Дивергенция и поток

Определить дивергенцию как предел отношения потока к объёму. Вычислять дивергенцию в декартовых и цилиндрических координатах. Распознавать поля с положительной, отрицательной и нулевой дивергенцией

Поток, интегралы и дивергенция. Аналитический эталон. Справа сечение z = 0. Поток через все шесть граней куба вычислен аналитически: 3 × 2³ = 24. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются. — Поток, интегралы и дивергенция1 — замкнутая поверхность куба; n — внешняя нормальАналитический эталон. Справа сечение z = 0. Поток через все шесть граней куба вычислен аналитически: 3 × 2³ = 24. Координаты условные; пространственные размеры в миллиметрах не задаются.Открыть SVG целиком Результат отдельно

Предварительные понятия

Где рождается поле

Линии электрического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных; линии магнитной индукции не начинаются и не заканчиваются нигде; линии плотности тока в стационарном режиме замкнуты, а при зарядке конденсатора обрываются на его пластинах, где накапливается заряд. Во всех этих утверждениях речь идёт об одном: есть ли в данной точке источник поля — место, где поле возникает или исчезает. Величина, количественно описывающая плотность источников, называется дивергенцией.

Ключ к определению — поток через замкнутую поверхность, введённый в уроке об интегралах. Если из малого объёма выходит больше поля, чем входит, внутри есть источник; если входит больше, чем выходит, — сток. Разделив избыток выходящего потока на объём и стянув объём к точке, получим локальную характеристику.

Определение

Дивергенция

Пусть $\vec F(\ur)$ — дифференцируемое векторное поле, $V$ — объём, содержащий точку $\ur$ и ограниченный замкнутой поверхностью $S$ с внешней нормалью $\un$ . Дивергенцией поля в точке $\ur$ называется предел $\nabla\cdot \vec F=\nabla\cdot\vec F=\lim_{V\to0}\frac{1}{V}\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS .$ Это скаляр. Единица — [единица $\vec F$ ]/м. Предел не зависит от формы объёма, стягиваемого к точке.

Определение не упоминает координат, поэтому дивергенция — истинный скаляр, одинаковый в любой системе координат. Его знак имеет ясный смысл: $\nabla\cdot \vec F>0$ — в точке источник (поле «рождается»), $\nabla\cdot \vec F<0$ — сток, $\nabla\cdot \vec F=0$ — поле проходит через окрестность точки, не возникая и не исчезая. Поле, у которого дивергенция равна нулю всюду, называют соленоидальным (бездивергентным).

Вывод формулы в декартовых координатах

Возьмём в качестве $V$ малый прямоугольный параллелепипед с центром в точке $(x,y,z)$ и рёбрами $\dd x,\dd y,\dd z$ , параллельными осям. Его шесть граней попарно перпендикулярны осям координат.

Дивергенция в декартовых координатах

Рассмотрим две грани, перпендикулярные оси $x$ . На правой грани (центр в $x+\dd x/2$ ) внешняя нормаль $\un=\vec e_x$ , нормальная составляющая $F_x(x+\dd x/2,y,z)$ , площадь $\dd y\,\dd z$ . На левой грани $\un=-\vec e_x$ , вклад равен $-F_x(x-\dd x/2,y,z)\,\dd y\,\dd z$ . Сумма по двум граням: $\bigl[F_x(x+\tfrac{\dd x}{2},y,z)-F_x(x-\tfrac{\dd x}{2},y,z)\bigr]\dd y\,\dd z\approx\frac{\partial F_x}{\partial x}\,\dd x\,\dd y\,\dd z .$ Аналогично для граней, перпендикулярных осям $y$ и $z$ . Полный поток через поверхность параллелепипеда $\oint_S\vec F\cdot\un\,\dS\approx\Bigl(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}\Bigr)\dd x\,\dd y\,\dd z .$ Разделив на объём $\dV=\dd x\,\dd y\,\dd z$ и перейдя к пределу, получаем $\nabla\cdot \vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z} .$

Вывод показывает, что в поток через пару противоположных граней входит не само поле, а его приращение между гранями: однородное поле, каким бы сильным оно ни было, даёт нулевой поток через замкнутую поверхность и нулевую дивергенцию. Формальная запись $\nabla\cdot\vec F$ подчёркивает, что дивергенция — «скалярное произведение» оператора $\nabla=\vec e_x\partial_x+\vec e_y\partial_y+\vec e_z\partial_z$ на вектор поля. В декартовом базисе это буквально так, потому что базисные векторы постоянны.

