Занятие 59.1

Сходимость разностного сигнала, калибровка и неопределённость

Цель и задачи

Цель. Отделить численную ошибку разностного сигнала от влияния исходных данных.

Задачи

Вычислить относительное изменение разностного сигнала между сетками.
Разделить дискретизацию, границу, шаг скана и физические неопределённости.

Что нужно вспомнить перед началом

Перед началом: 57.2 · Зазор датчика, сканирование и пространственная чувствительность, 58.2 · Утонение стенки трубы: кольцевой датчик и границы осевой симметрии, 55.1 · Калибровка и неопределённость магнитных измерений

Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.

Место занятия в инженерной методике

Расчётная лабораторная работа · Оценка достоверности инженерного вывода

Инженерный вопрос. Какие изменения способны имитировать или скрыть сигнал дефекта?

Разностный сигнал и его зависимость от дефекта и зазора датчика позволяют оценить чувствительность схемы контроля и выбрать признак для проверенного диапазона геометрии.

Последовательность решения, отчёт и критерии результата

Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.

Последовательность решения

Обосновать постановку и способ измерения. Задайте измерительную модель или целевую величину и источники неопределённости. Численная ошибка, разброс исходных данных и модельное упрощение различаются.
Разбор измерительной модели и чисел. Проверьте чувствительность по одному изменяемому фактору и правила распространения для принятой модели.
Составьте протокол проверки MFL и вихретокового разностного сигнала с отдельным бюджетом влияний. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сведите уточнения сетки, области, шага, а также отдельные изменения параметров датчика и материала.
Ответить на вопрос по своим результатам. Изменяйте факторы по отдельности и составьте таблицу чувствительности; отделите численное изменение от неопределённости исходных данных.

Что включить в отчёт

Результат этого занятия. Протокол сходимости и отдельный бюджет влияний для магнитного и вихретокового сигналов.

Данные именно этого опыта. Сведите уточнения сетки, области, шага, а также отдельные изменения параметров датчика и материала.

Оформление наблюдений. Базовое значение, единицы, изменяемые факторы и диапазоны, чувствительности и происхождение оценок; корреляции указываются, если используются.

Как обосновать результат

Проверка из практикума. Изменение сеток не названо доказанной верхней границей ошибки; численный и физический разброс не смешаны; условия калибровки и проверки различены.

Независимый контроль. Сравните локальную оценку с прямым изменением входа и отдельно проверьте устойчивость базового численного решения.

Критерий выполнения. Изменение сеток не названо доказанной верхней границей ошибки; численный и физический разброс не смешаны; условия калибровки и проверки различены.

Точность и расхождения. Уровень доверия возможен только при обоснованных распределениях и зависимостях. Диапазон сценариев подписывайте диапазоном, а не автоматически доверительным интервалом.

Основание сравнения. Используйте модель измерения и правила распространения неопределённости из занятия. Разброс сценариев без вероятностного обоснования не является автоматически доверительным интервалом.

Вывод для устройства

Покажите, сохраняется ли выбор конструкции или режима при допустимом изменении исходных данных и какой параметр следует уточнить первым.

Границы вывода. Численная аномалия поля не равна доказанной обнаруживаемости дефекта. Геометрия, датчик, шум, свойства и натурные образцы необходимы для перехода к характеристикам средства контроля.

Теория и вывод формул

Достоверность дефектоскопического сигнала определяется сходимостью разности откликов, а не только каждого решения в отдельности. Бюджет численных и измерительных вкладов позволяет установить требования к калибровке обратной задачи.

Соглашения об обозначениях и единицах

\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.

Указатель формул этого занятия

(59.1) · Малая разность двух больших чисел
(59.2) · Калибровка и локальная чувствительность
(59.3) · Бюджет неопределённости и допустимый вывод

Малая разность двух больших чисел

Пусть отклики q деф и q эт имеют ошибки e деф и e эт. Ошибка разности равна e деф - e эт. Близость больших откликов к своим сеточным пределам не гарантирует малую относительную ошибку их разности. При разных геометриях ошибки сетки могут как частично компенсироваться, так и складываться.

На каждой сетке решайте оба состояния и формируйте разность сразу. Сравнивайте таблицы \Delta q на одинаковых координатах и интегральный показатель по тому же диапазону. Если сигнал близок к нулю, относительный показатель нестабилен; дополнительно используйте абсолютную разность в Тл или Ом и заранее заданный рабочий масштаб.

\Delta q_h=(q_{\mathrm{деф}}+e_{\mathrm{деф},h})-(q_{\mathrm{эт}}+e_{\mathrm{эт},h}),\qquad \varepsilon_{\Delta}=\frac{|\Delta q_{h/2}-\Delta q_h|}{|\Delta q_{h/2}|}

(59.1)

Разность между сетками является индикатором устойчивости, а не доказанной верхней границей истинной ошибки.

