Уравнения Максвелла и переход к статике

Записать уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме. Вывести закон сохранения заряда. Обосновать допущения электростатики, стационарного тока, магнитостатики и квазистатики. Оценить границы применимости по характерным размерам и частоте

Предварительные понятия

Теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса. Лапласиан

От операторов к физике

В модуле M1 мы научились измерять, сколько поля «рождается» в точке (дивергенция) и как сильно оно «закручено» (ротор). Теперь эти операторы получают физическое содержание: четыре уравнения Максвелла говорят, что именно является источником дивергенции и ротора электрического и магнитного полей. Все остальные законы электромагнетизма — закон Кулона, закон Ома в полевой форме, закон электромагнитной индукции, закон сохранения заряда — либо содержатся в этих уравнениях, либо выводятся из них в сочетании со свойствами среды.

Для инженера уравнения Максвелла ценны ещё и тем, что из них видно, какие слагаемые можно отбросить в конкретной задаче. Конденсатор при 50 Гц, трансформатор, нагревательный элемент, шина с постоянным током описываются не полной системой, а её упрощёнными частными случаями — электростатикой, магнитостатикой, стационарным током, квазистатикой. Этот урок устроен как лестница: сначала полная система, затем закон сохранения заряда как её следствие, затем спуск по ступенькам приближений с явным критерием на каждой.

Четыре уравнения

Будем пользоваться величинами, определёнными в глоссарии: $\uE$ — напряжённость электрического поля (В/м), $\uD$ — электрическое смещение (Кл/м²), $\uH$ — напряжённость магнитного поля (А/м), $\uB$ — магнитная индукция (Тл), $\uJ$ — плотность тока проводимости (А/м²), $\rho$ — объёмная плотность свободного заряда (Кл/м³).

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

$\begin{aligned} \nabla\times \uH &= \uJ+\frac{\partial\uD}{\partial t} &&\text{(закон полного тока),}\\ \nabla\times \uE &= -\frac{\partial\uB}{\partial t} &&\text{(закон электромагнитной индукции),}\\ \nabla\cdot \uD &= \rho &&\text{(теорема Гаусса),}\\ \nabla\cdot \uB &= 0 &&\text{(непрерывность магнитного потока).} \end{aligned}$ Все величины — функции точки $\ur$ и времени $t$ ; уравнения справедливы в каждой точке, где поля дифференцируемы, то есть внутри сред, а не на поверхностях раздела (о них — в следующем уроке).

Смысл уравнений удобно читать «справа налево»: правая часть — источник, левая — порождаемая им структура поля.

Закон полного тока. Вихри магнитного поля создаются током проводимости $\uJ$ и током смещения $\partial\uD/\partial t$ . Второе слагаемое — вклад Максвелла; без него система была бы несовместной (см. ниже). Единица обоих слагаемых — А/м².
Закон электромагнитной индукции. Вихри электрического поля создаются изменением магнитной индукции во времени. Знак «минус» — правило Ленца: индуцированное поле противодействует изменению потока.
Теорема Гаусса. Источниками (истоками и стоками) смещения $\uD$ являются свободные заряды. Линии $\uD$ начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах.
Непрерывность магнитного потока. У магнитной индукции нет истоков: линии $\uB$ замкнуты (или уходят на бесконечность). Магнитных зарядов не существует.

Применяя теоремы Остроградского–Гаусса и Стокса из урока об интегральных теоремах, получаем интегральную форму. Пусть $S$ — ориентированная поверхность, натянутая на замкнутый контур $L$ (нормаль $\un$ согласована с обходом по правилу правого винта), а $V$ — объём, ограниченный замкнутой поверхностью $S_V$ с внешней нормалью.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

