Занятие 48.1
Цель. Получить согласованную нелинейную карту реле для силы и цепи.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Расчётная лабораторная работа · Построение карты отклика и локальных параметров
Инженерный вопрос. Согласуется ли сила карты с производной коэнергии и прямым WST?
Магнитная цепь, потокосцепление, тяговая характеристика и потери образуют методику выбора зазора, обмотки и режима привода. Сила становится проектным критерием после сопоставления с нагрузкой механизма.
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте независимые координаты карты, диапазон и рабочую точку; различите секущую, производную и интерполяцию.
Нелинейная карта: почему половина I\Psi не равна коэнергии. Проверьте вычисление локального параметра по соседним точкам и его зависимость от шага.
Постройте карту реле по токам и положениям, сохраните независимые контрольные точки и сравните силу WST с производной коэнергии.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите ток, положение, потокосцепление и две оценки силы, включая независимые точки.
Ответить на вопрос по своим результатам. Проверьте карту в независимых точках; сопоставьте интерполяцию или производную с прямым расчётом и повторите при меньшем шаге.
Результат этого занятия. Карта с ошибками контрольных точек и границами допустимого диапазона.
Данные именно этого опыта. Сведите ток, положение, потокосцепление и две оценки силы, включая независимые точки.
Оформление наблюдений. Координаты каждой точки, отклик, шаг производной и способ интерполяции; контрольные точки не должны совпадать с узлами определения параметра.
Проверка из практикума. Шаг хода выражен в метрах; интеграл по току сходится; линейная и нелинейная формулы не смешаны; параметры и два зазора I05 сохранены, контрольные точки не использованы при построении интерполяции.
Независимый контроль. Сопоставьте прогноз с прямым расчётом в независимой точке и измените шаг производной или плотность карты отдельно от сетки.
Критерий выполнения. Шаг хода выражен в метрах; интеграл по току сходится; линейная и нелинейная формулы не смешаны; параметры и два зазора I05 сохранены, контрольные точки не использованы при построении интерполяции. Карта \Psi (I,x), интегралы коэнергии и сравнение силы с WST, ошибки независимых точек и явно ограниченная область интерполяции. Числа самостоятельной аналитической карты не служат эталоном другой геометрии FEMM. Статическая карта отделена от расчёта переходного процесса.
Точность и расхождения. Разделите невязку полевого решения, ошибку интерполяции и чувствительность производной к приращению. Вблизи нулевого отклика сохраняйте абсолютную оценку с единицей.
Основание сравнения. Используйте определения карты, локальной производной и коэнергии из занятия. Вывод относится к проверенному диапазону; экстраполяция и переход через границу карты требуют отдельного обоснования.
Объясните, в каком диапазоне карта может заменить прямые полевые расчёты в модели цепи или движения и почему за её пределами нужен новый расчёт.
Границы вывода. Магнитная сила отдельного привода не подтверждает работу всего аппарата: контактные усилия, пружины, трение, динамика и нагрев должны быть заданы и проверены по назначению.
Для динамического расчёта аппарата потокосцепление и силу задают на общей сетке токов и положений якоря. Коэнергия W'(i, x)=\int _{0}^{i}\Psi (\iota ,x)d\iota связывает магнитную характеристику с силой при фиксированном токе.
Для динамики аппарата нужны потокосцепление и сила на общей сетке токов и положений. Коэнергия W'(i, x)=\int _{0}^{i}\Psi (\iota ,x)d\iota определяет силу при фиксированном токе.
Сила, рассчитанная отдельно и независимо интерполированная, может не согласоваться с производной коэнергии. Таблицы должны иметь общий диапазон и соглашение о координате; выход за диапазон требует отказа или нового расчёта, а не скрытой экстраполяции.
Общий метод виртуальной работы введён в 40.2. Для нелинейной карты требуется интегрировать потокосцепление по току при неизменном положении: одна точка \Psi (I,x) не задаёт коэнергию.
