FEMM 5

Часть I · Интерфейс FEMM 5, геометрия, сетка и математические основы → § 3 · Постановка, границы и сетка

Занятие 3.4

Управление сеткой: размер области и ребра, дуги, минимальный угол и Smart Mesh

Цель и задачи

Цель. Выбрать достаточную сетку по температуре и тепловому балансу.

Задачи

  • Сравните аппроксимацию параболической температуры линейными конечными элементами на трёх вложенных уровнях детализации.
  • Сохраните ограничение размера элементов, число элементов, температуру центра и граничные потоки.
Что нужно вспомнить перед началом

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Обоснование численной устойчивости выбранной характеристики

Инженерный вопрос. Как меняется погрешность температуры пластины на трёх сетках?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

  1. Обосновать постановку и способ измерения. Выберите одну защищаемую величину и различите погрешности сетки, внешней области и дискретизации положения. Точность линейного решателя не заменяет эти проверки.

  2. Пластина с объёмным тепловыделением — аналитический эталон. Разберите порядок сравнения уточняемых решений и причину независимого изменения факторов.

  3. Получите три сетки пластины с объёмным источником, меняя только ограничение размера элементов; сравните T центра и тепловой баланс.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните ограничение размера элементов, число элементов, температуру центра и граничные потоки.

  4. Ответить на вопрос по своим результатам. Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Таблица сходимости температуры и отдельная проверка мощности источника.

Данные именно этого опыта. Сохраните ограничение размера элементов, число элементов, температуру центра и граничные потоки.

Оформление наблюдений. Таблица параметра уточнения, числа элементов и одной неизменной по определению величины; отдельная серия для каждого источника численного изменения.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Независимый контроль. Используйте последовательное уточнение и независимый физический предел; одно совпадение двух грубых сеток недостаточно для оценки порядка сходимости.

Критерий выполнения. Таблица содержит число узлов/элементов, размер, T_{\max} и баланс источника 20 Вт; изменение сетки не сопровождается изменением физики.

Точность и расхождения. Выполните уровни и допуск, прямо заданные практикумом. Иначе укажите требуемую точность по инженерной задаче до сравнения; изменение соседних решений является оценкой устойчивости, а не доказанной полной погрешностью.

Основание сравнения. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.

Вывод для устройства

Выберите достаточно экономную сетку для требуемой характеристики и покажите, почему именно её устойчивость достаточна для последующего решения.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Теория и вывод формул

Параметры сетки определяют пространственную дискретизацию области и её границ. Ограничения в метках, на отрезках и дугах рассматриваются отдельно от допуска решателя, поскольку эти настройки характеризуют разные источники численной погрешности.

Соглашения об обозначениях и единицах
  • \(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
  • \(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
  • \(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
  • Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
  • Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
  • Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Указатель формул этого занятия
  1. (3.22) · Вывод контрольного соотношения

Физический и методический смысл

Глобальная точность линейного решателя и пространственная точность сетки — разные параметры. Ограничение в метке управляет внутренней областью, на отрезке — граничной дискретизацией, на дуге — её разбиением.

Smart Mesh и ограничение минимального угла управляют качеством разбиения, но не доказывают сходимость наблюдаемой величины. Очень тонкие области и малые геометрические углы могут сделать жёсткие требования несовместимыми.

Вывод контрольного соотношения

Сравните аппроксимацию параболической температуры линейными конечными элементами на трёх вложенных уровнях детализации.

-kT^{\prime\prime}=q_v,\quad T(x)=300+\frac{q_v}{2k}(a^2-x^2),\quad T_{\max}=300+\frac{q_va^2}{2k}
(3.22)
Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.

  1. Условие симметрии даёт T'(0)=0. Двойное интегрирование уравнения Пуассона даёт параболу.

  2. Превышение температуры в центре равно 10^{6}\cdot 0{,}01^{2}/(2\cdot 10)=5 К.

  3. Объём 2aS=2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{м^3} выделяет 20 Вт; каждая торцевая сторона отводит 10 Вт.

Границы применимости. Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.

