# Пазовый зазор: коэффициент Картера и комплексная передача гармоник

Определить добавочное магнитное сопротивление раскрытия паза, коэффициент Картера и изменение амплитуд и фаз пространственных гармоник при одинаковом возбуждении.

Выбрать допустимое раскрытие паза по увеличению требуемой МДС и проверить, какие гармоники поля меняются сильнее основной.

## Почему раскрытие увеличивает требуемую МДС

В линейном зазоре векторный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона, а вне токового слоя — уравнению Лапласа. При очень большой проницаемости сердечника касательная составляющая H на его поверхности исчезает. В плоской постановке это естественная граница для A. Насыщение и конечная проницаемость таким условием исключены.

Поток над раскрытием вытесняется к краям зубцов. При сохранённом среднем потоке возрастает энергия воздушной области и требуемая разность магнитных потенциалов. Энергия эквивалентного гладкого зазора определяет эффективную длину; отношение к геометрическому зазору даёт коэффициент Картера.

Сравнение энергий выполняют при одинаковом потоке. При одинаковой МДС вместо этого сравнивают обратное отношение потоков. В обоих опытах нужно сохранять зубцовое деление и активную длину.

$$W=\frac{B_{\rm ср}^{2}\tau\delta_{\rm эфф}l}{2\mu_0},\qquad k_\delta=\frac{2\mu_0W}{B_{\rm ср}^{2}\tau l\delta}$$

W — статическая энергия всего воздушного зазора и паза; размеры в метрах.

$$k_{\delta,\rm conf}=\frac{\tau}{\tau-\frac{4\delta}{\pi}[\rho\arctan\rho-\frac12\ln(1+\rho^2)]},\quad \rho=\frac{b_0}{2\delta}$$

Конформная оценка для прямоугольного достаточно глубокого раскрытия напротив гладкого сердечника; влияние соседних раскрытий и конечной глубины проверяют полем.

## Гармоника сохраняет амплитуду и фазу

Для гладкого зазора отдельная пространственная гармоника источника даёт отдельную гармонику поля. Решение по высоте состоит из гиперболических функций, поэтому высокие пространственные порядки сильнее затухают при удалении от токового слоя.

Зубчатая граница связывает пространственные гармоники. Комплексное отношение коэффициентов Bν в двух геометриях сохраняет фазовую информацию, которую теряет отношение модулей. При нескольких гармониках источника такое отношение относится к объявленному совместному возбуждению; оно не является универсальной диагональной передаточной функцией любой обмотки.

Дробление источника и дробление конечных элементов — разные приближения. Поэтому сначала сравнивают 24 и 48 участков токового слоя, затем отдельно уточняют сетку.

$$\widehat B_{y,\nu}(y)=\frac{\mu_0\widehat J_\nu\sinh(k_\nu t)\cosh(k_\nu y)}{k_\nu\sinh(k_\nu\delta)},\quad k_\nu=2\pi\nu/\tau$$

Модуль гармоники в области ниже верхнего слоя, 0≤y≤δ−t. Пространственная производная задаёт синусную фазу B относительно косинусного J.

$$\widehat C_\nu=\widehat B_{\nu,\rm паз}/\widehat B_{\nu,\rm гладк}$$

Сравниваются одинаковый порядок, координата выборки, шаг и фазовая система отсчёта.

## Порядок расчёта

Откройте программу reproduce.py во встроенном Python FEMM 5. Программа создаёт новую папку calculated-NN рядом с программой или в текущей рабочей папке и рассчитывает все серии. Сохранённые учебные FEM и ANS можно открывать отдельно для анализа поля.

### Постановка и нормировка потока

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

1. Запишите геометрический зазор, раскрытие, деление и активную длину. Покажите поверхности идеального железа и два боковых сечения с заданным A.
2. Для опыта Картера вычислите разность A из Bсрτ; для гармонического опыта объявите нормировку J, пространственные фазы и координату выборки.
3. До расчёта назначьте допустимое увеличение МДС и список гармоник. Зафиксируйте, что в каждой из двух серий остаётся постоянным.

### Эталон и коэффициент Картера

Гладкая задача проверяет единицы и способ получения энергии.

1. Рассчитайте гладкий зазор на сетках 0,60; 0,30; 0,15 мм и сопоставьте kδ с единицей.
2. При раскрытии 8 мм повторите три сетки; для 4 и 12 мм получите сравнительные точки.
3. Вычислите эффективный зазор из энергии; сопоставьте с конформной формулой.

### Передача гармоник

Совпадающие источники отделяют влияние границы от влияния обмотки.

1. Рассчитайте гладкую и пазовую модели при 24 и 48 участках одинакового токового слоя.
2. Возьмите 256 точек на y=1 мм, без повторения конечной точки периода, и выполните комплексное преобразование Фурье.
3. Для порядков 1 и 3 вычислите Re Cν, Im Cν, |Cν| и arg Cν; объясните смешение гармоник.

### Погрешность и выбор раскрытия

Решение принимается по приросту МДС и спектру при объявленном источнике.

1. Сведите сеточную разность kδ, ошибку относительно конформной оценки и изменение B₁ при дроблении слоя в отдельную таблицу.
2. Выберите раскрытие по заданному пределу МДС и проверьте комплексные C₁,C₃ для той же геометрии.
3. Укажите, какие дополнительные данные о стали, обмотке и кривизне нужны для переноса результата на конкретную машину.

## Расчётный пример

τ=40 мм, δ=2 мм, b₀=8 мм, глубина паза 20 мм, Bср=0,8 Тл, l=1 м.

1. По энергии получено kδ=1,09915 и δэфф=2,19829 мм.
2. При сохранённом потоке потребная МДС возрастает на 9,91466%.
3. Для одинакового совместного токового слоя комплексные отношения C₁ и C₃ приведены в таблице. Они сохраняют амплитуду и фазу.

Результаты собственных полевых моделей FEMM 5 с линейными идеальными сердечниками.

## Границы применимости

- Идеальные линейные сердечники исключают насыщение и потери в стали.
- Плоская периодическая область не содержит кривизну, скос и торцы.
- Комплексное отношение при совместном источнике не равно универсальной передаче отдельной гармоники.

## Источники

- [Гладкий зазор: аналитическая проверка поля и независимых источников ошибки](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-1.pdf)
- [Чётное и нечётное поля паза: Картер и разностная проводимость](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-4.pdf)
- [Нечётное поле паза как аналитический эталон рассеяния](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-8.pdf)
- [Чётное поле паза и контроль комплексной потенциальной функции](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-9.pdf)
- [Влияние раскрытия пазов на гармоники воздушного зазора](http://e-200.ru/EMR/MP-2.pdf)