Независимые численные проверки

Сначала уточняют сетку при неизменной геометрии и внешней границе. Затем удаляют границу при сопоставимой локальной сетке. После этого уточняют шаг выборки скана и проверяют модель апертуры. Изменять всё одновременно неудобно: невозможно объяснить, какой фактор дал результат.

Для гармонической модели дополнительно контролируют разрешение проникновения в проводник и баланс активной мощности. Для MFL магнитостатики полезны симметрия и линейное масштабирование в линейном материале. Баланс мощности не проверяет форму неизвестного дефекта, а симметрия не доказывает правильность масштаба.

Калибровка и локальная чувствительность

Калибровка связывает известные размеры и условия с наблюдениями. Для учебной численной калибровки заранее задайте диапазон глубины, ширины, положения и зазора. Не используйте одну и ту же точку для настройки зависимости и независимой проверки её прогноза.

Локальная матрица чувствительности содержит производные нескольких наблюдений по нескольким параметрам. Почти пропорциональные столбцы означают, что изменения двух параметров дают похожий отклик. Малый определитель для двух нормированных каналов служит признаком трудности разделения, но число обусловленности зависит от выбранной нормировки и шума.

\Delta\mathbf q\approx\mathbf J\Delta\mathbf p,\qquad J_{ij}=\frac{\partial q_i}{\partial p_j}

(59.2)

Каждый столбец нормируют по заранее выбранному масштабу параметра; единицы и шум каждого наблюдения задают отдельно.

Бюджет неопределённости и допустимый вывод

Для малых независимых случайных входных отклонений линейная модель даёт сумму квадратов вкладов чувствительность×стандартная неопределённость. Корреляция требует перекрёстных членов; систематическое смещение нельзя объявить независимым шумом. Численную разность сеток не следует без обоснования включать как случайную стандартную неопределённость.

В отчёте выделите три раздела: наблюдаемый сигнал; численная устойчивость модели; физическая неопределённость входных данных и измерения. Если физических данных нет, задайте условный сценарий и назовите его учебным. По нескольким рассчитанным случаям нельзя получить статистическую вероятность обнаружения.

u_q^2\approx\sum_i\left(\frac{\partial q}{\partial p_i}\right)^2u_{p_i}^2

(59.3)

Линеаризация и отсутствие корреляции должны быть обоснованы; uq имеет единицу наблюдаемой величины.

Разобранный численный пример

Разбор измерительной модели и чисел

Дано. На двух сетках \Delta X = 0{,}130 Ом и 0,134 Ом. В качестве опорной выбирается более мелкая сетка.

Вычислите абсолютное изменение 0,004 Ом.
Разделите его на 0,134 Ом, затем переведите в проценты.
Получаем 2,98507 %. Это индикатор сеточной устойчивости данного сигнала.

Ответ: Изменение разностного сигнала ≈ 2,98507 %.

Проверка: Сравнение двух сеток не является доказательством истинной погрешности, экспериментальной неопределённости или вероятности обнаружения.

Расчётный образец магнитной дефектоскопии

Самостоятельная пара плоских моделей MFL: сохранение, повторное открытие и 16 решений FEMM 5 с русскими именами свойств. Линейная базовая серия проверена на высотах 1, 2 и 4 мм; нелинейные варианты сохранены для дальнейшей проверки.

Таблица 59.1. Сохранённый разностный сигнал и проверка сетки
Величина	Результат	Единица
Размах \Delta By при h = 1 мм	243,8	мкТл
Размах \Delta By при h = 2 мм	97,76	мкТл
Размах \Delta By при h = 4 мм	34,02	мкТл
Сеточное изменение размаха при h = 1 мм	4,314	%
Сеточное изменение размаха при h = 2 мм	1,288	%
Сеточное изменение размаха при h = 4 мм	1,503	%

Самостоятельная учебная модель MFL. Сходимость размаха проверяется на всех трёх высотах линейной базовой серии. Нелинейные варианты служат отдельным исследованием на финальной сетке; для них индивидуальная сходимость не заявляется. Расчётная проверка не является физической аттестацией дефектоскопа.

Практикум в FEMM 5

Составьте протокол проверки MFL и вихретокового разностного сигнала с отдельным бюджетом влияний

Таблица 59.2. Исходные данные практикума
Исходная величина	Значение	Единица
Сетки	3 парных уровня
Удаление границы MFL	160 → 240	мм
Учебные \Delta X	0,130; 0,134	Ом

Соберите по каждой сетке разностные профили MFL и \Delta Z трубы; не ограничивайтесь таблицей больших исходных B или X.
Приведите абсолютное и относительное сеточные изменения выбранного сигнала, отдельно проверьте удаление границы и шаг скана.
Для MFL сопоставьте проверки на всех трёх высотах линейной базовой серии; индивидуальную сходимость нелинейных режимов проверьте самостоятельно.
Задайте условные стандартные неопределённости высоты и \sigma; оцените их вклады по независимым новым вариантам. Подпишите, что это сценарий без физических измерений.
Укажите критерий, при котором по вашему набору данных можно обнаружить изменение, но пока нельзя однозначно оценить размер.

