Лабораторная работа

Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Цель. Определить распределение поперечной силы между медным проводником и стенками паза. Выбрать положение проводника, при котором доля действующей на него силы не превышает 10%.

Связь с проектированием. Выбрать минимальную обоснованную глубину погружения проводника при ограничении поперечной электромагнитной нагрузки на медь и изоляцию.

Задачи

Разложить поле на внешнюю и собственную составляющие.
Вычислить силу меди интегралом Лоренца, стенок и всей ячейки — напряжениями Максвелла.
Проверить баланс и сеточную сходимость.
Подтвердить правило пересчёта поля при конформном отображении.

Исходные данные и условия опыта

Центр проводника перемещается от 0,7 до 17 мм ниже поверхности зубцов. Для выделения силы взаимодействия выполняются парные опыты с противоположными токами.

Теория расчётного метода

Сила меди не равна силе всей пазовой ячейки

На заданный объём тока действует сила Лоренца. Поле внутри глубокого паза ослабевает с удалением от раскрытия; поэтому одинаковый ток на разной глубине получает разную поперечную силу.

Магнитное поле также передаёт нагрузку стенкам. Силу стенок определяют воздушным контуром, который обходит проводник. Полный контур ячейки включает боковые сечения; заданный на них A не означает нулевого напряжения Максвелла.

При I вдоль +z и внешнем B_y >0 сила меди направлена по -x. Половина разности сил при +I и -I выделяет взаимодействие с внешним полем: члены, квадратичные по собственному току, сокращаются. В линейной системе отдельно рассчитанные чётное и нечётное поля должны давать их сумму.

F_{x,\rm Cu}=-l\int_{S_{\rm Cu}}J_zB_y\,dS,\qquad \mathbf T=\frac{\mathbf B\mathbf B-\tfrac12B^2\mathbf I}{\mu_0}

Напряжения Максвелла интегрируются только по воздуху; нормаль направлена из рассматриваемого тела.

F_{\rm int}=\frac{F(+I)-F(-I)}2,\qquad F_{\rm яч}=F_{\rm Cu}+F_{\rm стен}

Обе составляющие определяются независимо. Для широких зубцов эталон ячейки — |Fяч|≈Bзубца Il.

A=A_{\rm чёт}+A_{\rm нечёт},\qquad \eta_F=|F_{\rm Cu}/F_{\rm яч}|

Суперпозиция применима при линейных материалах и одинаковых границах.

Литература по методу: Силы на проводниках и зубчатом роторе: три независимых эталона · PDF 1–2: способы силы; 3–5: BIl; 5–6: провода; 7–10: зубчатый ротор и серия; Чётное и нечётное поля паза: Картер и разностная проводимость · PDF 1: смысл разложения; 2–3: варианты, интегралы, k\delta и проверка; Распределение силы между проводом и стенками паза · PDF 1–3: общая сила; 4–6: разбиение и точность расчёта; 6–8: программа

Что сохраняет конформное преобразование

Конформное отображение упрощает двумерную линейную краевую задачу. Потенциал в соответствующих точках и поток между соответствующими линиями сохраняются при общей нормировке.

Индукция получается пространственной производной потенциала, поэтому она изменяется с масштабом отображения. Равенство A в двух областях не означает равенства B. Семь пар точек в круговом и прямоугольном зазорах проверяют это различие.

Логарифмическое отображение здесь даёт точный эталон поля линейного тока вне его радиуса. Оно позволяет проверить правило переноса градиента перед применением более сложного отображения пазовой области.

z=5\,{\rm мм}\,e^{w/(10\,{\rm мм})},\quad A=10^{-3}\frac{\ln(20\,{\rm мм}/r)}{\ln4}\,{\rm Вб/м}

Четверть кольца r=5…20 мм отображается в прямоугольник.

|\mathbf B(z)|=|\mathbf B(w)|\,\left|\frac{dw}{dz}\right|=|\mathbf B(w)|\frac{10\,{\rm мм}}r

z и w обозначают комплексные координатные плоскости. Проверяется производная отображения, а не инвариантность напряжённости.

Литература по методу: Конформный эталон поля линейного тока · PDF 1–4: преобразование и точки; 5–7: эквипотенциаль; 8: количественная программа

Три способа вычисления силы и момента

Сила на заданном токе вычисляется объёмным интегралом J\times B. Для тела с намагниченным материалом удобен интеграл магнитных напряжений по окружающему воздуху. Производная коэнергии при фиксированном токе даёт третий способ, использующий соседние положения геометрии.

