# Полевые трубки, полюс–плоскость и поворотный якорь

Самостоятельные учебные модели по методике О. Б. Буля: глава 3, печатные с. 86–168; приложение П4, с. 287–296. Размеры, программы, рисунки и расчёты выполнены для курса. Здесь нет библиотечных оригиналов, скана и исходных моделей книги. Числа ниже относятся к этим собственным моделям.

## Цели и результат работы

Научитесь переходить от геометрии воздушного промежутка к проводимости, различать границу линии потока и поверхность идеального полюса, находить магнитное напряжение интегралом H, строить цепную оценку неравномерного зазора и проверять электромагнитный момент производной коэнергии. Итог — таблица расчётов с единицами, три проверки сходимости и объяснение расхождения цепи с полем.

## Как выполнить расчёт в FEMM 5

1. Откройте `reproduce.py` командой **Run Python Script** в FEMM 5. Это встроенный Python, внешняя библиотека pyFEMM не нужна. Основной полный режим создаёт новый каталог `calculated-NN` рядом с программой; прежние модели и решения сохраняются.
2. Для короткого ознакомительного запуска в консоли FEMM задайте `BUL_MODE='smoke'`, затем выполните программу. Короткий режим рассчитывает четыре начальных случая; он не заменяет полную проверку. По умолчанию выполняется `full`.
3. Найдите в созданном каталоге `result.json`: итог `passed`, модели в `records`, проверки в `checks`. Каждый `.fem` сначала сохраняется, закрывается, повторно открывается и **затем** рассчитывается. После расчёта сохранённое решение ещё раз открывается через исходный `.fem`.
4. Для просмотра готового эталонного набора откройте нужный `.fem` из `verified/`, затем загрузите соответствующее решение. У `.fem` и `.ans` один базовый путь. Сохраняйте свои изменения в новую копию.
5. Геометрия, допущения и русская расшифровка числовых групп находятся в комментарии модели и в `verified/geometry-contract.json`. FEMM хранит идентификаторы групп числами; поэтому им дана отдельная русская легенда. Все поддерживаемые имена материалов, цепей и границ русские.

**Проверенный комплект:** FEMM headless engine v5.0 06Oct2026, встроенный MicroPython 1.28.0; 18 сохранённых и повторно открытых полевых решений, 80 пройденных проверок. `verified/receipt.json` содержит контекст запуска и SHA-256; `verified/publication.json` — хеши опубликованных файлов и точной версии `reproduce.py`. CPython только организовал запуск, хеширование и рисунки; поле и его интегралы вычислял FEMM 5.

## 1. Прямоугольная трубка: сначала размерности

![Геометрия двух точных трубок](field-tubes.svg)

Воздух занимает прямоугольник шириной w=20 мм, высотой g=2 мм; глубина плоской модели b=20 мм. Нижняя и верхняя стороны изображают поверхности идеального железа **вне** расчётной воздушной области. Сталь отдельным материалом здесь не вводится. При бесконечной проницаемости H в железе стремится к нулю; на воздушной стороне Ht=0, а поле B нормально к полюсу. Для Az это естественное условие ∂Az/∂n=0.

На левой границе задано Az=0,002 Вб/м, на правой Az=0. Это линии потока. Условие Az=const означает отсутствие нормального потока через соответствующую боковую границу; оно **не** означает H=0 в прилегающем воздухе.

В этой плоской задаче Bx=∂Az/∂y и By=−∂Az/∂x. Поэтому:

- B=ΔAz/w=0,1 Тл;
- Φ=b ΔAz=0,020·0,002=0,000040 Вб;
- Uм=Hg=ΔAz·g/(μ0w)=159,154943 А;
- P=Φ/Uм=μ0bw/g=2,51327412·10⁻⁷ Гн;
- W=ΦUм/2=0,00318310 Дж.

Длины в этих формулах выражены в **метрах**. У магнитного напряжения единица ампер, у P — генри, у P/b — генри на метр. В формуле Φ=b ΔAz нет дополнительного μ0. Глубину b нельзя прибавлять к 2D-геометрии ещё одним множителем при чтении уже нормированного интеграла FEMM.

