Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Оценка достоверности инженерного вывода
Инженерный вопрос. Как положение и калибровка датчика меняют результат?
Измерительная модель переводит распределение поля в сигнал датчика и позволяет выбрать расположение, ориентацию, калибровку и информативную характеристику устройства.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Задайте измерительную модель или целевую величину и источники неопределённости. Численная ошибка, разброс исходных данных и модельное упрощение различаются.
Бюджет для 10 мТ. Проверьте чувствительность по одному изменяемому фактору и правила распространения для принятой модели.
Ответить на вопрос по своим результатам. Изменяйте факторы по отдельности и составьте таблицу чувствительности; отделите численное изменение от неопределённости исходных данных.
Что включить в отчёт
Результат этого занятия. Бюджет с единицами, обоснованием допущений и оценкой доминирующего влияния.
Данные именно этого опыта. Сохраните модель калибровки, вклады бюджета и отдельную серию положений виртуального датчика.
Оформление наблюдений. Базовое значение, единицы, изменяемые факторы и диапазоны, чувствительности и происхождение оценок; корреляции указываются, если используются.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Сдайте таблицу входов, распределений, стандартных u, чувствительностей и вкладов; исходные значения и корреляции должны быть прослеживаемы.
Независимый контроль. Сравните локальную оценку с прямым изменением входа и отдельно проверьте устойчивость базового численного решения.
Критерий выполнения. Все входы приведены к стандартным неопределённостям с указанием основания. Чувствительности, знаки ковариаций и единицы проверены. Неопределённость опыта отделена от численной сходимости и модельного расхождения.
Точность и расхождения. Уровень доверия возможен только при обоснованных распределениях и зависимостях. Диапазон сценариев подписывайте диапазоном, а не автоматически доверительным интервалом.
Основание сравнения. Используйте модель измерения и правила распространения неопределённости из занятия. Разброс сценариев без вероятностного обоснования не является автоматически доверительным интервалом.
Вывод для устройства
Покажите, сохраняется ли выбор конструкции или режима при допустимом изменении исходных данных и какой параметр следует уточнить первым.
Границы вывода. Аналитическое преобразование, виртуальный датчик FEMM и натурное измерение имеют разное происхождение. Характеристики прибора и его неопределённость требуют отдельных данных.
Теория и вывод формул
Бюджет неопределённости составляется по измерительной модели с учётом оценок типов A и B, корреляций и чувствительности к положению датчика. Численная погрешность FEMM рассматривается как самостоятельный вклад при сравнении расчёта с измерением.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Известную систематическую составляющую исправляют поправкой; неопределённость результата после поправки остаётся. Калибровка датчика Холла определяет связь показания с компонентой B при заданных условиях. Проверка нуля — лишь часть этой работы; для наклона, нелинейности и диапазона нужны дополнительные точки и сведения об эталонном поле.
Повторные показания дают статистическую оценку типа A; свидетельство калибровки, разрешение, допуск площади и оценка угла часто дают входы типа B. Это способы оценки, а не синонимы случайной и систематической ошибки. Все вклады приводятся к стандартным неопределённостям перед объединением.
Если известен только симметричный предел \pm a и обосновано равномерное распределение, стандартная неопределённость a/\sqrt{3}. Если приведена расширенная U с коэффициентом k, стандартная u=U/k при применимости указанного свидетельства. Нельзя без пояснения считать предел допуска стандартным отклонением.
Чувствительности измерительной модели
Для y=f(x_{1},\ldots ,x_n) коэффициенты чувствительности c_i=\partial f/\partial x_i переводят входные неопределённости в единицу результата. При независимых входах суммируют квадраты c_iu(x_i); при корреляциях добавляют ковариационные члены. Линеаризация допустима, если модель достаточно гладкая и область возможных входов достаточно узкая.
Для синусоидальной катушки \widehat{B}=E_{\mathrm{д}}/(\sqrt{2}\pi fNS). Если N достоверно посчитано, его вклад можно считать нулевым; неодинаковые площади витков остаются в эффективном NS. Для независимых E, f, N и S относительные стандартные вклады складываются квадратично.
Формула здесь относится к независимым входам и синусоидальному потоку.