Для выбранного положения численно интегрируйте все точки токовой кривой, включая нулевой ток. Сгущение этой сетки проверяет квадратуру.
На одинаковом токе сравните коэнергии двух соседних положений. Шаг переводят в метры.
Только при \Psi =LI и постоянной по току L интеграл сводится к I\Psi /2. В нелинейном примере ниже это сокращение не применяется.
Границы применимости. Гладкая обратимая карта в указанном диапазоне; гистерезис, движение с вихревыми токами и выход за диапазон требуют другой постановки.
Постройте карту реле по токам и положениям, сохраните независимые контрольные точки и сравните силу WST с производной коэнергии.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Показаны сетки тока и хода, допустимый диапазон, ошибка в независимых точках и различие двух способов силы; нулевой ток без магнита не создаёт искусственную силу.
Аналитический пример задаёт собственную нелинейную функцию \Psi (I,x). Полевую карту строят отдельно по двухзазорному образцу I05; исходную геометрию, токовую сетку, положение и выбранную условную B(H) фиксируют в каждой серии.
Численно отрицательная локальная динамическая индуктивность может указывать на плохие данные или интерполяцию; её нельзя молча обрезать.
Дано. Самостоятельная аналитическая карта для I\ge 0: \Psi (I,x)=L_{0}(x)I/(1+I/I_{s}), I_{s}=2 А, L_{0}(x)=0{,}020+10x Гн, где x в метрах и 0\le x\le 0{,}002 м направлен на закрытие. Найти \Psi, W' и силу при I=2 А, x=0{,}001 м. Эта функция не является выгрузкой FEMM.
В рабочей точке L_{0}=0{,}030 Гн, \Psi =0{,}030 Вб. Дифференциальная индуктивность L_{0}/(1+I/I_{s})^{2}=7{,}5 мГн положительна.
Интегрируем по току: W'=L_{0} I_{s}^{2}[I/I_{s}-\ln (1+I/I_{s})]. Это интеграл всей кривой, а не значение в одной точке.
W'=0.036822338333 Дж. Поскольку dL_{0}/dx =10 Гн/м, сила по закрытию F=I_{s}^{2}\cdot 10\cdot (1-ln_{2})=12.274112777602 Н.
Линейная подстановка I\Psi /2 дала бы 0,030 Дж и при дифференцировании этой подстановки — 10 Н. Здесь она неверна. При I=0 интеграл и сила обращаются в нуль.
Ответ: \Psi =0{,}030 Вб; W'=0.036822338333 Дж; F=12.274112777602 Н. Магнитная энергия W=I\Psi -W'=0.023177661667 Дж отличается от коэнергии.
Проверка: Производная взята при фиксированном токе и по x в метрах. Карта задана для иллюстрации нелинейного интеграла; её числа не приписывают модели I05 или карте реального реле.
Магнитная муфта передаёт вращающий момент через воздушный промежуток. Ведущая и ведомая части несут магниты либо магнитопровод с обмотками; механический контакт между ними отсутствует. В герметичном приводе между частями может находиться немагнитная перегородка. Входные величины статической модели — взаимный угол, геометрия, токи и намагниченность; выходные — момент, силы и рабочие точки материала. Предельный передаваемый момент связан с максимумом угловой характеристики, но нагрев перегородки и механические нагрузки требуют дополнительных расчётов.
В левитроне электромагнитная сила удерживает подвижное тело против тяжести. Рассматриваем притягивающий электромагнит над стальным цилиндром. Обмотка создаёт неоднородное поле, ферромагнитное тело втягивается в область большего поля. Зазор, ток и размеры определяют силу; масса превращает эту силу в ускорение. Поэтому полевая карта является компонентом модели движения, а не готовой системой левитации.
