Занятие 2.3

Циркуляция и ротор поля

Цель и задачи

Цель. Отличить ротор от геометрической кривизны линий поля.

Задачи

Сопоставьте аналитическое значение с показаниями визуальной лаборатории.
Сравните вращательное поле, сдвиг и азимутальное поле, сохраняя ориентацию контура.

Что нужно вспомнить перед началом

2.2 · Поток, интегралы и дивергенция

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Теоретическое занятие с количественной проверкой · Выбор наблюдаемых величин и проверка интегрального закона

Инженерный вопрос. Почему у поля прямого тока вне оси ротор нулевой при круговых линиях?

Эти действия входят в подготовку расчёта любого устройства: они устанавливают связь источника, геометрии и наблюдаемой величины. Их результат позволяет выбрать допустимую постановку и способ извлечения будущей характеристики.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Пространственное исследование и аналитическая количественная проверка подготавливают последующий расчёт FEMM.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Определите ориентацию контура или поверхности, охватываемые источники и геометрический множитель. Закон связывает измеряемую величину с независимым источником.
Контрольный пример. Проверьте знаки и единицы интегрального закона на разобранной геометрии.
Исследование поля и интерпретация результата. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сравните вращательное поле, сдвиг и азимутальное поле, сохраняя ориентацию контура.
Ответить на вопрос по своим результатам. Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Циркуляция, площадь и проекция ротора для двух регулярных контуров.

Данные именно этого опыта. Сравните вращательное поле, сдвиг и азимутальное поле, сохраняя ориентацию контура.

Оформление наблюдений. Контур или область интегрирования, ориентация, точечные и интегральные величины раздельно, источник и невязка закона.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Независимый контроль. Сопоставьте интеграл с источником или суммой потоков, а не с повторным чтением того же интеграла другим именем.

Критерий выполнения. Записаны исходные параметры, ориентация и определение величины. Сохранены два состояния опыта и объяснение различия. Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Точность и расхождения. Нормируйте невязку на физический масштаб источника или потока, объявленный до сравнения. Для баланса около нуля приводите также абсолютную невязку в единицах закона.

Основание сравнения. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Вывод для устройства

Объясните, даёт ли выбранный интеграл полный параметр устройства или только локальную характеристику его сечения.

Границы вывода. Простой эталон проверяет конкретное действие или физический закон; перенос на устройство требует заново согласовать геометрию, материалы, режим и объёмный множитель.

Теория и вывод формул

Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Соглашения об обозначениях и единицах

$i(t)$, $u(t)$ — мгновенные значения; $\widehat I$, $\widehat U$ — комплексные амплитуды; $\underline I_{\text{д}}$, $\underline U_{\text{д}}$ — комплексные действующие значения. Для синусоиды $\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}$; действующее значение тока равно $|\underline I_{\text{д}}|$. Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
$\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S$ — поток через ориентированную поверхность; $\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l$ — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка $\Psi=N\Phi$. Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
$\theta_{\text{м}}$, $\Omega$ (также $\omega_{\text{мех}}$) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники $\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}$, $\omega_{\text{э}}=p\Omega$, где $p$ — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность $L_{\text{ст}}=\Psi/i$ — наклон секущей из начала координат; это определение используется при $\Psi(0)=0$ и $i\ne0$. Динамическая индуктивность $L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i$ — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности $L$. При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(2.5) · Контрольное соотношение
(2.6) · Численный пример

Ротор и циркуляция

Вихри поля

Дивергенция отвечает на вопрос, есть ли в точке источники поля. Но есть поля без источников, которые тем не менее далеки от «простых»: магнитное поле вокруг провода с током, электрическое поле, наведённое меняющимся магнитным потоком, поле скоростей в водовороте. Их линии замкнуты, обойти по такой линии и вернуться в исходную точку можно, всё время двигаясь «по полю», и работа поля на замкнутом пути не равна нулю. Такие поля называют вихревыми, а локальную меру вихря — ротором.

