой цепи задано 100 А действующего значения; направления токов пары одинаковы. Это реальные гармонические поля FEMM, а не поправка к сопротивлению по эмпирической формуле.

Место в курсе.Геометрию, физическую постановку и результаты можно изучать вместе с основным занятием. Серийную программу и обработку разбирайте после введения во встроенный Python.

Объект, физическая модель и вывод соотношений

Соглашения об обозначениях и единицах
  • \(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
  • \(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
  • \(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
  • Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
  • Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
  • Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Вывод глубины проникновения

В однородном проводнике при пренебрежении током смещения законы Ампера, Фарадея и Ома дают уравнение магнитной диффузии \partial B/\partial t=(\mu \sigma )^{-1}\nabla ^{2}B. Для плоской гармонической волны B∝\exp (i\omega t-\gamma x) получается \gamma ^{2}=i\omega \mu \sigma.

Выбирая затухающую ветвь корня, имеем \gamma =(1+i)/\delta. Отсюда глубина проникновения \delta=√(2/(\omega \mu \sigma )). Это характерный масштаб сетки у поверхности; она не является физической границей, за которой ток строго отсутствует.

При 5 кГц и \sigma =58 МСм/м получаем \delta \approx 0{,}9346 мм. Сетки \delta /2, \delta /4 и \delta /8 позволяют увидеть, стабилизируются ли потери при разрешении поверхностного слоя.

\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}=\frac1{\mu\sigma}\nabla^2\mathbf B,\qquad \gamma^2=\mathrm i\omega\mu\sigma,\qquad \delta=\sqrt{\frac2{\omega\mu\sigma}}
(Р1.1)
\mu =\mu _{0}\mu _{r}; частота в Гц, проводимость в См/м, \delta в метрах.
I_{\mathrm{амп}}=\sqrt2 I_{\mathrm{д}},\qquad P_{\mathrm{Дж}}=\frac12\int_V\frac{|\underline J|^2}{\sigma}\,\mathrm dV
(Р1.2)
Половина соответствует амплитудной комплексной плотности тока.

С чем сравнивать результат

Для постоянного тока однородный проводник имеет R=\ell /(\sigma S), а потери равны Iд²R. Этот контроль проверяет площадь, длину, проводимость и нормировку источника. Избыток потерь при 5 кГц затем связывают с перераспределением тока.

Два разнесённых одинаковых проводника при отсутствии взаимодействия имели бы потери 2Pод. Отклонение Pпара/(2Pод) характеризует совместное поле в данной геометрии. При противоположных токах распределение и результат изменятся, поэтому направление входит в исходные данные.

На самой мелкой сетке получено около 25,3476 Вт для одного проводника и 56,9715 Вт для пары. Различие с двумя независимыми проводниками составляет около 12,4 %. Сходимость пары оценивается отдельно от одиночного случая.

R_{\mathrm{пост}}=\frac{\ell}{\sigma S},\qquad P_{\mathrm{пост}}=I_{\mathrm{д}}^2R_{\mathrm{пост}},\qquad k_{\mathrm{близ}}=\frac{P_{\mathrm{пара}}}{2P_{\mathrm{од}}}
(Р1.3)
Последний коэффициент — сравнительный показатель этой пары, а не универсальный коэффициент обмотки.

Постановка и последовательность расчёта

Таблица Р1.1. Исходные данные
ВеличинаЗначениеЕдиница
Частота5000Гц
Проводимость58МСм/м
Размер сечения2×4мм
Длина1м
Действующий ток каждого проводника100А
Амплитуда источника141,4А
Межпроводниковый зазор2мм
  1. Перед запуском вычислите \delta, Rпост и Pпост. Проверьте, что ток 100 А в условии — действующий, а в FEMM подставляется √2·100 А.
  2. Выполните reproduce.py: новые поля одного проводника и пары на сетке \delta /8 сравниваются с сохранёнными потерями.
  3. Полные программы, названные далее, запускайте через run-series.py из корня рабочей папки: выберите SERIES_NUMBER по списку README.html. Диспетчер сам устанавливает подпапку и контекст исходной программы; прежний рабочий каталог FEMM не важен.
  4. Откройте шесть моделей и сопоставьте расположение, знак токов, длину и удалённую границу A=0. Сетки меняются при неизменной геометрии.
  5. Для повторения всех исходных и расширенных опытов используйте reference/solve_variant.py из свежей папки; программа сама отказывается перезаписывать готовый каталог results.
  6. Проверьте мощность через ½ReΣUI* и объёмный интеграл потерь. Переход к настоящей обмотке требует её расположения, числа жил и действительных токовых связей.

