Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор параметров конструкции по целевой характеристике и ограничениям
Инженерный вопрос. Отличим ли физический эффект параметра от численного шума?
Целевая характеристика, ограничения и независимая проверка выбранного варианта превращают серию FEMM в обоснованный выбор конструкции. Поиск имеет смысл только после проверки исходной модели.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Запишите параметры, допустимую геометрию, целевую функцию и ограничения с единицами; правила отклонения невозможного варианта задайте до поиска.
Зазор и шаг конечной разности. Проверьте алгоритм на контролируемой функции и физически допустимом исходном варианте.
Проверка семейства геометрий до поиска. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните контрольные размеры, допустимость геометрии и изменения критериев при малых вариациях.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Таблица чувствительности с проверкой геометрии и уровня численного изменения.
Данные именно этого опыта. Сохраните контрольные размеры, допустимость геометрии и изменения критериев при малых вариациях.
Оформление наблюдений. Таблица параметров, целевых величин, ограничений, статуса расчёта и причины отказа; сравнение с исходным вариантом при одних условиях.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Ни одна геометрическая или численная проверка не подменяется успешным завершением решателя; производные имеют единицы и сопоставлены с аналитическим знаком.
Независимый контроль. Повторно рассчитайте выбранный вариант вне поисковой процедуры и на уточнённой сетке; для фронта вариантов проверьте допустимость и отсутствие доминирования.
Критерий выполнения. Геометрические инварианты сформулированы; ошибки построения сохраняются отдельно; повтор A проверен; изменение производной связано с аппроксимацией и сеткой, а не только с числом знаков.
Точность и расхождения. Сопоставьте величину улучшения с численной погрешностью и чувствительностью к исходным данным. Сходимость поисковых итераций не доказывает глобальной оптимальности, а малое изменение целевой функции не определяет физическую точность модели.
Основание сравнения. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Вывод для устройства
Выберите допустимый вариант по реальному компромиссу характеристик, укажите запас к ограничениям и область проверенного поиска.
Границы вывода. Найденный вариант относится к заданной параметризации, диапазону и модели. Успех алгоритма не доказывает глобальное решение или готовность изделия к изготовлению.
Теория и вывод формул
Параметризация задаёт семейство геометрически корректных моделей и обеспечивает воспроизводимость вариантов. Анализ чувствительности позволяет отличить физическое влияние параметра от изменений сетки и обосновать шаг поиска.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Параметризация — однозначное правило построения чертежа из короткого набора чисел. Независимые размеры задают смысл проектного изменения: ширина полюса изменяет рабочее сечение, толщина ярма — запас сечения обратного пути, а дуга магнита — полюсное перекрытие. Координаты узлов вычисляются из этих размеров, а не становятся сотнями независимых переменных.
Инварианты — условия, которые сохраняются при любом допустимом наборе параметров: рабочий зазор, ось вращения, число полюсов, направление намагничивания, число витков и глубина. Сохранение зазора не означает сохранение любой окружности ротора: если меняется толщина магнита при фиксированном наружном радиусе, изменяется радиус спинки. Это отношение нужно записать явно и проверить положительность оставшейся толщины.
Каждый кандидат следует строить из чистого состояния. Последовательное перемещение уже перемещённых узлов накапливает ошибки, оставляет старые метки и связывает результат с историей вызовов. Хорошая проверка функции построения: рассчитать A, затем B, затем снова A; геометрия, свойства и результат повторного A должны совпасть в пределах принятой повторяемости. Русские имена материалов, цепей и границ должны одинаково использоваться в генераторе и чтении результата.
ra — координаты узла a; \delta — воздушный зазор; S обл,k — площадь каждой материальной области. Эти условия необходимы, но не заменяют проверку пересечений и правильного назначения меток.
При фиксированных наружном радиусе ротора и радиусе вала утолщение магнита уменьшает толщину спинки t сп. Все радиусы должны использовать одну единицу.
Границы применимости. Размеры не обязаны менять только одну физическую характеристику. Обязанность автора параметризации — показать все связанные изменения и удержать действительно неизменные условия.
