Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор параметров конструкции по целевой характеристике и ограничениям
Инженерный вопрос. Подтверждается ли лучший просмотренный вариант после уточнения границы?
Целевая характеристика, ограничения и независимая проверка выбранного варианта превращают серию FEMM в обоснованный выбор конструкции. Поиск имеет смысл только после проверки исходной модели.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Запишите параметры, допустимую геометрию, целевую функцию и ограничения с единицами; правила отклонения невозможного варианта задайте до поиска.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. График либо таблица допустимых вариантов с независимой проверкой выбранной точки.
Данные именно этого опыта. Сведите зазор, критерий и ограничения всех точек перебора и уточнения.
Оформление наблюдений. Таблица параметров, целевых величин, ограничений, статуса расчёта и причины отказа; сравнение с исходным вариантом при одних условиях.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Итоговая точка действительно рассчитана в FEMM 5; сила и остальные ограничения проверены; строгая монотонность потерь не подменяет проверки полевой силы.
Независимый контроль. Повторно рассчитайте выбранный вариант вне поисковой процедуры и на уточнённой сетке; для фронта вариантов проверьте допустимость и отсутствие доминирования.
Критерий выполнения. В отчёте есть минимум один допустимый базовый вариант, найденный кандидат и соседние точки; рассчитаны все ограничения; радиус имеет обоснованную точность; вывод ограничен проверенным интервалом.
Точность и расхождения. Сопоставьте величину улучшения с численной погрешностью и чувствительностью к исходным данным. Сходимость поисковых итераций не доказывает глобальной оптимальности, а малое изменение целевой функции не определяет физическую точность модели.
Основание сравнения. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Вывод для устройства
Выберите допустимый вариант по реальному компромиссу характеристик, укажите запас к ограничениям и область проверенного поиска.
Границы вывода. Найденный вариант относится к заданной параметризации, диапазону и модели. Успех алгоритма не доказывает глобальное решение или готовность изделия к изготовлению.
Дополнительный расчётный метод
Переменное поле в прямоугольном проводнике паза
По сопротивлению и потерям выбирают число элементарных проводников при ограниченной высоте паза и заданной изоляции. Эталон глубокого стержня объясняет частотное изменение параметров ротора.
При фиксированной толщине ярма чашечного электромагнита минимизируются потери в обмотке при сохранении требуемой силы. Аналитическая магнитная цепь задаёт допустимый интервал, граница которого уточняется полевыми расчётами FEMM 5.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Устройство и режим чашечного тягового электромагнита
Чашечный электромагнит состоит из центрального полюса, наружного возвратного ярма, соединяющего их дна, кольцевой обмотки и подвижного якоря-диска. Поток проходит центральный полюс, рабочий зазор, диск, обратный кольцевой зазор и наружное ярмо. При уменьшении осевого зазора оба участка воздушного пути укорачиваются, поэтому их вклады в силу складываются. Это осесимметричная задача: плоское сечение вращается вокруг оси, и интегралы FEMM учитывают множитель 2\pi r.
В учебной полевой модели наружный радиус чашки R = 25 мм, высота 30 мм, дно и якорь имеют толщину по 5 мм, зазор g = 1 мм. Обмотка содержит N = 400 витков с током I = 1{,}5 А. Высота окна 23 мм, коэффициент заполнения медью 0,55; изоляционные отступы слева и справа — по 1 мм. В данном занятии толщина наружного ярма фиксирована t = 4 мм, а центральный радиус r изменяется в пределах 6–13 мм.
Цель — уменьшить расчётные потери в меди при постоянном токе. Геометрия окна определяет сечение провода при неизменных числе витков и коэффициенте заполнения. Поэтому изменение полюса меняет одновременно магнитную цепь, длину витка и сопротивление обмотки. В FEMM используется нелинейная учебная характеристика стали с указанными точками B–H; она не выдается за протокол промышленной марки.
w — радиальная ширина окна под провод, мм либо м; s = 1 мм — отступ изоляции с каждой стороны; h = 23 мм — высота окна; k з = 0,55. В формуле длины предполагается один средний радиус витка.
\rho 20 = 1{,}7241\cdot 10^{-8} Ом·м; длина и площадь для сопротивления переводятся в м и м². J может выводиться в А/мм². Оценка относится к меди при 20 °C без тепловой обратной связи.
Расчётные джоулевы потери обмотки при заданном токе и температуре
Вт
Границы применимости. Модель реального типа аппарата остаётся учебной: не учитываются нагрев обмотки, соединения, выводы, механический ход и переходный ток. Указанная температура относится к формуле сопротивления, а не к рассчитанному тепловому состоянию.