Последовательность учебного проекта заимствует методическую идею НГТУ: постановка задания, построение геометрии, параметрическая серия, проверка сил, выбор размеров. Здесь построены собственные небольшие геометрии FEMM 5; размеры, численные таблицы и программы не объявляются повторением результатов пособия. Муфта представлена плоским сечением с центральным магнитом и двумя внешними магнитами; левитрон — осесимметричной катушкой и цилиндром.
Для обратимой магнитной системы при фиксированной геометрии электрическая работа равна i d\Psi. Если часть работы уходит в механическую координату x, баланс записывается dW =i d\Psi -F dx. Преобразование Лежандра W'=i\Psi -W делает независимыми ток и положение. Дифференцирование даёт dW '=\Psi di +F dx; следовательно производную берут именно при неизменных токах. Для угла аналогично получают момент. При наличии постоянных магнитов необходимо сохранять их материальную модель и направление намагниченности при повороте.
В линейной системе с одной токовой обмоткой \Psi =L(x)i, поэтому W'=L(x)i^{2}/2 и F=i^{2}L'(x)/2. Эта формула удобна для оценки требуемого тока. В насыщении L зависит от тока: требуется интеграл \Psi (i, x) по току либо прямой силовой интеграл. Подставлять секущую индуктивность в линейную формулу без проверки нельзя.
Для ориентированной магнитной муфты равновесие определяется равенством электромагнитного и нагрузочного моментов. Если положительный момент увеличивает угол \theta, локальное механическое восстановление требует отрицательной производной результирующего момента по \theta. На ветви с положительной производной малое отклонение усиливается. Торможение, трение, инерция и движение за пределами одного сечения в статическом FEMM не возникают сами.
Обозначим z высоту тела вверх; увеличение z уменьшает воздушный промежуток g. Вертикальное уравнение движения m z¨=F(z, i)−mg. В рабочей точке сила равна весу. Линеаризация даёт m \Delta z¨=kz \Delta z+ki \Delta i, где kz=\partial F/\partial z и ki=\partial F/\partial i. При постоянном токе и kz>0 имеется положительный вещественный корень характеристического уравнения: притяжение усиливает приближение к полюсу, тело либо притягивается, либо падает.
В обратной связи ток можно уменьшать при подъёме: \Delta i=−KpΔz−KdΔż. Тогда эффективная жёсткость определяется kiKp−kz, а демпфирование kiKd. Необходимые условия положительности этих величин относятся к идеальному безынерционному токовому исполнительному звену. Реальные обмотка, усилитель, датчик, задержка, насыщение напряжения и дискретизация изменяют устойчивость. Нативная серия ниже подтверждает только статическую карту и её производную.
У реального ферромагнитного тела собственная масса должна соответствовать размерам. Сначала рассчитывается объём цилиндра и масса при принятой плотности; затем ищется ток, способный удержать именно эту массу. Величина F/g при произвольном тестовом токе — допустимая поддерживаемая масса, а не автоматически масса нарисованного тела.
Оптимизация начинается с задания допустимости, а не с поиска самого большого усилия. В малом опыте изменяются радиус цилиндра r=3{,}4,5 мм и зазор g=6{,}8,10 мм; длина цилиндра 6 мм, обмотка и материал одинаковы. Цель — минимальный удерживающий ток. Ограничения: g\ge 8 мм, масса≤3 г и ток≤12 А. При одинаковом сопротивлении обмотки минимум i^{2} соответствует минимуму её медных потерь.
Для каждого кандидата FEMM рассчитывает силу при 5 А. В принятой линейной магнитной модели сила пропорциональна i^{2}, поэтому удерживающий ток получается масштабированием. Отдельный повтор равновесной точки проверяет это предположение. В нелинейной стали вместо масштабирования нужна ограниченная итерация по току с новой полевой задачей на каждом шаге.
Перебор девяти точек даёт выбор среди девяти конкретных конструкций. Он не доказывает глобального оптимума непрерывной области и не включает нагрев, механическую жёсткость, стоимость магнитопровода или запас управления. После выбора следует уточнить сетку, размеры возле лучшей точки и запас по насыщению.