Ожидаемый результат. Протокол содержит разностную сходимость, независимые численные проверки и явно условный либо экспериментальный бюджет входных величин.

Как проверить. Изменение сеток не названо доказанной верхней границей ошибки; численный и физический разброс не смешаны; условия калибровки и проверки различены.

Обработка и анализ результатов

Какие изменения способны имитировать или скрыть сигнал дефекта?

Сведите уточнения сетки, области, шага, а также отдельные изменения параметров датчика и материала.
Изменяйте факторы по отдельности и составьте таблицу чувствительности; отделите численное изменение от неопределённости исходных данных.

С чем сравнить. Используйте модель измерения и правила распространения неопределённости из занятия. Разброс сценариев без вероятностного обоснования не является автоматически доверительным интервалом.

Итог работы. Протокол сходимости и отдельный бюджет влияний для магнитного и вихретокового сигналов.

Программа с русскими пояснениями: Проверка дефектоскопического сигнала · Порядок запуска

Обработка во встроенном Python FEMM 5

Сохраните программу и выполните встроенным Python FEMM 5. Этот фрагмент обрабатывает явно заданные данные; полевые модели рассчитываются отдельной программой со страницы работы.

"""Индикатор сеточной устойчивости разностного сигнала."""
# Указываем именно разности двух состояний на каждой сетке, единица Ом.
delta_coarse_ohm = 0.130
delta_fine_ohm = 0.134
# Опорой служит мелкая сетка; это индикатор, не доказанная оценка ошибки.
relative_percent = 100 * abs(delta_fine_ohm - delta_coarse_ohm) / abs(delta_fine_ohm)
print("Изменение разностного сигнала, %:", relative_percent)

Расчётные исследования по теме

Изучите физическую постановку, выполните программу во встроенном Python FEMM 5 и проверьте результаты по сохранённым моделям и независимым критериям.

Вихретоковый датчик зазора над проводящей пластиной
Вихретоковый датчик определяет положение проводящей поверхности по изменению электрического импеданса катушки. Токи в мишени создают встречное поле, изменяют реактивную составляющую и потребляют активную мощность. В работе влияние зазора изучается при неизменных катушке, частоте и материале, поэтому отклик можно использовать как основу калибровочной характеристики.
Решений FEMM: 9 · Численных проверок: 32
Кольцевой датчик: обнаружение утонения стенки трубы
Кольцевая катушка вокруг проводящей трубы чувствительна к изменению толщины стенки. Осесимметричная модель позволяет исследовать кольцевое утонение, одинаковое по всей окружности, и оценить его влияние на комплексный импеданс. Это полезная постановка для понимания неразрушающего контроля, однако она не описывает произвольную трещину локального размера.
Решений FEMM: 6 · Численных проверок: 21

Все темы учебного практикума

Самостоятельная работа

Составьте протокол проверки MFL и вихретокового разностного сигнала с отдельным бюджетом влияний. Сохраните файлы и таблицу; отделите модельный вывод от экспериментального.

Критерий выполнения: Изменение сеток не названо доказанной верхней границей ошибки; численный и физический разброс не смешаны; условия калибровки и проверки различены.

Первоисточники и дополнительное чтение по занятию

[33] — Редакция от 1 октября 2026 г.; главы по магнитным задачам и команды mi_/mo_
[60] — 2010; влияние геометрии и ориентации паза; переход от 2D к 3D. Учебная модель курса разработана независимо и не воспроизводит установку статьи.
[10] — Катушка над пластиной с трещиной: изменение сопротивления и индуктивности. Служит примером внешнего эталона, а не квитанцией моделей курса.

Пояснения и типичные ошибки

Почему одинаковая относительная ошибка двух X не гарантирует точную \Delta X?

\Delta X может быть значительно меньше каждого X; нескомпенсированная часть ошибок становится большой относительно сигнала.

Можно ли получить вероятность обнаружения из трёх сеток?

Нет. Сетки изучают численную аппроксимацию, а вероятность обнаружения требует данных о статистике дефектов, условий и измерительных исходов.

На что обратить внимание

Нельзя оценивать слабый сигнал только по сходимости мощности или большого полного отклика.
Не суммируйте как независимые случайные вклады величины с неизвестной корреляцией и характером ошибки.