Положение и угол датчика входят в результат
Датчик Холла при наклоне \alpha в однородном поле показывает B\cos \alpha. При известном \alpha можно ввести поправку; неопределённость угла переносится через производную -B\sin \alpha. Около \alpha =0 первый производный вклад исчезает, но конечный угловой разброс создаёт эффект второго порядка. Нулевой коэффициент линейной модели не означает полной нечувствительности к углу.
В неоднородном поле ошибка положения \Delta x даёт изменение порядка (\partial B/\partial x)\Delta x. В FEMM сместите виртуальный датчик на \pm u(x), сохраняя все прочие параметры. Это оценка чувствительности модели, а не автоматически стандартная неопределённость физического результата. Учитывайте пространственную активную область, а не только центральную точку.
Сравнение опыта и FEMM
Сначала приведите результаты к одной величине: одинаковая компонента, поверхность/вес, температура, ток, частота и амплитудная нормировка. Затем составьте отдельно бюджет опыта и оценку численного решения: сетка, граница, геометрия и точность обработки. Модельное расхождение и метрологическая неопределённость имеют разное происхождение.
Величина \Delta =B_{\mathrm{опыт}}-B_{\mathrm{модель}} полезна только вместе с областью применимости модели. Для независимых случайных оценок стандартные неопределённости разности объединяются квадратично; общие калибровочные входы создают корреляции. Не добавляйте условный процент «на FEMM» без исследования чувствительности.
Расширенную неопределённость указывают U=ku_c с коэффициентом охвата и основанием его выбора. Значение k=2 в учебном примере — условно выбранный коэффициент; вероятность охвата 95% не следует автоматически для любого распределения и числа повторов. В отчёте запишите результат, U, k, единицы и условия.
Численный бюджет эталонной катушки
Заданы стандартные относительные неопределённости E 0{,}5\%, S 1{,}0\%, f 0{,}1\%; N точно. При независимых входах u_r=\sqrt{(0{,}005^{2}+0{,}010^{2}+0{,}001^{2})}=1{,}122497\%. Для \widehat{B}=10\,\mathrm{мТ} получаем u_c=0{,}112250\,\mathrm{мТ} и U(k=2)=0{,}224499\,\mathrm{мТ}.
Все проценты уже стандартные; делить их дополнительно на \sqrt{3} не нужно. Если E и S положительно коррелированы с r=0{,}7, их коэффициенты в формуле B имеют противоположные знаки, поэтому ковариационный член уменьшает дисперсию. Скрипт показывает оба бюджета, а не выбирает корреляцию без доказательств.
Проверка: Площадь даёт главный квадрат вклада (100 из 126 условных единиц дисперсии). Увеличение точности частоты почти не улучшит общий бюджет.
Углублённый разбор
Виртуальная калибровка: пара Гельмгольца, конечная катушка и сердечник
Измерительный объект и калибровочный стенд
Поисковая катушка измеряет изменение магнитного потока через свои витки. Её выход — напряжение, пропорциональное скорости изменения потокосцепления. Поэтому постоянное поле неподвижной катушкой без дополнительной модуляции не измеряется. При гармоническом поле и известных частоте, площади и числе витков амплитуда напряжения позволяет восстановить среднюю нормальную индукцию.
Пара Гельмгольца — две одинаковые соосные круглые катушки с одинаковым током, расстояние между центрами которых равно радиусу. Она создаёт сравнительно однородное поле возле центра. Калибровка сопоставляет известное поле стенда и выход датчика. Нужно различать поле в точке, среднее поле по площади каждого витка и среднее потокосцепление всей многослойной обмотки.
Виртуальный стенд здесь построен непосредственно командами FEMM 5. Использована полезная идея pywinding о совместном рассмотрении стенда, катушки и сердечника; сама библиотека, её внешние зависимости и программные оболочки не нужны. Построены четыре самостоятельных магнитостатических решения: поле стенда при \mu _{r} сердечника 1 и 100, затем самоиндуктивность датчика при отключённом стенде.
От закона Био—Савара к условию Гельмгольца
Осевая составляющая поля кругового витка находится интегрированием закона Био—Савара: поперечные составляющие взаимно сокращаются, а все осевые вклады одинаковы. Для N витков и двух катушек поля суммируются. В центре первая производная по z равна нулю из-за зеркальной симметрии при любом расстоянии; именно вторая производная обнуляется при d=R.
