Занятие 49.1
Цель. Проверить согласование токового и теплового решений контакта.
Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Расчётная лабораторная работа · Определение теплового сопротивления и установившегося нагрева
Инженерный вопрос. Даёт ли связанная итерация устойчивую температуру при выбранном типе источника?
Температура, тепловое сопротивление и постоянная времени связывают потери с охлаждением и длительностью включения. Это позволяет сравнить материалы, отвод тепла и рабочие циклы по количественным критериям.
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Обосновать постановку и способ измерения. Согласуйте источники мощности, теплопроводность и условия отвода; выберите температуру, поток или тепловое сопротивление как искомую характеристику.
Согласованный электротепловой одноузловой предел — аналитический эталон. Проверьте аналитический тепловой путь и баланс в условиях геометрии примера.
Выполните итерацию ток–тепло с сохранением мощности по областям; сравните разные коэффициенты релаксации и критерии остановки.. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните температуру, сопротивление, мощность и невязки обоих модулей на каждой итерации.
Ответить на вопрос по своим результатам. Восстановите профиль или тепловое сопротивление из таблицы; сопоставьте суммарные источники и выходящие потоки.
Результат этого занятия. История сходимости разных релаксаций и проверка одноузлового предела в его диапазоне.
Данные именно этого опыта. Сохраните температуру, сопротивление, мощность и невязки обоих модулей на каждой итерации.
Оформление наблюдений. Температуры в заданных местах, потоки через границы, мощности по областям и свойства; для сопротивления — определённая разность температур и мощность.
Проверка из практикума. Для источника напряжения зависимость мощности обратная R; знак обратной связи меняется. При знаменателе \le 0 этот линейный предел не имеет допустимого конечного решения. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Независимый контроль. Сопоставьте суммарную мощность источников с выходящим тепловым потоком и аналитическим пределом, допустимым для этой геометрии.
Критерий выполнения. Контрольный предел даёт T=321{,}73913043\,\mathrm{К}; сходимость подтверждена изменением T, мощности и невязками обоих модулей; диапазон \sigma (T) не нарушен.
Точность и расхождения. Сеточную устойчивость температуры и потока оценивайте отдельно. Неопределённость теплоотдачи и теплопроводности нельзя устранить уменьшением конечного элемента.
Основание сравнения. Опора — закон Фурье и аналитический тепловой баланс из занятия. Теплоотдача и свойства материала являются исходными данными; одномерный предел применим только при согласованном пути тепла.
Определите доминирующий тепловой путь и влияние материала или границы; решение о допустимом нагреве требует заданной температуры среды и предела материала.
Границы вывода. Результат зависит от источников, среды, теплоотдачи и теплоёмкости. Упрощённый эталон не заменяет неизвестные условия охлаждения реального устройства.
Электрический и тепловой расчёты связаны температурной зависимостью сопротивления. При постоянном токе рост сопротивления увеличивает потери, а при постоянном напряжении уменьшает их, поэтому тип источника определяет характер обратной связи.
При заданном токе рост сопротивления увеличивает потери, а при заданном напряжении — уменьшает. Тип источника определяет знак электротепловой связи.
Связь выполняется последовательностью двух нативных модулей: электрическое решение даёт потери, тепловое — температуру, затем обновляются свойства. Это авторский итерационный алгоритм, а не автоматическое доказательство полной сопряжённой модели.
Выведите стационарную температуру одноузлового предела и условие конечного решения.
Постоянная часть повышения температуры равна R_{\mathrm{th}}I^{2}R_{0}=20\,\mathrm{К}.
Коэффициент положительной связи \alpha R_{\mathrm{th}}I^{2}R_{0}=0{,}08 меньше единицы.
Согласованное повышение равно 20/0{,}92=21{,}73913043 К; R=0{,}1086956522\,\mathrm{Ом}, P=10{,}86956522\,\mathrm{Вт}.
Границы применимости. Одноузловой аналитический предел с постоянным R_{\mathrm{th}} и линейным R(T); полевое решение требует собственного баланса и проверки диапазона материала.