$\begin{aligned} \oint_L\uH\cdot\dl &= \int_S\uJ\cdot\un\,\dS+\frac{\dd}{\dd t}\int_S\uD\cdot\un\,\dS = I+\frac{\dd\Psi_{\mathrm э}}{\dd t},\\ \oint_L\uE\cdot\dl &= -\frac{\dd}{\dd t}\int_S\uB\cdot\un\,\dS=-\frac{\dd\Phi}{\dd t},\\ \oint_{S_V}\uD\cdot\un\,\dS &= \int_V\rho\,\dV = Q,\\ \oint_{S_V}\uB\cdot\un\,\dS &= 0 . \end{aligned}$ Здесь $I$ — ток через поверхность $S$ , $\Psi_{\mathrm э}$ — поток смещения через неё, $\Phi$ — магнитный поток, $Q$ — свободный заряд внутри $V$ . Поверхность $S$ и контур $L$ считаются неподвижными, поэтому производную по времени можно вынести за знак интеграла.

Интегральная форма не требует дифференцируемости полей и поэтому применима к областям с границами раздела — именно из неё в следующем уроке мы выведем граничные условия. Дифференциальная форма удобнее для получения уравнений в частных производных, которые решаются аналитически или численно. Переход между формами всегда обратим там, где поля гладкие [Тамм].

Закон сохранения заряда

Возьмём дивергенцию от обеих частей закона полного тока. По тождеству $\nabla\cdot \nabla\times \uH\equiv0$ левая часть обращается в нуль: $0=\nabla\cdot \uJ+\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot \uD .$ Подставляя $\nabla\cdot \uD=\rho$ из теоремы Гаусса, получаем

Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда)

$\nabla\cdot \uJ+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0, \qquad \oint_{S_V}\uJ\cdot\un\,\dS=-\frac{\dd Q}{\dd t}.$ Ток, вытекающий из замкнутой поверхности, равен скорости убывания заряда внутри неё. Заряд не возникает и не исчезает — он только перетекает.

Это следствие объясняет, почему ток смещения в первом уравнении обязателен. Без него мы имели бы $\nabla\times \uH=\uJ$ и, значит, $\nabla\cdot \uJ=0$ всегда — а это противоречит простейшему опыту с зарядкой конденсатора: в провод ток втекает, в зазоре между пластинами тока проводимости нет, но заряд на пластине растёт. Слагаемое $\partial\uD/\partial t$ «замыкает» ток через зазор. В стационарном режиме, когда $\partial\rho/\partial t=0$ , уравнение непрерывности сводится к $\nabla\cdot \uJ=0$ : линии тока замкнуты, как и линии $\uB$ .

Аналогичная операция со вторым уравнением даёт $\partial(\nabla\cdot \uB)/\partial t=0$ : если $\nabla\cdot \uB=0$ в какой-то момент, это сохраняется навсегда. Поэтому четвёртое уравнение иногда называют начальным условием для второго; в курсе мы считаем его самостоятельным законом природы.

Материальные уравнения: предварительный взгляд

Подсчитаем неизвестные. Векторы $\uE,\uD,\uB,\uH,\uJ$ дают 15 скалярных функций, плюс $\rho$ — 16. Уравнений: два векторных (6 скалярных) и два скалярных — всего 8, причём скалярные не независимы от векторных: дивергенция второго даёт четвёртое, дивергенция первого вместе с законом сохранения заряда — третье. Система недоопределена: уравнения Максвелла описывают структуру поля, но ничего не говорят о том, как среда откликается на него.

Недостающие связи дают материальные уравнения. Для простейшей — линейной, изотропной, однородной — среды $\uD=\varepsilon\uE,\qquad \uB=\mu\uH,\qquad \uJ=\sigma\uE ,$ где $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ — диэлектрическая проницаемость (Ф/м), $\mu=\mu_r\mu_0$ — магнитная проницаемость (Гн/м), $\sigma$ — удельная проводимость (См/м). В вакууме $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ Ф/м, $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ Гн/м, и $c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}\approx3\cdot10^8$ м/с — скорость света. Подробно материальные уравнения, их тензорные и нелинейные обобщения рассматриваются в уроке о материальных уравнениях; здесь они нужны только для того, чтобы сформулировать критерии приближений.