После этого ведущая осевая неоднородность имеет четвёртый порядок по z/R. Это не означает однородности во всём пространстве или на любой площади датчика. Вне оси появляются радиальные составляющие; ошибка конечного датчика должна оцениваться интегралом, а не только двумя осевыми точками.
В конечно-элементной модели калибровочные обмотки имеют конечное сечение 1×1 мм. Формула тонкого кольца остаётся независимым приближённым ориентиром. Разницу от конечного сечения, дискретизации и внешней границы нужно отличать от погрешности измеряемого датчика.
Нулевая вторая производная объясняет выбор расстояния, а не подменяет расчёт рабочего объёма.
Пространственное усреднение и электрический выход
Потокосцепление представляет сумму поверхностных интегралов по всем виткам. Для одинаковой площади A можно ввести эквивалентную среднюю индукцию Bavg=\Psi/(NA). Эффективная площадь реальной многослойной катушки — сумма площадей витков, а не площадь внешнего контура. Погрешность позиционирования и наклона меняет именно этот интеграл.
При фазорах \exp (j\omega t) ЭДС разомкнутой поисковой катушки равна−j\omega \Psi. Если вход измерительного прибора конечен, его сопротивление вместе с R и L обмотки образует делитель. Модуль ωNA даёт чувствительность только при высоком входном сопротивлении и отсутствии значимого влияния собственной ёмкости.
В расчёте сначала используется статический поток при 1 А стенда, затем он масштабируется на гармонический ток при предположении линейности. Это корректно для воздушной катушки на достаточно низкой частоте; для проводящего сердечника с потерями надо решать гармонику и учитывать комплексную \mu, \sigma и частотную зависимость входа.
При приближении к собственному резонансу требуется ёмкостная модель, здесь не выполненная.
Сопротивление, индуктивность и конечный сердечник
При известной средней длине витка lturn и сечении провода Aw сопротивление R=N lturn/(σAw). Самоиндуктивность получают отдельным возбуждением датчика: L=\Psi /I при отключённой калибровочной паре. Повышение L и чувствительности сердечником может одновременно сузить полезную полосу и увеличить чувствительность к частоте, температуре и гистерезису.
Конечный сердечник размагничивается собственными полюсами. Для эллипсоидального приближения эффективная восприимчивость \chi eff=\chi/(1+Ndχ). Уже эта формула показывает, почему \mu _{r}=100 не даёт автоматически стократный прирост потока. Для цилиндра поле неоднородно, и одна постоянная Nd является приближением.
В FEMM геометрическое размагничивание вычисляется непосредственно. Поэтому в материале задают внутреннюю проницаемость, а не заранее уменьшенную эффективную, иначе размагничивание будет учтено дважды. Вставленный сердечник также меняет само калибровочное поле: его внутреннее B нельзя считать новым независимым эталоном стенда.
Последняя формула — оценка для конечного тела; новая конечно-элементная модель использует геометрию цилиндра непосредственно.
Как составить бюджет калибровки
Чувствительность зависит от тока стенда, радиуса и расстояния катушек, числа витков датчика, его площади и положения, частоты, входного сопротивления прибора и температуры. Неоднородность следует оценивать в фактическом объёме перемещения датчика. Сеточная чувствительность относится к численной модели, а неопределённость тока и геометрии — к физическому стенду.
Если величины независимы, относительные стандартные неопределённости перемножаемых коэффициентов складывают квадратично. Корреляции общего размера, температуры или калибровочного тока требуют ковариаций. Систематическую поправку на пространственное усреднение сначала применяют к результату; остаточная неопределённость поправки затем входит в бюджет.
В новом расчёте нет экспериментальных показаний, поверенного амперметра или аттестации катушек. Он показывает метод виртуальной калибровки и позволяет отделить геометрический эффект сердечника от неверного умножения на табличную \mu _{r}.
