Кривые, поверхности и интегралы по ним

Задавать ориентацию кривой и поверхности. Вычислять линейные, поверхностные и объёмные интегралы. Понимать физический смысл потока и циркуляции

Предварительные понятия

Скалярные и векторные поля. Системы координат

От локального к интегральному

Поле задано в каждой точке, но измеряем мы почти всегда интегральные величины: вольтметр показывает напряжение — интеграл напряжённости вдоль пути; амперметр — ток, то есть поток плотности тока через сечение; калориметр — тепло, прошедшее через поверхность. Законы электромагнетизма в той форме, в какой они были открыты экспериментально, — законы Гаусса, Ампера, Фарадея — тоже сформулированы через интегралы по поверхностям и контурам. Поэтому прежде чем переходить к дифференциальным операторам, нужно научиться задавать кривые и поверхности, выбирать их ориентацию и вычислять интегралы по ним. Строгое изложение можно найти в [Фихтенгольц] и [Кочин]; здесь акцент сделан на геометрическом и физическом смысле.

Кривые и их ориентация

Параметризация кривой

Кривая $L$ задаётся векторной функцией $\ur(t)$ , $t\in[t_1,t_2]$ . Производная $\dd\ur/\dd t$ — касательный вектор; элемент длины $\dd l=|\dd\ur/\dd t|\,\dd t$ ; ориентированный элемент $\dl=(\dd\ur/\dd t)\,\dd t=\vec\tau\,\dd l$ , где $\vec\tau$ — единичный касательный вектор. Ориентация кривой — выбор направления движения по ней (направления $\vec\tau$ ); смена ориентации меняет знак $\dl$ . Кривая называется замкнутой (контуром), если $\ur(t_1)=\ur(t_2)$ .

В цилиндрических координатах $\dl=\dd r\,\vec e_r+r\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha+\dd z\,\vec e_z$ . Для окружности радиуса $R$ в плоскости $z=\mathrm{const}$ с обходом в сторону роста $\alpha$ : $\dl=R\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha$ , $\dd l=R\,\dd\alpha$ , длина $\oint\dd l=2\pi R$ .

Поверхности, нормаль и ориентация

Параметризация поверхности и нормаль

Поверхность $S$ задаётся функцией двух параметров $\ur(u,v)$ . Векторы $\partial\ur/\partial u$ и $\partial\ur/\partial v$ касательны к поверхности, их векторное произведение перпендикулярно ей. Единичная нормаль и элемент площади: $\un=\pm\frac{\partial\ur/\partial u\times\partial\ur/\partial v}{|\partial\ur/\partial u\times\partial\ur/\partial v|},\qquad \dS=\Bigl|\frac{\partial\ur}{\partial u}\times\frac{\partial\ur}{\partial v}\Bigr|\,\dd u\,\dd v .$ Ориентированный элемент поверхности — вектор $\un\,\dS$ . Ориентация поверхности — выбор одной из двух сторон, то есть знака нормали.

Для поверхности, заданной уравнением $g(x,y,z)=0$ , нормаль пропорциональна градиенту: $\un\parallel\nabla g$ — это будет доказано в уроке о градиенте. Для координатных поверхностей цилиндрической системы нормали и элементы площади уже известны из предыдущего урока: на боковой поверхности цилиндра $\un=\vec e_r$ , $\dS=r\,\dd\alpha\,\dd z$ ; на торце $\un=\pm\vec e_z$ , $\dS=r\,\dd r\,\dd\alpha$ .

Соглашения об ориентации

Для замкнутой поверхности (ограничивающей объём $V$ ) нормаль выбирается внешней — направленной из объёма наружу.
Для незамкнутой поверхности с краем $L$ направления нормали $\un$ и обхода контура $L$ связаны правилом правого винта: при взгляде с конца $\un$ обход виден против хода часовой стрелки. Задание ориентации контура индуцирует ориентацию поверхности и наоборот.
На границе двух сред нормаль, если не сказано иное, направлена из среды 1 в среду 2.

Правило 2 определяет знак потока через поверхность, натянутую на контур, и, следовательно, знак ЭДС в законе Фарадея. В лабораториях курса ориентация задаётся явно: нормаль — стрелкой, обход — стрелкой на контуре; переключатель ориентации меняет оба направления согласованно.

Линейные интегралы

Линейный интеграл скалярного поля

$\int_L f\,\dd l=\int_{t_1}^{t_2}f(\ur(t))\,\Bigl|\frac{\dd\ur}{\dd t}\Bigr|\,\dd t .$ Не зависит от ориентации. Примеры: длина кривой ( $f=1$ ), заряд нити с линейной плотностью $\tau$ : $Q=\int_L\tau\,\dd l$ .

