Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Выбор параметров конструкции по целевой характеристике и ограничениям
Инженерный вопрос. Даёт ли поиск воспроизводимое улучшение относительно базы?
Целевая характеристика, ограничения и независимая проверка выбранного варианта превращают серию FEMM в обоснованный выбор конструкции. Поиск имеет смысл только после проверки исходной модели.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Запишите параметры, допустимую геометрию, целевую функцию и ограничения с единицами; правила отклонения невозможного варианта задайте до поиска.
Ответить на вопрос по своим результатам. Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Карта рассчитанных точек и сравнение выбранного варианта с базой при одинаковых условиях.
Данные именно этого опыта. Сохраните два размера, критерий, ограничения и статусы всех полевых оценок.
Оформление наблюдений. Таблица параметров, целевых величин, ограничений, статуса расчёта и причины отказа; сравнение с исходным вариантом при одних условиях.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Заявлено улучшение среди выполненных проверок; невалидные оценки исключены; программа не вызывает внешнюю систему управления и не использует отсутствующий многомерный scipy.optimize.minimize.
Независимый контроль. Повторно рассчитайте выбранный вариант вне поисковой процедуры и на уточнённой сетке; для фронта вариантов проверьте допустимость и отсутствие доминирования.
Критерий выполнения. Журнал позволяет пересчитать число новых решений и повторов; все сравнения относятся к одной физической постановке; локальная остановка не названа доказательством глобального оптимума.
Точность и расхождения. Сопоставьте величину улучшения с численной погрешностью и чувствительностью к исходным данным. Сходимость поисковых итераций не доказывает глобальной оптимальности, а малое изменение целевой функции не определяет физическую точность модели.
Основание сравнения. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Вывод для устройства
Выберите допустимый вариант по реальному компромиссу характеристик, укажите запас к ограничениям и область проверенного поиска.
Границы вывода. Найденный вариант относится к заданной параметризации, диапазону и модели. Успех алгоритма не доказывает глобальное решение или готовность изделия к изготовлению.
Теория и вывод формул
Включение толщины ярма в число переменных приводит к поиску в двумерной области. Проверка допустимости, предварительный расчёт по сетке параметров и поиск по направлениям объединяются с сохранением всех полевых оценок.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
В предыдущем занятии толщина возвратного ярма оставалась фиксированной. Теперь r изменяется от 6 до 13 мм, t — от 3 до 7 мм. Более толстое наружное ярмо уменьшает его магнитное сопротивление и расширяет возвратную площадь, но сужает окно обмотки. Центральный полюс и наружное ярмо конкурируют за один радиальный габарит. Поэтому одномерное решение уже не отвечает на вопрос о лучшем сочетании размеров.
При фиксированном r увеличение t одновременно уменьшает среднюю длину витка и уменьшает сечение провода. Из выведенной модели следует, что влияние сужения окна здесь сильнее: потери растут с t. Это ещё не означает, что минимальная толщина 3 мм даёт лучший допустимый аппарат. Если тонкое ярмо ограничивает поток или насыщается, потребуется увеличить r или отказаться от варианта.
В выбранном прямоугольнике r = 6…13 мм и t = 3…7 мм ширина окна w = 25 - t - r - 2 не меньше 3 мм. Поэтому проверка w \ge 2 мм здесь автоматически выполнена и сохраняется как защитное геометрическое условие на случай изменения диапазонов. Полевые ограничения силы и индукции, а также ограничение плотности тока могут сделать допустимое множество искривлённым или несвязным. Визуализация двумерной таблицы помогает увидеть его структуру и обнаружить ошибку алгоритма до длинной серии.
Это геометрическая область до полевой проверки силы и контрольной индукции. Плотность тока вычисляется аналитически из геометрии обмотки.
При n = r + R - t и w = R - t - r - 2s имеем \partial n/\partial t = -1, \partial w/\partial t = -1. Производная отношения n/w равна (n - w)/w^{2} = 2(r + s)/w^{2}.
Сравнение допустимых и недопустимых состояний
Отдельная функция лучше(a,b) нужна до описания перемещения по области. Для достоверно рассчитанных кандидатов сначала проверяют допустимость. Допустимая точка всегда предпочтительнее недопустимой; среди допустимых выбирают меньшие потери; среди недопустимых, если это предусмотрено поиском старта, выбирают меньшую нормированную меру нарушения. При равенстве задают воспроизводимое дополнительное правило, например меньший радиус, затем меньшую толщину.