Выполните итерацию ток–тепло с сохранением мощности по областям; сравните разные коэффициенты релаксации и критерии остановки.
Сначала вычислите контрольное значение вручную, затем сформулируйте ожидаемый знак и зависимость от одного параметра. Повторите опыт в рабочей копии с изменением только этого параметра. Сохраняйте геометрию, единицы, глубину, материалы, источники и граничные условия вместе с результатом. Успешное завершение решателя означает решение введённой модели, но само по себе не доказывает её соответствие устройству.
Контрольный предел даёт T=321{,}73913043\,\mathrm{К}; сходимость подтверждена изменением T, мощности и невязками обоих модулей; диапазон \sigma (T) не нарушен.
Для источника напряжения зависимость мощности обратная R; знак обратной связи меняется. При знаменателе \le 0 этот линейный предел не имеет допустимого конечного решения.
Малое изменение температуры при сильной релаксации не доказывает решения исходного уравнения; нужно проверять невязку до релаксации.
Дано. Источник постоянного тока I=10\,\mathrm{А}; R_{0}=0{,}1\,\mathrm{Ом} при T_{0}=300\,\mathrm{К}; \alpha =0{,}004\,\mathrm{К^{-1}}; R_{\mathrm{th}}=2\,\mathrm{К/Вт}; сопротивление R=R_{0}(1+\alpha \theta ).
Постоянная часть повышения температуры равна R_{\mathrm{th}}I^{2}R_{0}=20\,\mathrm{К}.
Коэффициент положительной связи \alpha R_{\mathrm{th}}I^{2}R_{0}=0{,}08 меньше единицы.
Согласованное повышение равно 20/0{,}92=21{,}73913043 К; R=0{,}1086956522\,\mathrm{Ом}, P=10{,}86956522\,\mathrm{Вт}.
Ответ: T=321{,}73913043\,\mathrm{К}; R=0{,}1086956522\,\mathrm{Ом}; P=10{,}86956522\,\mathrm{Вт}.
Проверка: Для источника напряжения зависимость мощности обратная R; знак обратной связи меняется. При знаменателе \le 0 этот линейный предел не имеет допустимого конечного решения. Значения получены аналитически и сами по себе не подтверждают выполнения полевого расчёта FEMM.
Индукционный нагреватель состоит из питаемой переменным током обмотки и проводящей заготовки. Магнитный поток вызывает в заготовке замкнутые вихревые токи; их джоулевы потери становятся источником тепла. Электрический контакт с заготовкой не нужен. Входные данные — частота, ток, геометрия, электропроводность и магнитная характеристика; выходные — поле, распределение тока, мощность нагрева и температура при заданном охлаждении.
Плоская спиральная катушка под круглым диском допускает осесимметричную идеализацию. Каждое кольцо тока в меридиональном сечении имеет азимутальное направление. Дискретный шаг спирали, подводящие выводы и неодинаковое охлаждение по окружности исключены. Объёмный интеграл обязан включать множитель 2\pi r: площадь сечения сама по себе не является объёмом заготовки.
Связная последовательность соответствует практикуму ENSEM, но исполняемый пример ниже уменьшен: диск радиуса 20 мм и толщины 2 мм, \mu _{r}=100, \sigma =1{,}67 МСм/м; катушка 10 витков радиусами 5…18 мм на 3…5 мм ниже диска. Ток 10 А RMS вводится как 14,1421 А амплитуды. Это самостоятельная геометрия для быстрой проверки методов, а не воспроизведение бытовой плиты автора.
В квазистационарном приближении ток смещения мал по сравнению с током проводимости. Из \operatorname{rot} H=J, \operatorname{rot} E=-\partial B/\partial t и J=\sigma E в однородном линейном проводнике следует уравнение диффузии. При зависимости \exp (j\omega t) поле в полупространстве убывает как \exp[−(1+j)x/\delta]. Амплитуда уменьшается в e раз за глубину \delta, а фаза запаздывает на один радиан.
Условие h\le \delta /3 — начальный выбор размера элементов, а не доказанная точность. Сравнение \delta /3 и \delta /6 проверяет чувствительность мощности. В углах, возле ребра диска и при неоднородном насыщении нужен дополнительный контроль. При изменении частоты нельзя оставлять сетку, выбранную для низкочастотного режима.