Ключ к определению — циркуляция по замкнутому контуру из урока об интегралах. Если по малому контуру поле в среднем направлено по ходу обхода, циркуляция положительна. Разделив её на площадь контура и стянув контур к точке, получим локальную характеристику — но, в отличие от дивергенции, зависящую от того, как контур ориентирован в пространстве.

Определение

Ротор

Пусть $\vec F(\ur)$ — дифференцируемое векторное поле, $L$ — малый плоский контур, охватывающий точку $\ur$ , площадью $S$ и с единичной нормалью $\un$ , согласованной с направлением обхода по правилу правого винта. Проекцией ротора на направление $\un$ называется предел $(\nabla\times \vec F)\cdot\un=\lim_{S\to0}\frac{1}{S}\oint_L\vec F\cdot\dl .$ Проекции на три независимых направления определяют вектор $\nabla\times \vec F=\nabla\times\vec F$ — ротор поля. Единица — [единица $\vec F$ ]/м. Предел не зависит от формы контура.

Ротор — вектор: его направление указывает ось, вокруг которой поле «закручено» сильнее всего, а модуль равен наибольшей циркуляции на единицу площади. Поскольку направление ротора задаётся правилом правого винта, при зеркальном отражении системы координат он меняет знак — ротор, как и векторное произведение, является псевдовектором. На практике это означает лишь одно: всегда нужно следить за ориентацией контура. В англоязычной литературе ротор обозначается $\nabla\times \vec F$ [Кочин].

Вывод компоненты ротора

Найдём $z$ -компоненту ротора, взяв контур в виде малого прямоугольника в плоскости $z=\mathrm{const}$ с центром $(x,y)$ и сторонами $\dd x$ , $\dd y$ . Нормаль $\un=\vec e_z$ , значит, обход — против хода часовой стрелки при взгляде с конца оси $z$ : по нижней стороне в сторону $+x$ , по правой — $+y$ , по верхней — $-x$ , по левой — $-y$ .

Компонента ротора вдоль оси z

Вклады четырёх сторон (в каждом множителе берётся касательная составляющая поля в середине стороны): $\begin{aligned} \text{нижняя }(y-\tfrac{\dd y}{2}):&\quad +F_x(x,\,y-\tfrac{\dd y}{2})\,\dd x,\\ \text{правая }(x+\tfrac{\dd x}{2}):&\quad +F_y(x+\tfrac{\dd x}{2},\,y)\,\dd y,\\ \text{верхняя }(y+\tfrac{\dd y}{2}):&\quad -F_x(x,\,y+\tfrac{\dd y}{2})\,\dd x,\\ \text{левая }(x-\tfrac{\dd x}{2}):&\quad -F_y(x-\tfrac{\dd x}{2},\,y)\,\dd y . \end{aligned}$ Складывая вклады противоположных сторон: $\oint_L\vec F\cdot\dl\approx\Bigl[F_y(x+\tfrac{\dd x}{2})-F_y(x-\tfrac{\dd x}{2})\Bigr]\dd y-\Bigl[F_x(y+\tfrac{\dd y}{2})-F_x(y-\tfrac{\dd y}{2})\Bigr]\dd x \approx\Bigl(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr)\dd x\,\dd y .$ Деля на площадь $S=\dd x\,\dd y$ : $(\nabla\times \vec F)_z=\dfrac{\partial F_y}{\partial x}-\dfrac{\partial F_x}{\partial y}$ .

Вывод показывает главное: в циркуляцию входит не поле, а поперечное изменение поля. Если $F_x$ одинакова на верхней и нижней сторонах, эти стороны дают в сумме нуль, каким бы большим ни было само поле. Циклической перестановкой индексов $x\to y\to z\to x$ получаются остальные компоненты.