Каждый способ имеет собственный численный контроль: разрешение проводящей области, сетку и расположение воздушного контура либо шаг угловой/линейной производной. Расхождение методов сначала относят к этим контролям, а не к изменению свойств материала. Локальное напряжение у острого угла не является устойчивой характеристикой, тогда как суммарная сила может сходиться.

\mathbf F=\int_V\mathbf J\times\mathbf B\,dV,\qquad \mathbf T_M=\frac1{\mu_0}\left(\mathbf B\mathbf B-\tfrac12B^2\mathbf I\right)

Воздушная форма тензора используется на контуре, целиком проходящем в немагнитной среде.

\mathbf F=\oint_S\mathbf T_M\mathbf n\,dS,\qquad T_z=\oint_S[\mathbf r\times(\mathbf T_M\mathbf n)]_z\,dS

Контур охватывает выбранное тело и не пересекает токовые области.

Литература по методу: Электромагнитный момент и силы тяжения · PDF1–6; Электромагнитные силы и добавочные моменты · PDF4–15; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF130–136,184–189

Конформное преобразование и показатель поля у угла

Аналитическое преобразование сохраняет гармоничность потенциала и ортогональность его линий уровня. При этом напряжённость меняется из-за геометрического масштаба производной отображения. Поэтому проверяют одновременно соответствующие значения потенциала и преобразованный модуль поля.

В преобразовании Шварца–Кристоффеля показатели множителей определяются внутренними углами многоугольника. Возле угла \alpha локальная координата связана с исходной степенью \alpha /\pi. Отсюда следует показатель поля \pi /\alpha -1. Для входящего угла 270^\circ поле растёт как r^(-1/3); измерение показателя по нескольким расстояниям позволяет объяснить рост сеточного максимума в L-образном проводнике и необходимость конечного радиуса скругления.

\frac{dF}{dz}=\frac{dF/dw}{dz/dw},\qquad \frac{dz}{dw}=C\prod_k(w-a_k)^{\alpha_k/\pi-1}

Первая формула задаёт масштаб комплексного поля, вторая — производную отображения Шварца–Кристоффеля.

z-z_0\sim(w-w_0)^{\alpha/\pi},\qquad |\nabla U|\sim r^{\pi/\alpha-1}

Локальный асимптотический закон; коэффициент и конечный диапазон расстояний задаются полной краевой задачей.

Литература по методу: Конформные преобразования и комплексная потенциальная функция · PDF1–17,26–30; Преобразование Шварца–Кристоффеля · PDF1–13

Чётное и нечётное поле: от зубцовой зоны к Картеру

В линейной зубцовой зоне удобно разделить возбуждение поперечным потоком и собственным током паза. Они имеют различную симметрию и различные контрольные величины. Суперпозиция проверяется на поле и на потоке; энергия общего поля включает взаимный член.

Эффективный зазор определяется по интегральному потоку или энергии при явно фиксированной МДС либо фиксированном потоке. Коэффициент Картера связывает реальную зубцовую область с гладкой моделью. Он не служит множителем для любого локального пика B. Конечная проницаемость, ширина раскрытия и сетка варьируются раздельно.

\mathbf B=\mathbf B_{\rm even}+\mathbf B_{\rm odd},\qquad k_C=\delta_{\rm eff}/\delta

Разложение использует одну линейную геометрию и согласованные возбуждения.

\delta_{\rm eff}=\frac{2\mu_0 W}{B_{\rm av}^2\tau l_z}

Энергетическое определение для выбранного зубцового деления при фиксированном среднем потоке в воздушной области.

