Если одно из понятий незнакомо, вернитесь к предыдущему занятию и воспроизведите его численный пример. После этого переходите к новой постановке.
Место занятия в инженерной методике
Расчётная лабораторная работа · Проверка размерности и перенос результата между размерами
Инженерный вопрос. Почему удвоение глубины и полное геометрическое подобие дают разные отношения силы?
Определите, какие параметры электромагнита можно переносить при изменении активной длины, а какие требуют полного геометрического подобия. Полевая проверка глубины и отдельная аналитическая проверка подобия имеют разное происхождение.
Последовательность решения, отчёт и критерии результата
Результат получают из наблюдаемых величин и проверяют в условиях данного практикума.
Последовательность решения
Обосновать постановку и способ измерения. Выведите степень масштабирования из геометрии интеграла. Отдельно рассмотрите изменение глубины плоской модели и изменение всех линейных размеров.
Удвоение одной глубины. Проверьте отношения величин аналитически до переноса чисел на другую геометрию.
Проверьте размерный закон отдельной копией. Выполните действия практикума по его исходной таблице. Сохраните поле в той же точке, потокосцепление, энергию и силу после удвоения только глубины; полный геометрический масштаб рассчитайте отдельно на бумаге.
Результат этого занятия. Две различённые таблицы отношений с указанием, какие числа получены полевым расчётом, и почему торцевое поле от изменения глубины не появляется.
Данные именно этого опыта. Сохраните поле в той же точке, потокосцепление, энергию и силу после удвоения только глубины; полный геометрический масштаб рассчитайте отдельно на бумаге.
Оформление наблюдений. Таблица исходного и изменённого масштабов, отношений локальных и интегральных величин, с указанием неизменных источников.
Как обосновать результат
Проверка из практикума. Полное подобие не смешано с изменением глубины; множитель глубины учитывается один раз; торцевое поле не объявлено рассчитанным.
Независимый контроль. Сопоставьте отношения с выведенным законом подобия и проверьте, что объёмный множитель не учтён дважды.
Критерий выполнения. Полное подобие не смешано с изменением глубины; множитель глубины учитывается один раз; торцевое поле не объявлено рассчитанным.
Точность и расхождения. Оцените отклонение отношения от закона подобия при согласованных сетке и источниках. При нулевой исходной величине используйте абсолютную разность с единицей.
Основание сравнения. Используйте объёмные множители и законы подобия, выведенные в занятии. Глубина плоской модели и радиальное интегрирование осесимметричной модели имеют разный смысл.
Вывод для устройства
Укажите, позволяет ли такой перенос оценивать новый размер устройства и какие торцевые, тепловые или нелинейные эффекты разрушают подобие.
Границы вывода. Магнитная сила отдельного привода не подтверждает работу всего аппарата: контактные усилия, пружины, трение, динамика и нагрев должны быть заданы и проверены по назначению.
Теория и вывод формул
Полное геометрическое подобие и изменение одной лишь глубины модели подчиняются различным законам масштабирования. Эти соотношения служат проверкой размерностей и сохраняют ограничения двумерного описания торцевых полей.
Соглашения об обозначениях и единицах
\(i(t)\), \(u(t)\) — мгновенные значения; \(\widehat I\), \(\widehat U\) — комплексные амплитуды; \(\underline I_{\text{д}}\), \(\underline U_{\text{д}}\) — комплексные действующие значения. Для синусоиды \(\widehat I=\sqrt{2}\,\underline I_{\text{д}}\); действующее значение тока равно \(|\underline I_{\text{д}}|\). Нормировка обязательно учитывается в формулах мощности.
\(\Phi=\int_S\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf S\) — поток через ориентированную поверхность; \(\Psi=\sum_k\oint_{C_k}\mathbf A\cdot\mathrm d\mathbf l\) — потокосцепление последовательных витков с согласованными замкнутыми контурами. Только при одинаковом сцепленном потоке каждого витка \(\Psi=N\Phi\). Обе величины измеряются в веберах: число витков безразмерно. Запись «Вб·виток» подчёркивает суммирование.