Лестница приближений

Полная система уравнений Максвелла описывает и распространение радиоволн, и электростатику заряженной сферы. Платить за универсальность приходится сложностью: приходится решать связанную систему уравнений для $\uE$ и $\uH$ одновременно. Практически все устройства электроэнергетики, электромеханики и электротехнологии допускают упрощения, которые разрывают эту связь.

Статика: $\partial/\partial t=0$

Если все величины не зависят от времени, производные по $t$ обращаются в нуль, и система распадается на две независимые группы.

Электростатика. Нет токов ( $\uJ=0$ ), заряды неподвижны: $\nabla\times \uE=0,\qquad \nabla\cdot \uD=\rho,\qquad \uD=\varepsilon\uE .$ Поле безвихревое. В уроке о теоремах показано, что $\nabla\times \nabla \varphi\equiv0$ ; верно и обратное: в односвязной области всякое безвихревое поле есть градиент некоторого скаляра. Поэтому $\uE=-\nabla \varphi ,$ где $\varphi$ — электрический потенциал (В). Три компоненты $\uE$ сводятся к одной скалярной функции — в этом главная выгода. Подстановка в теорему Гаусса даёт уравнение Пуассона $\nabla\cdot (\varepsilon\nabla \varphi)=-\rho$ (урок об электростатике).

Стационарный электрический ток. Токи есть, но постоянны. Уравнение непрерывности при $\partial\rho/\partial t=0$ даёт $\nabla\cdot \uJ=0,\qquad \nabla\times \uE=0,\qquad \uJ=\sigma\uE \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot (\sigma\nabla \varphi)=0 .$ Магнитное поле токов при этом существует ( $\nabla\times \uH=\uJ$ ), но на распределение $\uE$ и $\uJ$ не влияет: можно сначала решить задачу о токе, а потом — о создаваемом им магнитном поле.

Магнитостатика. Распределение токов задано (из предыдущей задачи или как ток в обмотке): $\nabla\times \uH=\uJ,\qquad \nabla\cdot \uB=0,\qquad \uB=\mu\uH .$ Условие совместности $\nabla\cdot \uJ=0$ следует из $\nabla\cdot \nabla\times \uH=0$ : нельзя задать магнитостатическую задачу с незамкнутыми токами. Поскольку $\nabla\cdot \uB=0$ , индукцию ищут как $\uB=\nabla\times \uA$ через векторный потенциал $\uA$ (урок о магнитостатике).

Квазистатика: медленные процессы

Пусть поля меняются во времени, но медленно. Что значит «медленно»? Оценим, как связаны слагаемые с производными по времени. Пусть $L$ — характерный размер устройства, $\omega=2\pi f$ — угловая частота. Из закона индукции $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$ по порядку величины $E/L\sim\omega B$ , то есть индуцированное поле $E_{\mathrm{инд}}\sim\omega\mu H L$ . Из закона полного тока в непроводящей среде $H/L\sim\omega\varepsilon E$ , то есть поле, созданное током смещения, $H_{\mathrm{см}}\sim\omega\varepsilon E L$ . Подставим одно в другое: $\frac{E_{\mathrm{инд}}}{E}\sim\omega^2\varepsilon\mu L^2=\left(\frac{\omega L}{c}\right)^2=\left(\frac{2\pi L}{\lambda}\right)^2, \qquad \lambda=\frac{c}{f}.$

Критерий квазистатичности

Взаимное влияние двух производных по времени — индукции и тока смещения — есть эффект второго порядка по параметру $L/\lambda$ , где $\lambda=c/f$ — длина электромагнитной волны в среде ( $c=1/\sqrt{\varepsilon\mu}$ — скорость света в ней). Если $L\ll\lambda ,$ то за время изменения поля ( $\sim1/f$ ) электромагнитное возмущение успевает пробежать устройство ( $L/c$ ) много раз, поля во всех точках меняются синфазно, и одной из двух производных по времени можно пренебречь. Какой именно — зависит от среды и назначения устройства.