Дано. Катушка r=10…20 мм, z=0…20 мм, 200 витков; цилиндр r=4 мм, l=6 мм, \mu _{r}=500, \rho =7800 кг/м³; g=8 мм.
Объём даёт массу 2,35242 г и вес 0,0230694 Н. При 5 А FEMM даёт 0,00624032 Н.
Из квадратичного масштабирования найден ток 9,61357 А; новый нативный расчёт даёт 0,0230694 Н.
При этом токе силы для g=6 и 10 мм равны 0,0344187 и 0,0155938 Н. Центральная разность по z даёт kz≈4,70623 Н/м.
Ответ. Сила согласована с весом, но kz>0. В идеальной разомкнутой линейной модели скорость нарастания отклонения √(kz/m)≈44,7 с⁻¹.
Проверка. Это грубая производная по шагу 2 мм и линейная сталь. Для точного локального коэффициента шаг уменьшить; наличие положительного kz уже исключает вывод о пассивной устойчивости.
Дано. r=3{,}4,5 мм; g=6{,}8,10 мм; ограничение массы 3 г и тока 12 А.
r=3 мм, g=6 мм: m=1.3232 г; i_{\mathrm{eq}}=7.0828 А; исключено ограничениями.
r=3 мм, g=8 мм: m=1.3232 г; i_{\mathrm{eq}}=8.5914 А; допустимо.
r=3 мм, g=10 мм: m=1.3232 г; i_{\mathrm{eq}}=10.4757 А; допустимо.
r=4 мм, g=6 мм: m=2.3524 г; i_{\mathrm{eq}}=7.8706 А; исключено ограничениями.
r=4 мм, g=8 мм: m=2.3524 г; i_{\mathrm{eq}}=9.6136 А; допустимо.
r=4 мм, g=10 мм: m=2.3524 г; i_{\mathrm{eq}}=11.6930 А; допустимо.
r=5 мм, g=6 мм: m=3.6757 г; i_{\mathrm{eq}}=8.4676 А; исключено ограничениями.
r=5 мм, g=8 мм: m=3.6757 г; i_{\mathrm{eq}}=10.3713 А; исключено ограничениями.
r=5 мм, g=10 мм: m=3.6757 г; i_{\mathrm{eq}}=12.6546 А; исключено ограничениями.
Ответ. Лучший допустимый узел: r=3 мм, g=8 мм, i_{\mathrm{eq}}=8{,}59140 А. Увеличение радиуса до 4 мм повышает требуемый ток до 9,61357 А, хотя сила при 5 А растёт.
Проверка. Критерий учитывает возрастающий вес; весь массив девяти выполненных решений методом конечных элементов сохранён в results.json.
Дано. Центральный магнит 4×10 мм, два внешних 4×20 мм, \mu _{r}=1, H_c=800 кА/м, глубина 20 мм.
При \theta =30^\circ,60^\circ,90^\circ вычислены моменты 0,0259399; 0,0589341; 0,0752050 Н·м.
Нулевые концы периода имеют небольшую численную невязку: −1,13·10⁻⁵ Н·м при 0^\circ и 6,84·10⁻⁵ Н·м при 180^\circ.
Ответ. Максимум среди семи проверенных углов приходится на 90^\circ. Это дискретная оценка предельного момента учебной геометрии.
Проверка. Не приписывать каждому нулю устойчивость; проверить знак наклона и уменьшить угловой шаг возле экстремума.
Ожидаемый результат. Семь угловых точек, пять силовых точек, три проверки удерживающего тока, девять проектных вариантов; все таблицы сохраняются.
Проверка.
Учебные геометрии; 24 магнитостатических решения, линейная сталь.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
Скачать программу для встроенного Python FEMM 5
Для запуска сохраните необходимые файлы, сохраняя их имена и структуру подпапок:
"""Последовательный проект: статическая муфта и тяговая характеристика левитрона.