Численные результаты и их проверка

Показаны сохранённые результаты FEMM 5. Переключатель и курсор исследуют готовую серию; повторный расчёт выполняется программой в установленном FEMM.

Таблица Р1.2. Численные данные
Проводникиδ/шагШаг сетки, ммЭлементыПотери, Вт
Один20,4673937525,31
Один40,2336970725,34
Один80,11681101925,35
Два20,4673970457,09
Два40,23361033557,03
Два80,11681288156,97

Контрольные сопоставления

Как воспроизвести в FEMM 5

Скачайте программу и необходимые модели, данные и инструкции из списка ниже. Сохраните указанные имена файлов и структуру подпапок. Откройте программу в редакторе встроенного Python FEMM 5 и запустите её. Внешний CPython для управления FEMM не требуется.

Скачайте все нужные файлы со страницы исследования в новую папку, сохранив имена и структуру подпапок. Выполните reproduce.py встроенным Python FEMM 5: проверяются хеши, заново решаются контрольные поля и пересчитываются численные проверки таблиц. Рабочий каталог определяется по пути сохранённого сценария. Полные программы запускайте через run-series.py; номер SERIES_NUMBER выбирается по списку в README.html.

Программа встроенного Python

Текст программы
# Выполняется только встроенным Python FEMM 5.
# Распакуйте весь ZIP в новую папку и запустите этот файл через меню Scripts.
# Запускайте сохранённый файл целиком: путь передаётся в sys.argv[0].
import os, sys, json, math, hashlib
assert sys.implementation.name == 'micropython', 'Нужен встроенный Python FEMM 5'
_saved_file = globals().get('__file__') or (sys.argv[0] if sys.argv else '')
assert _saved_file and os.path.isfile(_saved_file), 'Запустите сохранённый файл из полного распакованного комплекта'
os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(_saved_file)))
with open('manifest.json') as f: manifest = json.load(f)

def digest(path):
    h = hashlib.sha256()
    with open(path, 'rb') as f:
        while True:
            b = f.read(65536)
            if not b: break
            h.update(b)
    return ''.join('%02x' % b for b in h.digest())

# До расчёта проверяем переносимость и неизменность всех приложенных входов.
for item in manifest['files']:
    assert digest(item['path']) == item['sha256'], 'Изменён вход ' + item['path']
with open('expected-native.json') as f: cases = json.load(f)
os.mkdir('reproduced')   # Отказ от перезаписи предыдущего результата намеренный.
out = {'implementation': str(sys.implementation), 'runtime': sys.version,
       'case_id': manifest['case_id'], 'fresh_fields': [], 'checks': []}

def z(v):
    if isinstance(v, dict): return complex(v['re'], v['im'])
    if isinstance(v, (list, tuple)): return complex(v[0], v[1])
    return complex(v)

def serial(v):
    if isinstance(v, complex): return [v.real, v.imag]
    if isinstance(v, (list, tuple)): return [serial(t) for t in v]
    if isinstance(v, dict): return {k: serial(t) for k,t in v.items()}
    return v

def check(label, actual, expected, tolerance):
    error = abs(z(actual) - z(expected))
    out['checks'].append({'name':label,'actual':serial(actual),
                         'expected':serial(expected),'error':error,
                         'tolerance':tolerance,'passed':error <= tolerance})