Единицы и безразмерные группы
Геометрические команды FEMM часто используют миллиметры, а аналитические формулы магнитного поля записывают в единицах СИ. Поэтому граница между геометрией и физическими вычислениями должна содержать явное преобразование. Площадь в мм² переводят в м² множителем 10⁻⁶, объём в мм³ — в м³ множителем 10⁻⁹. Глубина плоской задачи входит в интегральную силу и момент; неверная глубина может дать правдоподобную карту поля при неверном интегральном результате.
Безразмерные отношения позволяют понимать, какие размеры действительно управляют полем. Например, отношение зазора к ширине полюса определяет важность краевого поля; отношение магнитодвижущей силы к произведению характерной длины и поля задаёт уровень возбуждения. Это не доказывает полное подобие нелинейных машин: фиксированная кривая намагничивания, разные потери и технологические зазоры нарушают простые законы масштабирования.
Нормированные координаты поиска и физические безразмерные группы имеют разные назначения. Первая замена выравнивает диапазоны переменных для алгоритма; вторая объясняет физику. Сохранение z при изменении границ поиска не сохраняет прежнюю конструкцию. Поэтому в журнале сохраняют и нормированные, и физические размеры.
Обе группы безразмерны: \mu _{0}NI имеет единицу Тл·м. b — ширина полюса, N — число витков, I — ток, А.
Чувствительность: абсолютная и относительная
Абсолютная производная показывает изменение результата на единицу размера и зависит от выбранных единиц. Безразмерная чувствительность отвечает на более понятный вопрос: на сколько процентов изменится результат при малом изменении размера на один процент. Для ненулевых величин она получается логарифмическим дифференцированием.
В идеальном магнитопроводе с одним преобладающим зазором, неизменной площадью и током индукция обратно пропорциональна зазору. Сила пропорциональна квадрату индукции, поэтому её относительная чувствительность к зазору равна минус двум. Этот вывод пригоден для прогнозирования знака и масштаба. Он перестаёт быть точным при насыщении, значимом сопротивлении стали и сильном выпучивании поля.
Чувствительность не равна погрешности. Для неопределённого зазора \delta g приближённое изменение силы можно оценить первой производной, но это требует малости возмущения. Рядом с активным ограничением даже небольшой технологический разброс может сделать номинально допустимый вариант непригодным. Тогда нужен резерв или проверка нескольких неблагоприятных состояний.
C фиксируется неизменными площадью, током и числом витков в идеализированной линейной цепи. g обозначает единственный преобладающий рабочий зазор.
Берём логарифм: \ln F = \ln C - 2 \ln g. Дифференцируем по \ln g и получаем K = -2. При увеличении зазора на 1 % первая оценка уменьшения силы равна 2 %.
Почему слишком малая разность размеров ухудшает производную
Полевой результат зависит от сетки. При перестроении геометрии генератор может изменить число и форму элементов скачком. Такая зависимость не является случайным измерительным шумом; тем не менее в поиске она проявляется как мелкая неровность критерия. Точное повторение одной геометрии может дать одинаковое число и при этом не обнаружить смещение результата относительно непрерывного решения.
Центральная конечная разность второго порядка хорошо аппроксимирует производную гладкой функции при достаточно малом шаге. Но погрешность двух полевых значений делится на этот же шаг. Если каждый результат известен с абсолютной ошибкой не более \eta, ошибка разности от этого источника ограничена \eta /\Delta x. Поэтому уменьшение шага в сто раз может увеличить влияние сеточных возмущений в сто раз.
Выбор шага проверяют серией, а не числом знаков после запятой. Сначала сопоставляют \Delta x, \Delta x/2 и 2\Delta x при одинаковых настройках сетки; затем уточняют сетку и повторяют сравнение. Если знак или порядок производной меняется, градиент не следует использовать как надёжную физическую характеристику. Если полевой расчёт требует значительных вычислительных затрат, практичнее прямой поиск по вариантам геометрии. Шаг изменения параметров при этом выбирают достаточно большим, чтобы различать физический эффект и численную погрешность.
C_{3} — оценка |q⁽³⁾|/6. Шаг баланса следует из минимума верхней оценки, но без достоверных C_{3} и \eta не является готовым правилом настройки FEMM.