Это новые учебные геометрии по мотивам методической последовательности НГТУ,
не численное воспроизведение размеров пособия. FEMM5, без внешнего контроллера.
Муфта плоская 20мм глубины; левитрон осесимметричный, сталь mu_r=500 линейная.
Серия силы даёт равновесие и локальную производную, а не устойчивый регулятор.
"""
# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.
import os
import sys
os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))
exec(open("common.py").read())
folder = result_folder("results-coupling-levitron")
data = {"coupling": [], "levitron": []}
for angle in [0, 30, 60, 90, 120, 150, 180]:
newdocument(0)
mi_probdef(0, "millimeters", "planar", 1e-9, 20, 30)
material("Air")
material("PM", hc=800000)
mi_drawrectangle(-2, -5, 2, 5)
mi_selectrectangle(-2.1, -5.1, 2.1, 5.1, 4)
mi_setgroup(1)
mi_clearselected()
label(0, 0, "PM", 0.4, group=1, angle=90)
for x in [-12, 12]:
mi_drawrectangle(x - 2, -10, x + 2, 10)
label(x, 0, "PM", 0.6, group=2, angle=90)
label(7, 0, "Air", 1)
mi_makeABC(7, 60, 0, 0, 0)
mi_selectgroup(1)
mi_moverotate(0, 0, angle)
mi_clearselected()
solve(folder, "coupling-%d" % angle)
mo_groupselectblock(1)
data["coupling"].append({"angle_deg": angle, "torque_Nm": mo_blockintegral(22)})
close_magnetic()
save_json(folder, data)
for gap in [4, 6, 8, 10, 12]:
newdocument(0)
mi_probdef(0, "millimeters", "axi", 1e-9, 1, 30)
material("Air")
material("Steel", mu=500)
mi_addcircprop("Coil", 5, 1)
mi_drawrectangle(10, 0, 20, 20)
label(15, 10, "Air", 0.6, "Coil", 200, 1)
mi_drawrectangle(0, -gap - 6, 4, -gap)
label(2, -gap - 3, "Steel", 0.25, group=2)
label(5, 0, "Air", 0.8)
mi_makeABC(7, 80, 0, 0, 0)
solve(folder, "levitron-gap%d" % gap)
mo_groupselectblock(2)
force = mo_blockintegral(19)
data["levitron"].append(
{"gap_mm": gap, "force_up_N": force, "equilibrium_mass_kg": force / 9.80665}
)
close_magnetic()
save_json(folder, data)
f6, f10 = data["levitron"][1]["force_up_N"], data["levitron"][3]["force_up_N"]
data["dF_dgap_N_per_m"] = (f10 - f6) / 0.004
data["dF_dz_up_N_per_m"] = -data["dF_dgap_N_per_m"]
mass = 7800 * math.pi * 0.004**2 * 0.006
current_eq = 5 * math.sqrt(mass * 9.80665 / data["levitron"][2]["force_up_N"])
data["equilibrium"] = {"steel_mass_kg": mass, "current_A": current_eq, "points": []}
for gap in [6, 8, 10]:
opendocument(os.path.join(folder, "levitron-gap%d.fem" % gap))
mi_modifycircprop("Coil", 1, current_eq)
solve(folder, "equilibrium-gap%d" % gap)
mo_groupselectblock(2)
data["equilibrium"]["points"].append(
{"gap_mm": gap, "force_N": mo_blockintegral(19)}
)
close_magnetic()