Связь с опытом в FEMM

Получите три сетки пластины с объёмным источником, меняя только ограничение размера элементов; сравните T центра и тепловой баланс.

Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.

Проверка и границы вывода

Таблица содержит число узлов/элементов, размер, T_{\max} и баланс источника 20 Вт; изменение сетки не сопровождается изменением физики.

Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму.

Минимальный угол 33{,}8^\circ — верхняя граница допустимого ввода руководства, а не универсальная рекомендация и не гарантия построения сетки.

Пояснения к официальному руководству

Подробности, которые следует учитывать при настройке и проверке модели. Все учебные пояснения.

Формулы и таблицы руководства к этому занятию

Точность решателя, минимальный угол и Smart Mesh

Length Units выбирает дюймы, миллиметры, сантиметры, метры, mils или микрометры. Depth доступна в Planar и измеряется в выбранных единицах длины. В Axisymmetric интегральный объём учитывает вращение сечения; постоянная глубина к нему не добавляется. Frequency имеется у магнитной и токовой задач: нулевая частота задаёт статический режим.

Precision — порог относительной невязки линейной системы, обычно 10⁻⁸. Это не относительная ошибка силы, температуры или ёмкости: пространственную погрешность оценивают отдельным уточнением сетки. Min Angle задаёт желаемое качество треугольников и принимает 1–33{,}8^\circ. Теоретическое завершение при угле до 20{,}7^\circ относится к идеальной арифметике; на тонких деталях реальная конечная точность может потребовать меньшего ограничения.

Линейная система и относительная невязка

\mathbf M\mathbf x=\mathbf b,\qquad\eta=\frac{\lVert\mathbf b-\mathbf M\mathbf x\rVert}{\lVert\mathbf b\rVert}\le\varepsilon_{\mathrm{solver}}
(М.Н.7)
Precision ограничивает относительную невязку алгебраической системы, а не погрешность геометрии, сетки или итоговой силы. В руководстве значение по умолчанию равно 10⁻⁸.

Обозначения и единицы

  • \mathbf M — квадратная матрица; \mathbf x — искомый вектор; \mathbf b — правая часть. Их единицы задаёт физическая дискретизация; \eta и \varepsilon_{\mathrm{solver}} — безразмерные относительная невязка и заданный допуск.

Условия применения. Приведённое отношение определено при \lVert\mathbf b\rVert\ne0. Для нулевой правой части нужен внутренний критерий решателя, которого эта формула не устанавливает.

Ненумерованное соотношение из текста руководства; обозначения и условия раскрыты для курса.

Smart Mesh On выводит характерный размер из средней длины прямых отрезков и уточняет сетку возле их концов. Узлы, принадлежащие только дугам, не получают такое уточнение просто из-за кривизны. При Off остаются размеры в метках и ограничения на рёбрах; гладкий зазор поэтому проверяют локально, а не полагаются на переключатель.

Решатель актуализирует сетку перед анализом, но предварительный просмотр позволяет заметить непомеченные области и недостаточное разрешение. Mesh/Purge Mesh освобождает загруженную сетку из памяти; это не удаление геометрии. Abort прекращает решение, после него нельзя выдавать прежний открытый результат за новый. В Problem Info записывают тип, частоту, глубину, единицы и числа узлов/элементов.

Проверьте на своей модели

  • Выполните три расчёта с неизменной физикой и разным ограничением размера; сравните целевую величину, а не только невязку.
  • Проверьте сетку на гладкой дуге и в углу при обоих состояниях Smart Mesh.

Источник: [33]. § 2.2.6 · § 2.2.9 · § 2.4.1 · § 2.4.3 · § 2.6.1 · § 2.6.3 · § 2.8.1 · § 2.8.3

Разобранный численный пример

Пластина с объёмным тепловыделением — аналитический эталон

Дано. Половина толщины a=10\,\mathrm{мм}; высота 10 мм; глубина 100 мм; k=10\,\mathrm{Вт/(м\cdot К)}; q_v=10^{6}\,\mathrm{Вт/м^3}; T(-a)=T(a)=300\,\mathrm{К}.

  1. Условие симметрии даёт T'(0)=0. Двойное интегрирование уравнения Пуассона даёт параболу.