Ротор в декартовых координатах

$\nabla\times \vec F= \begin{vmatrix}\vec e_x&\vec e_y&\vec e_z\\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} =\Bigl(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\Bigr)\vec e_x +\Bigl(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\Bigr)\vec e_y +\Bigl(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Bigr)\vec e_z .$

Ротор в цилиндрических координатах

$\nabla\times \vec F= \Bigl(\frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial\alpha}-\frac{\partial F_\alpha}{\partial z}\Bigr)\vec e_r +\Bigl(\frac{\partial F_r}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial r}\Bigr)\vec e_\alpha +\frac{1}{r}\Bigl(\frac{\partial(rF_\alpha)}{\partial r}-\frac{\partial F_r}{\partial\alpha}\Bigr)\vec e_z .$

Множители $1/r$ и $\partial(rF_\alpha)/\partial r$ имеют то же происхождение, что и в формуле дивергенции: длина дуги равна $r\,\dd\alpha$ , и противоположные дуги контура в плоскости $z=\mathrm{const}$ имеют разную длину. Для осесимметричного поля с единственной азимутальной компонентой $F_\alpha(r)$ остаётся одна формула, которой мы будем пользоваться постоянно: $(\nabla\times \vec F)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd(rF_\alpha)}{\dd r}.$

Ротор в уравнениях поля

Уравнение	Название	Смысл
$\nabla\times \uH=\uJ$	закон полного тока (магнитостатика)	вихри напряжённости магнитного поля — токи; в переменном поле добавляется $\partial\uD/\partial t$
$\nabla\times \uE=-\dfrac{\partial\uB}{\partial t}$	закон электромагнитной индукции (Фарадея)	вихри электрического поля — изменяющаяся во времени индукция
$\nabla\times \uE=0$	электростатика	поле потенциально: $\uE=-\nabla \varphi$
$\nabla\times \uH=0$	области без тока	$\uH=-\nabla \varphi_{\mathrm м}$ — скалярный магнитный потенциал
$\nabla\times \uq=0$	закон Фурье в однородной изотропной среде	$\uq=-\lambda\nabla T$ — тепловой поток потенциален, если $\lambda$ однородна

Поля с нулевым ротором называют безвихревыми или потенциальными. Для них циркуляция по любому контуру (в односвязной области) равна нулю, линейный интеграл не зависит от пути и существует скалярный потенциал; подробнее — в следующем уроке. Ротор градиента тождественно равен нулю: $\nabla\times \nabla \varphi=0$ , в чём легко убедиться, подставив $F_x=\partial\varphi/\partial x$ , $F_y=\partial\varphi/\partial y$ в формулу для $(\nabla\times \vec F)_z$ — смешанные производные равны.

Лаборатория

В лаборатории поле выбирается из заранее заданного набора, а контуром служит окружность с заданным центром, радиусом $R$ и ориентацией нормали (азимут и угол места); направление обхода можно переключать, и нормаль меняется вместе с ним. Вдоль контура показаны стрелки касательной составляющей поля. Выводятся: циркуляция $\Gamma$ , вычисленная численно по контуру, площадь $S=\pi R^2$ , отношение $\Gamma/S$ , аналитическое значение $(\nabla\times \vec F)\cdot\un$ в центре контура и компоненты $\nabla\times \vec F$ .

Что стоит проделать:

Для твёрдотельного вращения $\vec F=(-y,\,x,\,0)$ при нормали вдоль $\vec e_z$ отношение $\Gamma/S$ равно $2$ при любом $R$ и любом положении центра. Поверните нормаль на угол $\theta$ от оси $z$ — отношение станет $2\cos\theta$ ; при нормали в плоскости $xy$ циркуляция нуль.
Для сдвигового течения $\vec F=(y,\,0,\,0)$ посмотрите на стрелки вдоль контура (при центре в области $y>0$ ): сверху поле сильнее и направлено против обхода, снизу слабее и по обходу. Линии поля — прямые, но $\Gamma/S=-1$ .
Для азимутального поля прямого тока $\vec F=(-y,\,x,\,0)/(x^2+y^2)$ поместите контур в стороне от оси: стрелки изгибаются вдоль кривых линий поля, но $\Gamma/S\to0$ при $R\to0$ . Затем охватите контуром ось: циркуляция равна $2\pi$ при любом радиусе, а $\Gamma/S=2/R^2$ при уменьшении $R$ растёт — особая точка на оси.
Для «вихря с ядром» $\vec F=(-y,\,x,\,0)e^{-r^2}$ перемещайте центр малого контура от оси наружу и найдите радиус, где ротор меняет знак.