# Ограниченный перебор двух размеров; оцениваем реальную массу каждого цилиндра.
data["design_grid"] = []
for radius in [3, 4, 5]:
for gap in [6, 8, 10]:
newdocument(0)
mi_probdef(0, "millimeters", "axi", 1e-9, 1, 30)
material("Air")
material("Steel", mu=500)
mi_addcircprop("Coil", 5, 1)
mi_drawrectangle(10, 0, 20, 20)
label(15, 10, "Air", 0.6, "Coil", 200, 1)
mi_drawrectangle(0, -gap - 6, radius, -gap)
label(radius / 2, -gap - 3, "Steel", 0.25, group=2)
label(7, 0, "Air", 0.8)
mi_makeABC(7, 80, 0, 0, 0)
solve(folder, "grid-radius%d-gap%d" % (radius, gap))
mo_groupselectblock(2)
force = mo_blockintegral(19)
model_mass = 7800 * math.pi * (radius / 1000) ** 2 * 0.006
required_current = 5 * math.sqrt(model_mass * 9.80665 / force)
data["design_grid"].append(
{
"radius_mm": radius,
"gap_mm": gap,
"mass_kg": model_mass,
"force_at_5A_N": force,
"current_required_A": required_current,
"feasible": gap >= 8 and model_mass <= 0.003 and required_current <= 12,
}
)
close_magnetic()
save_json(folder, data)
feasible = [row for row in data["design_grid"] if row["feasible"]]
data["selected_design"] = min(feasible, key=lambda row: row["current_required_A"])
save_json(folder, data)
assert all(row["force_up_N"] > 0 for row in data["levitron"])
print(data)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Самостоятельное русское введение и новый статический проект по последовательности НГТУ. Полная система управления и эксперимент не воспроизведены; линейная \mu _{r}=500 не заменяет заявленную изготовителем B–H.
Первоисточники: [82] (Работы: магнитная муфта; левитрон; выбор соотношений размеров. 115 страниц PDF.); [32] (Методическая постановка оптимизации; здесь собственный конечный перебор.).
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Образец | русская рабочая копия 40.1, N=100, S каждого полюса 400 мм², два зазора | |
| Сетка токов | 0;2,5;5;7,5;10 | А |
| Каждый зазор g | 4;3;2;1;0,5 | мм |
| Ход x=4-g | 0…3,5 | мм |
Ожидаемый результат. Карта \Psi (I,x), интегралы коэнергии и сравнение силы с WST, ошибки независимых точек и явно ограниченная область интерполяции. Числа самостоятельной аналитической карты не служат эталоном другой геометрии FEMM.
Как проверить. Шаг хода выражен в метрах; интеграл по току сходится; линейная и нелинейная формулы не смешаны; параметры и два зазора I05 сохранены, контрольные точки не использованы при построении интерполяции.
Согласуется ли сила карты с производной коэнергии и прямым WST?
С чем сравнить. Используйте определения карты, локальной производной и коэнергии из занятия. Вывод относится к проверенному диапазону; экстраполяция и переход через границу карты требуют отдельного обоснования.
Итог работы. Карта с ошибками контрольных точек и границами допустимого диапазона.
Нелинейная карта реле для согласованной энергетики. Получите Ψ(i,x), секущую и дифференциальную индуктивности и силу из одной согласованной карты, контролируя шаги по току и ходу.
Опорная теория: 38.2 · H(B) и нелинейная МДС; 41.1 · Производная коэнергии при заданной кинематике; 44.4 · Пределы поучастковой цепной оценки.
Применение: 52.1 · Использовать карту в собственном проекте аппарата.
Маршрут магнитных систем в основном оглавлении · Каталог рассчитанных конструкций
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Постройте карту реле по токам и положениям, сохраните независимые контрольные точки и сравните силу WST с производной коэнергии. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Он является независимой электрической переменной выбранного потенциала W'; другое условие требует другого энергетического выражения.
Кривая \Psi (I,x) нелинейна: её интеграл W'=0.036822338333 Дж, а I\Psi /2=0{,}030 Дж. Производная полного интеграла даёт 12,27 Н, линейная подстановка — 10 Н.
Используется обратимая однокатушечная карта без постоянных магнитов; x задан в метрах, ток фиксирован при производной, а интеграл начинается с I=0. Статическая карта сама по себе не задаёт переходный процесс.