{
  "schema": "femm5-actuator-theory-v1",
  "title": "Оптимизация чашечного тягового электромагнита",
  "object": [
    "Осесимметричный чашечный электромагнит создаёт осевую силу притяжения плоского дискового якоря. Поток проходит через центральный полюс, первый осевой зазор, якорь, второй осевой зазор, наружное возвратное ярмо и дно чашки. Катушка расположена в кольцевом окне между центральным полюсом и возвратным ярмом.",
    "Геометрия имеет размерность реального малогабаритного аппарата, а поле действительно рассчитывается FEMM 5. Это новый учебный проект; его нельзя считать изготовленным и экспериментально аттестованным промышленным изделием. Кривая B(H) объявлена в model.py и не приписана какой-либо марке стали.",
    "Постоянный ток 1,5 А, 400 витков, зазор 1 мм и наружный радиус 25 мм фиксированы. Оптимизируются радиус центрального полюса r от 6 до 13 мм и толщина наружного ярма t от 3 до 7 мм. Глубина осесимметричной модели автоматически учитывается объёмами тел вращения."
  ],
  "sections": [
    {
      "title": "Сила из закона сохранения энергии",
      "steps": [
        {"formula": "\\mathrm dW_\\text{эл}=i\\,\\mathrm d\\Psi=\\mathrm dW_\\text{м}+F_z\\,\\mathrm dz", "text": "При медленном обратимом перемещении и отсутствии потерь электрическая энергия делится на изменение энергии магнитного поля и механическую работу. Потокосцепление Ψ связано с полной обмоткой, а не с одним витком."},
        {"formula": "W'_\\text{м}=i\\Psi-W_\\text{м},\\qquad \\mathrm dW'_\\text{м}=\\Psi\\,\\mathrm di+F_z\\,\\mathrm dz", "text": "Дифференцируем определение магнитной коэнергии и подставляем предыдущее равенство. Коэнергия особенно удобна при заданном токе."},
        {"formula": "F_z=\\left(\\frac{\\partial W'_\\text{м}}{\\partial z}\\right)_i,\\qquad F_\\text{прит}=-\\left(\\frac{\\partial W'_\\text{м}}{\\partial g}\\right)_i", "text": "Координата z направлена вверх. Рост зазора g соответствует движению якоря вверх; сила притяжения направлена вниз, поэтому её положительный модуль равен отрицательной производной коэнергии по зазору."},
        {"formula": "W_\\text{м}=\\int_V\\!\\int_0^B H(b)\\,\\mathrm db\\,\\mathrm dV,\\qquad W'_\\text{м}=\\int_V\\!\\int_0^H B(h)\\,\\mathrm dh\\,\\mathrm dV", "text": "Эти формулы применимы к однозначной безгистерезисной характеристике материала. В нелинейной модели энергия и коэнергия не равны; подмена каждой из них половиной IΨ неверна."},
        {"formula": "\\varepsilon_W=\\frac{|W_\\text{м}+W'_\\text{м}-I\\Psi|}{|I\\Psi|},\\qquad F_\\text{прит}^{(W')}\\approx-\\frac{W'_\\text{м}(g+\\Delta g)-W'_\\text{м}(g-\\Delta g)}{2\\Delta g}", "text": "В каждой точке проверяется энергетическое тождество. Независимая проверка силы использует два новых полевых решения при g±0,02 мм. Дифференцируется коэнергия всего поля, включая воздух, при неизменном токе."}
      ]
    },
    {
      "title": "Магнитная цепь как исходная оценка",
      "steps": [
        {"formula": "NI=\\oint H\\,\\mathrm dl\\approx\\mathcal R_\\text{Fe}\\Phi+\\frac{g\\Phi}{\\mu_0 S_1}+\\frac{g\\Phi}{\\mu_0 S_2}", "text": "Из закона полного тока получаем оценку магнитодвижущей силы. S₁=πr² — площадь центрального полюса, S₂=π[R²−(R−t)²] — площадь кольцевого наружного полюса. Магнитная цепь содержит два зазора; суммарный спад напряжения на них нельзя заменить одним зазором g."},
        {"formula": "F_\\text{прит}\\approx\\frac{\\Phi^2}{2\\mu_0}\\left(\\frac1{S_1}+\\frac1{S_2}\\right),\\qquad B\\approx\\frac{\\mu_0 NI}{2g}\\quad(S_1=S_2)", "text": "Первое выражение следует из магнитного давления B²/(2μ₀) на обеих полюсных поверхностях. Второе дополнительно предполагает одинаковые площади, пренебрежимо малое сопротивление стали и отсутствие рассеяния и выпучивания потока. В оптимизации вместо этих оценок используется сила FEMM по взвешенному тензору напряжений."}
      ]
    },
    {
      "title": "Медная обмотка и вывод критерия",
      "steps": [
        {"formula": "w=R-t-r-2d,\\qquad S_\\text{пр}=\\frac{k_\\text{з}wh}{N},\\qquad r_\\text{ср}=\\frac{r+R-t}{2}", "text": "d=1 мм — радиальный изоляционный отступ с каждой стороны, h=23 мм — высота катушки, kз=0,55 — коэффициент заполнения окна медью. При фиксированном числе витков изменение окна означает изменение сечения провода. Это принципиальная часть постановки, а не случайная замена одной катушки другой."},