Линейный интеграл векторного поля

$\int_L\vec F\cdot\dl=\int_L F_\tau\,\dd l=\int_{t_1}^{t_2}\vec F(\ur(t))\cdot\frac{\dd\ur}{\dd t}\,\dd t,$ где $F_\tau=\vec F\cdot\vec\tau$ — касательная составляющая. Интеграл меняет знак при смене ориентации. По замкнутому контуру он называется циркуляцией и обозначается $\oint_L\vec F\cdot\dl$ .

Физический смысл линейного интеграла — работа. Если $\vec F$ — сила, то $\int_L\vec F\cdot\dl$ — работа на пути $L$ ; вклад даёт только касательная к пути составляющая силы. Для электрического поля работа над единичным зарядом есть напряжение: $U_{AB}=\int_A^B\uE\cdot\dl\quad(\text{В}).$ В электростатике это напряжение не зависит от пути, и $U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B$ ; в переменном поле оно зависит от пути, и говорить о «напряжении между точками» без указания пути нельзя. Циркуляция напряжённости магнитного поля $\oint_L\uH\cdot\dl$ (А) называется магнитодвижущей силой и по закону полного тока равна току, охваченному контуром; циркуляция $\uE$ — ЭДС, наведённой в контуре.

Циркуляция измеряет, насколько поле «закручено» вдоль контура: она положительна, если поле в среднем направлено по обходу, отрицательна — если против, и равна нулю, если участки, где поле помогает движению, точно компенсируются участками, где оно мешает. Поле, циркуляция которого равна нулю по любому контуру, называется потенциальным; к этому мы вернёмся в уроке о роторе.

Поверхностные интегралы и поток

Поверхностный интеграл скалярного поля

$\int_S f\,\dS=\iint f(\ur(u,v))\,\Bigl|\frac{\partial\ur}{\partial u}\times\frac{\partial\ur}{\partial v}\Bigr|\,\dd u\,\dd v .$ Не зависит от ориентации. Примеры: площадь ( $f=1$ ), заряд поверхности с плотностью $\sigma_s$ : $Q=\int_S\sigma_s\,\dS$ .

Поток векторного поля

$\Phi_F=\int_S\vec F\cdot\un\,\dS=\int_S F_n\,\dS,$ где $F_n=\vec F\cdot\un$ — нормальная составляющая. Поток меняет знак при смене ориентации (стороны) поверхности. Единица: [единица $\vec F$ ]·м².

Слово «поток» заимствовано из гидродинамики: если $\vec F$ — скорость жидкости, то $\int_S\vec F\cdot\un\,\dS$ — объём жидкости, проходящий через поверхность за единицу времени. В теории поля ничего не течёт, но образ сохраняется: поток показывает, «сколько поля» пронизывает поверхность. Через поверхность, параллельную полю, поток равен нулю; через поверхность, перпендикулярную полю, он максимален. Вклады участков, где $F_n>0$ и $F_n<0$ , складываются со знаками, поэтому через замкнутую поверхность в однородном поле поток равен нулю — всё, что вошло, вышло.

Поле	Поток	Единица	Смысл
$\uD$	$\oint_S\uD\cdot\un\,\dS=Q$	Кл	поток смещения через замкнутую поверхность равен свободному заряду внутри (теорема Гаусса)
$\uB$	$\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS$	Вб	магнитный поток; через замкнутую поверхность всегда нуль
$\uJ$	$I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS$	А	ток через сечение $S$
$\uq$	$P=\int_S\uq\cdot\un\,\dS$	Вт	тепловой поток (мощность) через поверхность

Ток — не что иное, как поток плотности тока; эта точка зрения позволяет рассматривать проводник с неравномерным распределением $\uJ$ по сечению (скин-эффект) тем же способом, что и однородный провод.

Объёмные интегралы

Объёмный интеграл

$\int_V f\,\dV=\iiint f\,\dd x\,\dd y\,\dd z=\iiint f\,r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z .$ Ориентации не имеет. Примеры: заряд в объёме $Q=\int_V\rho\,\dV$ ; энергия электрического поля $W_{\mathrm э}=\tfrac12\int_V\uE\cdot\uD\,\dV$ ; мощность потерь $P=\int_V\uJ\cdot\uE\,\dV$ ; тепловая мощность $\int_Vq_V\,\dV$ , где $q_V$ — объёмное тепловыделение (Вт/м³).

Объёмный интеграл от векторного поля вычисляется покомпонентно — но только в декартовом базисе, так как цилиндрические базисные векторы нельзя вынести за знак интеграла.