Дивергенция в цилиндрических координатах

В цилиндрических координатах базис зависит от точки, и простая формула «сумма производных компонент» неверна. Повторим вывод для элементарного объёма, ограниченного поверхностями $r$ и $r+\dd r$ , $\alpha$ и $\alpha+\dd\alpha$ , $z$ и $z+\dd z$ ; его объём $\dV=r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ .

Дивергенция в цилиндрических координатах

Грани $r=\mathrm{const}$ имеют разную площадь: внутренняя $r\,\dd\alpha\,\dd z$ , внешняя $(r+\dd r)\,\dd\alpha\,\dd z$ . Поток через них $\bigl[(r+\dd r)F_r(r+\dd r)-rF_r(r)\bigr]\dd\alpha\,\dd z\approx\frac{\partial(rF_r)}{\partial r}\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z .$ Грани $\alpha=\mathrm{const}$ имеют одинаковую площадь $\dd r\,\dd z$ , поток $\dfrac{\partial F_\alpha}{\partial\alpha}\,\dd\alpha\,\dd r\,\dd z$ ; грани $z=\mathrm{const}$ — площадь $r\,\dd r\,\dd\alpha$ , поток $\dfrac{\partial F_z}{\partial z}\,r\,\dd r\,\dd\alpha\,\dd z$ . Складывая и деля на $\dV$ : $\nabla\cdot \vec F=\frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\alpha}{\partial\alpha}+\frac{\partial F_z}{\partial z} .$

Множитель $r$ под знаком производной отражает рост площади боковой поверхности с радиусом: радиальное поле с постоянной компонентой $F_r=F_0$ не является бездивергентным — через внешнюю грань выходит больше, чем входит через внутреннюю, и $\nabla\cdot \vec F=F_0/r$ . Бездивергентным будет поле $F_r\propto1/r$ , у которого убывание модуля точно компенсирует рост площади; это поле заряженной нити. Для осесимметричных задач ( $\partial/\partial\alpha=0$ ) остаются первое и третье слагаемые; подробный вывод в произвольных криволинейных координатах — в [Борисенко] и [Кочин].

Дивергенция в уравнениях поля

Все локальные законы сохранения — а электродинамика и теплопроводность пронизаны ими — записываются через дивергенцию.

Уравнение	Название	Смысл
$\nabla\cdot \uD=\rho$	теорема Гаусса (дифференциальная форма)	источники электрического смещения — свободные заряды, Кл/м³
$\nabla\cdot \uB=0$	соленоидальность индукции	магнитных зарядов нет; линии $\uB$ не имеют концов
$\nabla\cdot \uJ=-\dfrac{\partial\rho}{\partial t}$	уравнение непрерывности	ток вытекает из точки лишь за счёт убыли заряда в ней; в стационарном режиме $\nabla\cdot \uJ=0$
$\nabla\cdot \uq=q_V-\rho_mc\dfrac{\partial T}{\partial t}$	баланс энергии	тепловой поток рождается объёмным тепловыделением $q_V$ (Вт/м³) и убылью внутренней энергии ( $\rho_m$ — плотность, $c$ — удельная теплоёмкость); в стационарном режиме $\nabla\cdot \uq=q_V$

Каждое из этих уравнений — утверждение о балансе в бесконечно малом объёме: «вытекло минус втекло равно рождено минус накоплено». Их интегральные аналоги — закон Гаусса, закон сохранения заряда, тепловой баланс — получаются из дифференциальных по теореме Остроградского–Гаусса, которую мы докажем в уроке об интегральных теоремах.