\(\theta_{\text{м}}\), \(\Omega\) (также \(\omega_{\text{мех}}\)) — механические угол и угловая скорость. Для основной гармоники \(\theta_{\text{э}}=p\theta_{\text{м}}\), \(\omega_{\text{э}}=p\Omega\), где \(p\) — число пар полюсов. Геометрический период зубцов задаётся отдельно. В производных по углу используйте радианы.
Статическая индуктивность \(L_{\text{ст}}=\Psi/i\) — наклон секущей из начала координат; это определение используется при \(\Psi(0)=0\) и \(i\ne0\). Динамическая индуктивность \(L_{\text{дин}}=\partial\Psi/\partial i\) — наклон касательной (дифференциальная, инкрементальная); положение и остальные токи фиксированы. Для линейной характеристики без смещения обе равны одной индуктивности \(L\). При постоянных магнитах и взаимном возбуждении сначала учитывают ненулевое смещение потокосцепления.
Положительные направления, оси и специальные индексы определяются в конкретной задаче. Единицу берите из условия или заголовка таблицы; перед подстановкой в формулу СИ переводите миллиметры в метры, миллигенри в генри и градусы в радианы.
Численные результаты обычно показаны с четырьмя значащими цифрами; для сравнения близких значений в таблицах сходимости сохранено больше цифр. Полные значения остаются в исходных расчётных данных. Малые остатки вычисления координат на осях показаны как ноль; малые физические величины сохраняются в показательной записи.
Для однородного нормального поля воздушного зазора ℛδ=\delta /(\mu _{0}S), а проводимость \Lambda_{\delta}=1/ℛδ. Проводимость имеет единицу генри, но не является индуктивностью всей катушки. Только при общем сцепленном потоке линейной цепи L=N^{2}\Lambda экв.
Формулы проводимости по простым геометрическим областям полезны для быстрой оценки и для выбора размеров. В реальном зазоре полевые трубки расширяются у кромки и пересекают разные поверхности; нельзя складывать несколько приближённых проводимостей, если они описывают один и тот же объём поля.
Два различных эксперимента с масштабом
При полном подобии в k раз меняются все длины, включая глубину и зазор: площадь растёт как k^{2}, ℛ уменьшается как 1/k. При тех же NI поле B уменьшается как 1/k. Если изменяется только глубина Planar при неизменном поперечном сечении, распределение B остаётся прежним, а объёмные интегралы растут пропорционально глубине.
При насыщении фиксированный ток и геометрический масштаб переводят железо в другую рабочую точку B(H), поэтому линейный закон подобия уже недостаточен. Для подобия при одинаковой B ток должен расти как k при неизменном N; тогда сила растёт как k^{2} и энергия как k^{3}, если прочие идеализации сохранены.
Осесимметричный расчёт интегрирует реальную окружность; поле не является плоским полем, умноженным на произвольную глубину. Удвоение Depth в Planar не создаёт ни лобовые части катушки, ни укорочение потока у торцов реального аппарата. Эти эффекты требуют иной модели или отдельной поправки с доказанными условиями.
Разобранный численный пример
Удвоение одной глубины
Дано. Цепная оценка базового П-магнита: L=10{,}771174812 мГн, |F|=5{,}129130863 Н. Меняем только Depth с 20 на 40 мм, N и I прежние.
При неизменных x,y и зазоре поле B не меняется, но S и \Lambda удваиваются.
Умножаем L и силу на 2; не умножаем их второй раз после FEMM, если Depth уже изменён в задаче.
Ответ:L_{40}=21{,}542349625\,\text{мГн}, |F_{40}|=10{,}258261726\,\text{Н}. При полном подобии k=2, I=1 А сила осталась бы 5,129 Н.
Проверка: Здесь сравниваются линейные цепные приближения; полевые отношения проверяют на одинаковом типе задачи. Аналитический расчёт по формулам.
Сохраните исходный базовый FEM отдельно и создайте новую рабочую копию. Измените только глубину задачи на 40 мм; не масштабируйте координаты.
Повторно решите точную копию и сопоставьте B в одинаковой точке, \Psi, энергию и силу. Проверяйте отношения результатов, сохраняя единицы.
На бумаге выполните другой опыт: полное геометрическое подобие k=2 при прежнем токе. Объясните различие масштабов силы.