for j, spec in enumerate(cases):
    for cmd in ('mo_close', 'mi_close'):
        try: globals()[cmd]()
        except Exception: pass
    opendocument(spec['model'])
    mi_saveas('reproduced/control-' + str(j) + '.fem')
    if 'frequency_Hz' in spec:
        mi_probdef(spec['frequency_Hz'], 'millimeters', 'planar', 1e-8,
                   spec.get('depth_mm',100), 20)
    for name,value in spec.get('set_circuits',{}).items():
        mi_modifycircprop(name, 1, z(value))
    if spec.get('rotate_deg'):
        mi_selectgroup(2); mi_moverotate(0,0,spec['rotate_deg'],4); mi_clearselected()
    if 'boundary' in spec:
        name,index,value = spec['boundary']; mi_modifyboundprop(name,index,value)
    mi_saveas('reproduced/control-' + str(j) + '.fem')
    mi_analyze(1); mi_loadsolution(); mo_smooth('off')
    row = {'model':spec['model'],'elements':mo_numelements(),'nodes':mo_numnodes(),
           'problem':serial(mo_getprobleminfo()),'circuits':{}}
    for name, values in spec.get('circuits',{}).items():
        actual = list(mo_getcircuitproperties(name)); row['circuits'][name] = serial(actual)
        for k,expected in enumerate(values):
            check('Поле '+str(j)+' '+name+' '+('I','U','Psi')[k], actual[k], expected,
                  max(1e-9, 1e-5*abs(z(expected))))
    mo_clearblock(); mo_groupselectblock()
    for key,expected in spec.get('integrals',{}).items():
        actual=mo_blockintegral(int(key)); row['integral_'+key]=serial(actual)
        check('Объёмный интеграл '+key,actual,expected,max(1e-7,1e-5*abs(z(expected))))
    mo_clearblock()
    if 'gap_torque' in spec:
        q=spec['gap_torque']; actual=mo_gapintegral(q['name'],0)
        if isinstance(actual,(list,tuple)): actual=actual[0]
        row['gap_torque_Nm']=serial(actual)
        check('Момент границы AGE',actual,q['expected'],q['tolerance'])
    if 'torque' in spec:
        q=spec['torque'];mo_groupselectblock(q['group']);actual=mo_blockintegral(22);mo_clearblock()
        row['torque_Nm']=serial(actual);check('Момент WST',actual,q['expected'],q['tolerance'])
    if 'magnet_probe' in spec:
        # Исходные графические минимумы получены со сглаживанием поля.
        # Настройку сохраняем явно, чтобы сравнивать одинаковые величины.
        mo_smooth('on')
        q=spec['magnet_probe']
        for p in q['extrema']:
            x,y=p['minimum_point_mm'];angle=math.atan2(y,x)
            sign=1 if p['pole']%2==0 else -1;v=mo_getpointvalues(x,y)
            h=(z(v[1]).real*sign*math.cos(angle)+z(v[2]).real*sign*math.sin(angle)-q['Br_T'])/(4*math.pi*1e-7*q['mu'])
            check('Физический H вдоль намагничивания полюса '+str(p['pole']),h,p['Hparallel_min_A_m'],.02)
    out['fresh_fields'].append(row)
    with open('reproduced/native-result.json','w') as f: json.dump(out,f)
    mo_close();mi_close()

# Повторяем предметные арифметические проверки сохранённых серий.
with open('postprocess.py') as f: exec(f.read(),globals())
out['passed']=all(q['passed'] for q in out['checks'])
with open('reproduced/native-result.json','w') as f: json.dump(out,f)
print('AUDIT_CASE',out['case_id'],'FIELDS',len(out['fresh_fields']),
      'CHECKS',len(out['checks']),'PASSED',out['passed'])
assert out['passed'], 'Есть несогласованные численные проверки; см. native-result.json'

Как трактовать результат

Расчётная среда: FEMM 5.0 06Oct2026; встроенный MicroPython; без внешнего Python/COM/TCP

Введение в устройство и принцип действия объекта, вывод учебных соотношений и пояснения к результатам написаны для этого курса. Численные результаты и заимствованные методы связаны с указанными ниже исходными материалами.

Источники и дальнейшее чтение

  1. [33]

← Все расчётные исследования