Откройте `verified/01-tube-rectangle-основной.fem`. Проверка аналитической проводимости даёт относительное расхождение 0,000900%. Численный контур немного отступает от его граничных концов; это вместе с численным интегрированием объясняет ненулевую последнюю цифру даже в однородном поле. Для отчёта приведите отдельно точное Φ=bΔAz и поток конечного контрольного контура.

**Задания.** Увеличьте b вдвое: Φ, P и W должны удвоиться, а B и Uм — сохраниться. Затем увеличьте только ΔAz вдвое: B, Φ и Uм увеличатся вдвое, W — вчетверо, P останется прежней. Объясните, почему одинаковый рост Φ в этих двух опытах соответствует разным изменениям поля.

## 2. Сектор кольца: геометрия меняет поле

Воздушная трубка ограничена окружностями r1=20 мм, r2=40 мм и двумя радиальными идеальными полюсами с углом α=30°=π/6. Глубина та же b=20 мм. Внутренняя дуга имеет Az=0,002 Вб/м, внешняя Az=0. Поток идёт по окружностям, его плотность возрастает у внутренней дуги.

Из магнитного напряжения Uм=Hθ·rα и Bθ=μ0Hθ следует Bθ=μ0Uм/(rα). Интегрируем поток через радиальное сечение:

Φ=b∫[r1,r2] Bθ dr=μ0bUм·ln(r2/r1)/α.

Следовательно P=μ0b·ln(r2/r1)/α. Для заданной ΔAz поток снова Φ=bΔAz=40 мкВб, а Uм=ΔAz·α/[μ0ln(r2/r1)]=1202,245867 А. Точная проводимость равна 3,32710647·10⁻⁸ Гн. Формула использует угол в **радианах**; подстановка числа 30 вместо π/6 даёт ошибку в 57,3 раза.

Откройте `verified/05-tube-sector-сетка-мелкая.fem`. Проводимость отличается от точного результата примерно на 0,00292%. В проверку входят сетка воздуха, кусочно-линейное представление дуг и путь интеграла H. Два сеточных случая сохранены отдельно. Малая величина ошибки не гарантирует монотонного убывания каждой последней цифры: одновременно присутствуют несколько дискретизаций.

**Задания.** Вычислите Bθ на r=20 и 40 мм и проверьте отношение 2:1. Сравните точную P с оценкой μ0b(r2−r1)/(αrср). Объясните, какая ширина трубки и какая длина пути входят в эту приближённую оценку. При объединении трубок складывайте P только для параллельных ветвей с одинаковым Uм; для последовательных участков складывайте 1/P при общем Φ.

## 3. Полюс–плоскость: самостоятельная адаптация П4

![Рассчитанные линии потока](pole-plane-field.svg)

Воздушная область имеет вершины C(−50;0), D(0;50), E(0;25), M(40;25), N(40;0), размеры в мм. CD — четверть окружности радиуса 50 мм с центром (0;0). Глубина b=20 мм. На дуге CD задано Az=0,002 Вб/м; на NM Az=0. На DE, EM и NC оставлено естественное условие идеального железа. В модели нет обмотки и нет стали конечной μ: это задача **геометрии проводимости**, а не полный электромагнит.

В FEMM следует явно построить обе заданные линии потока, назначить им разные русские границы и ввести одну метку воздуха. Не пытайтесь заменить естественные идеальные полюсные стороны на Az=0: это повернёт смысл границы и изменит задачу.