"""Калибровочная пара и поисковая катушка: поле, усреднение, сердечник, R и L.Запуск внутри FEMM 5 из папки комплекта. Нужен common.py; внешних пакетов нет.R=50 мм, расстояние=R, по 100 витков и 1 А DC; сечение каждой обмотки 1x1 мм.Датчик: 100 витков среднего радиуса 4 мм, длина 20 мм, провод 0.1 мм.Магнитная модель линейна; 1-кГц чувствительность выводится из DC поля,поэтому вихревые потери и частотная проницаемость сердечника не моделируются."""# Каталог сценария определяется явно: запуск не зависит от чужого CWD.importosimportsysos.chdir(os.path.dirname(os.path.abspath(sys.argv[0])))exec(open("common.py").read())folder=result_folder("results-helmholtz")rows=[]forcore_muin[1,100]:newdocument(0)mi_probdef(0,"millimeters","axi",1e-9,1,30)material("Air")material("Winding",sigma=58,wire_type=3,strands=1,diameter=0.1)material("Core",mu=core_mu)mi_addcircprop("Cal",1,1)mi_addcircprop("Sense",0,1)forzin[-25,25]:mi_drawrectangle(49.5,z-0.5,50.5,z+0.5)label(50,z,"Air",0.2,"Cal",100,1)mi_drawrectangle(3.95,-10,4.05,10)label(4,0,"Winding",0.1,"Sense",100,2)mi_drawrectangle(0,-10,3,10)label(1.5,0,"Core",0.5,group=3)label(20,0,"Air",2)mi_makeABC(7,200,0,0,0)solve(folder,"calibration-mu%d"%core_mu)b0=mo_getpointvalues(0,0)[2]linkage=mo_getcircuitproperties("Sense")[2]samples=[]forzin[-10,-5,0,5,10]:samples.append([z,mo_getpointvalues(0,z)[2]])bavg=linkage/(100*math.pi*0.004**2)exact=(4/5)**1.5*MU0*100/0.05row={"core_mu":core_mu,"B0_T":b0,"linkage_Wb":linkage,"Bavg_T":bavg,"axis_z_mm_B_T":samples,"thin_loop_B0_T":exact,"sensitivity_V_per_T_at_1kHz":2*math.pi*1000*linkage/exact,}close_magnetic()# Самоиндуктивность датчика при отключённой калибровочной паре.opendocument(os.path.join(folder,"calibration-mu%d.fem"%core_mu))mi_modifycircprop("Cal",1,0)mi_modifycircprop("Sense",1,1)solve(folder,"self-mu%d"%core_mu)current,voltage,flux=mo_getcircuitproperties("Sense")row["L_H"]=flux/currentrow["R_ohm"]=voltage/currentrows.append(row)close_magnetic()save_json(folder,rows)assertabs(rows[0]["B0_T"]/rows[0]["thin_loop_B0_T"]-1)<0.02assertrows[1]["L_H"]>rows[0]["L_H"]>0print(rows)
Сохранённые численные результаты: таблица JSON. Просмотр серий доступен на отдельной странице исследования.
Границы модели.
Собственные введение, выводы и геометрия. Новые результаты FEMM 5; внешние библиотеки отсутствуют. Виртуальная калибровка не является метрологической аттестацией.
Запустите бюджет; проверьте перевод стандартных процентов в доли и коэффициенты чувствительности.
Уменьшите u(S)/S до 0,2%; предскажите новый u_c до запуска.
Составьте отдельный бюджет неопределённости датчика Холла для U, U_{0}, K, температуры, угла и положения; укажите, какие входы коррелированы общей калибровкой.
В однородном FEMM-эталоне сместите точку по x и y: позиционная чувствительность должна быть нулевой с численной точностью.
В модели реального зазора выполните такие же смещения и отдельное уточнение сетки; не смешивайте эти две серии.
Оформите результат с единицей, стандартной либо расширенной неопределённостью и условиями; степень округления согласуйте с неопределённостью.
Ожидаемый результат. При u(S)/S=0{,}2\% получается u_r=\sqrt{(0{,}005^{2}+0{,}002^{2}+0{,}001^{2})}=0{,}547723\%, u_c\approx 0{,}0547723\,\mathrm{мТ}.
Как проверить. Сдайте таблицу входов, распределений, стандартных u, чувствительностей и вкладов; исходные значения и корреляции должны быть прослеживаемы.
Обработка и анализ результатов
Как положение и калибровка датчика меняют результат?
Сохраните модель калибровки, вклады бюджета и отдельную серию положений виртуального датчика.