Лаборатория

В лаборатории поле выбирается из заранее заданного набора, а в качестве контрольного объёма служит куб с центром $(x,y,z)$ и ребром $a$ . На гранях куба показаны стрелки нормальной составляющей поля: входящие — синие, выходящие — красные. Для каждой из шести граней выводится поток, затем суммарный поток $\Phi$ , объём $V=a^3$ , отношение $\Phi/V$ , аналитическое значение $\nabla\cdot \vec F$ в центре куба и их разность. Поток вычисляется численно — квадратурой Гаусса по граням аналитически заданного поля.

Открыть опыт: Исследователь дивергенции

Что стоит проделать:

Для поля $\vec F=\ur$ сравните потоки через противоположные грани: при центре куба в начале координат они равны и все положительны, при смещённом центре некоторые грани дают отрицательный поток, но сумма по-прежнему равна $3a^3$ .
Для сдвигового поля $\vec F=y\vec e_x$ убедитесь, что поток входит через одну грань и в точности выходит через противоположную, а остальные четыре грани дают нуль; $\Phi/V=0$ при любом $a$ .
Для поля $\vec F=x^2\vec e_x$ переместите центр куба вдоль оси $x$ и проследите, как $\Phi/V$ воспроизводит $\nabla\cdot \vec F=2x$ : отношение $\Phi/V$ есть среднее значение дивергенции по кубу, а среднее линейной функции по симметричному кубу равно её значению в центре, поэтому здесь совпадение точное при любом $a$ .
Для точечного источника $\vec F=\ur/r^3$ установите центр куба вне начала координат: потоки через отдельные грани велики, но сумма равна нулю. Затем сдвиньте куб так, чтобы начало координат оказалось внутри: суммарный поток скачком становится равным $4\pi$ , а $\Phi/V=4\pi/a^3$ растёт при уменьшении $a$ неограниченно — дивергенция в особой точке не определена как обычная функция.

Примеры полей с положительной, отрицательной и нулевой дивергенцией

Радиальное поле и сток

$\vec F=\ur=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$ : $\nabla\cdot \vec F=1+1+1=3$ . Поле исходит из начала координат и растёт по модулю с расстоянием; каждый кубик пространства — источник одинаковой «производительности». Поток через сферу радиуса $R$ : $F_n=R$ , площадь $4\pi R^2$ , $\Phi=4\pi R^3=3V$ — согласуется с определением. Для стока $\vec F=-\ur$ всё меняет знак: $\nabla\cdot \vec F=-3$ .

Расширение вдоль одной оси

$\vec F=x\vec e_x$ : $\nabla\cdot \vec F=1$ . Линии поля — параллельные прямые, они не расходятся, но модуль растёт вдоль линии: из куба через правую грань выходит больше, чем входит через левую. Дивергенция положительна, хотя геометрически линии «не расходятся».

Сдвиг и вращение

$\vec F=y\vec e_x$ : $\nabla\cdot \vec F=\partial y/\partial x=0$ . $\vec F=-y\vec e_x+x\vec e_y$ (твёрдотельное вращение): $\nabla\cdot \vec F=\partial(-y)/\partial x+\partial x/\partial y=0$ . В обоих случаях модуль поля вдоль линии не меняется, а линии не сходятся и не расходятся: ни источников, ни стоков. Оба поля, однако, не являются «простыми» — у них отличен от нуля ротор, которому посвящён следующий урок.