Ошибки построения, отсутствие сходимости и неверная обработка не являются обычными недопустимыми состояниями с большой силой нарушения. Это невалидные оценки. Их сохраняют со статусом и исключают из численного сравнения. Большая искусственная штрафная константа удобна только при явном соглашении и отдельной обработке этого статуса.
Сравнение с допуском требует осторожности. Если улучшение меньше оценки численной неопределённости, лучше не считать шаг надёжным. Но попарное объявление близких значений равными может нарушать транзитивность порядка. Поэтому в журнале сохраняют исходные числа, а для движения используют одно явно описанное правило достаточного улучшения; окончательное ранжирование выполняют после одинаковых повторных расчётов.
Кортеж c поясняет лексикографическое предпочтение. Для допустимых точек v = 0 и сравнение доходит до потерь; для недопустимых сначала уменьшается нарушение.
\varepsilon P — заранее установленный абсолютный порог достоверного улучшения, Вт, согласованный с проверкой сетки. Сам по себе такой порог не создаёт оценки погрешности FEMM.
Обзорная сетка и локальный поиск по направлениям
Первый этап — обзорная сетка 30 комбинаций r и t в разрешённых пределах. Это конечный план вычислительного эксперимента: он показывает распределение допустимости и даёт несколько начальных точек. На графике отмечают точки, в которых выполнен расчёт; цветной фон между ними — только интерполяция. Линию ограничения нельзя считать точно найденной по одной заливке.
Сначала разберём общую аналитическую схему прямого поиска: от допустимого старта проверяют восемь направлений в нормированных координатах — плюс и минус каждой оси и четыре диагонали. Кандидаты за пределами области отклоняются либо строятся специальным правилом без повторов. При улучшении центр переносится, а при неуспехе всех проб шаг уменьшается. Эта схема поясняет формулы ниже; она не описывает буквально все стадии предоставленного полевого run.py.
В фактической программе после обзорных сеток выполняется координатный поиск по толщине t с дихотомическим восстановлением допустимого радиуса r, затем доводка границы на более мелкой сетке. После неё проверяются шесть локальных направлений: (±0,1; 0), (0; ±0,1), (−0,05; 0,1) и (0,05; −0,1) мм для пары (r; t). Лучший допустимый сосед принимается; при отсутствии улучшения этот локальный этап завершается.
Диагональные направления помогают пройти вдоль наклонной границы, где изменение одного размера нарушает силу, а согласованное изменение двух размеров улучшает потери. Ни общая восьминаправленная схема, ни предоставленная координатная программа не являются полным MADS и не наследуют автоматически его теоремы сходимости. Локальная остановка не исключает лучшую точку далеко от текущего центра.
P — набор направлений в безразмерных координатах z. Диагональные шаги имеют большую евклидову длину, если в программе они не нормированы; это должно быть отражено в описании.
Это учебная схема прямого поиска. Программа обязана сохранять причины отклонений, проверять границы и не повторять уже оценённую точку с теми же входами.
Случайные пробы, несколько стартов и предел доказательства
Дополнительный случайный поиск выбирает возмущение внутри ограниченной окрестности. Он удобен при дорогом расчёте, потому что одна проба требует одного нового решения, и не зависит от вычисления ненадёжных производных. Воспроизводимость требует фиксировать генератор, начальное состояние и все фактически проверенные размеры. Просто записать «использовано случайное число» недостаточно.
Случайные пробы не гарантируют выход из любого локального минимума за конечное время. Сужение окрестности может окончательно запереть поиск в одной области. Несколько стартов и обзор всей области снижают зависимость от начальной точки, но конечный набор экспериментов всё равно не является доказательством глобальности непрерывной задачи.
В основном полевом практикуме используется детерминированный прямой поиск по указанным направлениям; случайный алгоритм рассматривается как дополнительная реализация во встроенном Python. Обе версии должны использовать одну функцию построения и оценки, одинаковые ограничения и одинаковый бюджет. Тогда сравнение алгоритмов имеет смысл: сравниваются затраты и найденные допустимые результаты, а не разные физические задачи.