Электроквазистатика (ЭКС). Удерживается ток смещения, пренебрегается индукцией: $\nabla\times \uH=\uJ+\frac{\partial\uD}{\partial t},\qquad \nabla\times \uE\approx0\ \Rightarrow\ \uE=-\nabla \varphi, \qquad \nabla\cdot \!\left(\sigma\uE+\frac{\partial(\varepsilon\uE)}{\partial t}\right)=0 .$ Это модель конденсаторов, изоляции, электродов в слабопроводящих средах: главное — заряды и ёмкость, а магнитная энергия ничтожна. Для гармонических процессов ток проводимости и ток смещения объединяются в комплексную проводимость $\sigma+\ii\omega\varepsilon$ (урок о гармонических токах).

Магнитоквазистатика (МКС). Удерживается индукция, отбрасывается ток смещения: $\nabla\times \uH=\uJ,\qquad \nabla\times \uE=-\frac{\partial\uB}{\partial t},\qquad \nabla\cdot \uB=0,\qquad \uJ=\sigma\uE .$ Это модель трансформаторов, электрических машин, индукционного нагрева, вихревых токов и скин-эффекта. Главное — токи и магнитная энергия; электрическое поле нужно лишь постольку, поскольку оно гонит ток.

Выбор между ЭКС и МКС в проводящей среде диктуется отношением плотностей тока проводимости и тока смещения. Для гармонического поля $\uJ=\sigma\uE$ , а $|\partial\uD/\partial t|=\omega\varepsilon|\uE|$ , откуда $\frac{|\uJ|}{|\partial\uD/\partial t|}=\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}.$ При $\sigma/(\omega\varepsilon)\gg1$ среда — проводник, ток смещения в ней пренебрежимо мал (МКС); при $\sigma/(\omega\varepsilon)\ll1$ — диэлектрик, в котором проводимость даёт лишь малые потери (ЭКС). Промежуточный случай требует удерживать оба тока [Haus].

Модель	Уравнения	Что отброшено	Скалярная/векторная неизвестная	Уроки
Электростатика	$\nabla\times \uE=0$ , $\nabla\cdot \uD=\rho$	$\uJ$ , все $\partial/\partial t$	$\varphi$	M3
Стационарный ток	$\nabla\cdot \uJ=0$ , $\nabla\times \uE=0$	все $\partial/\partial t$	$\varphi$	M4
Магнитостатика	$\nabla\times \uH=\uJ$ , $\nabla\cdot \uB=0$	все $\partial/\partial t$	$\uA$	M5
ЭКС	$\nabla\times \uE=0$ , $\nabla\cdot (\uJ+\partial\uD/\partial t)=0$	$\partial\uB/\partial t$	$\varphi$	M4
МКС	$\nabla\times \uH=\uJ$ , $\nabla\times \uE=-\partial\uB/\partial t$	$\partial\uD/\partial t$	$\uA$	M6
Полная система	все четыре	ничего	$\uE,\uH$	вне курса

Почему волны остаются за рамками курса

Излучение — это энергия, уносимая полем на бесконечность, и оно возникает только за счёт совместного действия обоих членов с $\partial/\partial t$ : изменяющееся $\uD$ рождает $\uH$ , изменяющееся $\uB$ рождает $\uE$ , и эта цепочка самоподдерживается, отрываясь от источника. Отбрасывая любую из производных, мы разрываем цепочку, и решение перестаёт содержать волны: поле в каждый момент времени определяется мгновенным распределением зарядов и токов, как в статике. Для устройств с $L\ll\lambda$ мощность излучения ничтожна по сравнению с мощностью, запасаемой в поле и рассеиваемой в проводниках, поэтому курс ограничивается статикой и квазистатикой. Антенны, волноводы, линии передачи с длиной порядка $\lambda$ и выше требуют полной системы и изучаются в курсах технической электродинамики [Тамм], [Джексон].