Назовите две детали реального аппарата, влияние которых не появится от изменения Depth, и оцените, для какого расчётного вопроса это существенно.
Ожидаемый результат. Таблица двух различных масштабных опытов и проверка отношений B, \Psi, W, F.
Как проверить. Полное подобие не смешано с изменением глубины; множитель глубины учитывается один раз; торцевое поле не объявлено рассчитанным.
Обработка и анализ результатов
Почему удвоение глубины и полное геометрическое подобие дают разные отношения силы?
Сохраните поле в той же точке, потокосцепление, энергию и силу после удвоения только глубины; полный геометрический масштаб рассчитайте отдельно на бумаге.
Вычислите отношения величин до и после изменения; отдельно отметьте локальные и интегральные результаты.
С чем сравнить. Используйте объёмные множители и законы подобия, выведенные в занятии. Глубина плоской модели и радиальное интегрирование осесимметричной модели имеют разный смысл.
Итог работы. Две различённые таблицы отношений с указанием, какие числа получены полевым расчётом, и почему торцевое поле от изменения глубины не появляется.
Выполните короткий контроль во встроенном Python FEMM 5. Он проверяет формулу и единицы. Полевые модели строит отдельный reproduce.py из материалов занятия; сравнивайте только одинаковые параметры и определения. Печатный вывод этой программы не является результатом решения поля.
Python · встроенный MicroPython FEMM 5
"""Сравнить изменение глубины и полное подобие.Среда: встроенный MicroPython FEMM 5.Самостоятельный аналитический контроль; полевой решатель не вызывается."""importmathmu0=4*math.pi*1e-7# Линейная цепь нового П-магнита: размеры поперечного сечения не меняем.n,area,gap,iron_length,mur=300,2e-4,1e-3,.20,2000l0=n*n*mu0*area/(2*gap+iron_length/mur)b0=mu0*n/(2*gap+iron_length/mur)f0=b0*b0*area/mu0# Удвоение глубины и полное подобие — разные геометрические операции.print("L при глубине 40 мм, Гн:",2*l0)print("Сила при глубине 40 мм, Н:",2*f0)print("Сила при полном подобии k=2 и прежнем токе, Н:",f0)
Место занятия в расчёте магнитной системы
Размерность проводимости и геометрическое подобие. Разделите изменение глубины плоской модели, полное масштабирование конструкции и изменение формы воздушного промежутка.
Отдельная учебная адаптация методики книги. Параметры этого образца: N=300, I=1 А, два зазора по 1 мм; собственные числа примера занятия могут описывать другой аналитический опыт. Откройте модель, воспроизведите указанный режим и сопоставьте свои измерения с таблицей результатов.
Рисунок 39.2. Самостоятельные конструкции, размеры в миллиметрах. Схема построена по протоколу геометрии; это не снимок интерфейса FEMM.
Используются линейная сталь и отдельная условная B(H). Серии и проверка силы приведены в исследовании электромагнитов.
Самостоятельная работа
Подготовьте масштабную проверку своей модели: один опыт меняет Depth, другой — все размеры. Укажите физические условия каждого закона.
Критерий выполнения: Полное подобие не смешано с изменением глубины; множитель глубины учитывается один раз; торцевое поле не объявлено рассчитанным.
Первоисточники и дополнительное чтение по занятию
[100] — С. 86–109, 139–148, 165–168 (печатная нумерация). Полная предоставленная копия изучена отдельно; ссылка ведёт на фрагмент издателя. Изложение и численные примеры курса созданы самостоятельно.
[33] — Магнитная плоская и осесимметричная задачи, цепи, интегралы силы, встроенный Python.
Пояснения и типичные ошибкиОдинаково ли изменится сила при удвоении Depth и при увеличении всех размеров вдвое?
Нет: в линейном пределе при том же NI первая сила удвоится, а при полном подобии останется прежней, поскольку B уменьшится вдвое.
Почему \Lambda зазора в генри нельзя назвать L обмотки без N?
\Lambda связывает поток с МДС, а L связывает потокосцепление с током; при общем сцеплении переход содержит N^{2}.
На что обратить внимание
Depth — геометрическая длина, а не коэффициент перевода Н/м после расчёта.
Нелинейный материал при масштабировании может перейти в другую рабочую точку.