Вывод силы через магнитное сопротивление и коэнергию
Для аналитического контроля временно пренебрежём сопротивлением стали, рассеянием и выпучиванием поля. Обозначим площадь центрального полюса S ц, площадь наружного кольца S к. Два равных по длине зазора соединены последовательно по магнитному потоку, но имеют разные площади. Общий поток равен магнитодвижущей силе, делённой на суммарное магнитное сопротивление.
Линейная индуктивность получается из N\Phi = LI. При заданном токе механическое усилие связано с производной коэнергии. Увеличение g удаляет якорь, поэтому сила в положительном направлении увеличения зазора отрицательна; модуль силы притяжения положителен и равен минус производной коэнергии по g. Эту ориентацию необходимо согласовать со знаком осевой силы в FEMM.
В нелинейной модели равенство коэнергии и LI ^{2}/2 уже не действует. Коэнергию получают интегрированием потокосцепления по току при фиксированной геометрии. FEMM вычисляет соответствующий полевой интеграл; для независимой проверки можно сравнить производную по малому изменению зазора при неизменном токе с силой по взвешенному тензору напряжений. Два способа должны относиться к одному выбранному телу и одной координате.
R маг — магнитное сопротивление, А/Вб; g — длина каждого из двух зазоров. Участки стали в этой аналитической идеализации имеют пренебрежимо малое сопротивление.
Последнее тождество относится к согласованной однозначной магнитостатической характеристике без постоянного источника намагничивания; для данного электромагнита постоянные магниты отсутствуют.
Подставляем R маг в L и выделяем зависимость от зазора: L = \mu _{0}N^{2}S эфф/g. Тогда W' = \mu _{0}(NI )^{2}S эфф/(2g). Производная по g отрицательна; модуль силы получается со знаком минус.
Если S ц ≪ S к, то S эфф ≈ S ц: аппарат ограничен центральным полюсом. Если S ц ≫ S к, S эфф ≈ S к: наращивание центрального полюса почти не увеличивает силу, но сужает окно обмотки.
Почему потери монотонны, а силу всё равно нужно считать
Подставим длину провода и его сечение в потери. При фиксированных R, t, h, s, N, I, температуре и заполнении потери строго возрастают с r. Причина двойная: виток удлиняется, а доступная площадь меди уменьшается. В этой ограниченной постановке поиск наименьших потерь сводится к нахождению наименьшего допустимого радиуса, если допустимая область на рассматриваемом интервале связна.
Аналитическая сила тоже монотонно возрастает с площадью центрального полюса, но насыщенная полевая модель не обязана сохранять все свойства идеальной цепи. Поэтому сначала выполняют обзорный перебор всего разрешённого интервала. Он проверяет характер зависимости силы, выявляет неприемлемые геометрии и находит переход между недопустимой и допустимой точками.
В полевом практикуме заданы F пр ≥ 50 Н, J \le 6 А/мм², B контр ≤ 1,65 Тл и w \ge 2 мм. Для самого поиска требование силы усилено до 50,5 Н как численный резерв; это отдельная, более узкая область. B контр — наибольшее значение в 36 заранее описанных внутренних точках стали. Это воспроизводимая контрольная выборка, а не истинный максимум по всей области и не доказательство отсутствия локального насыщения. Окончательную допустимость определяют по всем четырём физическим условиям, а выполнение усиленного условия фиксируют отдельно.
Положительность получена при физически корректном окне и R - t - s > 0. Она относится к выведенной геометрической оценке сопротивления, а не к полевой силе.
Интервал [a,b] локализует переход по силе только при подтверждённой на нём монотонности или иной обоснованной однозначности. Остальные ограничения проверяются отдельно.
Дихотомия границы и отличие от безусловной минимизации
Дихотомия делит найденный переходный интервал пополам. Если средняя точка не обеспечивает силу, нижнюю границу переносят в неё; если обеспечивает — уменьшают верхнюю границу. Верхняя граница хранит проверенную допустимую по силе точку. После k шагов ширина интервала уменьшается в 2ᵏ раз. Возвращать нужно фактически рассчитанную точку, а не произвольный центр последнего интервала.
Уравнение G(r) = 0 — задача поиска корня, а не самостоятельная оптимизация. Оно даёт наименьший допустимый радиус для монотонного случая только благодаря уже доказанной монотонности потерь и проверенной структуре допустимой области. Если, например, ограничение по плотности тока или индукции отсекает найденную границу, вывод пересматривают. Если допустимых точек нет, алгоритм сообщает это и не выдаёт «наилучшую» недопустимую конструкцию за решение.