Разобранные примеры

Твёрдотельное вращение

Скорость точек тела, вращающегося с угловой скоростью $\vec\omega=\omega\vec e_z$ : $\vec v=\vec\omega\times\ur=\omega(-y\vec e_x+x\vec e_y)$ . Ротор: $(\nabla\times \vec v)_z=\frac{\partial(\omega x)}{\partial x}-\frac{\partial(-\omega y)}{\partial y}=2\omega,\qquad (\nabla\times \vec v)_x=(\nabla\times \vec v)_y=0 .$ Итак, $\nabla\times \vec v=2\vec\omega$ — ротор поля скоростей равен удвоенной угловой скорости, одинаков во всех точках тела. В цилиндрических координатах $v_\alpha=\omega r$ , и $(\nabla\times \vec v)_z=\frac1r\frac{\dd(\omega r^2)}{\dd r}=2\omega$ — тот же результат. Циркуляция по окружности радиуса $R$ с центром на оси: $\Gamma=\omega R\cdot2\pi R=2\pi\omega R^2$ , $\Gamma/S=2\omega$ точно.

Сдвиговое течение: прямые линии, ненулевой ротор

$\vec F=y\vec e_x$ . Линии поля — прямые, параллельные оси $x$ . Однако $(\nabla\times \vec F)_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0-1=-1 .$ Ротор направлен против $\vec e_z$ и постоянен. Причина — поперечный градиент: верхние слои движутся быстрее нижних, и малый контур обходится «по полю» внизу и «против поля» вверху с разной скоростью. Циркуляция по окружности радиуса $R$ с центром $(x_0,y_0)$ : $\Gamma=\oint y\,\dd x=-\pi R^2$ (независимо от центра), $\Gamma/S=-1$ .

Азимутальное поле прямого тока: кривые линии, нулевой ротор

Напряжённость магнитного поля вне провода с током $I$ : $\uH=\dfrac{I}{2\pi r}\vec e_\alpha$ , то есть $H_\alpha=\dfrac{I}{2\pi r}$ . По формуле для осесимметричного поля $(\nabla\times \uH)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\Bigl(r\cdot\frac{I}{2\pi r}\Bigr)=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\Bigl(\frac{I}{2\pi}\Bigr)=0 .$ Линии поля — окружности, но ротор вне оси равен нулю: это как раз закон полного тока $\nabla\times \uH=\uJ$ там, где тока нет. Убывание $H_\alpha\propto1/r$ точно компенсирует удлинение дальней дуги контура. Циркуляция же по контуру, охватывающему ось, равна $I$ при любом радиусе — вся «вихревая мощность» сосредоточена в токе. При $I=100$ А и $r=2$ см $H=100/(2\pi\cdot0{,}02)\approx796$ А/м. Внутри провода радиуса $a$ с равномерной плотностью тока $J=I/(\pi a^2)$ поле $H_\alpha=Jr/2$ , и $(\nabla\times \uH)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\Bigl(\frac{Jr^2}{2}\Bigr)=J,$ как и требует закон полного тока. При $a=5$ мм: $J=100/(\pi\cdot25\cdot10^{-6})=1{,}27\cdot10^{6}$ А/м², на поверхности $H_\alpha=Ja/2=1{,}27\cdot10^6\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\approx3{,}18\cdot10^{3}$ А/м — совпадает с $I/(2\pi a)=100/(2\pi\cdot0{,}005)\approx3{,}18\cdot10^3$ А/м.

