# Сила в пазу: нагрузка меди, стенок и выбор глубины проводника

Определить, какая часть поперечной силы действует на медь и какая на стенки паза; выбрать положение проводника с долей силы меди не более 10%.

Выбрать минимальную обоснованную глубину погружения проводника при ограничении поперечной электромагнитной нагрузки на медь и изоляцию.

## Сила меди не равна силе всей пазовой ячейки

На заданный объём тока действует сила Лоренца. Поле внутри глубокого паза ослабевает с удалением от раскрытия; поэтому одинаковый ток на разной глубине получает разную поперечную силу.

Магнитное поле также передаёт нагрузку стенкам. Силу стенок определяют воздушным контуром, который обходит проводник. Полный контур ячейки включает боковые сечения; заданный на них A не означает нулевого напряжения Максвелла.

При I вдоль +z и внешнем By>0 сила меди направлена по −x. Половина разности сил при +I и −I выделяет взаимодействие с внешним полем: члены, квадратичные по собственному току, сокращаются. В линейной системе отдельно рассчитанные чётное и нечётное поля должны давать их сумму.

$$F_{x,\rm Cu}=-l\int_{S_{\rm Cu}}J_zB_y\,dS,\qquad \mathbf T=\frac{\mathbf B\mathbf B-\tfrac12B^2\mathbf I}{\mu_0}$$

Напряжения Максвелла интегрируются только по воздуху; нормаль направлена из рассматриваемого тела.

$$F_{\rm int}=\frac{F(+I)-F(-I)}2,\qquad F_{\rm яч}=F_{\rm Cu}+F_{\rm стен}$$

Обе составляющие определяются независимо. Для широких зубцов эталон ячейки — |Fяч|≈Bзубца Il.

$$A=A_{\rm чёт}+A_{\rm нечёт},\qquad \eta_F=|F_{\rm Cu}/F_{\rm яч}|$$

Суперпозиция применима при линейных материалах и одинаковых границах.

## Что сохраняет конформное преобразование

Конформное отображение упрощает двумерную линейную краевую задачу. Потенциал в соответствующих точках и поток между соответствующими линиями сохраняются при общей нормировке.

Индукция получается пространственной производной потенциала, поэтому она изменяется с масштабом отображения. Равенство A в двух областях не означает равенства B. Семь пар точек в круговом и прямоугольном зазорах проверяют это различие.

Логарифмическое отображение здесь даёт точный эталон поля линейного тока вне его радиуса. Оно позволяет проверить правило переноса градиента перед применением более сложного отображения пазовой области.

$$z=5\,{\rm мм}\,e^{w/(10\,{\rm мм})},\quad A=10^{-3}\frac{\ln(20\,{\rm мм}/r)}{\ln4}\,{\rm Вб/м}$$

Четверть кольца r=5…20 мм отображается в прямоугольник.

$$|\mathbf B(z)|=|\mathbf B(w)|\,\left|\frac{dw}{dz}\right|=|\mathbf B(w)|\frac{10\,{\rm мм}}r$$

z и w обозначают комплексные координатные плоскости. Проверяется производная отображения, а не инвариантность напряжённости.

## Порядок расчёта

Откройте программу reproduce.py во встроенном Python FEMM 5. Программа создаёт новую папку calculated-NN рядом с программой или в текущей рабочей папке и рассчитывает все серии. Сохранённые учебные FEM и ANS можно открывать отдельно для анализа поля.

### Силовая задача и воздушные контуры

Определения измеряемых величин и электрические условия задают смысл последующего сравнения.

1. Запишите направления x,y,z, положительный ток и знак ожидаемой силы. Назначьте ограничение доли силы меди 10%.
2. Отметьте медь, обе стенки, дно паза, поверхность зубцов и боковые сечения ячейки. Постройте два непрерывных контура в воздухе.
3. Задайте одинаковую геометрию и сетку для парных токов ±1000 А и отдельных чётного и нечётного полей.

### Внешнее и собственное поле

Линейное разложение отделяет механизм взаимодействия.

1. Рассчитайте внешнее поле при I=0 и собственное при Bср=0.
2. Сравните их сумму с полями при +1000 А и разность — с −1000 А в четырёх контрольных точках.

### Три независимых интеграла силы

Непрерывность воздушного контура устраняет потерю угловых участков.

1. В каждом положении получите Fмеди из J×B.
2. Проинтегрируйте напряжения по ступенчатому контуру вокруг стенок, не охватывая медь, затем по полному контуру ячейки.
3. Вычислите половину разности результатов для противоположных токов; сравните Fмеди+Fстен с Fяч и Bзубца Il.

### Выбор глубины и численная точность

Ограничение силы должно иметь запас относительно численной ошибки.

1. Найдите переход через ηF=0,1 по точкам 3,5 и 3,6 мм; выберите практическую глубину с запасом.
2. При глубине 7 мм повторите сетки 0,24; 0,12; 0,06 мм.
3. Рассчитайте две конформно связанные области и сравните A и B в семи парах точек.

## Расчётный пример

I=1000 А, Bср=0,8 Тл, паз 8×20 мм, проводник 6×0,6 мм, l=1 м. Ограничение |Fмеди/Fяч|≤0,1.

1. При глубине 3,5 мм доля силы меди равна 10,2762%; при 3,6 мм — 9,8795%.
2. Выбрана глубина 4 мм с запасом: Fмеди=-74,1865 Н/м, Fстен=-803,365 Н/м, Fяч=-879,428 Н/м.
3. Доля меди 8,43577%; независимый силовой баланс имеет невязку 0,213287%.

Силы взаимодействия получены из пар ±I; направления и боковые участки контуров учтены.

## Границы применимости

- Идеальные сердечники не моделируют насыщение, контактные напряжения и механическую прочность изоляции.
- Результат относится к прямому участку длиной 1 м; торцевые силы требуют отдельной модели.
- Вычисление по разрывному или незамкнутому силовому контуру не даёт полного баланса.

## Источники

- [Силы на проводниках и зубчатом роторе: три независимых эталона](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-2.pdf)
- [Чётное и нечётное поля паза: Картер и разностная проводимость](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-4.pdf)
- [Распределение силы между проводом и стенками паза](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-6.pdf)
- [Конформный эталон поля линейного тока](http://e-200.ru/EMR/EMR-1-7.pdf)