Литература по методу: Зубчатость зазора, Картер и зубцовые контуры · PDF1–20,34–54; Hrabovcová, Rafajdus, Makyš. Analysis of Electrical Machines (2020) · PDF21–31

Модели для работы

Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Паз 8×20 мм, деление 40 мм, зазор 2 мм; идеальные линейные сердечники. Средний поток Bср=0,8 Тл. Проводник 6×0,6 мм несёт ±1000 А; активная длина 1 м. Координата y направлена к верхнему сердечнику, ток +I — вдоль +z. Центр проводника перемещается от 0,7 до 17 мм ниже поверхности зубцов. Для выделения силы взаимодействия выполняются парные опыты с противоположными токами. Идеальные сердечники не моделируют насыщение, контактные напряжения и механическую прочность изоляции. Результат относится к прямому участку длиной 1 м; торцевые силы требуют отдельной модели. Вычисление по разрывному или незамкнутому силовому контуру не даёт полного баланса.

reproduce.py slots-force-partition-README.md slots-force-partition-results.json slots-force-partition.csv

Модели и сохранённые решения серии

sc-force-d_{007}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{007}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{020}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{020}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{035}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{035}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{036}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{036}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{040}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{040}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{050}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{050}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{060}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{060}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{070}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{070}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{120}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{120}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{170}-h_{012}-minus.fem sc-force-d_{170}-h_{012}-plus.fem sc-force-d_{070}-h_{024}-minus.fem sc-force-d_{070}-h_{024}-plus.fem sc-force-d_{070}-h_{006}-minus.fem sc-force-d_{070}-h_{006}-plus.fem sc-force-even.fem sc-force-odd.fem sc-conformal-physical.fem sc-conformal-mapped.fem sc-force-d_{035}-h_{012}-plus.ans sc-force-d_{040}-h_{012}-plus.ans sc-force-d_{070}-h_{006}-plus.ans sc-conformal-physical.ans sc-conformal-mapped.ans

Результаты расчёта

Величина	Результат	Единица
Доля силы меди на глубине 4 мм	8,436	%
Сила меди на глубине 4 мм	-74,19	Н/м

Последовательное решение

1 · Силовая задача и воздушные контуры

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

Запишите направления x, y, z, положительный ток и знак ожидаемой силы. Назначьте ограничение доли силы меди 10%.
Отметьте медь, обе стенки, дно паза, поверхность зубцов и боковые сечения ячейки. Постройте два непрерывных контура в воздухе.
Задайте одинаковую геометрию и сетку для парных токов ±1000 А и отдельных чётного и нечётного полей.

Записать в протокол. Протокол силовой серии, координаты контуров и предел нагрузки меди.

Подробное выполнение: 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии; 4.1 · Наблюдаемые величины и обработка результатов

2 · Внешнее и собственное поле

Линейное разложение отделяет механизм взаимодействия.

Рассчитайте внешнее поле при I=0 и собственное при Bср=0.
Сравните их сумму с полями при +1000 А и разность — с −1000 А в четырёх контрольных точках.

Записать в протокол. A, B_x, B_y и невязка суперпозиции.

Подробное выполнение: 3.2 · Условия Дирихле, Неймана, Робина и открытая граница; 8.11 · Локальная матрица Якоби и динамическая индуктивность

3 · Три независимых интеграла силы

Непрерывность воздушного контура устраняет потерю угловых участков.

В каждом положении получите Fмеди из J\times B.
Проинтегрируйте напряжения по ступенчатому контуру вокруг стенок, не охватывая медь, затем по полному контуру ячейки.
Вычислите половину разности результатов для противоположных токов; сравните Fмеди+Fстен с Fяч и Bзубца Il.

Записать в протокол. Таблица глубины, трёх сил, доли \eta F и невязки.

4 · Выбор глубины и численная точность

Ограничение силы должно иметь запас относительно численной ошибки.

Найдите переход через \eta F=0{,}1 по точкам 3,5 и 3,6 мм; выберите практическую глубину с запасом.
При глубине 7 мм повторите сетки 0,24; 0,12; 0,06 мм.
Рассчитайте две конформно связанные области и сравните A и B в семи парах точек.

Записать в протокол. Выбранная глубина, сеточная разность и таблица конформного эталона.

Подробное выполнение: 3.3 · Независимое уточнение сетки, области и положения; 5.1 · Уравнения Лапласа и Пуассона: градиент, дивергенция и единственность; 40.2 · Сила по тензору напряжений Максвелла, взвешенному интегралу и коэнергии

Контрольный расчёт и численные результаты

I=1000 А, Bср=0,8 Тл, паз 8×20 мм, проводник 6×0,6 мм, l=1 м. Ограничение |Fмеди/Fяч|≤0,1.