Точечный источник

$\vec F=\dfrac{\ur}{r^3}$ , где здесь $r=|\ur|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ . Компонента $F_x=x\,r^{-3}$ , и $\frac{\partial F_x}{\partial x}=r^{-3}+x\cdot(-3)r^{-4}\frac{x}{r}=\frac{1}{r^3}-\frac{3x^2}{r^5}.$ Суммируя три компоненты: $\nabla\cdot \vec F=\dfrac{3}{r^3}-\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=\dfrac{3}{r^3}-\dfrac{3}{r^3}=0$ при $r\ne0$ . Между тем поток через любую сферу с центром в начале координат равен $(1/R^2)\cdot4\pi R^2=4\pi$ . Противоречия нет: всё поле рождается в единственной точке $r=0$ , где формула теряет смысл. Говорят, что дивергенция этого поля есть «дельта-функция» — величина, равная нулю везде, кроме точки, но имеющая конечный интеграл по любому объёму, содержащему её. Это точная математическая модель точечного заряда: $\uE=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\ur}{r^3}$ , $\nabla\cdot \uE=0$ вне заряда, а поток $\uE$ через охватывающую поверхность равен $q/\varepsilon_0$ [Тамм].

Заряженный слой

В плоском слое с объёмной плотностью заряда $\rho=10^{-6}$ Кл/м³ (вакуум) поле направлено по оси $x$ и по уравнению $\nabla\cdot \uE=\rho/\varepsilon_0$ имеет производную $\frac{\dd E_x}{\dd x}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}=\frac{10^{-6}}{8{,}854\cdot10^{-12}}=1{,}13\cdot10^{5}\ \text{В/м}^2 .$ Если в середине слоя ( $x=0$ ) из симметрии $E_x=0$ , то $E_x(x)=\rho x/\varepsilon_0$ и на расстоянии $x=1$ мм от середины $E_x=1{,}13\cdot10^5\cdot10^{-3}=113$ В/м. Поле нарастает линейно: каждый слой заряда добавляет к потоку свою долю.

Тепловыделение в стержне

В круглом стержне с равномерным объёмным тепловыделением $q_V$ плотность теплового потока радиальна: $\uq=q_r(r)\vec e_r$ . Стационарный баланс $\nabla\cdot \uq=q_V$ в цилиндрических координатах даёт $\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd(rq_r)}{\dd r}=q_V$ , откуда $rq_r=q_Vr^2/2$ и $q_r=q_Vr/2$ (при условии конечности $q_r$ на оси). Проверка подстановкой: $\dfrac{1}{r}\dfrac{\dd}{\dd r}\Bigl(\dfrac{q_Vr^2}{2}\Bigr)=\dfrac{1}{r}\,q_Vr=q_V$ . При $q_V=4\cdot10^6$ Вт/м³ (нагруженный медный проводник) на радиусе $r=2$ мм: $q_r=4\cdot10^6\cdot2\cdot10^{-3}/2=4{,}0\cdot10^{3}$ Вт/м². Поток растёт от оси к поверхности, собирая тепло, выделенное внутри.

Типичные ошибки

«Линии расходятся — значит, дивергенция положительна». Контрпример: поле заряженной нити $\vec F=\ur_\perp/r^2=(x\vec e_x+y\vec e_y)/(x^2+y^2)$ . Линии расходятся от оси, но $\partial F_x/\partial x=1/r^2-2x^2/r^4$ , и сумма с $y$ -слагаемым равна $2/r^2-2(x^2+y^2)/r^4=0$ . Расхождение линий компенсируется убыванием модуля. Так же устроено поле $\ur/r^3$ в трёхмерном случае. Дивергенция определяется потоком, а не рисунком.
«Линии параллельны — дивергенция нуль». Контрпример $\vec F=x\vec e_x$ с $\nabla\cdot \vec F=1$ : модуль растёт вдоль прямых линий.
Сумма производных компонент в цилиндрических координатах. Запись $\partial F_r/\partial r+\partial F_\alpha/\partial\alpha+\partial F_z/\partial z$ неверна и даже не имеет единой размерности; правильно $\frac1r\partial(rF_r)/\partial r+\frac1r\partial F_\alpha/\partial\alpha+\partial F_z/\partial z$ .
Дивергенция как вектор. Дивергенция — скаляр; «направление дивергенции» бессмысленно.
Применение формулы в особой точке. В точке, где поле не дифференцируемо (точечный заряд, ось заряженной нити), дивергенция как функция не определена; источник там описывается интегрально — зарядом внутри поверхности.