Радиальное поле

$\vec F=\ur=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ : все смешанные производные вида $\partial F_y/\partial x=\partial x/\partial y$ равны нулю, $\nabla\times \vec F=0$ . Поле потенциально — это градиент функции $r^2/2$ . Дивергенция этого поля равна $3$ : источники есть, вихрей нет. Твёрдотельное вращение — противоположный случай: вихри есть, источников нет.

Вихрь с ядром

$\vec F=(-y\vec e_x+x\vec e_y)e^{-r^2}$ , где $r=\sqrt{x^2+y^2}$ . В цилиндрических координатах $F_\alpha=re^{-r^2}$ , $F_r=0$ : $(\nabla\times \vec F)_z=\frac{1}{r}\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r^2e^{-r^2}\bigr)=\frac{1}{r}\bigl(2r-2r^3\bigr)e^{-r^2}=2(1-r^2)e^{-r^2}.$ На оси ротор равен $2$ (как у твёрдотельного вращения), при $r=1$ обращается в нуль, при $r>1$ отрицателен: внешние слои отстают от внутренних так сильно, что локальное вращение меняет направление, хотя поле всюду направлено по $\vec e_\alpha$ .

Электрическое поле при изменении индукции

В цилиндрической области радиуса $R_0$ индукция однородна и растёт: $\uB=B(t)\vec e_z$ , $\dd B/\dd t=0{,}5$ Тл/с. Из симметрии наведённое поле азимутально: $\uE=E_\alpha(r)\vec e_\alpha$ . Закон Фарадея $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ даёт $\frac{1}{r}\frac{\dd(rE_\alpha)}{\dd r}=-\frac{\dd B}{\dd t}\ \Rightarrow\ E_\alpha=-\frac{r}{2}\frac{\dd B}{\dd t}.$ При $r=0{,}1$ м: $|E_\alpha|=0{,}05\cdot0{,}5=0{,}025$ В/м. ЭДС в витке радиуса $0{,}1$ м — циркуляция: $|e|=2\pi r|E_\alpha|=0{,}628\cdot0{,}025=1{,}57\cdot10^{-2}$ В, что совпадает с $\pi r^2\,\dd B/\dd t=0{,}0314\cdot0{,}5=1{,}57\cdot10^{-2}$ В. Знак «минус» (поле против $\vec e_\alpha$ при росте $B$ вдоль $\vec e_z$ ) — закон Ленца.

Колёсико с лопатками

Полезный образ ротора — маленькое колёсико с лопатками, помещённое в поток жидкости со скоростью $\vec F$ . Жидкость давит на лопатки с силой, пропорциональной касательной составляющей скорости; колёсико вращается, если моменты сил с разных сторон не уравновешены. Угловая скорость колёсика с осью вдоль $\un$ пропорциональна $(\nabla\times \vec F)\cdot\un$ : ось колёсика, при которой оно крутится быстрее всего, указывает направление ротора.

Образ объясняет оба «парадокса» лаборатории. В сдвиговом течении лопатки сверху толкаются сильнее, чем снизу, — колёсико крутится, хотя линии прямые. В азимутальном поле $1/r$ лопатка, ближняя к оси, движется в более быстрой жидкости, но дальняя лопатка проходит больший путь по дуге; при законе $1/r$ эти эффекты точно компенсируются, и колёсико, двигаясь по окружности вокруг оси, не вращается вокруг собственной оси, — как кабина колеса обозрения. Колёсико, надетое на саму ось, разумеется, крутится: там и сосредоточен вихрь.