Поток задаётся ΔAz и глубиной: Φ=bΔAz=40 мкВб. Магнитное напряжение определяется **из решения**, интегралом H·dl от плоскости NC к поверхности EM. В программе взяты три вертикальных пути x=10, 20 и 30 мм. В воздухе без свободного тока rot H=0; одинаковые конечные идеальные полюсы должны давать одинаковое Uм независимо от пути. Разность результатов — полезный контроль интегрирования, сетки и правильно выбранных концов.

| Сетка воздуха, мм | Макс. угол дуги | Элементы | λ=P/(μ0b) |
|---|---|---:|---:|
| 1,00 | 1,00° | 7 231 | 2,519383709 |
| 0,50 | 0,50° | 28 692 | 2,520050273 |
| 0,25 | 0,25° | 114 599 | 2,520413595 |

Последняя пара отличается на 0,014415%. Для тонкой сетки получено среднее Uм=631,450973 А; относительный разброс трёх путей 0,001016%; P=6,33449027·10⁻⁸ Гн; P/b=3,16724513·10⁻⁶ Гн/м. Величина λ=2,520413595 **безразмерна**. Нельзя называть одно и то же число попеременно P, P/b и λ.

Численный поток контрольного контура 39,9992004 мкВб немного отличается от заданных 40 мкВб: концы контура отступают от крайних точек, а интеграл выполняется по дискретному полю. Энергетический контроль W≈ΦUм/2 даёт относительную невязку 0,002503%. Это не неопределённость исходного закона Φ=bΔAz.

Отдельная сохранённая модель удваивает ΔAz и b. Получается четырёхкратный Φ и двукратный Uм; λ сохраняется. Все эти выводы относятся к **данной смешанной краевой задаче**. Внешняя дуга является заданной линией потока; она не служит доказательством пренебрежимости рассеяния произвольного реального аппарата за этой дугой.

**Задания.** Повторите три сетки и постройте λ(h). Поменяйте только угол разбиения дуги при сохранённом h, чтобы отделить геометрическую дискретизацию от сетки воздуха. Сравните Uм по трем путям и объясните отличие проверки независимости пути от проверки абсолютной точности решения. Не требуйте совпадения с λ из книги: её размеры и постановка отличаются от этой адаптации.

## 4. П-магнит с поворотным якорем

![Устройство и поле](pivot-u-device.svg)

Неподвижный П-магнитопровод имеет высоту 50 мм, наружную ширину 60 мм, два полюса по 10 мм и ярмо 10 мм. Плоская глубина b=20 мм. Начальный якорь — прямоугольник с вершинами (−30;52), (30;52), (30;62), (−30;62) мм. При θ=0 оба вертикальных зазора равны 2 мм. Катушка охватывает **левый** стержень; две её стороны имеют ±300 витков одной цепи с током I=1 А. Это не две независимые катушки. Сталь линейная, μr=2000, электропроводность нулевая.

### Кинематика

Ось O=(−30;52) мм неподвижна. Каждую вершину p=(x,y), а также метку якоря программа преобразует по одной формуле:

x′=xO+(x−xO)cosθ−(y−yO)sinθ;

y′=yO+(x−xO)sinθ+(y−yO)cosθ.

Положительный θ отсчитывается против часовой стрелки: правая сторона поднимается, а левая нижняя точка остаётся в шарнире. При θ=3° вертикальный зазор над центром левого полюса 2,262039 мм, правого 4,882428 мм. Это **поворот**, и заменять его одинаковым вертикальным переносом всего якоря нельзя. Вертикальный промежуток и кратчайшее нормальное расстояние между наклонными поверхностями различны.

### Цепная оценка через трубки

Нижняя поверхность якоря имеет уравнение y=52+(x+30)tanθ. Для вертикальной трубки шириной dx над полюсом dP=μ0b·dx/g(x), где g(x)=2+(x+30)tanθ в мм. Отношение dx/g безразмерно, b вводится в метрах. Интегрирование от x1 до x2 даёт:

Pполюса=μ0b/tanθ · ln{[2+(x2+30)tanθ]/[2+(x1+30)tanθ]}.

Для θ=0 используется предел μ0b·(x2−x1)/2. Левый полюс: x1=−30, x2=−20; правый: x1=20, x2=30 мм. Сопротивления двух зазоров включены последовательно. Дополнительно принята явно условная оценка стали Rст=lст/(μ0μrS), lст=140 мм, S=10·20 мм². Тогда Φцепи=NI/(1/Pл+1/Pп+Rст), W′цепи=NIΦцепи/2.