Вопросы и упражнения

Вычислите дивергенцию полей $\vec F_1=(x^2,\,y^2,\,z^2)$ , $\vec F_2=(yz,\,zx,\,xy)$ , $\vec F_3=(x^2,\,0,\,0)$ в точке $(1,\,2,\,3)$ . Какое из них соленоидально?
Поле $\vec F=F_0\,\vec e_r$ ( $F_0=\mathrm{const}$ ) в цилиндрических координатах. Найдите дивергенцию и объясните результат через потоки через внутреннюю и внешнюю грани элементарного объёма. При каком законе $F_r(r)$ дивергенция равна нулю?
В лаборатории поместите куб с ребром $a=1$ и центром в $(1,\,0,\,0)$ в поле $\vec F=x^2\vec e_x$ . Вычислите вручную потоки через грани $x=0{,}5$ и $x=1{,}5$ и отношение $\Phi/V$ . Сравните с $\nabla\cdot \vec F$ в центре.
Плотность тока в проводнике $\uJ=J_0(1-r^2/a^2)\vec e_z$ . Чему равна $\nabla\cdot \uJ$ ? Какому режиму это соответствует? Может ли стационарный ток иметь $\nabla\cdot \uJ\ne0$ ?
На пластине конденсатора в процессе зарядки накапливается заряд. В каком смысле $\nabla\cdot \uJ\ne0$ на поверхности пластины, если внутри металла и внутри диэлектрика $\nabla\cdot \uJ=0$ ?
Поле $\uB$ некоего устройства во внешней области аппроксимировано выражением $\uB=B_0(x\vec e_x+y\vec e_y-2z\vec e_z)/L$ . Проверьте, допустимо ли такое поле физически.

Ответы к пунктам 1, 3 и 6

1. $\nabla\cdot \vec F_1=2x+2y+2z=12$ ; $\nabla\cdot \vec F_2=0+0+0=0$ — соленоидально всюду; $\nabla\cdot \vec F_3=2x=2$ .

3. Через грань $x=1{,}5$ (нормаль $+\vec e_x$ ): $F_x=2{,}25$ , поток $2{,}25\cdot1=2{,}25$ . Через грань $x=0{,}5$ (нормаль $-\vec e_x$ ): $-0{,}25$ . Остальные грани — нуль. $\Phi=2{,}0$ , $V=1$ , $\Phi/V=2{,}0$ ; $\nabla\cdot \vec F=2x=2$ в центре — совпадение точное.

6. $\nabla\cdot \uB=B_0(1+1-2)/L=0$ — поле соленоидально и условию $\nabla\cdot \uB=0$ не противоречит. Это поле квадрупольного типа: линии сходятся к плоскости $z=0$ вдоль оси $z$ и расходятся в этой плоскости.

Итоги

Дивергенция — предел отношения потока через замкнутую поверхность к охваченному объёму; скаляр, плотность источников поля.
В декартовых координатах $\nabla\cdot \vec F=\partial F_x/\partial x+\partial F_y/\partial y+\partial F_z/\partial z$ ; в цилиндрических — $\frac1r\partial(rF_r)/\partial r+\frac1r\partial F_\alpha/\partial\alpha+\partial F_z/\partial z$ .
$\nabla\cdot \uD=\rho$ , $\nabla\cdot \uB=0$ , $\nabla\cdot \uJ=-\partial\rho/\partial t$ , $\nabla\cdot \uq=q_V$ (стационарно) — локальные законы сохранения.
Знак дивергенции не читается по форме линий: расходящиеся линии могут иметь нулевую дивергенцию ( $\ur/r^3$ ), параллельные — положительную ( $x\vec e_x$ ).
В особых точках (точечный заряд) дивергенция не определена как функция; источник описывается потоком через охватывающую поверхность.

Далее — ротор и циркуляция: вторая локальная характеристика векторного поля, измеряющая не источники, а вихри.

Применение в FEMM 5

Поток, интегралы и дивергенция