        {"formula": "l_\\text{пр}=2\\pi N r_\\text{ср},\\qquad R_\\text{обм}=\\rho_\\text{Cu}\\frac{l_\\text{пр}}{S_\\text{пр}},\\qquad P_\\text{м}=I^2R_\\text{обм}", "text": "Сечение переводят из мм² в м², длину — из мм в м. Удельное сопротивление меди при 20 °C принято равным 1,7241·10⁻⁸ Ом·м. Сопротивление выводов и нагрев обмотки не включены. Оптимизируется постоянная составляющая потерь, а не потери AC или потери в стали."},
        {"formula": "J=\\frac{I}{S_\\text{пр}}=\\frac{NI}{k_\\text{з}wh},\\qquad V_\\text{Cu}=l_\\text{пр}S_\\text{пр},\\qquad P_\\text{м}=\\rho_\\text{Cu}J^2V_\\text{Cu}", "text": "Последнее равенство — независимая алгебраическая сверка медной модели. В FEMM обмотка задана областью с μr=1, нулевой проводимостью и током цепи; её омические потери вычисляются по геометрии медного провода, а не выдаются за интеграл потерь непроводящей области FEMM."},
        {"formula": "P_\\text{м}=C\\frac{r+R-t}{R-t-r-2d},\\qquad C=\\frac{I^2\\rho_\\text{Cu}\\pi N^2}{k_\\text{з}h}", "text": "Подставляем выражения для длины и сечения. Все длины в этой формуле должны быть в одной системе единиц; h в коэффициенте C выражают в метрах, чтобы получить ватты."},
        {"formula": "\\frac{\\partial P_\\text{м}}{\\partial r}=C\\frac{2(R-t-d)}{(R-t-r-2d)^2}>0,\\qquad\\frac{\\partial P_\\text{м}}{\\partial t}=C\\frac{2(r+d)}{(R-t-r-2d)^2}>0", "text": "При фиксированной толщине минимум потерь находится при минимальном допустимом радиусе. Это позволяет исключить одну переменную дихотомией ограничения силы. Сама сила не заменяется аналитической оценкой: каждое испытание радиуса запускает новую геометрию и нелинейный FEMM-расчёт."},
        {"formula": "\\left.\\frac{\\mathrm dP_\\text{м}}{\\mathrm dt}\\right|_{F=F_\\text{тр}}=\\frac{\\partial P_\\text{м}}{\\partial t}-\\frac{\\partial P_\\text{м}}{\\partial r}\\frac{\\partial F/\\partial t}{\\partial F/\\partial r}", "text": "Дифференцируем активное ограничение F(r,t)=Fтр: Fr·dr+Ft·dt=0. Подстановка в полный дифференциал P объясняет компромисс между площадью полюса и толщиной ярма. Производные силы около найденного решения чувствительны к перестроению сетки; поисковый алгоритм градиентов не требует."}
      ]
    },
    {
      "title": "Ограничения и честная проверка минимума",
      "steps": [
        {"formula": "\\min_{r,t}P_\\text{м},\\quad F_\\text{прит}\\ge50\\,\\text{Н},\\quad J\\le6\\,\\text{А/мм}^2,\\quad B_\\text{выб}\\le1{,}65\\,\\text{Тл},\\quad w\\ge2\\,\\text{мм}", "text": "Индукция Bвыб — максимум по 36 внутренним точкам стали, заданным в программе. Это воспроизводимый выборочный контроль, а не доказанное ограничение истинного максимума в угловых точках. Для промышленного проекта нужны радиусы скруглений и более полный контроль материала."},
        {"formula": "g_F=\\frac{F_\\text{тр}-F}{F_\\text{тр}},\\quad g_J=\\frac{J}{J_\\text{доп}}-1,\\quad g_B=\\frac{B_\\text{выб}}{B_\\text{доп}}-1,\\quad v=\\sum_j\\max(0,g_j)^2", "text": "Безразмерные нарушения позволяют сравнивать ограничения разных размерностей. Для основной задачи выбираются только допустимые точки; величина v нужна для показа причин отбраковки. Поиск использует 50,5 Н, то есть запас 1 % к обязательным 50 Н, и отдельно сохраняет физическую допустимость и допустимость с запасом."},
        {"formula": "\\varepsilon_F^{(h)}=\\frac{F(h)-F(h_0)}{F(h_0)},\\qquad\\varepsilon_F^{(R)}=\\frac{F(R_\\text{внеш,2})-F(R_\\text{внеш,1})}{F(R_\\text{внеш,1})}", "text": "После выбора проекта независимо уменьшаются элементы сетки, расширяется внешняя область и рассчитывается окрестность размеров. Улучшение меньше разрешения поиска и численной неопределённости нельзя объявлять доказанным оптимумом. Публикуется лучший найденный допустимый проект принятого семейства и наблюдаемая точность его локализации."}
      ]
    }
  ],
  "sources": [
    {"title": "FEMM 5: встроенный MicroPython и состав библиотек", "url": "https://www.femm.info/doku/doku.php?id=micropython"},
    {"title": "FEMM: взвешенный тензор напряжений", "url": "https://www.femm.info/wiki/WeightedStressTensor"},
    {"title": "FEMM: численная оптимизация и шум сетки", "url": "https://www.femm.info/doku/doku.php?id=randomoptimization"}
  ]
}