# Замкнутый стальной виток: проникновение поля, сопротивление и потери

Получить частотные зависимости тока, потерь и Rac/Rdc замкнутого витка, а также проверить ток короткого замыкания по полной матрице комплексных сопротивлений.

Оценить потери при заданном потоке 1,5 мВб и выбрать допустимую частоту по назначенному тепловому ограничению; отделить влияние проводимости, проницаемости и насыщения.

## Замкнутая геометрия и напряжение витка

В осесимметричной задаче ток течёт по окружности, поэтому один блок проводника описывает физически замкнутый тороидальный путь. Произвольный плоский блок не заменяет такого соединения.

Поток через окружность определяется 2πrAφ. В незаданном внешним током замкнутом витке меняющийся поток создаёт индуцированный ток; в отдельном портовом опыте задают полный ток и измеряют требуемое напряжение. Эти условия дают разные задачи.

Два независимых возбуждения катушки и витка дают полную комплексную матрицу сопротивлений. Из условия Vвитка=0 следует ток короткого замыкания. Проверка этого тока прямым полевым решением подтверждает электрическое условие замыкания.

$$\Phi(r)=2\pi r A_\varphi(r),\qquad \begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}$$

Осесимметричная глубина уже учитывает полный оборот; дополнительный множитель длины плоской задачи не нужен.

$$I_2=-\frac{Z_{21}}{Z_{22}}I_1\quad(V_2=0),\qquad Z_{12}=Z_{21}$$

Все токи и напряжения выражены в одной амплитудной фазорной нормировке.

## Поверхностный эффект и область линейного масштабирования

В стали глубину проникновения определяют одновременно σ и μ. При увеличении частоты ток концентрируется у поверхности, увеличивая эффективное сопротивление и локальную плотность потерь.

При постоянных μ и σ все поля пропорциональны току возбуждения, а потери — его квадрату. Поэтому серию можно привести к одинаковому потоку и затем подтвердить выбранный режим прямым расчётом. После задания B(H) такое масштабирование без пересчёта неприменимо.

Показатель 2P/|Iвитка|² характеризует конкретное распределение индуцированного тока. Портовое Z₂₂ включает собственное поле витка, а сопротивление по потерям при внешнем возбуждении может дополнительно зависеть от близости катушки и магнитного потока. Их сравнивают, сохраняя смысл каждого опыта.

Гармоническая нелинейная постановка даёт эквивалентный периодический режим; она не восстанавливает произвольную форму тока, петлю гистерезиса или переходный нагрев.

$$\delta_s=1/\sqrt{\pi f\mu\sigma},\quad R_{ac,\rm app}=2P/|I_{ring}|^2$$

Rac,app относится к конкретному опыту с индуцированным током.

$$R_{dc,\rm ср}\simeq\frac{2\pi r_{\rm ср}}{\sigma bh},\quad R_{dc,\rm точн}=\frac{2\pi}{\sigma h\ln(r_{\rm out}/r_{\rm in})}$$

Для прямоугольного осесимметричного витка концентрические элементарные пути соединены параллельно. В таблице Rac/Rdc используется приближение по среднему радиусу; для r=140…160 мм его отличие от точного DC-значения около 0,15%.

$$\alpha=\Phi_{target}/|\Phi|,\quad I_{1,target}=\alpha I_1,\quad P_{target}=\alpha^2P$$

Масштабирование справедливо только для неизменных линейных свойств.

## Порядок расчёта

Откройте программу reproduce.py во встроенном Python FEMM 5. Программа создаёт новую папку calculated-NN рядом с программой или в текущей рабочей папке и рассчитывает все серии. Сохранённые учебные FEM и ANS можно открывать отдельно для анализа поля.

### Замкнутый путь и контроль потока

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

1. Покажите окружной токовый путь в осесимметричной геометрии, границы стали и возбуждающей катушки.
2. Определите контролируемый поток через r=130 мм и задайте амплитудную нормировку 1,5 мВб. Не умножайте осесимметричный результат на дополнительную активную длину.
3. Разделите три опыта: естественно замкнутый виток, заданный портовый ток и условная нелинейная сталь. Для каждого запишите независимые электрические условия.

### Частотная серия и профили

Наличие замкнутого витка проверяют током и потерями.

1. Рассчитайте 10, 50, 200 Гц и отдельные непроводящие варианты σ=0 при той же μ.
2. Получите полный индуцированный ток, мощность и J(r) через середину сечения.
3. Вычислите δs и Rac/Rdc; нормируйте линейную серию к потоку 1,5 мВб.

### Два порта и короткое замыкание

Независимые портовые опыты проверяют ток замкнутого витка.

1. Задайте I₁=1 А, I₂=0, затем I₁=0, I₂=1 А; измерьте оба напряжения.
2. Составьте Z-матрицу, сравните взаимные элементы.
3. Предскажите I₂ при V₂=0 и I₁=100 А; сравните с прямой моделью естественно замкнутого витка.

### Заданный поток и чувствительность

Тепловая оценка требует одинаковой нормировки.

1. Прямо рассчитайте 50 Гц при найденном токе катушки для амплитуды потока 1,5 мВб.
2. Уточните сетку в стали и независимо расширьте внешнюю воздушную область.
3. Сопоставьте линейную и условную нелинейную сталь при 100 и 500 А; укажите, почему P∝I² перестаёт быть общим правилом.

## Расчётный пример

Стальной виток r=140…160 мм, z=±10 мм, μr=500, σ=3 МСм/м; f=50 Гц, |Φ(r=130 мм)|=1,5 мВб.

1. Глубина проникновения δs=1,83776 мм.
2. По линейной серии ток катушки выбран 41,2598 А peak; прямой расчёт даёт |Φ|=1,5 мВб.
3. Амплитуда тока витка 135,048 А; мощность 22,5093 Вт.
4. Портовая матрица независимо предсказывает комплексный ток короткозамкнутого витка при 10, 50 и 200 Гц.

Линейная осесимметричная модель замкнутого витка. Нелинейная чувствительность рассчитывается отдельно с условной B(H).

## Границы применимости

- Потери в витке не определяют температуру без тепловой модели и теплоотдачи.
- Гистерезис и паспортные свойства конкретной марки стали не заданы.
- Условная B(H) предназначена для анализа чувствительности; она не является аттестацией промышленного материала.

## Источники

- [Короткозамкнутый виток: поверхностный эффект и потери](http://e-200.ru/EMR/EMR-2-1.pdf)