Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник
Цель. Определить добавочное магнитное сопротивление, обусловленное раскрытием паза, и коэффициент Картера. При одинаковом возбуждении оценить изменение амплитуд и фаз пространственных гармоник.
Связь с проектированием. Выбрать допустимое раскрытие паза по увеличению требуемой МДС и проверить, какие гармоники поля меняются сильнее основной.
Задачи
Сверить гладкий зазор с решением уравнения Лапласа.
Получить k\delta для четырёх раскрытий и отделить сеточную погрешность.
Сопоставить комплексные коэффициенты одинаковых гармоник пазовой и гладкой моделей.
Исходные данные и условия опыта
Плоская задача, активная длина 1 м, зубцовое деление 40 мм, зазор 2 мм, глубина паза 20 мм. Раскрытие 0, 4, 8 или 12 мм. Воздух имеет \mu _{r}=1; поверхности идеальных сердечников задают H\tau =0.
В серии Картера задан средний поток Bср=0,8 Тл через постоянные значения A на боковых сечениях. В гармонической серии одинаковый токовый слой толщиной 0,3 мм расположен у верхнего сердечника; J_{1}=10 А/мм², J_{3}/J_{1}=0{,}3∠0,6 рад. Проводимость равна нулю, поэтому частота 50 Гц задаёт фазоры без вытеснения тока.
Теория расчётного метода
Почему раскрытие увеличивает требуемую МДС
В линейном зазоре векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона, а вне токового слоя — уравнению Лапласа. При очень большой проницаемости сердечника касательная составляющая H на его поверхности исчезает. В плоской постановке это естественная граница для A. Насыщение и конечная проницаемость таким условием исключены.
Поток над раскрытием вытесняется к краям зубцов. При сохранённом среднем потоке возрастает энергия воздушной области и требуемая разность магнитных потенциалов. Энергия эквивалентного гладкого зазора определяет эффективную длину; отношение к геометрическому зазору даёт коэффициент Картера.
Сравнение энергий выполняют при одинаковом потоке. При одинаковой МДС вместо этого сравнивают обратное отношение потоков. В обоих опытах нужно сохранять зубцовое деление и активную длину.
Конформная оценка для прямоугольного достаточно глубокого раскрытия напротив гладкого сердечника; влияние соседних раскрытий и конечной глубины проверяют полем.
Для гладкого зазора отдельная пространственная гармоника источника даёт отдельную гармонику поля. Решение по высоте состоит из гиперболических функций, поэтому высокие пространственные порядки сильнее затухают при удалении от токового слоя.
Зубчатая граница связывает пространственные гармоники. Комплексное отношение коэффициентов B\nu в двух геометриях сохраняет фазовую информацию, которую теряет отношение модулей. При нескольких гармониках источника такое отношение относится к объявленному совместному возбуждению; оно не является универсальной диагональной передаточной функцией любой обмотки.
Дробление источника и дробление конечных элементов — разные приближения. Поэтому сначала сравнивают 24 и 48 участков токового слоя, затем отдельно уточняют сетку.
В магнитоквазистатической постановке закон полного тока связывает поле с заданным током, а отсутствие магнитных зарядов требует непрерывности нормального магнитного потока. В плоской модели эти условия удобно выполнить через единственную составляющую векторного потенциала A_z. Скалярная магнитная проницаемость либо нелинейная зависимость H(B) замыкает систему.
На границе материалов сохраняется нормальная составляющая B; тангенциальная H непрерывна при отсутствии поверхностного свободного тока. Внешняя граница и симметрия являются физическими условиями задачи. Их изменение проверяется отдельно от уменьшения конечных элементов: сходимость внутри неверной области не устраняет ошибку постановки.
В свободном от токов линейном зазоре потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Представление по пространственным гармоникам превращает двумерную задачу в независимые уравнения для каждого порядка. В плоском зазоре появляются экспоненты или гиперболические функции, в кольцевом — степени радиуса.
Коэффициенты определяются по тем же источникам и граничным условиям, что и в конечных элементах. Нулевая гармоника рассматривается отдельно. Плоское приближение проверяют относительно кольцевого при фактическом отношении зазора к радиусу; совпадение на одном радиусе не гарантирует совпадения энергии и момента.
A_k(x,y)=(c_ke^{ky}+d_ke^{-ky})e^{jkx}
Плоская гармоника при k\ne 0; реальные поля получают действительной частью.
A_\nu(r,\theta)=(a_\nu r^\nu+b_\nu r^{-\nu})e^{j\nu\theta},\qquad A_0=a_0+b_0\ln r
Кольцевой линейный зазор; коэффициенты следуют из заданных условий на двух радиусах.
Конформное преобразование и показатель поля у угла
Аналитическое преобразование сохраняет гармоничность потенциала и ортогональность его линий уровня. При этом напряжённость меняется из-за геометрического масштаба производной отображения. Поэтому проверяют одновременно соответствующие значения потенциала и преобразованный модуль поля.
В преобразовании Шварца–Кристоффеля показатели множителей определяются внутренними углами многоугольника. Возле угла \alpha локальная координата связана с исходной степенью \alpha /\pi. Отсюда следует показатель поля \pi /\alpha -1. Для входящего угла 270^\circ поле растёт как r^(-1/3); измерение показателя по нескольким расстояниям позволяет объяснить рост сеточного максимума в L-образном проводнике и необходимость конечного радиуса скругления.