При глубине 3,5 мм доля силы меди равна 10,2762%; при 3,6 мм — 9,8795%.
Выбрана глубина 4 мм с запасом: Fмеди=-74,1865 Н/м, Fстен=-803,365 Н/м, Fяч=-879,428 Н/м.
Доля меди 8,43577%; независимый силовой баланс имеет невязку 0,213287%.

Силы взаимодействия получены из пар ±I; направления и боковые участки контуров учтены.

Распределение поперечной нагрузки

Глубина, мм	Fмеди, Н/м	Fстен, Н/м	Fяч, Н/м	Доля меди, %	Невязка, %
0,7	-275,193	-603,401	-878,853	31,3127	0,0295493
2	-164,216	-714,507	-880,061	18,6596	0,151972
3,5	-90,3964	-789,577	-879,667	10,2762	0,0348437
3,6	-86,8883	-792,187	-879,481	9,8795	0,0461344
4	-74,1865	-803,365	-879,428	8,43577	0,213287
5	-50,0198	-829,124	-878,996	5,69056	0,0168511
6	-33,7478	-847,065	-879,842	3,83566	0,110324
7	-22,7825	-855,92	-879,944	2,58908	0,141041
12	-3,20257	-874,983	-879,302	0,364217	0,127002
17	-0,491269	-876,441	-879,575	0,055853	0,300401

Конформный эталон: соответствующие точки

r, мм	\theta, рад	A в круговой области	A в прямоугольнике	B круговой, Тл	B прямоугольный ×10/r, Тл
6	0,2	868,7 × 10⁻⁶	868,5 × 10⁻⁶	0,1182	0,1202
7	0,4	757,7 × 10⁻⁶	757,3 × 10⁻⁶	0,1045	0,103
8	0,6	661,1 × 10⁻⁶	661 × 10⁻⁶	0,08944	0,09017
10	0,8	500,1 × 10⁻⁶	500 × 10⁻⁶	0,07305	0,07213
12	1	368,6 × 10⁻⁶	368,5 × 10⁻⁶	0,06118	0,06011
15	1,2	207,5 × 10⁻⁶	207,5 × 10⁻⁶	0,04784	0,04809
18	1,4	75,96 × 10⁻⁶	76 × 10⁻⁶	0,04032	0,04007

Количественные результаты и их проверка

Заполните таблицу собственными значениями; каждому числу сопоставьте режим и файл решения.

Величина	Единица	Что определяет
Fмеди, Fстен, Fяч	Н/м	Распределение электромагнитной нагрузки
\eta F и глубина	1 мм	Положение проводника по ограничению силы

Невязка силового баланса и сравнение с Bзубца Il — менее 2,5%.
Изменение силы меди при сетке 0,12→0,06 мм — менее 1%.
Невязка независимой суперпозиции B — менее 10 мкТл; ошибка B конформного эталона — менее 3%.

Итоговый вывод. Обоснуйте погружение центра проводника по ограничению 10% и запасу к численной погрешности. Покажите, куда передаётся оставшаяся электромагнитная нагрузка.

Границы применения результата

Идеальные сердечники не моделируют насыщение, контактные напряжения и механическую прочность изоляции.
Результат относится к прямому участку длиной 1 м; торцевые силы требуют отдельной модели.
Вычисление по разрывному или незамкнутому силовому контуру не даёт полного баланса.

Литература

Силы на проводниках и зубчатом роторе: три независимых эталона. — 10 с.
Чётное и нечётное поля паза: Картер и разностная проводимость. — 3 с.
Распределение силы между проводом и стенками паза. — 8 с.
Конформный эталон поля линейного тока. — 8 с.
Электромагнитный момент и силы тяжения. Раздел 6. — 6 с.
Электромагнитные силы в магнитном поле. Раздел 12. — 15 с.
Hrabovcová V., Rafajdus P., Makyš P. Analysis of Electrical Machines. — London : IntechOpen, 2020. — ISBN 978-1-83880-207-3. — DOI: 10.5772/intechopen.90135. Главы 1–3 распространяются по лицензии CC BY 3.0 [13].
Конформные преобразования. Комплексная потенциальная функция. Раздел 9. — 30 с.
Конформные преобразования (продолжение). Преобразование Шварца — Кристоффеля. Раздел 10. — 13 с.
Магнитное поле в зазоре электрической машины с учётом зубчатости сердечников. Раздел 11. — 54 с.