Разобранные примеры

Поток однородной индукции через наклонённый виток

Круглый виток радиуса $R=5$ см помещён в однородное поле $\uB$ , $B=0{,}2$ Тл. Нормаль к плоскости витка образует с $\uB$ угол $\theta=60°$ . Нормальная составляющая $B_n=B\cos\theta$ одинакова во всех точках плоского витка, поэтому $\Phi=\int_S\uB\cdot\un\,\dS=B\cos\theta\cdot\pi R^2=0{,}2\cdot0{,}5\cdot\pi\cdot(0{,}05)^2=0{,}1\cdot7{,}854\cdot10^{-3}=7{,}85\cdot10^{-4}\ \text{Вб}.$ При $\theta=0$ поток максимален: $1{,}57\cdot10^{-3}$ Вб; при $\theta=90°$ — нуль; при $\theta=120°$ он равен $-7{,}85\cdot10^{-4}$ Вб — знак определяется выбором нормали. Если виток повернуть так, чтобы его нормаль смотрела в противоположную сторону, поток сменит знак, а вместе с ним и знак ЭДС при изменении $B$ .

Ток через провод с неравномерной плотностью тока

В круглом проводе радиуса $a=2$ мм плотность тока направлена вдоль оси и спадает от оси к поверхности по закону $J_z(r)=J_0(1-r^2/a^2)$ , $J_0=2\cdot10^{6}$ А/м². Сечение — круг, $\un=\vec e_z$ , $\dS=r\,\dd r\,\dd\alpha$ : $I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS=\int_0^{2\pi}\dd\alpha\int_0^a J_0\Bigl(1-\frac{r^2}{a^2}\Bigr)r\,\dd r =2\pi J_0\Bigl[\frac{a^2}{2}-\frac{a^4}{4a^2}\Bigr]=\frac{\pi J_0a^2}{2}.$ Численно $I=\pi\cdot2\cdot10^6\cdot4\cdot10^{-6}/2=4\pi\approx12{,}6$ А. При однородной плотности $J_0$ по тому же сечению ток был бы $J_0\pi a^2\approx25{,}1$ А — вдвое больше. Обратите внимание на множитель $r$ в $\dS$ : без него интеграл дал бы величину неверной размерности.

Циркуляция поля прямого тока

Напряжённость магнитного поля вокруг бесконечного прямого провода с током $I$ : $\uH=\dfrac{I}{2\pi r}\vec e_\alpha$ . Вычислим циркуляцию по окружности радиуса $R$ с центром на оси, обход по $\vec e_\alpha$ : $\dl=R\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha$ , $\oint_L\uH\cdot\dl=\int_0^{2\pi}\frac{I}{2\pi R}\,R\,\dd\alpha=I .$ Результат не зависит от $R$ — это закон полного тока для данной геометрии. При $I=100$ А и $R=2$ см напряжённость $H=100/(2\pi\cdot0{,}02)\approx796$ А/м, а циркуляция $796\cdot2\pi\cdot0{,}02=100$ А. При обратном обходе циркуляция равна $-100$ А.

Напряжение в однородном поле по разным путям

Между пластинами плоского конденсатора $\uE=E_0\vec e_x$ , $E_0=5$ кВ/м, расстояние между пластинами $d=2$ мм. Напряжение вдоль прямой от пластины $A$ ( $x=0$ ) к пластине $B$ ( $x=d$ ): $U_{AB}=\int_0^dE_0\,\dd x=E_0d=10$ В. По ломаному пути $A\to C\to B$ , где участок $AC$ идёт вдоль $\vec e_y$ на расстояние $3$ мм, а $CB$ — наклонно к $B$ : на $AC$ подынтегральное выражение $\uE\cdot\dl=E_0\vec e_x\cdot\dd y\,\vec e_y=0$ ; на $CB$ смещение $\dl=\dd x\,\vec e_x+\dd y\,\vec e_y$ даёт $\int E_0\,\dd x=E_0d=10$ В. Напряжение одно и то же — признак потенциального поля.