Такой расчёт не включает выпучивание и рассеяние. Он не требует, чтобы реальное поле шло строго вертикально: вертикальные трубки — выбранное приближение. Сравнение покажет, где оно полезно, а где недостаточно.

### Расчёт поля и момента

Откройте `verified/10-pivot-u-сетка-мелкая.fem`. Выберите **весь якорь, группу 2**, и вычислите взвешенные интегралы тензора Максвелла: Fx — 18, Fy — 19, T0 — 22. Шарнир физически не моделируется отдельной магнитной деталью. FEMM выдаёт момент относительно начала координат, поэтому перенесите его к оси:

Tш=T0−xO·Fy+yO·Fx.

Здесь xO=−0,030 **м**, yO=0,052 **м**, силы в Н, моменты в Н·м. В результате при θ=3°:

- Fx=0,03135591 Н, Fy=−0,66402482 Н;
- T0=+0,005014675 Н·м;
- Tш=−0,013275562 Н·м.

Положительный T0 не означает, что аппарат раскрывает зазор: нужный механический момент — относительно **шарнира**. Отрицательный Tш противодействует положительному углу и закрывает якорь.

Независимая проверка использует сохранённые модели θ±h при неизменном токе и W′ всего поля:

Tш≈[W′(θ+h)−W′(θ−h)]/(2h).

Число h в знаменателе должно быть в **радианах**. При h=0,10° получено −0,013145691 Н·м; при h=0,05° — −0,013258807 Н·м. Последнее значение отличается от взвешенного тензора на 0,126210%; две производные отличаются на 0,853140%. Сгущение сетки изменило Tш на 0,006937%; увеличение внешней области в 1,4 раза — на 1,086060%. Это наблюдаемые проверки устойчивости, а не строгая верхняя граница полной погрешности и не физическое испытание привода.

### Анализ, который нужно сдать

![Характеристики поворотного якоря](pivot-u-characteristic.svg)

Сведите в одну таблицу θ=0, 1, 3 и 6°, Tш, Φл, Φп и цепные оценки. Потоки FEMM измерены через указанные горизонтальные сечения в воздухе над полюсами: y=51 мм, x≈[−30;−20] и [20;30] мм. Они не являются интегралами по всей поверхности якоря. При 3° получены Φл=14,0563 мкВб и Φп=8,74687 мкВб; простая последовательная цепь предсказывает единственный поток 10,4725 мкВб. Объясните различие через потоки рассеяния и положение катушки на левом стержне.

Цепной момент при 3° равен −0,013019565 Н·м, близок к FEMM, хотя цепная коэнергия значительно ниже полной полевой. Такое совпадение момента не доказывает точность всех потоков и энергетических составляющих: вклад слабо зависящего от θ рассеяния может существенно менять W′, но мало менять её производную. При 6° расхождение момента уже заметнее.

**Контрольные вопросы.** Почему перевод градусов в радианы требуется в производной, но не в подписи графика? Почему нельзя просто взять T0? Почему сила Fy сама по себе не определяет момент без плеча и Fx? Почему одинаковые зазоры при 0° не гарантируют равных потоков выбранных сечений при несимметричном расположении катушки? Какие торцевые потоки отсутствуют в этой плоской модели конечной глубины?

## Происхождение и пределы

Файл `verified/run-context.json` фиксирует версию и SHA-256 исполняемого файла FEMM, точный исходный сценарий и успешное завершение. В `result.json` есть вся таблица, конкретные пороги и фактические невязки. `render_figures.py` — необязательный CPython-инструмент визуализации уже готовых решений; `figure-provenance.json` связывает рисунки с SHA-256 точных `.ans`.

Ни один из этих тестов не включает 3D-торцевое поле, нагрев, гистерезис, механические контакты или динамику. Прямоугольная и секторная трубки имеют независимый точный аналитический эталон. Полюс–плоскость проверяется сеткой, независимостью путей, энергетикой и масштабированием. Поворотный якорь — сеткой, внешней областью и независимыми методами момента. Разные виды доказательств не взаимозаменяемы.