  2. Превышение температуры в центре равно 10^{6}\cdot 0{,}01^{2}/(2\cdot 10)=5 К.

  3. Объём 2aS=2\cdot 10^{-5}\,\mathrm{м^3} выделяет 20 Вт; каждая торцевая сторона отводит 10 Вт.

Ответ: T_{\max}=305\,\mathrm{К}; полный источник 20 Вт; поток через каждый охлаждаемый торец 10 Вт.

Проверка: Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.

Практикум в FEMM 5

Получите три сетки пластины с объёмным источником, меняя только ограничение размера элементов; сравните T центра и тепловой баланс.

Таблица 3.10. Исходные данные практикума
Исходная величинаЗначениеЕдиница
a10мм
q_v1 × 10⁶Вт/м³
k10Вт/(м·К)
T_{0}300К
  1. В Heat Flow Problem постройте прямоугольник (−10,0)–(10,10) мм, Depth=100.
  2. Материал: k_x=k_y=10, Volume Heat Generation=1000000 Вт/м³. Слева и справа Fixed Temperature=300 К, горизонтальные стороны изолированы.
  3. Уточните сетку трижды по толщине. В каждом варианте считайте T(0{,}5), а не максимум сглаженной картины поля.
  4. Вычислите интеграл объёмного источника и два граничных потока; запишите направление нормали и невязку баланса.

Ожидаемый результат. T_{\max}=305\,\mathrm{К}; полный источник 20 Вт; поток через каждый охлаждаемый торец 10 Вт. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.

Как проверить. Сравнивайте объёмный источник в Вт/м³ с полным потоком в Вт после интегрирования по объёму. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.

Обработка и анализ результатов

Как меняется погрешность температуры пластины на трёх сетках?

  1. Сохраните ограничение размера элементов, число элементов, температуру центра и граничные потоки.
  2. Постройте таблицу уточнения с изменением выбранной величины между соседними уровнями; остальные параметры сохраняйте.

С чем сравнить. Критерий берётся из практикума. Сетку, размер внешней области и шаг положения уточняют раздельно; малая невязка решателя не равна полной погрешности.

Итог работы. Таблица сходимости температуры и отдельная проверка мощности источника.

Расчётные исследования по теме

Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.

Все темы учебного практикума

Окна FEMM 5

Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.

Рабочая область модели «Скругление электрода: интегральная и локальная сходимость». Нативный препроцессор FEMM 5.
Рабочая область модели «Скругление электрода: интегральная и локальная сходимость». Нативный препроцессор FEMM 5. Открыть в полном размере
Сохранённое решение «Скругление электрода: интегральная и локальная сходимость». Электрический потенциал V, В; эквипотенциали вокруг электрода со скруглёнными углами.
Сохранённое решение «Скругление электрода: интегральная и локальная сходимость». Электрический потенциал V, В; эквипотенциали вокруг электрода со скруглёнными углами. Открыть в полном размере

Самостоятельная работа

Получите три сетки пластины с объёмным источником, меняя только ограничение размера элементов; сравните T центра и тепловой баланс. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.

Критерий выполнения: Таблица содержит число узлов/элементов, размер, T_{\max} и баланс источника 20 Вт; изменение сетки не сопровождается изменением физики.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
  1. [33] — 25–26, 38–39, 53–54, 66–68, 78–79
Пояснения и типичные ошибки
Доказывает ли невязка решателя 1\times 10^{-8} точность температуры 1\times 10^{-8}?

Нет; дискретизация геометрии, поля и свойства материала имеют независимые погрешности.

Какое контрольное число и единица проверяют этот опыт?

T_{\max}=305\,\mathrm{К}; полный источник 20 Вт; поток через каждый охлаждаемый торец 10 Вт.

При каких предположениях получена приведённая формула?

Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.

На что обратить внимание

  • Минимальный угол 33{,}8^\circ — верхняя граница допустимого ввода руководства, а не универсальная рекомендация и не гарантия построения сетки.
  • Постоянная теплопроводность; параболический профиль является аналитическим решением, с которым сравнивают FEM.