Типичные ошибки

Поток как произведение $B\cdot S$ . Формула $\Phi=BS$ верна только для однородного поля и плоской поверхности, перпендикулярной ему. В общем случае нужны $\cos\theta$ и интеграл.
Потерянный знак. Поток и циркуляция имеют знак, определяемый ориентацией. Фраза «поток через поверхность равен 2 мВб» без указания нормали неполна, если поверхность незамкнута.
$\dS=\dd r\,\dd\alpha$ в цилиндрических координатах. Правильно $r\,\dd r\,\dd\alpha$ на торце и $r\,\dd\alpha\,\dd z$ на боковой поверхности.
Замена $\vec F\cdot\dl$ на $F\,\dd l$ . Вклад даёт только касательная составляющая; на участках, где поле перпендикулярно пути, интеграл равен нулю, даже если поле велико.
Вынос $\vec e_r$ за знак интеграла. Интеграл $\int\vec F\,\dS$ от вектора в цилиндрическом базисе нельзя вычислять как $\vec e_r\int F_r\,\dS$ : направление $\vec e_r$ меняется по поверхности.

Вопросы и упражнения

Вычислите поток поля $\vec F=x\vec e_x+y\vec e_y$ через боковую поверхность цилиндра $r=a$ , $0\le z\le h$ с внешней нормалью. Чему равен поток через торцы? Чему — полный поток через замкнутую поверхность цилиндра?
Поле $\uE=E_0\vec e_y$ . Найдите $\int_L\uE\cdot\dl$ вдоль четверти окружности радиуса $R$ от точки $(R,0)$ до $(0,R)$ и вдоль отрезка, соединяющего те же точки. Объясните совпадение.
Поверхностная плотность заряда на диске радиуса $a$ зависит от расстояния до центра: $\sigma_s=\sigma_{s0} r/a$ . Найдите полный заряд диска. При $\sigma_{s0}=10$ мкКл/м², $a=5$ см вычислите $Q$ .
Плотность теплового потока на поверхности цилиндрической трубы радиуса $r_0=2$ см и длины $\ell=1$ м равна $q=1500$ Вт/м² (радиально наружу). Найдите тепловой поток $P$ через поверхность трубы.
Вычислите циркуляцию поля $\vec F=-y\vec e_x+x\vec e_y$ по окружности радиуса $R$ с центром в начале координат (обход против часовой стрелки при взгляде с конца $\vec e_z$ ). Как изменится результат при смещении центра окружности на вектор $(x_0,y_0)$ ? Сделайте вывод о «закрученности» этого поля.
Почему ток $I=\int_S\uJ\cdot\un\,\dS$ через два разных сечения одного и того же провода в стационарном режиме одинаков? Какое интегральное свойство $\uJ$ при этом используется?

Ответы к пунктам 1, 3 и 5

1. На боковой поверхности $\un=\vec e_r$ , $\vec F=r\vec e_r=a\vec e_r$ , $F_n=a$ , $\dS=a\,\dd\alpha\,\dd z$ : $\Phi=a\cdot2\pi a h=2\pi a^2h$ . На торцах $\un=\pm\vec e_z$ , $F_z=0$ — поток нуль. Полный поток $2\pi a^2h$ , то есть удвоенный объём цилиндра; в следующих уроках это объяснится через $\nabla\cdot \vec F=2$ .

3. $Q=\int_0^{2\pi}\dd\alpha\int_0^a\sigma_{s0}\dfrac{r}{a}\,r\,\dd r=2\pi\sigma_{s0}\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\sigma_{s0}a^2$ . Численно $Q=\dfrac{2\pi}{3}\cdot10^{-5}\cdot2{,}5\cdot10^{-3}=5{,}24\cdot10^{-8}$ Кл $\approx52$ нКл.

5. На окружности $\vec F=R\vec e_\alpha$ , $\dl=R\,\dd\alpha\,\vec e_\alpha$ , циркуляция $\oint\vec F\cdot\dl=2\pi R^2$ . При смещении центра результат не меняется (прямая проверка: $\oint(-y\,\dd x+x\,\dd y)$ по окружности равна удвоенной площади круга независимо от положения). Поле закручено одинаково во всех точках — это твёрдотельное вращение, его «плотность вихря» постоянна.

Итоги

Кривая и поверхность задаются параметрически; $\dl=\vec\tau\,\dd l$ , $\un\,\dS$ — ориентированные элементы, их знак определяется выбранной ориентацией.
Нормаль к замкнутой поверхности — внешняя; обход контура и нормаль к натянутой поверхности связаны правилом правого винта.
Линейный интеграл $\int\vec F\cdot\dl$ — работа; для $\uE$ это напряжение, по замкнутому контуру — циркуляция (ЭДС, МДС).
Поверхностный интеграл $\int\vec F\cdot\un\,\dS$ — поток; так определяются поток смещения, магнитный поток, ток и тепловой поток.
Объёмные интегралы дают заряд, энергию, мощность; в цилиндрических координатах $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ .

Далее — градиент и производная по направлению: первый из дифференциальных операторов, связывающий скалярное поле с векторным.