Для другого скалярного критерия с внутренним минимумом можно применить золотое сечение на заранее локализованном унимодальном интервале. Унимодальность означает единственный провал на этом интервале; она не возникает из самого выбора алгоритма. Границы и все допустимые компоненты также должны быть проверены. Сокращённый fmin встроенной ulab не предоставляет полноценной постановки ограниченной многомерной оптимизации; собственная реализация метода дихотомии упрощает проверку алгоритма.
\varepsilon _{r} — требуемая ширина интервала по геометрическому параметру, мм. Она не является погрешностью силы или доказательством точности границы.
Для минимизации унимодального критерия сравнение двух внутренних значений позволяет отбросить крайний участок; отношение \tau сохраняет одну старую внутреннюю точку после сокращения интервала.
Чтобы после уменьшения интервала старая внутренняя точка стала внутренней точкой с тем же относительным положением, требуется \tau ^{2} = 1 - \tau. Положительный корень равен (√5 − 1)/2.
Границы применимости. В этом практикуме выполняется обзорный перебор и дихотомия границы силы. Золотое сечение дано как отдельный метод для другого типа скалярной зависимости, а не как скрыто используемый полевой алгоритм.
Резерв силы и критерии остановки
Если результат на границе равен ровно 50 Н на основной сетке, этого недостаточно для уверенного выполнения требования. Уточнение сетки, изменение зазора в пределах допуска или температуры может сместить результат. Поэтому заранее задают численный и, при необходимости, технологический резерв. Поиск может выполняться для усиленного требования, либо несколько соседних допустимых точек перепроверяют на более точной постановке.
Остановка включает бюджет полевых решений, минимальную ширину интервала и устойчивость критерия. Количество напечатанных цифр радиуса не должно превышать содержательную точность модели и технологии. В итоговой таблице нужны исходный вариант, лучший найденный вариант, его ближайшие проверенные соседи, потери, сила, плотность тока и контрольная индукция. Разницу с исходным вариантом считают при одинаковых режимах и одинаковом уровне проверки.
\Delta F числ и \Delta F исх — обоснованные оценки неблагоприятного изменения, Н. Простое сложение является консервативной оценкой границы, а не статистическим доверительным интервалом.
Положительное значение означает уменьшение потерь. Недопустимый базовый вариант можно приводить для контекста, но улучшение относительно него не подтверждает решение ограниченной задачи.
Разобранный численный пример
Идеальная цепь предсказывает границу силы
Дано. Чашка R = 25 мм, t = 4 мм; два зазора по 1 мм; N = 400, I = 1{,}5 А; сила 50 Н. Сталь идеальна, рассеяние отсутствует. Для сопротивления: h = 23 мм, k з = 0,55, s = 1 мм, \rho 20 = 1{,}7241\cdot 10^{-8} Ом·м.
Вычисляем площадь наружного кольца: S к = \pi (25^{2} - 21^{2}) = 578{,}053 мм².
Из формулы силы находим необходимую эффективную площадь: S эфф = 2g^{2}F/[\mu _{0}(NI )^{2}] = 221{,}049 мм².
Решаем S эфф = S ц S к/(S ц + S к) относительно S ц: S ц = S эфф S к/(S к - S эфф) = 357,916 мм²; радиус r = √(S ц/\pi) = 10,6737 мм.
Ширина окна w = 8{,}32628 мм; сечение провода 0,263319 мм²; плотность тока 5,69652 А/мм². Средняя длина провода 39,8024 м, расчётные потери 5,86371 Вт.
Ответ: Аналитическая граница в идеальной магнитной цепи: r = 10{,}6737 мм и P мед = 5,86371 Вт. Новая полевая модель с нелинейной сталью может дать другую границу; эти числа не являются её результатом.
Проверка: Решение возможно только при S эфф < S к. Если требуемая эффективная площадь не меньше наружного кольца, увеличение центрального радиуса не удовлетворит требование в данной идеализации.
Скопируйте учебный пакет электромагнита в новый рабочий каталог. Запустите run.py встроенным Python FEMM 5 по инструкции пакета; программа должна построить новые русифицированные модели, выполнить анализ и сохранить журнал.
Рассмотрите 15 обзорных точек r при t = 4 мм. Отметьте допустимые состояния по всем ограничениям; на графиках отдельно покажите силу, потери и плотность тока.
Найдите переход относительно силы, установленной в программе: 50,5 Н для рабочего поиска с резервом при исходном физическом требовании 50 Н. Проверьте наблюдаемую монотонность силы на переходном интервале. Не применяйте дихотомию к произвольной паре точек без этой проверки.
Проследите каждое уточнение интервала. Запишите число новых полевых решений и причины отклонения кандидатов. Возьмите итоговую фактически рассчитанную допустимую точку.