Изменяйте факторы по отдельности и составьте таблицу чувствительности; отделите численное изменение от неопределённости исходных данных.
С чем сравнить. Используйте модель измерения и правила распространения неопределённости из занятия. Разброс сценариев без вероятностного обоснования не является автоматически доверительным интервалом.
Итог работы. Бюджет с единицами, обоснованием допущений и оценкой доминирующего влияния.
Комментарии различают амплитуду B и действующее напряжение, стандартные относительные неопределённости и коэффициент расширения. Знак ковариационного члена следует из противоположных знаков производных по E и A. Независимый бюджет даёт uc ≈ 0,11225 мТ; при корреляции 0,7 между E и A — около 0,07483 мТ. Коэффициент k=2 сам по себе не устанавливает вероятность охвата. Скачиваемая учебная редакция соответствует коду на странице. Исходные материалы: комплект раздела.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Учебный бюджет стандартной неопределённости поисковой катушки.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Вход: действующее напряжение E [В], f [Гц], N [витки], A [м²];rE, rA, rf — стандартные относительные неопределённости в долях единицы.Выход: JSON с B, стандартной и расширенной неопределённостями в Т.Линеаризованная модель GUM применима к малым неопределённостям синусоиды;число витков известно точно. Бюджет не заменяет сертификат калибровки."""importjsonimportmathE=0.044428829381583664f=50.0N=100A=2e-4rE=0.005rA=0.010rf=0.001correlation=0.7# Коэффициент корреляции только между E и A.# Для синусоиды E_rms = sqrt(2)*pi*f*N*A*Bpeak: находим амплитуду B.B=E/(math.sqrt(2)*math.pi*f*N*A)# При независимых входах складываются квадраты стандартных вкладов.# Расширенная неопределённость U = k*uc здесь вычисляется при k=2.ur=math.sqrt(rE*rE+rA*rA+rf*rf)uc=B*ur# Производные по E и A имеют разные знаки: положительная корреляция# уменьшает дисперсию их отношения. Частоту считаем независимой.assert-1<=correlation<=1,"Коэффициент корреляции вне допустимых границ"correlated_variance=rE*rE+rA*rA+rf*rf-2*correlation*rE*rAcorrelated_ur=math.sqrt(correlated_variance)result={"origin":"author_analytical_budget_not_instrument_certificate","B_T":B,"relative_standard_uncertainty":ur,"standard_uncertainty_T":uc,"expanded_k2_T":2*uc,"correlated_standard_uncertainty_T":B*correlated_ur,"scope":"Linearized GUM model, exact turn count, independent inputs unless specified; k=2 does not automatically prove 95 percent coverage.",}# Проверка исходного сигнала не доказывает охват 95 % при k=2:# для такого вывода нужны распределение и достаточные степени свободы.assertabs(B-0.01)<1e-14,"Перепутаны амплитуда и действующее значение"print(json.dumps(result))
Самостоятельная работа
Составьте бюджет для катушки или датчика Холла и протокол сравнения с FEMM: одинаковая измеряемая величина, входы, поправки, корреляции, численная чувствительность и предел применимости модели.
Критерий выполнения: Все входы приведены к стандартным неопределённостям с указанием основания. Чувствительности, знаки ковариаций и единицы проверены. Неопределённость опыта отделена от численной сходимости и модельного расхождения.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[41] — §§ 4–7: стандартная и расширенная неопределённости
[69] — README; Coil и Testbench_B_Sweep. Использована предметная идея, библиотека не требуется.
Пояснения и типичные ошибкиПочему нельзя все заявленные изготовителем ±допуски сразу сложить квадратично как стандартные неопределённости?
Нужно установить смысл каждого предела и распределение, привести к стандартной u и учесть корреляции. Допуск, расширенная U и стандартная u различаются.
Что означает нулевая производная по углу при \alpha =0?
Линейный вклад мал около нуля; конечное угловое рассеяние может дать эффект второго порядка. Это не доказательство отсутствия углового влияния.
Самостоятельно: два независимых стандартных относительных вклада 3% и 4%. Чему равен общий?
5%; при полной положительной корреляции и одинаковых знаках чувствительности результат был бы 7%.
На что обратить внимание
Предел допуска и стандартная неопределённость не равны без модели распределения.
Корреляции нельзя считать нулевыми только для удобства.