При увеличении частоты в 25 раз глубина проникновения уменьшается в 5 раз. Это одновременно повышает вычислительную стоимость объёмной модели и улучшает асимптотическое обоснование поверхностного импеданса. Нелинейная или комплексная проницаемость требует более аккуратного определения эффективного скин-слоя, чем подстановка одного постоянного \mu _{r}.
Если толщина проводника и характерный радиус кривизны намного больше \delta, поле внутри можно исключить из сетки. Его влияние на внешнее поле заменяется соотношением между касательными E и H на поверхности. Поверхностное сопротивление равно реактивной части: обе пропорциональны 1/(\sigma \delta ). В FEMM это Small Skin Depth, тип магнитной границы 1, с явно указанными \mu _{r} и \sigma.
Удаление области проводника меняет способ вычисления мощности: интеграл по отсутствующему объёму больше не определён. Мощность берут либо из потока Пойнтинга по поверхности, либо из активной мощности, передаваемой через идеальный индуктор. Если у индуктора есть собственные потери, их необходимо вычесть; иначе вся входная мощность ошибочно приписывается заготовке.
В новом опыте обмотка представлена идеальными тонкими витками, поэтому переданная мощность выражается через её потокосцепление. Для реальной Litz-катушки следует добавить её материалы и сравнивать P вход−P обмотки с P заготовки. При t/\delta \approx 1{,}6 на 1 кГц поверхностная модель имеет ограниченное основание; на 25 кГц t/\delta \approx 8{,}1, но ребро диска остаётся источником локальной ошибки.
Магнитное решение даёт пространственную плотность потерь q. Тепловой модуль решает баланс накопления энергии, теплопроводности и внешнего теплообмена. При постоянных свойствах сначала можно рассчитать электромагнитную задачу, затем перенести мощность в тепло. При существенном нагреве электропроводность и B–H меняются, поэтому требуется внешняя итерация двух встроенных модулей.
В компактном опыте q усредняется по диску: q=P/V. Это сохраняет полную мощность, но сглаживает нагрев скин-слоя. Для локальной температуры поверхности нужно разбить диск на слои или области и переносить интегральную мощность каждой области, проверяя сумму. Простое копирование значений в узлы другой сетки может нарушить баланс.
На верхней, нижней и боковой поверхностях задана конвекция к 293,15 К с h=10 Вт/(м²·К); ось r=0 имеет условие симметрии. Полученная стационарная температура сухого диска не является температурой воды. Нагрев воды требует её массы, теплоёмкости, теплообмена, возможной конвекции и скрытой теплоты фазового перехода. Переходный тепловой API FEMM 5 доступен, но данный короткий FE-опыт проверяет стационарную передачу мощности.
Дано. I_{\mathrm{RMS}}=10 А; новый диск r=20 мм, t=2 мм; постоянные \mu _{r}=100, \sigma =1{,}67 МСм/м.
На 1 кГц \delta =1{,}23158 мм; объёмные мощности на \delta /3 и \delta /6: 0,0419902 и 0,0417526 Вт. Импедансная граница: 0,0404700 Вт, отличие−3,07% от более мелкой объёмной сетки.
На 25 кГц \delta =0{,}246316 мм; мощности 3,31846 и 3,30337 Вт. Импедансная граница: 3,28816 Вт, отличие−0,460%.
Для мелкой объёмной сетки 25 кГц мощность через потокосцепление 3,30340 Вт; невязка с объёмным интегралом около 3,06·10⁻⁵ Вт.
Ответ. Уточнение сетки меняет объёмную мощность на 0,455% при 25 кГц; поверхностная модель приближается к объёмной при уменьшении \delta /t.
Проверка. Сравниваются одинаковые ток, геометрия и материалы. Ни правило \delta /3, ни совпадение двух интегралов не доказывают отсутствие геометрической ошибки.
Дано. P=3{,}30337 Вт, V=2{,}51327\cdot 10^{-6} м³, k=15 Вт/(м·К), h=10 Вт/(м²·К).