Бюджет и минимальный шаг задают практическую остановку. Эти неравенства ограничивают работу алгоритма и не являются условиями глобальной оптимальности.
Встроенный Python: разделение геометрии, физики и поиска
Функция построения получает параметры и создаёт новую модель. Функция оценки вызывает анализ, загружает именно его решение, вычисляет силу, контрольную индукцию, потери и ограничения. Оптимизатор работает только с этими проверенными записями. Такое разделение позволяет сначала проверить алгоритм на аналитическом эталоне, а затем заменить источник чисел полевым расчётом.
Для этого достаточно списков, словарей, циклов, math, json и встроенных команд FEMM. Полная внешняя SciPy, pyFEMM, Matlab, Julia и мост к стороннему интерпретатору не требуются. Обычный пакет с названием scipy во встроенной среде содержит ограниченный набор ulab; перенос примера из документации полной SciPy без проверки API может закончиться отсутствующей функцией.
Показанный ниже аналитический эталон имеет единственный известный минимум, поэтому обнаруживает ошибки знаков и направления движения. После перехода к FEMM эталон перестаёт быть доказательством физической корректности. Все полевые оценки сохраняют входную модель и статус, чтобы результат можно было независимо открыть и пересчитать.
Это специально заданная аналитическая функция, не заменяющая магнитную модель. Разные коэффициенты выявляют неправильное масштабирование координат.
Границы применимости. Проверка аналитического оптимизатора подтверждает его арифметику и логику. Исполнение команд FEMM, соблюдение ограничений и проверка найденной конструкции подтверждаются отдельными файлами практикума.
Разобранный численный пример
Один цикл прямого поиска с известным ответом
Дано. Аналитический критерий f = (z_{1} - 0{,}3)^{2} + 4(z_{2} - 0{,}6)^{2}. Старт z = (0,5; 0,5), шаг \Delta = 0{,}1. Область 0 \le z_{1},z_{2} \le 1.
В стартовой точке f = 0{,}2^{2} + 4\cdot (-0{,}1)^{2} = 0{,}08.
Проба (0,4; 0,5) даёт 0,05; проба (0,5; 0,6) — 0,04.
Диагональная проба (0,4; 0,6) даёт 0,01 и лучше всех этих проб.
Следующая допустимая проба (0,3; 0,6) даёт нуль. На аналитическом эталоне достижение известного минимума подтверждает правильность направлений и критерия, но не свойства полевой задачи.
Ответ: После первого полного набора соседних проб лучший кандидат — (0,4; 0,6), f = 0{,}01; точный аналитический минимум равен нулю в (0,3; 0,6).
Проверка: Уменьшение критерия положительно: 0{,}08 - 0{,}01 = 0{,}07. Обе координаты безразмерны; значение функции также безразмерно.
Практикум в FEMM 5
Два геометрических размера и полная последовательность полевого расчёта
Проверьте одномерный практикум и аналитический эталон алгоритма. Затем включите двумерный этап программы run.py во встроенном Python FEMM 5.
Просмотрите обзорную таблицу 30 сочетаний. Для каждого значения проверьте статус, параметры, силу, потери, плотность тока, контрольную индукцию и все безразмерные ограничения.
На карте допустимости отметьте фактические точки. Выберите несколько допустимых стартов, включая лучший обзорный вариант, и сохраните одинаковый бюджет уточнений.
Проследите осевые и диагональные пробы локального поиска. Сопоставьте путь с границей силы; объясните случаи, где движение одной координаты невозможно, а совместный шаг допустим.
Проверьте, что повторно используемые точки действительно имеют те же входы. После изменения сетки или программы создайте новую серию оценок.
Сравните лучший двумерный вариант с одномерным решением при одинаковом токе, зазоре, температуре и проверочной сетке. Улучшение должно сопровождаться сохранением допустимости.
Сравните поиск с осевыми и диагональными пробами для двух начальных точек; по журналу оценок сопоставьте путь, число расчётов и достигнутый критерий.
Ожидаемый результат. Карта допустимости, журнал реальных полевых вызовов и сравнение нескольких стартов; выбранная конструкция имеет полный набор сохранённых входов и ограничений.