Медь при промышленной частоте

Удельная проводимость меди $\sigma=5{,}8\cdot10^7$ См/м, диэлектрическая проницаемость — практически $\varepsilon_0$ . При $f=50$ Гц угловая частота $\omega=2\pi\cdot50\approx314$ рад/с, и $\omega\varepsilon_0\approx314\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\approx2{,}78\cdot10^{-9}\ \text{См/м}, \qquad \frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}\approx\frac{5{,}8\cdot10^7}{2{,}78\cdot10^{-9}}\approx2\cdot10^{16}.$ Ток смещения в меди меньше тока проводимости в $10^{16}$ раз. Даже при $f=1$ ГГц отношение остаётся порядка $10^{9}$ . Внутри металлов ток смещения отбрасывается всегда — это основа магнитоквазистатики и теории скин-эффекта.

Размер устройства и длина волны

Для $f=50$ Гц длина волны в воздухе $\lambda=c/f=3\cdot10^8/50=6\cdot10^6$ м $=6000$ км. Трансформатор размером $L=1$ м имеет $L/\lambda\approx1{,}7\cdot10^{-7}$ , а поправка второго порядка $(2\pi L/\lambda)^2\approx10^{-12}$ — квазистатика безупречна. Для импульсного преобразователя с гармониками до $1$ МГц: $\lambda=300$ м, $L/\lambda\approx3\cdot10^{-3}$ — по-прежнему хорошо. Для той же метровой конструкции при $300$ МГц $\lambda=1$ м, $L/\lambda=1$ : квазистатика непригодна, устройство становится антенной. Границей обычно считают $L\lesssim\lambda/10$ .

Пограничная среда

Водопроводная вода: $\sigma\approx10^{-2}$ См/м, $\varepsilon_r\approx80$ . При $f=1$ МГц $\frac{\sigma}{\omega\varepsilon}=\frac{10^{-2}}{2\pi\cdot10^6\cdot80\cdot8{,}854\cdot10^{-12}}\approx2{,}2 .$ Токи проводимости и смещения одного порядка: ни «проводник», ни «диэлектрик». Такие среды (влажные грунты, биологические ткани, слабопроводящие жидкости) описываются ЭКС-моделью с комплексной проводимостью, где оба слагаемых удерживаются.

Распространённые заблуждения

«В статике магнитного поля нет». В задаче о стационарном токе магнитное поле есть и может быть велико (шины, обмотки). Статика означает лишь, что $\partial/\partial t=0$ и уравнения для $\uE$ и $\uH$ расцепляются, а не что одно из полей отсутствует.
«Ток смещения — это ток зарядов». В вакуумном зазоре конденсатора нет движущихся зарядов, но $\partial\uD/\partial t\ne0$ и магнитное поле создаётся так же, как током проводимости. Ток смещения — слагаемое уравнения, а не поток частиц.
«Квазистатика — это малая частота». Критерий — $L\ll\lambda$ , то есть отношение размера к длине волны. Микроэлектронный элемент размером 1 мкм квазистатичен и при 10 ГГц ( $\lambda=3$ см); линия электропередачи длиной 1000 км при 50 Гц ( $\lambda=6000$ км) — уже нет.
«В ЭКС нет магнитного поля, в МКС нет электрического». Оба поля присутствуют в обеих моделях; отброшено лишь обратное влияние одного из них на другое. В МКС электрическое поле нужно, чтобы существовал ток; в ЭКС магнитное поле вычисляется по известным токам, но не влияет на распределение зарядов.
Проверка $\nabla\cdot \uJ=0$ забыта при постановке магнитостатической задачи: незамкнутая система токов несовместна с $\nabla\times \uH=\uJ$ .