Типичные ошибки

«Линии кривые — ротор не нуль». Поле $\uH$ прямого тока вне провода: линии — окружности, $\nabla\times \uH=0$ . Кривизна линий компенсируется убыванием модуля по закону $1/r$ .
«Линии прямые — ротор нуль». Сдвиговое течение $y\vec e_x$ : линии прямые, $\nabla\times =-\vec e_z$ . Ротор измеряет поперечную неравномерность поля, а не форму линий.
Циркуляция вместо ротора. Циркуляция по большому контуру вокруг провода равна $I$ , но это не значит, что ротор отличен от нуля в точках контура: весь вихрь — в проводе. Ротор локален, циркуляция интегральна.
Потерянный множитель $r$ . Для азимутального поля $(\nabla\times \vec F)_z=\frac1r\,\dd(rF_\alpha)/\dd r$ , а не $\dd F_\alpha/\dd r$ . Со второй формулой поле $1/r$ дало бы ненулевой ротор, что противоречит закону полного тока.
Ориентация. Смена направления обхода меняет знак циркуляции и нормали одновременно; знак $(\nabla\times \vec F)\cdot\un$ при этом не меняется. Если изменить только одно из двух, результат будет неверным по знаку.
«Ротор плоского поля — скаляр». У плоского поля ротор направлен вдоль $\vec e_z$ и имеет одну компоненту, но это всё же вектор: его направление определяет, по какую сторону плоскости смотрит нормаль положительной циркуляции.

Вопросы и упражнения

Вычислите ротор полей $\vec F_1=(z,\,x,\,y)$ , $\vec F_2=(yz,\,zx,\,xy)$ , $\vec F_3=(-y,\,x,\,0)/(x^2+y^2)$ (вне оси $z$ ). Какие из них потенциальны?
Поле $\vec F=x^2\vec e_y$ . Найдите $\nabla\times \vec F$ и вычислите циркуляцию по квадрату $0\le x\le1$ , $0\le y\le1$ (обход против часовой стрелки при взгляде с конца $\vec e_z$ ) непосредственно по сторонам. Сравните с интегралом ротора по площади квадрата.
В лаборатории для твёрдотельного вращения наклоните нормаль контура на $60°$ от оси $z$ . Каким станет $\Gamma/S$ ? Почему результат не зависит от радиуса?
Для азимутального поля $F_\alpha=cr^n$ найдите, при каком $n$ ротор равен нулю, при каком — постоянен, при каком — растёт с $r$ . Какое из этих полей реализуется внутри провода с равномерным током, а какое — вне его?
Внутри длинного соленоида $\uH=H_0\vec e_z$ однородно, снаружи $\uH\approx0$ . Чему равен ротор внутри и снаружи? Где он отличен от нуля и чему равна там его величина, если обмотка — тонкий слой с поверхностной плотностью тока $K$ (А/м)?
Тепловой поток в однородной изотропной стенке $\uq=-\lambda\nabla T$ . Покажите, что $\nabla\times \uq=0$ . Сохранится ли это свойство, если $\lambda=\lambda(\ur)$ зависит от точки?

Ответы к пунктам 1, 2 и 4

1. $\nabla\times \vec F_1=(\partial y/\partial y-\partial x/\partial z,\ \partial z/\partial z-\partial y/\partial x,\ \partial x/\partial x-\partial z/\partial y)=(1,\,1,\,1)$ — вихревое. $\nabla\times \vec F_2=(x-x,\ y-y,\ z-z)=0$ — потенциальное, $\vec F_2=\nabla (xyz)$ . $\nabla\times \vec F_3=0$ вне оси (см. пример), но поле не потенциально в области, охватывающей ось: циркуляция вокруг оси равна $2\pi$ .

2. $(\nabla\times \vec F)_z=\partial(x^2)/\partial x=2x$ . Стороны: нижняя ( $y=0$ , по $+x$ ): $F_x=0$ , вклад $0$ ; правая ( $x=1$ , по $+y$ ): $\int_0^1 1\,\dd y=1$ ; верхняя ( $y=1$ , по $-x$ ): $0$ ; левая ( $x=0$ , по $-y$ ): $F_y=0$ , вклад $0$ . $\Gamma=1$ . Интеграл ротора: $\int_0^1\int_0^1 2x\,\dd x\,\dd y=1$ . Совпадение — теорема Стокса.