Как проверить. Заявлено улучшение среди выполненных проверок; невалидные оценки исключены; программа не вызывает внешнюю систему управления и не использует отсутствующий многомерный scipy.optimize.minimize.
Обработка и анализ результатов
Даёт ли поиск воспроизводимое улучшение относительно базы?
Сохраните два размера, критерий, ограничения и статусы всех полевых оценок.
Сведите все рассчитанные точки, включая недопустимые, к одним критериям и ограничениям; сравните выбранный вариант с базовым.
С чем сравнить. Используйте целевые функции и ограничения из документации изготовителя занятия. Лучший среди просмотренных вариантов не является доказанным глобальным оптимумом; численный шум оценивают отдельно от улучшения.
Итог работы. Карта рассчитанных точек и сравнение выбранного варианта с базой при одинаковых условиях.
Проверка аналитического эталона во встроенном Python
Программа выполняется встроенным Python FEMM 5 без внешних пакетов. Она проверяет только явно заданный аналитический пример; полевой практикум выполняется отдельно указанной программой.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Многопараметрический прямой поиск с ограничениями.Среда: встроенный Python FEMM 5.Проверяется только авторский аналитический эталон, полевой решатель не вызывается.Полученные числа не являются квитанцией расчёта электромагнита или машины."""# Функция и координаты безразмерны; её точный минимум известен для проверки алгоритма.# Все пробы строим от неизменного центра, соблюдаем границы и выбираем наименьший критерий.defobjective(point):x,y=pointreturn(x-0.3)**2+4*(y-0.6)**2center,step=(0.5,0.5),0.1directions=((1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1))best=centerfordx,dyindirections:candidate=(center[0]+step*dx,center[1]+step*dy)if0<=candidate[0]<=1and0<=candidate[1]<=1:ifobjective(candidate)<objective(best):best=candidateprint("Лучшая первая проба:",best,"Критерий:",objective(best))
Выполненные полевые расчёты и программы FEMM 5
Данные ниже получены в установленном FEMM 5. Интерактивный разбор использует сохранённые результаты; для нового поиска скачайте программу и необходимые данные, сохранив имена файлов и подпапок, и запустите run.py во встроенном Python FEMM 5. reproduce.py или verify_models.py выполняет отдельный контроль сохранённых моделей.
Тяговый чашечный электромагнит
В основной серии выполнено полевых решений: 161. Вариант, выбранный по заданным правилам: 151.
Сравните обзорный перебор и прямой поиск из двух стартов при одинаковом бюджете новых полевых решений. Представьте карту допустимости, траектории, таблицу лучших вариантов и проверку каждого ограничения.
Критерий выполнения: Журнал позволяет пересчитать число новых решений и повторов; все сравнения относятся к одной физической постановке; локальная остановка не названа доказательством глобального оптимума.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[33] — Редакция от 1 октября 2026 г.; магнитные задачи и команды mi_/mo_
[132] — SIAM Journal on Optimization, 2006, т. 17, № 1, с. 188–217; строгие теоремы MADS не переносятся автоматически на учебный алгоритм
[57] — Дорогие полевые вычисления, влияние перестроения сетки и случайный поиск; внешний интерфейс исходного примера в курсе не используется
Пояснения и типичные ошибкиПочему минимум двумерной задачи не обязан совпасть с одномерным при t = 4 мм?
Двумерная допустимая область включает другие толщины ярма, меняющие поток, окно и сопротивление обмотки. Одномерный минимум ограничен одной линией этой области.
Почему полезны диагональные пробы около активного ограничения силы?
Они позволяют согласованно уменьшать один размер и увеличивать другой, сохраняя силу. Отдельная осевая проба может оказаться недопустимой.
Какие основания дают право говорить о качестве найденного решения?
Полный обзорный набор, несколько стартов, сохранённые ограничения, независимые соседние пробы и одинаковые уточнённые пересчёты. Эти основания характеризуют исследованный поиск, но не доказывают глобальный минимум во всём непрерывном пространстве.
На что обратить внимание
Конечный набор направлений и малый шаг не исключают лучшую удалённую точку.
Нельзя сравнивать полевые и аналитические оценки как равноправные значения одного критерия без явного обозначения источника.
Отклонённые и неудачные расчёты сохраняют: их исчезновение из журнала скрывает структуру допустимой области.