Полевые трубки и магнитные проводимости: прямоугольник, сектор и картина поля

От локального поля к трубке

Потоковая трубка ограничена боковой поверхностью, образованной линиями B, поэтому магнитный поток сохраняется вдоль её длины. При приближённо однородном поле в малом поперечном сечении элементарное магнитное напряжение равно dUm=H ds=\Phi ds/(\mu S(s)). Интегрирование вдоль трубки определяет её магнитное сопротивление. Для непересекающихся трубок, соединённых параллельно, складываются магнитные проводимости.

В немагнитном пространстве \mu \approx \mu _{0}. Для стали с нелинейной B(H) геометрическая постоянная \Lambda недостаточна: dUm нужно вычислять через H(\Phi /S).

Два разных потока в одинаковом секторе

Пусть сектор кольца ограничен радиусами R_{1},R_{2}, углом \alpha в радианах и имеет постоянную глубину b. Для кругового потока тонкие полосы dr соединены параллельно: длина линии \alpha r, площадь полосы b dr. Для радиального потока слои dr соединены последовательно: площадь \alpha rb, длина dr. Геометрическая внешняя форма одинакова, но границы источника и направления поля различны.

1. Интегрируем проводимости параллельных круговых полос.

   \Lambda_{\rm arc}=\int_{R_1}^{R_2}{\mu_0b\over\alpha r}dr={\mu_0b\over\alpha}\ln(R_2/R_1)

   (39.17)

2. Интегрируем сопротивления последовательных радиальных слоёв.

   \mathcal R_{\rm rad}=\int_{R_1}^{R_2}{dr\over\mu_0\alpha rb},\quad\Lambda_{\rm rad}={\mu_0\alpha b\over\ln(R_2/R_1)}

   (39.18)

3. Сравниваем безразмерные удельные проводимости.

   \lambda_{\rm arc}=\ln(R_2/R_1)/\alpha,\quad\lambda_{\rm rad}=1/\lambda_{\rm arc}

   (39.19)

Средняя линия и проверка приближения

Оценка \mu _{0}S ср/ℓср заменяет интеграл одним значением. Для узкого сектора она удобна; при большом R_{2}/R_{1} нужно пользоваться логарифмом. Предельная проверка R_{2}\to R_{1} должна возвращать тонкую прямоугольную полоску. Вписывая сектор выпучивания, проверьте, не заняла ли его часть уже основная прямоугольная трубка.

Для идеальных ферромагнитных поверхностей поле в воздухе входит по нормали. Между поверхностями без тока можно построить ортогональную сетку линий потока и равного скалярного потенциала. У m параллельных каналов с n одинаковыми почти квадратными ячейками последовательно \lambda \approx m/n. Густота нарисованных линий сама по себе не определяет B: нужно объявить поток каждой трубки.

Как учитывать область обмотки

В зоне свободного тока \operatorname{rot} H=J, поэтому глобальная сетка скалярных магнитных эквипотенциалов неприменима. Метод Лемана строит картину с учётом тока внутри ячеек: циркуляция H по замкнутой границе должна совпасть с охваченным током. Упрощённая схема поля, построенная через область катушки как через пустой воздух без источника, нарушает эту проверку.

Современная замена ручного построения — решение для A_z с реальным сечением катушки и выводом линий A_z =\mathrm{const}. Это сохраняет полезную физику старого метода. Для приблизительной трубки, пересекающей часть катушки, Um определяется охваченной долей витков; проводимость, приведённая по потоку, получает соответствующий множитель. Для \Psi потребуется ещё одно взвешивание.

Что показывает аналогия проводящей бумаги

Для листа с сопротивлением на квадрат Rs и распределённым подводом q электрический потенциал удовлетворяет \Delta \varphi=−Rs q. Поэтому геометрически подобная электрическая модель может воспроизвести \Delta Az=-\mu J. Её линии \varphi =\mathrm{const} соответствуют A_z =\mathrm{const} и линиям B, а не автоматически линиям скалярного магнитного потенциала.

Три обязательных условия: геометрическое подобие, соответствующие краевые условия и масштаб источников. A=\mathrm{const} задаётся электрическим эквипотенциальным электродом; \partial A/\partial n=0 соответствует изолированной границе листа. Для реального конечного 3D-аппарата с несколькими зазорами нужно также обеспечить правильные отношения магнитных напряжений по зазорам: одно совпавшее плоское очертание их не гарантирует. Ручная аппаратура исторична, но проверка аналогии остаётся полезной и при переносе модели между программами.