Переносим q=P/V=1{,}31437\cdot 10^{6} Вт/м³ в новый тепловой документ.
Полная охлаждаемая поверхность 2\pi R^{2}+2πRt даёт сосредоточенную оценку 412,638 К.
Нативный тепловой расчёт даёт температуру центра 413,100 К; разность 0,462 К отражает пространственную неоднородность.
Ответ. Связь поле→мощность→теплоперенос выполнена внутри FEMM 5. Показана стационарная температура сухого учебного диска.
Проверка. При \rho c=3{,}9 МДж/(м³·К) оценка \tau \approx 354{,}5 с; время нагрева не следует из одного стационарного решения.
Ожидаемый результат. Шесть магнитных моделей, тепловая модель и results.json с балансом мощности.
Проверка.
Шесть полевых гармонических решений и одно тепловое; авторская уменьшенная геометрия.
Проверка программы. Программа выполнена во встроенном Python FEMM 5.0. Это ограниченная проверка указанной постановки, не эксперимент.
Скачать программу для встроенного Python FEMM 5
Для запуска сохраните необходимые файлы, сохраняя их имена и структуру подпапок:
"""Законченный уменьшенный ENSEM-подобный опыт: ток → потери → температура.
FEMM 5/MicroPython. Диск r=20 мм, t=2 мм; mu_r=100, sigma=1.67 МСм/м.
Катушка r=5..18 мм, z=-5..-3 мм, N=10, I_peak=sqrt(2)*10 А; тонкие витки.
f=1 и 25 кГц; сетки delta/3 и delta/6, затем Small Skin Depth на том же контуре.
Тепловая модель: k=15 Вт/(м К), h=10 Вт/(м² К), Ta=293.15 К; потери при 25 кГц.
Потери усредняются по объёму с сохранением мощности; стационарная температура
не предсказывает время закипания и не учитывает воду/движение/зависимость sigma(T).
"""
# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.
import os
import sys
os.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))
exec(open("common.py").read())
folder = result_folder("results-induction-heating")
rows = []
for frequency, mode, divisor in [
(1000, "Bulk", 3),
(1000, "Bulk", 6),
(1000, "Impedance", 3),
(25000, "Bulk", 3),
(25000, "Bulk", 6),
(25000, "Impedance", 3),
]:
delta = math.sqrt(2 / (2 * math.pi * frequency * MU0 * 100 * 1.67e6))
newdocument(0)
mi_probdef(frequency, "millimeters", "axi", 1e-9, 1, 30)
material("Air")
material("Metal", mu=100, sigma=1.67)
mi_addcircprop("Coil", math.sqrt(2) * 10, 1)
mi_drawrectangle(5, -5, 18, -3)
label(10, -4, "Air", 0.4, "Coil", 10, 1)
mi_drawrectangle(0, 0, 20, 2)
label(25, 0, "Air", 1.5)
mi_makeABC(7, 70, 0, 0, 0)
if mode == "Bulk":
label(10, 1, "Metal", delta * 1000 / divisor, group=2)
else:
mi_selectsegment(0, 1)
mi_deleteselectedsegments()
mi_addboundprop("SSD", 0, 0, 0, 0, 100, 1.67, 0, 0, 1)
for x, y in [(10, 0), (20, 1), (10, 2)]:
mi_selectsegment(x, y)
mi_setsegmentprop("SSD", delta * 1000 / 3, 0, 0, 2)
mi_clearselected()
solve(folder, "%dHz-%s-%d" % (frequency, mode, divisor))
current, voltage, linkage = mo_getcircuitproperties("Coil")
transmitted = -(2 * math.pi * frequency * linkage * current.conjugate()).imag / 2
row = {
"frequency_Hz": frequency,
"mode": mode,
"mesh_divisor": divisor,
"delta_mm": delta * 1000,
"P_from_linkage_W": transmitted,
"elements": mo_numelements(),
}
if mode == "Bulk":
mo_groupselectblock(2)
row["P_volume_W"] = mo_blockintegral(4).real
rows.append(row)
close_magnetic()
save_json(folder, {"magnetic": rows})
power = rows[4]["P_volume_W"]
volume = math.pi * 0.02**2 * 0.002
newdocument(2)
hi_probdef("millimeters", "axi", 1e-9, 1, 30)