Вопросы и упражнения

Покажите, что из второго и четвёртого уравнений Максвелла следует $\partial(\nabla\cdot \uB)/\partial t=0$ . Почему отсюда ещё не следует $\nabla\cdot \uB=0$ ?
Запишите уравнение непрерывности в интегральной форме для замкнутой поверхности, охватывающей одну пластину конденсатора при зарядке током $I=2$ А. С какой скоростью растёт заряд пластины? Чему равен поток смещения $\dd\Psi_{\mathrm э}/\dd t$ через поверхность, пересекающую зазор?
Оцените $\sigma/(\omega\varepsilon)$ для стали ( $\sigma=5\cdot10^6$ См/м) при $50$ Гц и для полиэтилена ( $\sigma\approx10^{-15}$ См/м, $\varepsilon_r=2{,}3$ ) при той же частоте. К какой модели — ЭКС или МКС — относятся эти среды?
Электрическая машина имеет диаметр 3 м и питается от сети 50 Гц; её обмотки несут гармоники до 20 кГц. Оцените $L/\lambda$ для верхней гармоники и сделайте вывод о применимости квазистатики.
Почему в электростатике можно ввести скалярный потенциал $\varphi$ , а в МКС — нельзя (для $\uE$ )? Какой потенциал используется вместо него?
Почему при выводе критерия квазистатичности поправка получилась второго порядка по $L/\lambda$ , а не первого?

Ответы к пунктам 2 и 3

2. $\oint\uJ\cdot\un\,\dS=-I=-2$ А (ток втекает, поток плотности тока через внешнюю нормаль отрицателен), поэтому $\dd Q/\dd t=+2$ Кл/с. Весь поток $\uD$ пластины уходит через зазор, значит $\dd\Psi_{\mathrm э}/\dd t=\dd Q/\dd t=2$ А: ток смещения в зазоре равен току проводимости в проводе.

3. Сталь: $\omega\varepsilon_0\approx2{,}78\cdot10^{-9}$ См/м, $\sigma/(\omega\varepsilon_0)\approx1{,}8\cdot10^{15}$ — проводник, МКС. Полиэтилен: $\omega\varepsilon=314\cdot2{,}3\cdot8{,}854\cdot10^{-12}\approx6{,}4\cdot10^{-9}$ См/м, $\sigma/(\omega\varepsilon)\approx1{,}6\cdot10^{-7}$ — диэлектрик, ЭКС; ток проводимости даёт лишь малые диэлектрические потери.

Итоги

Четыре уравнения Максвелла задают источники вихрей ( $\uJ+\partial\uD/\partial t$ для $\uH$ , $-\partial\uB/\partial t$ для $\uE$ ) и источники истоков ( $\rho$ для $\uD$ , нуль для $\uB$ ); интегральная и дифференциальная формы связаны теоремами Остроградского–Гаусса и Стокса.
Закон сохранения заряда $\nabla\cdot \uJ+\partial\rho/\partial t=0$ — следствие уравнений Максвелла, возможное только благодаря току смещения.
Система недоопределена без материальных уравнений $\uD=\varepsilon\uE$ , $\uB=\mu\uH$ , $\uJ=\sigma\uE$ .
При $\partial/\partial t=0$ система распадается на электростатику ( $\uE=-\nabla \varphi$ ), стационарный ток ( $\nabla\cdot \uJ=0$ ) и магнитостатику ( $\nabla\times \uH=\uJ$ ).
При $L\ll\lambda=c/f$ справедлива квазистатика: ЭКС (удержан ток смещения) для диэлектриков и конденсаторов, МКС (удержана индукция) для проводников, где $\sigma/(\omega\varepsilon)\gg1$ . Волны и излучение требуют полной системы и в курсе не рассматриваются.

Далее — материальные уравнения и границы раздела сред: как среда замыкает систему уравнений и что происходит с полем на поверхности, где свойства меняются скачком.