Чётное и нечётное поле: от зубцовой зоны к Картеру
В линейной зубцовой зоне удобно разделить возбуждение поперечным потоком и собственным током паза. Они имеют различную симметрию и различные контрольные величины. Суперпозиция проверяется на поле и на потоке; энергия общего поля включает взаимный член.
Эффективный зазор определяется по интегральному потоку или энергии при явно фиксированной МДС либо фиксированном потоке. Коэффициент Картера связывает реальную зубцовую область с гладкой моделью. Он не служит множителем для любого локального пика B. Конечная проницаемость, ширина раскрытия и сетка варьируются раздельно.
Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник
Плоская задача, активная длина 1 м, зубцовое деление 40 мм, зазор 2 мм, глубина паза 20 мм. Раскрытие 0, 4, 8 или 12 мм. Воздух имеет \mu _{r}=1; поверхности идеальных сердечников задают H\tau =0. В серии Картера задан средний поток Bср=0,8 Тл через постоянные значения A на боковых сечениях. В гармонической серии одинаковый токовый слой толщиной 0,3 мм расположен у верхнего сердечника; J_{1}=10 А/мм², J_{3}/J_{1}=0{,}3∠0,6 рад. Проводимость равна нулю, поэтому частота 50 Гц задаёт фазоры без вытеснения тока. Идеальные линейные сердечники исключают насыщение и потери в стали. Плоская периодическая область не содержит кривизну, скос и торцы. Комплексное отношение при совместном источнике не равно универсальной передаче отдельной гармоники.
\tau =40 мм, \delta =2 мм, b_{0}=8 мм, глубина паза 20 мм, Bср=0,8 Тл, l=1 м.
По энергии получено k\delta =1{,}09915 и δэфф=2,19829 мм.
При сохранённом потоке потребная МДС возрастает на 9,91466%.
Для одинакового совместного токового слоя комплексные отношения C_{1} и C_{3} приведены в таблице. Они сохраняют амплитуду и фазу.
Результаты собственных полевых моделей FEMM 5 с линейными идеальными сердечниками.
Раскрытие паза и эффективный зазор
b_{0}, мм
Сетка, мм
k\delta FEMM
k\delta конформный
δэфф, мм
0
0,6
1
1
2
0
0,3
1
1
2
0
0,15
1
1
2
4
0,3
1,029
1,029
2,059
8
0,6
1,1
1,099
2,201
8
0,3
1,1
1,099
2,199
8
0,15
1,099
1,099
2,198
12
0,3
1,199
1,198
2,398
Комплексное отношение при общем источнике
Порядок \nu
\operatorname{Re} C\nu
\operatorname{Im} C\nu
|C\nu |
arg C\nu, рад
1
0,9869
-0,001078
0,9869
-0,001092
3
0,7274
0,1474
0,7422
0,1999
Количественные результаты и их проверка
Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.
Величина
Единица
Что определяет
k\delta и δэфф
1 мм
Добавочная МДС раскрытия
C\nu
1 рад
Изменение пространственного спектра
Гладкий зазор: k\delta отличается от единицы менее 0,3%.
Для b_{0}=8 мм изменение k\delta при сетке 0,30→0,15 мм менее 1,5%; конформная оценка отличается менее 1%.
Гармоника гладкого зазора отличается от решения Лапласа менее 2,5%; дробление слоя 24→48 меняет B_{1} менее 2,5%.
Итоговый вывод. Выберите раскрытие по допустимому увеличению МДС. Объясните, почему коэффициент Картера основной волны не заменяет проверку полного спектра.
Границы применения результата
Идеальные линейные сердечники исключают насыщение и потери в стали.
Плоская периодическая область не содержит кривизну, скос и торцы.
Комплексное отношение при совместном источнике не равно универсальной передаче отдельной гармоники.
Литература
Гладкий зазор: аналитическая проверка поля и независимых источников ошибки. — 12 с.
Чётное и нечётное поля паза: Картер и разностная проводимость. — 3 с.
Нечётное поле паза как аналитический эталон рассеяния. — 8 с.
Чётное поле паза и контроль комплексной потенциальной функции. — 8 с.
Влияние раскрытия пазов на гармоники воздушного зазора. — 7 с.
Уравнения Максвелла. Раздел 2. — 20 с.
Основные понятия векторной алгебры, используемые при описании электромагнитного поля. Векторный магнитный потенциал. Раздел 3. — 31 с.
Математическое описание электромагнитного поля в электрической машине. Раздел 5. — 15 с.
Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Общие положения. Раздел 7. — 19 с.
Аналитические методы исследования поля в электрической машине. Метод разделения переменных. Поле в плоском и кольцевом зазоре. Поверхностный ток как источник поверхностного потенциала. Раздел 8. — 33 с.
Конформные преобразования. Комплексная потенциальная функция. Раздел 9. — 30 с.
Конформные преобразования (продолжение). Преобразование Шварца — Кристоффеля. Раздел 10. — 13 с.
Магнитное поле в зазоре электрической машины с учётом зубчатости сердечников. Раздел 11. — 54 с.
Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].