hi_addmaterial("Metal", 15, 15, power / volume, 3.9)
hi_addboundprop("Convection", 2, 0, 0, 293.15, 10, 0)
hi_drawrectangle(0, 0, 20, 2)
hi_addblocklabel(10, 1)
hi_selectlabel(10, 1)
hi_setblockprop("Metal", 0, 0.25, 1)
hi_clearselected()
for x, y in [(10, 0), (20, 1), (10, 2)]:
hi_selectsegment(x, y)
hi_setsegmentprop("Convection", 0.25, 0, 0, 0)
hi_clearselected()
hi_saveas(os.path.join(folder, "temperature.feh"))
hi_analyze(1)
hi_loadsolution()
temperature = ho_getpointvalues(0, 1)[0]
ho_close()
hi_close()
surface = 2 * math.pi * 0.02**2 + 2 * math.pi * 0.02 * 0.002
data = {
"magnetic": rows,
"thermal": {
"input_W": power,
"volume_m3": volume,
"uniform_q_W_m3": power / volume,
"center_T_K": temperature,
"lumped_T_K": 293.15 + power / (10 * surface),
},
}
save_json(folder, data)
assert power > 0 and temperature > 293.15
assert abs(power / rows[4]["P_from_linkage_W"] - 1) < 0.03
print(data)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Связная авторская реконструкция метода ENSEM во встроенном Python. Не модель всей плиты, не расчёт воды и не эксперимент; перенос мощности здесь усреднённый, свойства не зависят от температуры.
Первоисточники: [20] (Раздел Chauffage par induction: Premiers calculs; Impédance de surface; température.).
| Исходная величина | Значение | Единица |
|---|---|---|
| I | 10 | А |
| R_{0} | 0,1 | Ом |
| \alpha | 0,004 | К⁻¹ |
| R_{\mathrm{th}} | 2 | К/Вт |
Ожидаемый результат. T=321{,}73913043\,\mathrm{К}; R=0{,}1086956522\,\mathrm{Ом}; P=10{,}86956522\,\mathrm{Вт}. Для FEMM сравнение действительно только при совпадении идеализации и граничных условий.
Как проверить. Для источника напряжения зависимость мощности обратная R; знак обратной связи меняется. При знаменателе \le 0 этот линейный предел не имеет допустимого конечного решения. Прямое численное сравнение возможно только при совпадении всех исходных данных и постановки.
Даёт ли связанная итерация устойчивую температуру при выбранном типе источника?
С чем сравнить. Опора — закон Фурье и аналитический тепловой баланс из занятия. Теплоотдача и свойства материала являются исходными данными; одномерный предел применим только при согласованном пути тепла.
Итог работы. История сходимости разных релаксаций и проверка одноузлового предела в его диапазоне.
Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.
Составной проводник 100 × 10 мм, глубина 1 мм: медь по 45 мм и контакт длиной 10 мм. Питание 20 мВ, торцы термостатированы при 20 °C. Проводимость каждого материала зависит от его средней температуры.
Решений FEMM: 6 · Численных проверок: 103
Снимки интерфейса FEMM показывают геометрию, настройки и работу с результатами в FEMM 5. Откройте изображение, чтобы рассмотреть подписи и значения в полном размере.
Выполните итерацию ток–тепло с сохранением мощности по областям; сравните разные коэффициенты релаксации и критерии остановки. Сопоставьте исходный и изменённый режимы, сохраните исходные файлы, результаты и объяснение различия.
Она не сохраняет распределение и интегральные ватты, определяющие тепловой баланс.
T=321{,}73913043\,\mathrm{К}; R=0{,}1086956522\,\mathrm{Ом}; P=10{,}86956522\,\mathrm{Вт}.
Одноузловой аналитический предел с постоянным R_{\mathrm{th}} и линейным R(T); полевое решение требует собственного баланса и проверки диапазона материала.