Вручную пересчитайте сопротивление и плотность тока из сохранённой геометрии. Сравните полевую силу с аналитической оценкой, объясняя рассеяние и нелинейность.
Пересчитайте итоговый вариант и базовый допустимый вариант на уточнённой сетке. Опыт с производной коэнергии выполняйте при одинаковом токе и двух близких зазорах.
По таблице сохранённых полевых точек сравните допустимые варианты при двух требованиях к силе и определите изменение границы допустимости.
Ожидаемый результат. Полностью воспроизводимая одномерная серия, локализованная граница, модель выбранной точки и таблица всех ограничений.
Как проверить. Итоговая точка действительно рассчитана в FEMM 5; сила и остальные ограничения проверены; строгая монотонность потерь не подменяет проверки полевой силы.
Обработка и анализ результатов
Подтверждается ли лучший просмотренный вариант после уточнения границы?
Сведите зазор, критерий и ограничения всех точек перебора и уточнения.
Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
С чем сравнить. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Итог работы. График либо таблица допустимых вариантов с независимой проверкой выбранной точки.
Проверка аналитического эталона во встроенном Python
Программа выполняется встроенным Python FEMM 5 без внешних пакетов. Она проверяет только явно заданный аналитический пример; полевой практикум выполняется отдельно указанной программой.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Однопараметрическая оптимизация чашечного электромагнита.Среда: встроенный Python FEMM 5.Проверяется только авторский аналитический эталон, полевой решатель не вызывается.Полученные числа не являются квитанцией расчёта электромагнита или машины."""# Длины магнитной цепи переводим в метры, площади — в квадратные метры.# Из требуемой силы находим эффективную и центральную площади; проверяем достижимость перед делением.importmathmu0=4*math.pi*1e-7R_mm,t_mm,gap_m=25.0,4.0,0.001turns,current_a,force_n=400,1.5,50.0return_area=math.pi*(R_mm**2-(R_mm-t_mm)**2)*1e-6effective_area=2*gap_m**2*force_n/(mu0*(turns*current_a)**2)ifeffective_area>=return_area:raiseValueError("Требуемая сила недостижима в этой идеализации")central_area=effective_area*return_area/(return_area-effective_area)radius_mm=math.sqrt(central_area/math.pi)*1000print("Радиус аналитической цепи, мм:",radius_mm)
Выполненные полевые расчёты и программы FEMM 5
Данные ниже получены в установленном FEMM 5. Интерактивный разбор использует сохранённые результаты; для нового поиска скачайте программу и необходимые данные, сохранив имена файлов и подпапок, и запустите run.py во встроенном Python FEMM 5. reproduce.py или verify_models.py выполняет отдельный контроль сохранённых моделей.
Тяговый чашечный электромагнит
В основной серии выполнено полевых решений: 161. Вариант, выбранный по заданным правилам: 151.
Выполните одномерный поиск r при t = 4 мм. Приведите вывод монотонности потерь, обзорную серию, журнал дихотомии и самостоятельную проверку результата на уточнённой сетке. Объясните отличие аналитической границы от полевой.
Критерий выполнения: В отчёте есть минимум один допустимый базовый вариант, найденный кандидат и соседние точки; рассчитаны все ограничения; радиус имеет обоснованную точность; вывод ограничен проверенным интервалом.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[33] — Редакция от 1 октября 2026 г.; магнитные задачи и команды mi_/mo_
[68] — Взвешенный тензор напряжений; выбор тела, окружение воздухом и сеточная погрешность
Пояснения и типичные ошибкиПочему в этом случае можно уточнять границу силы, а не минимизировать потери произвольным методом?
Для фиксированного ярма потери по принятой модели обмотки строго возрастают с радиусом. Если допустимость образует интервал и все прочие ограничения выполнены, наименьшие потери достигаются у его левой границы. Эти предпосылки проверяются отдельно.
Можно ли считать bisect и fmin взаимозаменяемыми?
Нет. bisect ищет нуль функции на интервале с переходом знака; fmin ищет минимум. Связь между нулём ограничения и оптимумом возникает только при обоснованной структуре конкретной задачи.
Когда результат одномерной оптимизации нужно отвергнуть?
Если итоговая точка нарушает хотя бы одно исходное ограничение, геометрия некорректна, сила считана из чужого решения либо улучшение исчезает при принятом уточнении. Тогда изменяют постановку, резерв или продолжают поиск.
На что обратить внимание
Корень уравнения силы не является автоматически допустимым минимумом: остаются ограничения по току, индукции и геометрии.
Один центральный зазор нельзя использовать вместо двух последовательно включённых участков чашечного магнитопровода.
В осесимметричной модели нельзя повторно умножать готовую силу FEMM на 2\pi r.