4. $(\nabla\times \vec F)_z=\frac1r\,\dd(cr^{n+1})/\dd r=c(n+1)r^{n-1}$ . При $n=-1$ ротор нуль (поле вне провода); при $n=1$ ротор постоянен и равен $2c$ (поле внутри провода с равномерным током, $c=J/2$ , твёрдотельное вращение); при $n>1$ ротор растёт с $r$ .

Итоги

Проекция ротора на нормаль — предел отношения циркуляции по малому контуру к его площади; ротор — вектор (псевдовектор), плотность вихрей.
$(\nabla\times \vec F)_z=\partial F_y/\partial x-\partial F_x/\partial y$ ; в цилиндрических координатах для азимутального поля $(\nabla\times \vec F)_z=\frac1r\,\dd(rF_\alpha)/\dd r$ .
$\nabla\times \uH=\uJ$ , $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ ; потенциальные поля ( $\uE$ в статике, $\uq$ при однородной $\lambda$ ) безвихревые, $\nabla\times \nabla \varphi=0$ .
Форма линий не определяет ротор: кривые линии поля $1/r$ дают $\nabla\times =0$ , прямые линии сдвигового течения — $\nabla\times \ne0$ .
Твёрдотельное вращение имеет $\nabla\times \vec v=2\vec\omega$ ; циркуляция вокруг особой точки (ось тока) отлична от нуля при нулевом роторе всюду вне её.

Далее — теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса и лапласиан: как локальные операторы связываются с интегралами по поверхностям и контурам.

Уточнения постановки и расчётной методики FEMM 5

Контрольное соотношение

Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

\Gamma=2\pi R^2=\pi/2,\quad \nabla\times F=2e_z

(2.5)

Аналитическое упражнение; не результат расчёта FEMM.

Разобранный численный пример

Контрольный пример

Дано. Для F=(-y,x,0), R=0{,}5 и нормали +ez найдите циркуляцию по окружности.

Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

\Gamma=2\pi R^2=\pi/2,\quad \nabla\times F=2e_z
(2.6)

Ответ: 1,571 1

Проверка: Сравните знак и предел при изменении одного параметра.

Практикум в FEMM 5

Исследование поля и интерпретация результата

Таблица 2.3. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Исходные условия	Для F=(-y,x,0), R=0{,}5 и нормали +ez найдите циркуляцию по окружности.

Сформулируйте прогноз до открытия ответа.
Откройте связанный опыт; получите исходное и изменённое состояния.
Запишите численные величины и объясните знак, единицу и причину изменения.

Ожидаемый результат. Таблица двух состояний и физическое объяснение.

Как проверить. Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Обработка и анализ результатов

Почему у поля прямого тока вне оси ротор нулевой при круговых линиях?

Сравните вращательное поле, сдвиг и азимутальное поле, сохраняя ориентацию контура.
Приведите результаты к одинаковым единицам и ориентации; вычислите невязку независимых способов измерения.

С чем сравнить. Используйте интегральный закон и ориентацию контура из теории занятия. Плотность, интеграл по сечению и полный объёмный результат сравнивают после учёта геометрического множителя.

Итог работы. Циркуляция, площадь и проекция ротора для двух регулярных контуров.

Самостоятельная работа

Для F=(-y,x,0), R=0{,}5 и нормали +ez найдите циркуляцию по окружности. Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Критерий выполнения: Записаны исходные параметры, ориентация и определение величины. Сохранены два состояния опыта и объяснение различия. Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Литература

Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М.: Наука, 1965. — 426 с.

Полные библиографические описания

Пояснения и типичные ошибки

Для F=(-y,x,0), R=0{,}5 и нормали +ez найдите циркуляцию по окружности.

1,571; Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.

Что подтверждает аналитическая самопроверка?

Выполнение этого контрольного упражнения; расчёт устройства FEMM проверяется по его собственной модели.

На что обратить внимание

Искривлённые линии не доказывают наличие ротора; проверяйте циркуляцию и область определения.