Разлагаем q(x + \Delta x) и q(x - \Delta x) в ряды Тейлора. При вычитании чётные степени сокращаются; деление на 2\Delta x оставляет q' и член q⁽³⁾\Delta x^{2}/6.
Для |e+|, |e−| ≤ \eta имеем |e+ - e−| ≤ 2\eta. После деления на 2\Delta x получается \eta /\Delta x. Дифференцирование суммы C_{3}\Delta x^{2} + \eta /\Delta x даёт 2C_{3}\Delta x - \eta /\Delta x^{2} = 0.
Детерминированная оценка, журнал и повторное использование
Функция оценки должна возвращать не одно число, а запись: физические параметры, режим, статус, критерии, ограничения, число элементов и пути к модели и решению. Любое чтение силы выполняется после нового анализа и загрузки соответствующего решения. Старый активный постпроцессор нельзя принимать за решение текущего кандидата.
Повторное использование ранее рассчитанной точки экономит время, если ключ включает все входы, влияющие на результат. Одних размеров недостаточно: после изменения материала, сетки, глубины или алгоритма обработки прежнее число уже относится к другой задаче. В учебном пакете необходимы версия программы, контрольные суммы входов и отдельная запись о завершённом решении.
Оригиналы библиотечных моделей остаются в проверочной библиотеке. Учебный генератор строит собственные адаптированные модели с русскими именами и сохраняет происхождение метода. Чистая повторная сборка показывает, что курс не зависит от скрытого состояния авторского каталога или от ручного редактирования старого файла.
Проверьте геометрию без решения; затем выполните один базовый расчёт. Только после этого разрешайте оптимизатору многократный вызов функции.
Запишите полный набор входов в каждую строку журнала. Для повторно взятого результата сохраните ссылку на исходную проверенную запись.
Повторите базовый вариант после другого кандидата и из отдельного рабочего каталога. Сопоставьте размеры, материалы, число элементов и интегральный результат.
Границы применимости. Совпадение повторов подтверждает управляемость вычисления. Сходимость по сетке и соответствие реальному объекту исследуются отдельно.
Разобранный численный пример
Зазор и шаг конечной разности
Дано. Аналитическая сила F(g) = 100/g^{2} Н, если числовое значение g задано в мм. В точке g = 1 мм сравните точную производную и центральную разность с шагом 0,1 мм.
Точная производная равна -2F/g = -200 Н/мм.
При g = 1{,}1 мм сила равна 82,6446 Н; при g = 0{,}9 мм — 123,5 Н.
Центральная разность равна (82{,}6446 - 123{,}4568)/0{,}2 = -204{,}0608 Н/мм. Отличие от точной производной около 2,03 %.
При шаге 0,05 мм получаем -201 Н/мм: ошибка аппроксимации уменьшается примерно в четыре раза. Если каждое значение силы имеет ошибку до 0,02 Н, вклад этой ошибки в разность ограничен 0,2 и 0,4 Н/мм соответственно.
Ответ: Точная относительная чувствительность K = -2; абсолютная производная −200 Н/мм. Уменьшение шага улучшает аппроксимацию, но усиливает влияние ошибок полевого результата.
Проверка: Размерность производной — Н/мм, а чувствительности — единица. Коэффициент C = 100 Н·мм² нельзя использовать с числом зазора в метрах без перевода.
Откройте функцию построения учебного электромагнита. Выпишите независимые размеры, связанные координаты и инварианты; проверьте перевод миллиметров в единицы СИ в формулах объёма.
Для трёх граничных и одного внутреннего набора параметров проверьте отсутствие пересечений, положительность зазоров, положение меток и назначение цепей. Некорректный вариант должен быть отклонён до анализа.
Рассчитайте базовый набор A, другой допустимый B и повторный A. Сравните результат, число элементов и файлы входной геометрии; объясните обнаруженное расхождение.
Выберите один размер и выполните центральную разность с тремя шагами. Отдельно повторите эти точки на более мелкой сетке.
Проверьте, что механизм повторного использования результата меняет ключ при изменении глубины, режима, материала и сетки.
Вычислите производную при трёх шагах и двух уровнях возмущения; найдите область, где дальнейшее уменьшение шага перестаёт помогать.
Ожидаемый результат. Проверенная параметризация, таблица инвариантов, опыт A \to B \to A и график чувствительности с оговорённым диапазоном надёжных шагов.
Как проверить. Ни одна геометрическая или численная проверка не подменяется успешным завершением решателя; производные имеют единицы и сопоставлены с аналитическим знаком.
Обработка и анализ результатов
Отличим ли физический эффект параметра от численного шума?
Сохраните контрольные размеры, допустимость геометрии и изменения критериев при малых вариациях.
Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
С чем сравнить. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Итог работы. Таблица чувствительности с проверкой геометрии и уровня численного изменения.
Проверка аналитического эталона во встроенном Python
Программа выполняется встроенным Python FEMM 5 без внешних пакетов. Она проверяет только явно заданный аналитический пример; полевой практикум выполняется отдельно указанной программой.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Параметризация геометрии, чувствительность и численный шум.Среда: встроенный Python FEMM 5.Проверяется только авторский аналитический эталон, полевой решатель не вызывается.Полученные числа не являются квитанцией расчёта электромагнита или машины."""# Аналитическая сила задана в ньютонах при числовом значении зазора в миллиметрах.# Для трёх шагов вычисляем центральную разность в Н/мм и сравниваем с точной производной.defforce(g_mm):return100.0/g_mm**2g_mm=1.0exact=-2*force(g_mm)/g_mmforstep_mmin(0.1,0.05,0.025):difference=(force(g_mm+step_mm)-force(g_mm-step_mm))/(2*step_mm)print("Шаг, мм:",step_mm,"Производная, Н/мм:",difference,"Относительная ошибка:",abs(difference/exact-1))
Выполненные полевые расчёты и программы FEMM 5
Данные ниже получены в установленном FEMM 5. Интерактивный разбор использует сохранённые результаты; для нового поиска скачайте программу и необходимые данные, сохранив имена файлов и подпапок, и запустите run.py во встроенном Python FEMM 5. reproduce.py или verify_models.py выполняет отдельный контроль сохранённых моделей.
Тяговый чашечный электромагнит
В основной серии выполнено полевых решений: 161. Вариант, выбранный по заданным правилам: 151.
Подготовьте протокол параметризации одного объекта, тест последовательности A \to B \to A и таблицу центральных разностей для трёх шагов на двух сетках. Объясните выбранный минимальный содержательный шаг поиска.
Критерий выполнения: Геометрические инварианты сформулированы; ошибки построения сохраняются отдельно; повтор A проверен; изменение производной связано с аппроксимацией и сеткой, а не только с числом знаков.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[33] — Редакция от 1 октября 2026 г.; магнитные задачи и команды mi_/mo_
[57] — Дорогие полевые вычисления, влияние перестроения сетки и случайный поиск; внешний интерфейс исходного примера в курсе не используется
[132] — SIAM Journal on Optimization, 2006, т. 17, № 1, с. 188–217; строгие теоремы MADS не переносятся автоматически на учебный алгоритм
[50] — Проверка пространственной сходимости и условий экстраполяции Ричардсона; рекомендации по CFD не означают заранее известного порядка сходимости FEMM
Пояснения и типичные ошибкиПочему более мелкий шаг изменения размера может дать менее надёжную производную?
Разность двух близких полевых результатов делится на малый шаг. Сеточные ошибки и перестроение сетки могут преобладать над физическим изменением результата.
Достаточно ли сохранить в ключе повторного использования только геометрические размеры?
Нет. На результат влияют режим, глубина, материал, сетка, граничные условия и способ обработки; изменение любого из этих входов требует новой оценки.
Что доказывает опыт A \to B \to A и чего он не доказывает?
Он проверяет отсутствие зависимости от порядка вызовов и накопленных изменений. Совпадение повторов не доказывает сеточную сходимость и физическую точность модели.
На что обратить внимание
Уменьшение шага алгоритма не повышает точность поля автоматически.
Нельзя переносить метки и узлы накопленными относительными смещениями без проверки истории построения.
Гладкий график после интерполяции не является доказательством гладкости исходной зависимости FEMM.